Average absolute relative error

The absolute error in any one trial (with name or index $k$) is

$$ varepsilon_a^k = widetilde x_k — x_k, $$

where $x_k$ is the true value of the quantity under consideration in trial $k$, and $widetilde x_k$ is the value which is inferred of that quantity in trial $k$, with the techniques and observational data available.

The average of the absolue errors over a set of trials, $k = 1 , … , n$, is accordingly

$$ varepsilon_a = frac{1}{n} , sum_{k = 1}^n varepsilon_a^k = frac{1}{n} left( sum_{k = 1}^n widetilde x_k right) — frac{1}{n} left( sum_{k = 1}^n x_k right).$$

If the quantity under consideration happened to have one particular always equal true value $x$ in all trials of this set, i.e. if for all $k$ holds $x_k = x$, then

$$ varepsilon_a = frac{1}{n} left( sum_{k = 1}^n widetilde x_k right) — x.$$

Concerning relative error, there are various definitions to consider.
One, apparently common definition of «relative error» is setting in any one trial

$$ varepsilon_r^k = frac{varepsilon_a^k}{x_k} = frac{widetilde x_k — x_k}{x_k}, $$

and correspondingly in a set of trials with equal true value $x$:

$$ varepsilon_r = frac{varepsilon_a}{x} = frac{1}{n} left( sum_{k = 1}^n frac{widetilde x_k}{x} right) — 1.$$

The main drawback of this definition is its apparent failure (divergence) if the true value $x$ over the set of trials under consideration happens to be $0$; or when referring only to one trial, if the true value $x_k$ in that trial happens to be $0$.

Another, arguably more robust definition of relative error is based on noting that the inferred values $widetilde x_k$ are necessarily elements of an entire range of values which are «technically admissible»; such as the actual practically usable extent on a dial indicator of a measuring instrument, or the actual range of an engineer’s scale.

This range, which is due to the technique being used to obtain the inferred values $widetilde x_k$, should have some non-zero extend (or in other words: it should have more than one element) because otherwise the result of applying that particular technique would be predetermined and known in advance; counter to the meaning of «measuring» and «finding out in dependence of observational data gathered».

Writing this range therefore as $widetilde x_{max} — widetilde x_{min}$, the relative error can be defined for any one trial as

$$ varepsilon_r^k = frac{varepsilon_a^k}{widetilde x_{max} — widetilde x_{min}} = frac{widetilde x_k — x_k}{widetilde x_{max} — widetilde x_{min}}, $$

and correspondingly in a set of trials with equal true value $x$:

$$ varepsilon_r = frac{varepsilon_a}{widetilde x_{max} — widetilde x_{min}}.$$

Let’s first know some basics about numbers used  in floating-point arithmetic or in other words Numerical analysis and how they are calculated.

Basically, all the numbers that we use in Numerical Analysis are of two types as follows.

• Exact Numbers –
  Numbers that have their exact quantity, means their value isn’t going to change. For example- 3, 2, 5, 7, 1/3, 4/5, or √2 etc.
• Approximate Numbers –
  These numbers are represented in decimal numbers. They have some certain degrees of accuracy. Like the value of π is 3.1416 if we want more precise value, we can write 3.14159265, but we can’t write the exact value of π.

  These digits that we use in any approximate value, or in other way digits which represent the numbers are called Significant Digits.

How to count significant digits in a given number :
For example –
In the normal value of π (3.1416), there are 5 significant digits and when we write more precise value of it (3.14159265) we get 9 significant digits.
Let’s say we have numbers: 0.0123, 1.2300, and 0.10234. Now we have 4, 3, and 5 significant digits respectively.
In the Scientific Representation of numbers –
2.345×10⁷, 8.7456 ×10⁴, 5.4×10⁶ have 4, 5 and 2 significant digits respectively.

Absolute Error :
Let the true value of a quantity be X and the approximate value of that quantity be X₁. Hence absolute error has defined the difference between X and X₁. Absolute Error is denoted by E_A.

Hence EA= X-X1=δX 

Relative Error :
It is defined as follow.

ER = EA/X = (Absolute Error)/X

Percentage Error :
It is defined as follow.

EP= 100×EP= 100×EA/X

Let’s say we have a number δX = |X₁-X|_,   It is an upper limit on the magnitude of Absolute Error and known as Absolute Accuracy.

Similarly the quantity δX/ |X| or δX/ |X₁| called Relative Accuracy.

Now let’s solve some examples as follows.

• Ex-1 :
  We are given an approximate value of π is 22/7 = 3.1428571 and true value is 3.1415926. Calculate absolute, relative and percentage errors?
  Solution –

  We have True value X= 3.1415926, And Approx. value X1= 3.1428571.
  So now we calculate Absolute error,  we know that  EA= X - X1=δX
  Hence EA= 3.1415926- 3.1428571 = -0.0012645
  
  Answer is -0.0012645
  Now for Relative error we’ve (absolute error)/(true value of quantity) 
  Hence ER =  EA/X = (Absolute Error)/X, EA=(-0.0012645)/3.1415926  = -0.000402ans.
  
  Percentage Error, 
  EP= 100 × EA/X = 100 × (-0.000402) = - 0.0402ans.

• Ex-2 :
  Let the approximate values of a number 1/3 be 0.30, 0.33, 0.34. Find out the best approximation.
  Solution –
  Our approach is that we first find the value of Absolute Error, and any value having the least absolute will be best. So, we first calculate the absolute errors in all approx values are given.
  <pre
  |X-X₁| = |1/3 – 0.30| = 1/30
  |1/3 – 0.33| = 1/300
  |1/3 – 0.34| = 0.02/3 = 1/500

  Hence, we can say that 0.33 is the most precise value of 1/3;
• Ex-3 :

  Finding the difference—

  √5.35 - √4.35
  

  Solution –

   
  √5.35 = 2.31300
  √4.35 = 2.08566
  Hence, √5.35 - √4.35 = 2.31300 – 2.08566 = 0.22734
  

  Here our answer has 5 significant digits we can modify them as per our requirements.

• Среднеквадратичная ошибка (Mean Squared Error)
• Корень из среднеквадратичной ошибки (Root Mean Squared Error)
• Среднеквадратичная ошибка в процентах (Mean Squared Percentage Error)
• Cредняя абсолютная ошибка (Mean Absolute Error)
• Средняя абсолютная процентная ошибка (Mean Absolute Percentage Error)
• Cимметричная средняя абсолютная процентная ошибка (Symmetric Mean Absolute Percentage Error)
• Средняя абсолютная масштабированная ошибка (Mean absolute scaled error)
• Средняя относительная ошибка (Mean Relative Error)
• Среднеквадратичная логарифмическая ошибка (Root Mean Squared Logarithmic Error
• R-квадрат
• Скорректированный R-квадрат
• Сравнение метрик

«Хорошая» аналитическая модель должна удовлетворять двум, зачастую противоречивым, требованиям — как можно лучше соответствовать данным и при этом быть удобной для интерпретации пользователем. Действительно, повышение соответствия модели данным как правило связано с её усложнением (в случае регрессии — увеличением числа входных переменных модели). А чем сложнее модель, тем ниже её интерпретируемость.

Поэтому при выборе между простой и сложной моделью последняя должна значимо увеличивать соответствие модели данным чтобы оправдать рост сложности и соответствующее снижение интерпретируемости. Если это условие не выполняется, то следует выбрать более простую модель.

Таким образом, чтобы оценить, насколько повышение сложности модели значимо увеличивает её точность, необходимо использовать аппарат оценки качества регрессионных моделей. Он включает в себя следующие меры:

• Среднеквадратичная ошибка (MSE).
• Корень из среднеквадратичной ошибки (RMSE).
• Среднеквадратичная ошибка в процентах (MSPE).
• Средняя абсолютная ошибка (MAE).
• Средняя абсолютная ошибка в процентах (MAPE).
• Cимметричная средняя абсолютная процентная ошибка (SMAPE).
• Средняя абсолютная масштабированная ошибка (MASE)
• Средняя относительная ошибка (MRE).
• Среднеквадратичная логарифмическая ошибка (RMSLE).
• Коэффициент детерминации R-квадрат.
• Скорректированный коэффициент детеминации.

Прежде чем перейти к изучению метрик качества, введём некоторые базовые понятия, которые нам в этом помогут. Для этого рассмотрим рисунок.

Наклонная прямая представляет собой линию регрессии с переменной, на которой расположены точки, соответствующие предсказанным значениям выходной переменной widehat{y} (кружки синего цвета). Оранжевые кружки представляют фактические (наблюдаемые) значения y . Расстояния между ними и линией регрессии — это ошибка предсказания модели y-widehat{y} (невязка, остатки). Именно с её использованием вычисляются все приведённые в статье меры качества.

Горизонтальная линия представляет собой модель простого среднего, где коэффициент при независимой переменной x равен нулю, и остаётся только свободный член b, который становится равным среднему арифметическому фактических значений выходной переменной, т.е. b=overline{y}. Очевидно, что такая модель для любого значения входной переменной будет выдавать одно и то же значение выходной — overline{y}.

В линейной регрессии такая модель рассматривается как «бесполезная», хуже которой работает только «случайный угадыватель». Однако, она используется для оценки, насколько дисперсия фактических значений y относительно линии среднего, больше, чем относительно линии регрессии с переменной, т.е. насколько модель с переменной лучше «бесполезной».

MSE

Среднеквадратичная ошибка (Mean Squared Error) применяется в случаях, когда требуется подчеркнуть большие ошибки и выбрать модель, которая дает меньше именно больших ошибок. Большие значения ошибок становятся заметнее за счет квадратичной зависимости.

Действительно, допустим модель допустила на двух примерах ошибки 5 и 10. В абсолютном выражении они отличаются в два раза, но если их возвести в квадрат, получив 25 и 100 соответственно, то отличие будет уже в четыре раза. Таким образом модель, которая обеспечивает меньшее значение MSE допускает меньше именно больших ошибок.

MSE рассчитывается по формуле:

MSE=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}(y_{i}-widehat{y}_{i})^{2},

где n — количество наблюдений по которым строится модель и количество прогнозов, y_{i} — фактические значение зависимой переменной для i-го наблюдения, widehat{y}_{i} — значение зависимой переменной, предсказанное моделью.

Таким образом, можно сделать вывод, что MSE настроена на отражение влияния именно больших ошибок на качество модели.

Недостатком использования MSE является то, что если на одном или нескольких неудачных примерах, возможно, содержащих аномальные значения будет допущена значительная ошибка, то возведение в квадрат приведёт к ложному выводу, что вся модель работает плохо. С другой стороны, если модель даст небольшие ошибки на большом числе примеров, то может возникнуть обратный эффект — недооценка слабости модели.

RMSE

Корень из среднеквадратичной ошибки (Root Mean Squared Error) вычисляется просто как квадратный корень из MSE:

RMSE=sqrt{frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}(y_{i}-widehat{y_{i}})^{2}}

MSE и RMSE могут минимизироваться с помощью одного и того же функционала, поскольку квадратный корень является неубывающей функцией. Например, если у нас есть два набора результатов работы модели, A и B, и MSE для A больше, чем MSE для B, то мы можем быть уверены, что RMSE для A больше RMSE для B. Справедливо и обратное: если MSE(A)<MSE(B), то и RMSE(A)<RMSE(B).

Следовательно, сравнение моделей с помощью RMSE даст такой же результат, что и для MSE. Однако с MSE работать несколько проще, поэтому она более популярна у аналитиков. Кроме этого, имеется небольшая разница между этими двумя ошибками при оптимизации с использованием градиента:

frac{partial RMSE}{partial widehat{y}_{i}}=frac{1}{2sqrt{MSE}}frac{partial MSE}{partial widehat{y}_{i}}

Это означает, что перемещение по градиенту MSE эквивалентно перемещению по градиенту RMSE, но с другой скоростью, и скорость зависит от самой оценки MSE. Таким образом, хотя RMSE и MSE близки с точки зрения оценки моделей, они не являются взаимозаменяемыми при использовании градиента для оптимизации.

Влияние каждой ошибки на RMSE пропорционально величине квадрата ошибки. Поэтому большие ошибки оказывают непропорционально большое влияние на RMSE. Следовательно, RMSE можно считать чувствительной к аномальным значениям.

MSPE

Среднеквадратичная ошибка в процентах (Mean Squared Percentage Error) представляет собой относительную ошибку, где разность между наблюдаемым и фактическим значениями делится на наблюдаемое значение и выражается в процентах:

MSPE=frac{100}{n}sumlimits_{i=1}^{n}left ( frac{y_{i}-widehat{y}_{i}}{y_{i}} right )^{2}

Проблемой при использовании MSPE является то, что, если наблюдаемое значение выходной переменной равно 0, значение ошибки становится неопределённым.

MSPE можно рассматривать как взвешенную версию MSE, где вес обратно пропорционален квадрату наблюдаемого значения. Таким образом, при возрастании наблюдаемых значений ошибка имеет тенденцию уменьшаться.

MAE

Cредняя абсолютная ошибка (Mean Absolute Error) вычисляется следующим образом:

MAE=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}left | y_{i}-widehat{y}_{i} right |

Т.е. MAE рассчитывается как среднее абсолютных разностей между наблюдаемым и предсказанным значениями. В отличие от MSE и RMSE она является линейной оценкой, а это значит, что все ошибки в среднем взвешены одинаково. Например, разница между 0 и 10 будет вдвое больше разницы между 0 и 5. Для MSE и RMSE, как отмечено выше, это не так.

Поэтому MAE широко используется, например, в финансовой сфере, где ошибка в 10 долларов должна интерпретироваться как в два раза худшая, чем ошибка в 5 долларов.

MAPE

Средняя абсолютная процентная ошибка (Mean Absolute Percentage Error) вычисляется следующим образом:

MAPE=frac{100}{n}sumlimits_{i=1}^{n}frac{left | y_{i}-widehat{y_{i}} right |}{left | y_{i} right |}

Эта ошибка не имеет размерности и очень проста в интерпретации. Её можно выражать как в долях, так и в процентах. Если получилось, например, что MAPE=11.4, то это говорит о том, что ошибка составила 11.4% от фактического значения.

SMAPE

Cимметричная средняя абсолютная процентная ошибка (Symmetric Mean Absolute Percentage Error) — это мера точности, основанная на процентных (или относительных) ошибках. Обычно определяется следующим образом:

SMAPE=frac{100}{n}sumlimits_{i=1}^{n}frac{left | y_{i}-widehat{y_{i}} right |}{(left | y_{i} right |+left | widehat{y}_{i} right |)/2}

Т.е. абсолютная разность между наблюдаемым и предсказанным значениями делится на полусумму их модулей. В отличие от обычной MAPE, симметричная имеет ограничение на диапазон значений. В приведённой формуле он составляет от 0 до 200%. Однако, поскольку диапазон от 0 до 100% гораздо удобнее интерпретировать, часто используют формулу, где отсутствует деление знаменателя на 2.

Одной из возможных проблем SMAPE является неполная симметрия, поскольку в разных диапазонах ошибка вычисляется неодинаково. Это иллюстрируется следующим примером: если y_{i}=100 и widehat{y}_{i}=110, то SMAPE=4.76, а если y_{i}=100 и widehat{y}_{i}=90, то SMAPE=5.26.

Ограничение SMAPE заключается в том, что, если наблюдаемое или предсказанное значение равно 0, ошибка резко возрастет до верхнего предела (200% или 100%).

MASE

Средняя абсолютная масштабированная ошибка (Mean absolute scaled error) — это показатель, который позволяет сравнивать две модели. Если поместить MAE для новой модели в числитель, а MAE для исходной модели в знаменатель, то полученное отношение и будет равно MASE. Если значение MASE меньше 1, то новая модель работает лучше, если MASE равно 1, то модели работают одинаково, а если значение MASE больше 1, то исходная модель работает лучше, чем новая модель. Формула для расчета MASE имеет вид:

MASE=frac{MAE_{i}}{MAE_{j}}

MASE симметрична и устойчива к выбросам.

MRE

Средняя относительная ошибка (Mean Relative Error) вычисляется по формуле:

MRE=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}frac{left | y_{i}-widehat{y}_{i}right |}{left | y_{i} right |}

Несложно увидеть, что данная мера показывает величину абсолютной ошибки относительно фактического значения выходной переменной (поэтому иногда эту ошибку называют также средней относительной абсолютной ошибкой, MRAE). Действительно, если значение абсолютной ошибки, скажем, равно 10, то сложно сказать много это или мало. Например, относительно значения выходной переменной, равного 20, это составляет 50%, что достаточно много. Однако относительно значения выходной переменной, равного 100, это будет уже 10%, что является вполне нормальным результатом.

Очевидно, что при вычислении MRE нельзя применять наблюдения, в которых y_{i}=0.

Таким образом, MRE позволяет более адекватно оценить величину ошибки, чем абсолютные ошибки. Кроме этого она является безразмерной величиной, что упрощает интерпретацию.

RMSLE

Среднеквадратичная логарифмическая ошибка (Root Mean Squared Logarithmic Error) представляет собой RMSE, вычисленную в логарифмическом масштабе:

RMSLE=sqrt{frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}(log(widehat{y}_{i}+1)-log{(y_{i}+1}))^{2}}

Константы, равные 1, добавляемые в скобках, необходимы чтобы не допустить обращения в 0 выражения под логарифмом, поскольку логарифм нуля не существует.

Известно, что логарифмирование приводит к сжатию исходного диапазона изменения значений переменной. Поэтому применение RMSLE целесообразно, если предсказанное и фактическое значения выходной переменной различаются на порядок и больше.

R-квадрат

Перечисленные выше ошибки не так просто интерпретировать. Действительно, просто зная значение средней абсолютной ошибки, скажем, равное 10, мы сразу не можем сказать хорошая это ошибка или плохая, и что нужно сделать чтобы улучшить модель.

В этой связи представляет интерес использование для оценки качества регрессионной модели не значения ошибок, а величину показывающую, насколько данная модель работает лучше, чем модель, в которой присутствует только константа, а входные переменные отсутствуют или коэффициенты регрессии при них равны нулю.

Именно такой мерой и является коэффициент детерминации (Coefficient of determination), который показывает долю дисперсии зависимой переменной, объяснённой с помощью регрессионной модели. Наиболее общей формулой для вычисления коэффициента детерминации является следующая:

R^{2}=1-frac{sumlimits_{i=1}^{n}(widehat{y}_{i}-y_{i})^{2}}{sumlimits_{i=1}^{n}({overline{y}}_{i}-y_{i})^{2}}

Практически, в числителе данного выражения стоит среднеквадратическая ошибка оцениваемой модели, а в знаменателе — модели, в которой присутствует только константа.

Главным преимуществом коэффициента детерминации перед мерами, основанными на ошибках, является его инвариантность к масштабу данных. Кроме того, он всегда изменяется в диапазоне от −∞ до 1. При этом значения близкие к 1 указывают на высокую степень соответствия модели данным. Очевидно, что это имеет место, когда отношение в формуле стремится к 0, т.е. ошибка модели с переменными намного меньше ошибки модели с константой. R^{2}=0 показывает, что между независимой и зависимой переменными модели имеет место функциональная зависимость.

Когда значение коэффициента близко к 0 (т.е. ошибка модели с переменными примерно равна ошибке модели только с константой), это указывает на низкое соответствие модели данным, когда модель с переменными работает не лучше модели с константой.

Кроме этого, бывают ситуации, когда коэффициент R^{2} принимает отрицательные значения (обычно небольшие). Это произойдёт, если ошибка модели среднего становится меньше ошибки модели с переменной. В этом случае оказывается, что добавление в модель с константой некоторой переменной только ухудшает её (т.е. регрессионная модель с переменной работает хуже, чем предсказание с помощью простой средней).

На практике используют следующую шкалу оценок. Модель, для которой R^{2}>0.5, является удовлетворительной. Если R^{2}>0.8, то модель рассматривается как очень хорошая. Значения, меньшие 0.5 говорят о том, что модель плохая.

Скорректированный R-квадрат

Основной проблемой при использовании коэффициента детерминации является то, что он увеличивается (или, по крайней мере, не уменьшается) при добавлении в модель новых переменных, даже если эти переменные никак не связаны с зависимой переменной.

В связи с этим возникают две проблемы. Первая заключается в том, что не все переменные, добавляемые в модель, могут значимо увеличивать её точность, но при этом всегда увеличивают её сложность. Вторая проблема — с помощью коэффициента детерминации нельзя сравнивать модели с разным числом переменных. Чтобы преодолеть эти проблемы используют альтернативные показатели, одним из которых является скорректированный коэффициент детерминации (Adjasted coefficient of determinftion).

Скорректированный коэффициент детерминации даёт возможность сравнивать модели с разным числом переменных так, чтобы их число не влияло на статистику R^{2}, и накладывает штраф за дополнительно включённые в модель переменные. Вычисляется по формуле:

R_{adj}^{2}=1-frac{sumlimits_{i=1}^{n}(widehat{y}_{i}-y_{i})^{2}/(n-k)}{sumlimits_{i=1}^{n}({overline{y}}_{i}-y_{i})^{2}/(n-1)}

где n — число наблюдений, на основе которых строится модель, k — количество переменных в модели.

Скорректированный коэффициент детерминации всегда меньше единицы, но теоретически может принимать значения и меньше нуля только при очень малом значении обычного коэффициента детерминации и большом количестве переменных модели.

Сравнение метрик

Резюмируем преимущества и недостатки каждой приведённой метрики в следующей таблице:

В данной статье рассмотрены наиболее популярные меры качества регрессионных моделей, которые часто используются в различных аналитических приложениях. Эти меры имеют свои особенности применения, знание которых позволит обоснованно выбирать и корректно применять их на практике.

Однако в литературе можно встретить и другие меры качества моделей регрессии, которые предлагаются различными авторами для решения конкретных задач анализа данных.

Другие материалы по теме:

Отбор переменных в моделях линейной регрессии

Репрезентативность выборочных данных

Логистическая регрессия и ROC-анализ — математический аппарат

Measurement is a major part of scientific calculations. Completely accurate measurement results are absolutely rare. While measuring different parameters, slight errors are common. There are different types of errors, which cause differences in measurement. All the errors can be expressed in mathematical equations. By knowing the errors, we can calculate correctly and find out ways to correct the errors. There are mainly two types of errors – absolute and relative error. In this article, we are going to define absolute error and relative error. Here, we are giving explanations, formulas, and examples of absolute error and relative error along with the definition. The concept of error calculation is essential in measurement. 

Define Absolute Error

Absolute error is defined as the difference between the actual value and the measured value of a quantity. The importance of absolute error depends on the quantity that we are measuring. If the quantity is large such as road distance, a small error in centimetres is negligible. While measuring the length of a machine part an error in centimetre is considerable. Though the errors in both cases are in centimetres, the error in the second case is more important.

Absolute Error Formula

The absolute error is calculated by the subtraction of the actual value and the measured value of a quantity. If the actual value is x₀ and the measured value is x, the absolute error is expressed as,

∆x = x₀- x

Here, ∆x is the absolute error.

Absolute Error Example

Here, we are giving an example of the absolute error in real life. Suppose, we are measuring the length of an eraser. The actual length is 35 mm and the measured length is 34.13 mm. 

So, The Absolute Error = Actual Length — Measured Length

 = (35 — 34.13) mm 

 = 0.87 mm

Classification Of Absolute Error

1. Absolute accuracy error

Absolute accuracy error is the other name of absolute error. The formula for absolute accuracy error is written as E= E exp – E true, where E is the absolute accuracy error, E exp is the experimental value and E true is the actual value.

1. Mean absolute error

MAE or the mean absolute error is the mean or average of all absolute errors. The formula for Mean Absolute Error is given as,

MAE = [frac{1}{n}] [sum_{i=1}^{n}mid x_{i} -xmid]

1. Absolute Precision Error

It is a standard deviation of a group of numbers. Standard deviation helps to know how much data is spread.

Relative Error Definition

The ratio of absolute error of the measurement and the actual value is called relative error. By calculating the relative error, we can have an idea of how good the measurement is compared to the actual size. From the relative error, we can determine the magnitude of absolute error. If the actual value is not available, the relative error can be calculated in terms of the measured value of the quantity. The relative error is dimensionless and it has no unit. It is written in percentage by multiplying it by 100.

Relative Error Formula

The relative error is calculated by the ratio of absolute error and the actual value of the quantity. If the absolute error of the measurement is ∆x, the actual value is x0, the measured value is x, the relative error is expressed as, 

                                                     xᵣ = (x₀ — x)/ x₀ = ∆x/x₀

Here, xr is the relative error.

Relative Error Example

Here, we are giving an example of relative error in real life. Suppose, the actual length of an eraser is 35 mm. Now, the absolute error = (35-34.13) mm = 0.87 mm.

So, the relative error = absolute error/actual length

= 0.87/35

= 0.02485

(Image will be Uploaded Soon)

Relative Error as a Measure of Accuracy

In many cases, relative error is a measure of precision. At the same time, it can also be used as a measure of accuracy. Accuracy is the extent of knowing how accurate the value is as compared to the actual or true value. Students can find the RE accuracy only if they know the true value or measurement. For simplicity, we have the formula for calculating the RE accuracy which is given as

RE[_{accuracy}] = Actual error/ true value * 100%

Absolute Error and Relative Error in Numerical Analysis

Numerical analysis of error calculation is a vital part of the measurement. This analysis finds the actual value and the error quantity. The absolute error determines how good or bad the measurement is. In numerical calculation, the errors are caused by round-off error or truncation error.

Absolute and Relative Error Calculation — Examples

1. Find the absolute and relative errors. The actual value is 125.68 mm and the measured value is 119.66 mm.

Solution:

Absolute Error = |125.68 – 119.66| mm

= 6.02 mm

Relative Error = |125.68 – 119.66| / 125.68

= 0.0478

2. Find out the absolute and relative errors, where the actual and measured values are 252.14 mm and 249.02 mm.

Solution:

Absolute Error = |252.14 – 249.02| mm

                           = 3.12 mm

Relatives Error = 3.12/252.14

= 0.0123

Did You Know?

In different measurements, the quantity is measured more than one time to get an average value of the quantity. Mean absolute error is one of the most important terms in this kind of measurement. The average of all the absolute errors of the collected data is called the MAE ( Mean Absolute Error). It is calculated by dividing the sum of absolute errors by the number of errors. The formula of MAE is –

MAE = [frac{displaystylesumlimits_{i=1}^n mid x_{0}-x mid }{n}]

Here, 

n is the number of errors, 

x₀ is the actual value, 

x is the measured value, and 

|x₀-x| is the absolute error.

Definition of Absolute Error

[Click Here for Sample Questions]

Absolute error is defined as the difference between a measured or derived value of a quantity and an actual value.The meaning of the absolute error depends on the quantity to be measured. Absolute errors are not enough because there is no information about the meaning of the error.

• At street distances, such as in large quantities, small errors in centimeters are negligible. When measuring the length of machine parts, the error of centimeters is large. 
• In both cases the error is shown in centimeters, but the error in the second case is more important. When measuring distances between cities that are kilometers apart, errors of a few centimeters are negligible and irrelevant. 
• Consider another case where the centimeter error when measuring a small mechanical part is a very significant error .Both errors are on the order of centimeters, but the second error is more serious than the first.

Also Read: Linear Approximation Formula

Absolute Error Formula

If x is the actual value of the quantity

x₀ is the measured value of the quantity, the absolute error value can be calculated using the following formula:

Δx = x₀–x

Here, Δx is called the absolute error.

When considering multiple measurements, the arithmetic mean of the absolute error of each measurement should be the final absolute error.

Example of Absolute Error

Here are some examples of absolute mistakes in real life.

Suppose you want to measure the length of the eraser.

The actual length is 35mm and the measured length is 34.13mm.

Therefore, absolute error = actual length measurement — length = (35 — 34.13) mm = 0.87mm

Classification of Absolute Error

[Click Here for Sample Questions]

Absolute Accuracy Error

Absolute accuracy error is the other name of absolute error.

The formula for absolute accuracy error is written as

E = E_exp – E_true,

where E is the absolute accuracy error,

E_exp is the experimental value

E_true is the actual value.

Mean Absolute Error

Mean absolute error is the mean or average of all absolute errors. The formula for Mean Absolute Error is given as,

Mean Absolute Error

Definition of Relative Error

[Click Here for Sample Questions]

Relative error is defined as the ratio of the absolute error of the measured value to the actual measured value. 

• Using this method, you can determine the amount of absolute error with respect to the actual size of the measurement. If you don’t know the actual measurement of the object, you can find the relative error from the measurement.
• Relative error indicates how good the measurement is in relation to the size of the object being measured.
• Note that the relative error is dimensionless. When writing relative errors, it is common to multiply the decimal error by 100 and express it as a percentage.

Relative Error Formula 

Relative errors are calculated by the absolute error ratio and the actual amount value. If the absolute error is the measurement Δx, the actual value x₀ is x and the relative error is —

(x₀ — x)/x = (Δx)/x

Here, XR is a relative error.

Example of Relative Error

Here is an example of an actual relative error. 

Suppose the actual length of the eraser is 35mm.

 Here, the absolute error = (35 – 34.13) mm = 0.87 mm. 

Therefore, relative error = absolute error / actual length = 0.87 / 35 = 0.02485

Accuracy of Relative Error Measurement

Relative error is often a measure of accuracy. At the same time, it can be used as a measure of accuracy. Accuracy is the degree of knowledge about how accurate a value is compared to its actual or true value. 

Students can only find the accuracy of the RE if they know the true or measured value. 

For simplicity, there is an expression that calculates the RE accuracy given as 

Accuracy = actual error / true value * 100%.

Things to Remember

1. There are two types of errors affected by measuring tool accuracy, absolute error and relative error.
2. Formula of absolute error: Δx = x₀–x,
3. Formula of relative error: (x₀ — x)/x = (Δx)/x
4. Absolute error indicates the magnitude of the error, and relative error indicates the magnitude of the error for the correct value.
5. Mean Absolute Error is the average of all the absolute errors in the collected data. Abbreviated as MAE (Mean Absolute Error).

Read also:

Sample Questions

Ques. The time T, taken for a complete oscillation of a single pendulum with length l , is given by the equation: T = 2π√(l/g), where g is constant. Find the approximate percentage error in the calculated value of T corresponding to an error of 2 percent in the value of 1. (2 Marks)

Ques. Find the absolute and relative errors. The actual value is 125.68 mm and the measured value is 119.66 mm. (2 Marks)

Ques. Find out the absolute and relative errors, where the actual and measured values are 252.14 mm and 249.02 mm. (2 Marks)

Ques. The radius of a circular plate is measured as 12.65 cm instead of the actual length 12.5 cm. find the following in calculating the area of the circular plate:
(i) Absolute error (ii) Relative error. (5 Marks)

Ques. Absolute error of a number is 5 and Relative error for the same number is 0.2. Find out the actual value of the number. (3 Marks)

Ques. If absolute error and actual value of a number are 5, 15. What is the relative error? (2 Marks)

Ques. A scale incorrectly measures a value as 6 cm because of some marginal errors. If the real measurement of the value is taken as 10 cm then what will be the percentage of error. (2 Marks)

Ques: If the actual value of a shaft diameter is 1.605 inches and the shaft is measured and found to be 1.603 inches, determine the relative and absolute error. (3 Marks)

Ques: The table is 150 cm wide. When measured with a school ruler, it equals to 150.2 cm. Calculate the absolute and relative error. (2 Marks)

Also Read: