Average approximation error

From Wikipedia, the free encyclopedia

For broader coverage of this topic, see Approximation.

The approximation error in a data value is the discrepancy between an exact value and some approximation to it. This error can be expressed as an absolute error (the numerical amount of the discrepancy) or as a relative error (the absolute error divided by the data value).

An approximation error can occur because of computing machine precision or measurement error (e.g. the length of a piece of paper is 4.53 cm but the ruler only allows you to estimate it to the nearest 0.1 cm, so you measure it as 4.5 cm).

In the mathematical field of numerical analysis, the numerical stability of an algorithm indicates how the error is propagated by the algorithm.

Formal definition[edit]

One commonly distinguishes between the relative error and the absolute error.

Given some value v and its approximation v_approx, the absolute error is

where the vertical bars denote the absolute value.
If the relative error is

and the percent error (an expression of the relative error) is

In words, the absolute error is the magnitude of the difference between the exact value and the approximation. The relative error is the absolute error divided by the magnitude of the exact value.

An error bound is an upper limit on the relative or absolute size of an approximation error.

Generalizations[edit]

These definitions can be extended to the case when and are n-dimensional vectors, by replacing the absolute value with an n-norm.^[1]

Examples[edit]

As an example, if the exact value is 50 and the approximation is 49.9, then the absolute error is 0.1 and the relative error is 0.1/50 = 0.002 = 0.2%. Another example would be if, in measuring a 6 mL beaker, the value read was 5 mL. The correct reading being 6 mL, this means the percent error in that particular situation is, rounded, 16.7%.

The relative error is often used to compare approximations of numbers of widely differing size; for example, approximating the number 1,000 with an absolute error of 3 is, in most applications, much worse than approximating the number 1,000,000 with an absolute error of 3; in the first case the relative error is 0.003 and in the second it is only 0.000003.

There are two features of relative error that should be kept in mind. Firstly, relative error is undefined when the true value is zero as it appears in the denominator (see below). Secondly, relative error only makes sense when measured on a ratio scale, (i.e. a scale which has a true meaningful zero), otherwise it would be sensitive to the measurement units. For example, when an absolute error in a temperature measurement given in Celsius scale is 1 °C, and the true value is 2 °C, the relative error is 0.5, and the percent error is 50%. For this same case, when the temperature is given in Kelvin scale, the same 1 K absolute error with the same true value of 275.15 K gives a relative error of 3.63×10⁻³ and a percent error of only 0.363%. Celsius temperature is measured on an interval scale, whereas the Kelvin scale has a true zero and so is a ratio scale. Thus the relative error is not very meaningful.

Instruments[edit]

In most indicating instruments, the accuracy is guaranteed to a certain percentage of full-scale reading. The limits of these deviations from the specified values are known as limiting errors or guarantee errors.^[2]

See also[edit]

• Accepted and experimental value
• Condition number
• Errors and residuals in statistics
• Experimental uncertainty analysis
• Machine epsilon
• Measurement error
• Measurement uncertainty
• Propagation of uncertainty
• Quantization error
• Relative difference
• Round-off error
• Uncertainty

References[edit]

External links[edit]

• Weisstein, Eric W. «Percentage error». MathWorld.

To assess the coefficient of linear correlation, its multiple index or to determine the statistical dependences of quantitative indicators on quality characteristics apply a scale Chaddock. It is conditional, but it is widely used in econometrics, in the construction of complex and multivariate mathematical models.

The Chaddock scale, as a qualitative statistical characteristic in technical and economic research, is successfully used in medicine, economics, marketing and sociology.

In practice, in medicine, the Chaddock scale is most often used when calculating mathematical statistics and calculating the probability of events. For example, in the study of the public health of the population or for an in-depth study of morbidity or mortality, depending on age and sex, from any disease.

Chaddock ratio

The basic scientific approach is the belief that no event happens by chance. Mathematical or statistical patterns are never considered in isolation, in isolation, regardless of influencing factors. Any event is a priori considered the result of the joint impact of many forces or circumstances.

For example, the level of sales in an average store is influenced by:

• retail space;
• illumination level;
• professionalism of personnel and managerial staff;
• showcase exposition of goods;
• additional services and services;
• purchasing power of the population;
• other hidden, implicit and non-obvious factors.

Another illustrative example is the number of children in a family.

It depends on:

• duration of married life;
• religious views of parents;
• material condition;
• social status;
• reproductive health;
• socio-cultural and ethnic characteristics.

The Chaddock scale (the correlation coefficient determines the dependencies in exact numerical terms) allows with mathematical reliably assess the level of influence of each factor separately, the degree of their joint impact on the studied indicator or event.

The ratio of effective indicators makes it possible to translate any numerical indicator or quantitative value into a qualitative parameter. The dependences of the Chaddock-Snedecor scale are shown in the table.

The mathematical relationship is used to build one- or multivariate linear models in statistical analysis. Such models make it possible to determine the presence of an interconnection of the variables, characteristics under consideration, the strength of influence or interconnection.

The Chaddock scale is used to accurately determine the covariance moment in probability theory, mathematical statistics, and the econometric sphere. The coefficient allows you to establish a linear, inverse or square dependence of random variables.

The method of processing large arrays of statistical data with an accurate determination of the tightness of the direct or feedback of various parameters is called correlation analysis. It cannot be done without the Chaddock-Snedecor relationship.

Correlation coefficients depending on the types of measuring scales

In the field of statistical analysis, special constant values ​​are used that allow you to accurately establish the relationship between variables measured using different scales.

This is a kind of reduction to a common denominator. The Pearson association coefficient is applied to the x and y variables calculated on the dichotomous scale. If only one of the non-constants is dichotomous (binary), a point two-row correlation value is used.

Types of scales in which the Cheddock-Snedecor ratio is used:

• X-signs. It is a way of organizing variables in datasets, properties, values, and characteristics for various statistical observations — meteorological, medical, commodity and raw materials.
• Interval. Displays the difference between values ​​that can be calculated, but these ratios are not statistically meaningful. The interval scale has the combined properties of the nominal and ordinal mathematical scheme. It is used to calculate the quantitative change in a feature or object over a given time interval. An example is the measurement of the temperature of sea water. In the morning it is + 19 ° С, by the evening it rises to + 24 ° С, that is, it becomes 1.26 times more.
• Ranked. They are used to classify signs, properties, events or objects according to the principle of «more-less», «warmer-colder», «higher-lower». When measuring in such a scale, the objects under study are assigned a numerical value in accordance with the severity of the calculated property. It is determined using the Chaddock-Snedecor ratio.
• Nominal. Contains exclusively data that cannot be ordered. They do not perform arithmetic operations with them. Such a scale is used to sort the arrays of statistical data or objects by a common criterion. The bi-point correlation coefficient is applied to the values ​​according to the Chaddock-Snedecor relationship.

For both dichotomous variables, a four-field relationship is used according to the scale on which the calculations were made. The nonlinear interconnection of the studied objects makes the introduction of a correlation dependence meaningless.

What is the Chaddock Scale

Analytical grouping of quantitative data, qualitative characteristics or studied properties of objects allows you to plot the empirical relationship between several variables.

The Chaddock scale displays the correlation coefficient in numerical terms. If it is equal to or greater than 0.7313, the influence of the factor or the relationship of properties is considered high. The scale is used when calculating the regressive (inverse) ratio of indicators.

The geometric meaning of the correlation coefficient demonstrates the difference in the angle of inclination and the trajectory of the x and y axes when graphically displaying the dependence. A linear relationship indicates the presence of a direct relationship between variables or their mutual influence.

It takes a value from -1 to +1. The first indicator means a regressive relationship, the second — a direct one. The Chaddock scale is the ratio between random factors or variables that allows you to translate the qualitative characteristics of objects into a relatively accurate numerical value.

In the field of statistical analysis, the calculation of the multiple correlation coefficient has a special meaning. It reflects the tightness of a direct or linear relationship of the main variable with several influencing factors considered in the aggregate.

The multiple correlation coefficient, determined using the Chaddock-Snedecor scale, makes it possible to bring the effective signs and factorial ones to a single denominator.

To calculate the residual total sum of squares of errors or deviations, use the formula ∑ (y_i-y_x)². The construction of regression mathematical models with calculations on the Chaddock scale is relevant when creating predictive systems.

They take into account only the permissible values ​​of factor signs or independent variables. The Chaddock-Snedecor formula predicts the Y value for any deviation of the X line in the relationship plot.

When predicting the average annual level of sales of a certain product or calculating the economic indicators of an enterprise for reporting period, you can calculate the correspondence of the variables y and x at any time interval with a graphical representation dependencies.

Data entry rules

Values ​​are grouped according to general characteristics or the statistical array is sorted according to one attribute in a nominal scale. The rules for data entry differ depending on the model being built, the mathematical system used, and the processing method.

For formulaic, tabular and graphical representations, the principles of filling in with information are different. Data grouping rules facilitate aggregation.

When sorting binary populations, the numerical values ​​are classified to account for each value simultaneously in both intervals. They are placed at the intersection of the corresponding rows and columns.

Rules for grouping data for use in calculations on the Chaddock-Snedecor scale:

1. Find a suitable range for each variable.
2. Apply the found indicators to the corresponding coordinate axes of the graphical display.
3. Draw connecting and leading lines from each point to create a working coordinate grid.
4. Place each pair of related variables in the corresponding cell of the correlation field, assigning a checkmark indicating the properties.
5. Sum values ​​in rows and columns for marginal calculations.

It is easier to enter values ​​into formula and tabular correlation systems than into graphical ones. You just need to substitute the required coefficient from the above scale of dependencies.

Correlation and determination indicators

The Chaddock-Snedecor ratio is used in the analysis of statistical data arrays, in the study of the practical significance of influencing factors or properties of objects. It is used to build synthesized models to predict event probability.

The Chaddock scale allows you to qualitatively assess the tightness of communication or the mutual influence of variables. The binary correlation coefficient is of particular importance in regressive calculations of the degree of inverse effect of the effective features on the subject of research.

In such calculations, one cannot do without an additional indicator. In this capacity, the coefficient of determination is introduced into the formula, which is always equal to the square of the correlation indicator. The additional parameter is written unchanged R².

The indicator of determination in mathematical models is a fraction of the variance — the range of possible scatter of the numerical values ​​of a random variable relative to the computational expectation.

The coefficient of determination is obtained from the known value of the correlation indicator, fitted on the Chaddock-Snedecor scale. The quantity is considered as a universal formula measure of the dependence of one random variable on a number of others.

A special case of the indicator of determination is the ratio R² linear, binary or multiple correlation coefficient of the dependent object to factor values.

This formula is valid only for models with a known constant value of the effective indicator. When calculating binary feedback (regression), the value of the square of the correlation indicator, called the determination index, ranges from -1 to +1.

To calculate paired regression with a constant, use the general formula SS_tot= SS_reg+ SS_res. Based on the results of the calculations, a conclusion is made about the strength of the connection or the mutual influence of the factors under study.

The indicator of determination demonstrates the numerical value of the proportion of variation in the resultant attribute of an object or event. When interpreting the value R² the correlation coefficient is presented in percentage terms.

For example, 0.847² = 0.7174 means that in 71.74% of cases, when the factor indicator changes, the effective sign acquires the corresponding value. The equation is distinguished by high accuracy with the correct selection of values ​​on the Chaddock-Snedecor scale.

The remaining 28.26% of the determination indicator is accounted for by factors unaccounted for in the model. In the absence of a noticeable statistical relationship between the correlation coefficients of the variables, to calculate the asymptotic distribution, use the equation x² (K-1), where K is the number of influencing factors.

Average approximation error

In sociological research, medical statistics, econometrics, the values ​​of the force of mutual influence or the degree of stability of dependencies is often calculated using the replacement of objects with related and simplified.

This method of scientific research is called approximation. It allows you to study quantitative characteristics, qualitative properties, factor signs with greater accuracy and a lower level of error.

In number theory, using approximation, Diophantine approximations are investigated. In geometry, the replacement method is used when considering intersecting broken curves. In the econometric discipline, calculations using the mean error of approximation are common.

This is the name of the range of deviations of the calculated values ​​of the dependent variable from the actual value. The method is of particular importance in linear binary regression equations.

The qualitative characteristics of the resulting or influencing factor in different mathematical models are estimated using the average or absolute approximation error.

The value not exceeding 5-7% of the error indicates the correct selection of the ratio of the equation with the initial data. If the average approximation error is outside the specified range, the formula is not used for statistical calculations.

Chaddock scale (correlation coefficient deviating by less than 1% from 1.00 indicates a stable functional connections of objects, events or properties) allows you to bring the volume of the population closer to the actual value of the effective sign.

The indicator always differs from the theoretical value calculated using the pairwise regression equation. In rare cases, the approximation error is initially zero. The acceptable margin of error is 8-10%.

Negative values

Any calculated statistic with a correlation coefficient is subjected to a mathematical plausibility test. A set of observations or arrays of heterogeneous data represents a certain sample, in which there are errors.

Therefore, such calculations are perceived not as an absolute truth, but as a relatively accurate assessment of influencing factors, the qualitative characteristics of objects, the degree of connection of factors.

Negative values ​​when calculated using the Chaddock scale are typical for regression models, the purpose of which is to establish feedback between research objects in an accurate digital expression. The correlation coefficient in such equations can take values ​​from -1 to 0.

Video about the Chaddock-Snedecor scale

Correlation coefficient:

For broader coverage of this topic, see Approximation.

The approximation error in a data value is the discrepancy between an exact value and some approximation to it. This error can be expressed as an absolute error (the numerical amount of the discrepancy) or as a relative error (the absolute error divided by the data value).

An approximation error can occur because of computing machine precision or measurement error (e.g. the length of a piece of paper is 4.53 cm but the ruler only allows you to estimate it to the nearest 0.1 cm, so you measure it as 4.5 cm).

In the mathematical field of numerical analysis, the numerical stability of an algorithm indicates how the error is propagated by the algorithm.

Formal definition

One commonly distinguishes between the relative error and the absolute error.

Given some value v and its approximation v_approx, the absolute error is

where the vertical bars denote the absolute value.
If the relative error is

and the percent error (an expression of the relative error) is

In words, the absolute error is the magnitude of the difference between the exact value and the approximation. The relative error is the absolute error divided by the magnitude of the exact value.

An error bound is an upper limit on the relative or absolute size of an approximation error.

Generalizations

These definitions can be extended to the case when and are n-dimensional vectors, by replacing the absolute value with an n-norm.^[1]

Examples

As an example, if the exact value is 50 and the approximation is 49.9, then the absolute error is 0.1 and the relative error is 0.1/50 = 0.002 = 0.2%. Another example would be if, in measuring a 6 mL beaker, the value read was 5 mL. The correct reading being 6 mL, this means the percent error in that particular situation is, rounded, 16.7%.

The relative error is often used to compare approximations of numbers of widely differing size; for example, approximating the number 1,000 with an absolute error of 3 is, in most applications, much worse than approximating the number 1,000,000 with an absolute error of 3; in the first case the relative error is 0.003 and in the second it is only 0.000003.

There are two features of relative error that should be kept in mind. Firstly, relative error is undefined when the true value is zero as it appears in the denominator (see below). Secondly, relative error only makes sense when measured on a ratio scale, (i.e. a scale which has a true meaningful zero), otherwise it would be sensitive to the measurement units. For example, when an absolute error in a temperature measurement given in Celsius scale is 1 °C, and the true value is 2 °C, the relative error is 0.5, and the percent error is 50%. For this same case, when the temperature is given in Kelvin scale, the same 1 K absolute error with the same true value of 275.15 K gives a relative error of 3.63×10⁻³ and a percent error of only 0.363%. Celsius temperature is measured on an interval scale, whereas the Kelvin scale has a true zero and so is a ratio scale. Thus the relative error is not very meaningful.

Instruments

In most indicating instruments, the accuracy is guaranteed to a certain percentage of full-scale reading. The limits of these deviations from the specified values are known as limiting errors or guarantee errors.^[2]

See also

• Accepted and experimental value
• Condition number
• Errors and residuals in statistics
• Experimental uncertainty analysis
• Machine epsilon
• Measurement error
• Measurement uncertainty
• Propagation of uncertainty
• Quantization error
• Relative difference
• Round-off error
• Uncertainty

References

External links

• Weisstein, Eric W. «Percentage error». MathWorld.

This page was last edited on 5 February 2022, at 00:56

Гораздо легче что-то измерить, чем понять, что именно вы измеряете

Джон Уильям Салливан

Задачи машинного обучения с учителем как правило состоят в восстановлении зависимости между парами (признаковое описание, целевая переменная) по данным, доступным нам для анализа. Алгоритмы машинного обучения (learning algorithm), со многими из которых вы уже успели познакомиться, позволяют построить модель, аппроксимирующую эту зависимость. Но как понять, насколько качественной получилась аппроксимация?

Почти наверняка наша модель будет ошибаться на некоторых объектах: будь она даже идеальной, шум или выбросы в тестовых данных всё испортят. При этом разные модели будут ошибаться на разных объектах и в разной степени. Задача специалиста по машинному обучению – подобрать подходящий критерий, который позволит сравнивать различные модели.

Перед чтением этой главы мы хотели бы ещё раз напомнить, что качество модели нельзя оценивать на обучающей выборке. Как минимум, это стоит делать на отложенной (тестовой) выборке, но, если вам это позволяют время и вычислительные ресурсы, стоит прибегнуть и к более надёжным способам проверки – например, кросс-валидации (о ней вы узнаете в отдельной главе).

Выбор метрик в реальных задачах

Возможно, вы уже участвовали в соревнованиях по анализу данных. На таких соревнованиях метрику (критерий качества модели) организатор выбирает за вас, и она, как правило, довольно понятным образом связана с результатами предсказаний. Но на практике всё бывает намного сложнее.

Например, мы хотим:

• решить, сколько коробок с бананами нужно завтра привезти в конкретный магазин, чтобы минимизировать количество товара, который не будет выкуплен и минимизировать ситуацию, когда покупатель к концу дня не находит желаемый продукт на полке;
• увеличить счастье пользователя от работы с нашим сервисом, чтобы он стал лояльным и обеспечивал тем самым стабильный прогнозируемый доход;
• решить, нужно ли направить человека на дополнительное обследование.

В каждом конкретном случае может возникать целая иерархия метрик. Представим, например, что речь идёт о стриминговом музыкальном сервисе, пользователей которого мы решили порадовать сгенерированными самодельной нейросетью треками – не защищёнными авторским правом, а потому совершенно бесплатными. Иерархия метрик могла бы иметь такой вид:

1. Самый верхний уровень: будущий доход сервиса – невозможно измерить в моменте, сложным образом зависит от совокупности всех наших усилий;
2. Медианная длина сессии, возможно, служащая оценкой радости пользователей, которая, как мы надеемся, повлияет на их желание продолжать платить за подписку – её нам придётся измерять в продакшене, ведь нас интересует реакция настоящих пользователей на новшество;
3. Доля удовлетворённых качеством сгенерированной музыки асессоров, на которых мы потестируем её до того, как выставить на суд пользователей;
4. Функция потерь, на которую мы будем обучать генеративную сеть.

На этом примере мы можем заметить сразу несколько общих закономерностей. Во-первых, метрики бывают offline и online (оффлайновыми и онлайновыми). Online метрики вычисляются по данным, собираемым с работающей системы (например, медианная длина сессии). Offline метрики могут быть измерены до введения модели в эксплуатацию, например, по историческим данным или с привлечением специальных людей, асессоров. Последнее часто применяется, когда метрикой является реакция живого человека: скажем, так поступают поисковые компании, которые предлагают людям оценить качество ранжирования экспериментальной системы еще до того, как рядовые пользователи увидят эти результаты в обычном порядке. На самом же нижнем этаже иерархии лежат оптимизируемые в ходе обучения функции потерь.

В данном разделе нас будут интересовать offline метрики, которые могут быть измерены без привлечения людей.

Функция потерь $neq$ метрика качества

Как мы узнали ранее, методы обучения реализуют разные подходы к обучению:

• обучение на основе прироста информации (как в деревьях решений)
• обучение на основе сходства (как в методах ближайших соседей)
• обучение на основе вероятностной модели данных (например, максимизацией правдоподобия)
• обучение на основе ошибок (минимизация эмпирического риска)

И в рамках обучения на основе минимизации ошибок мы уже отвечали на вопрос: как можно штрафовать модель за предсказание на обучающем объекте.

Во время сведения задачи о построении решающего правила к задаче численной оптимизации, мы вводили понятие функции потерь и, обычно, объявляли целевой функцией сумму потерь от предсказаний на всех объектах обучающей выборке.

Важно понимать разницу между функцией потерь и метрикой качества. Её можно сформулировать следующим образом:

• Функция потерь возникает в тот момент, когда мы сводим задачу построения модели к задаче оптимизации. Обычно требуется, чтобы она обладала хорошими свойствами (например, дифференцируемостью).

• Метрика – внешний, объективный критерий качества, обычно зависящий не от параметров модели, а только от предсказанных меток.

В некоторых случаях метрика может совпадать с функцией потерь. Например, в задаче регрессии MSE играет роль как функции потерь, так и метрики. Но, скажем, в задаче бинарной классификации они почти всегда различаются: в качестве функции потерь может выступать кросс-энтропия, а в качестве метрики – число верно угаданных меток (accuracy). Отметим, что в последнем примере у них различные аргументы: на вход кросс-энтропии нужно подавать логиты, а на вход accuracy – предсказанные метки (то есть по сути argmax логитов).

Бинарная классификация: метки классов

Перейдём к обзору метрик и начнём с самой простой разновидности классификации – бинарной, а затем постепенно будем наращивать сложность.

Напомним постановку задачи бинарной классификации: нам нужно по обучающей выборке ${(x_i, y_i)}_{i=1}^N$, где $y_iin{0, 1}$ построить модель, которая по объекту $x$ предсказывает метку класса $f(x)in{0, 1}$.

Первым критерием качества, который приходит в голову, является accuracy – доля объектов, для которых мы правильно предсказали класс:

$$ color{#348FEA}{text{Accuracy}(y, y^{pred}) = frac{1}{N} sum_{i=1}^N mathbb{I}[y_i = f(x_i)]} $$

Или же сопряженная ей метрика – доля ошибочных классификаций (error rate):

$$text{Error rate} = 1 — text{Accuracy}$$

Познакомившись чуть внимательнее с этой метрикой, можно заметить, что у неё есть несколько недостатков:

• она не учитывает дисбаланс классов. Например, в задаче диагностики редких заболеваний классификатор, предсказывающий всем пациентам отсутствие болезни будет иметь достаточно высокую accuracy просто потому, что больных людей в выборке намного меньше;
• она также не учитывает цену ошибки на объектах разных классов. Для примера снова можно привести задачу медицинской диагностики: если ошибочный положительный диагноз для здорового больного обернётся лишь ещё одним обследованием, то ошибочно отрицательный вердикт может повлечь роковые последствия.

Confusion matrix (матрица ошибок)

Исторически задача бинарной классификации – это задача об обнаружении чего-то редкого в большом потоке объектов, например, поиск человека, больного туберкулёзом, по флюорографии. Или задача признания пятна на экране приёмника радиолокационной станции бомбардировщиком, представляющем угрозу охраняемому объекту (в противовес стае гусей).

Поэтому класс, который представляет для нас интерес, называется «положительным», а оставшийся – «отрицательным».

Заметим, что для каждого объекта в выборке возможно 4 ситуации:

• мы предсказали положительную метку и угадали. Будет относить такие объекты к true positive (TP) группе (true – потому что предсказали мы правильно, а positive – потому что предсказали положительную метку);
• мы предсказали положительную метку, но ошиблись в своём предсказании – false positive (FP) (false, потому что предсказание было неправильным);
• мы предсказали отрицательную метку и угадали – true negative (TN);
• и наконец, мы предсказали отрицательную метку, но ошиблись – false negative (FN). Для удобства все эти 4 числа изображают в виде таблицы, которую называют confusion matrix (матрицей ошибок):

Не волнуйтесь, если первое время эти обозначения будут сводить вас с ума (будем откровенны, даже профи со стажем в них порой путаются), однако логика за ними достаточно простая: первая часть названия группы показывает угадали ли мы с классом, а вторая – какой класс мы предсказали.

Пример

Попробуем воспользоваться введёнными метриками в боевом примере: сравним работу нескольких моделей классификации на Breast cancer wisconsin (diagnostic) dataset.

Объектами выборки являются фотографии биопсии грудных опухолей. С их помощью было сформировано признаковое описание, которое заключается в характеристиках ядер клеток (таких как радиус ядра, его текстура, симметричность). Положительным классом в такой постановке будут злокачественные опухоли, а отрицательным – доброкачественные.

Модель 1. Константное предсказание.

Решение задачи начнём с самого простого классификатора, который выдаёт на каждом объекте константное предсказание – самый часто встречающийся класс.

Зачем вообще замерять качество на такой модели?При разработке модели машинного обучения для проекта всегда желательно иметь некоторую baseline модель. Так нам будет легче проконтролировать, что наша более сложная модель действительно дает нам прирост качества.

from sklearn.datasets 
import load_breast_cancer 
the_data = load_breast_cancer()    

# 0 – "доброкачественный" 
# 1 – "злокачественный" 
relabeled_target = 1 - the_data["target"] 

from sklearn.model_selection import train_test_split 
X = the_data["data"] 
y = relabeled_target 
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=0) 

from sklearn.dummy import DummyClassifier 
dc_mf = DummyClassifier(strategy="most_frequent") 
dc_mf.fit(X_train, y_train) 

from sklearn.metrics import confusion_matrix 
y_true = y_test y_pred = dc_mf.predict(X_test) 
dc_mf_tn, dc_mf_fp, dc_mf_fn, dc_mf_tp = confusion_matrix(y_true, y_pred, labels = [0, 1]).ravel() 

Обучающие данные таковы, что наш dummy-классификатор все объекты записывает в отрицательный класс, то есть признаёт все опухоли доброкачественными. Такой наивный подход позволяет нам получить минимальный штраф за FP (действительно, нельзя ошибиться в предсказании, если положительный класс вообще не предсказывается), но и максимальный штраф за FN (в эту группу попадут все злокачественные опухоли).

Модель 2. Случайный лес.

Настало время воспользоваться всем арсеналом моделей машинного обучения, и начнём мы со случайного леса.

from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier 
rfc = RandomForestClassifier()       
rfc.fit(X_train, y_train)       
y_true = y_test       
y_pred = rfc.predict(X_test)       
rfc_tn, rfc_fp, rfc_fn, rfc_tp = confusion_matrix(y_true, y_pred, labels = [0, 1]).ravel()

Можно сказать, что этот классификатор чему-то научился, т.к. главная диагональ матрицы стала содержать все объекты из отложенной выборки, за исключением 4 + 1 = 5 объектов (сравните с 0 + 53 объектами dummy-классификатора, все опухоли объявляющего доброкачественными).

Отметим, что вычисляя долю недиагональных элементов, мы приходим к метрике error rate, о которой мы говорили в самом начале:

$$text{Error rate} = frac{FP + FN}{ TP + TN + FP + FN}$$

тогда как доля объектов, попавших на главную диагональ – это как раз таки accuracy:

$$text{Accuracy} = frac{TP + TN}{ TP + TN + FP + FN}$$

Модель 3. Метод опорных векторов.

Давайте построим еще один классификатор на основе линейного метода опорных векторов.

Не забудьте привести признаки к единому масштабу, иначе численный алгоритм не сойдется к решению и мы получим гораздо более плохо работающее решающее правило. Попробуйте проделать это упражнение.

from sklearn.svm import LinearSVC
from sklearn.preprocessing import StandardScaler 
ss = StandardScaler() ss.fit(X_train) 
scaled_linsvc = LinearSVC(C=0.01,random_state=42) 
scaled_linsvc.fit(ss.transform(X_train), y_train) 
y_true = y_test 
y_pred = scaled_linsvc.predict(ss.transform(X_test)) 
tn, fp, fn, tp = confusion_matrix(y_true, y_pred, labels = [0, 1]).ravel() 

Сравним результаты

Легко заметить, что каждая из двух моделей лучше классификатора-пустышки, однако давайте попробуем сравнить их между собой. С точки зрения error rate модели практически одинаковы: 5/143 для леса против 4/143 для SVM.

Посмотрим на структуру ошибок чуть более внимательно: лес – (FP = 4, FN = 1), SVM – (FP = 1, FN = 3). Какая из моделей предпочтительнее?

Замечание: Мы сравниваем несколько классификаторов на основании их предсказаний на отложенной выборке. Насколько ошибки данных классификаторов зависят от разбиения исходного набора данных? Иногда в процессе оценки качества мы будем получать модели, чьи показатели эффективности будут статистически неразличимыми.

Пусть мы учли предыдущее замечание и эти модели действительно статистически значимо ошибаются в разную сторону. Мы встретились с очевидной вещью: на матрицах нет отношения порядка. Когда мы сравнивали dummy-классификатор и случайный лес с помощью Accuracy, мы всю сложную структуру ошибок свели к одному числу, т.к. на вещественных числах отношение порядка есть. Сводить оценку модели к одному числу очень удобно, однако не стоит забывать, что у вашей модели есть много аспектов качества.

Что же всё-таки важнее уменьшить: FP или FN? Вернёмся к задаче: FP – доля доброкачественных опухолей, которым ошибочно присваивается метка злокачественной, а FN – доля злокачественных опухолей, которые классификатор пропускает. В такой постановке становится понятно, что при сравнении выиграет модель с меньшим FN (то есть лес в нашем примере), ведь каждая не обнаруженная опухоль может стоить человеческой жизни.

Рассмотрим теперь другую задачу: по данным о погоде предсказать, будет ли успешным запуск спутника. FN в такой постановке – это ошибочное предсказание неуспеха, то есть не более, чем упущенный шанс (если вас, конечно не уволят за срыв сроков). С FP всё серьёзней: если вы предскажете удачный запуск спутника, а на деле он потерпит крушение из-за погодных условий, то ваши потери будут в разы существеннее.

Итак, из примеров мы видим, что в текущем виде введенная нами доля ошибочных классификаций не даст нам возможности учесть неравную важность FP и FN. Поэтому введем две новые метрики: точность и полноту.

Точность и полнота

Accuracy — это метрика, которая характеризует качество модели, агрегированное по всем классам. Это полезно, когда классы для нас имеют одинаковое значение. В случае, если это не так, accuracy может быть обманчивой.

Рассмотрим ситуацию, когда положительный класс это событие редкое. Возьмем в качестве примера поисковую систему — в нашем хранилище хранятся миллиарды документов, а релевантных к конкретному поисковому запросу на несколько порядков меньше.

Пусть мы хотим решить задачу бинарной классификации «документ d релевантен по запросу q». Благодаря большому дисбалансу, Accuracy dummy-классификатора, объявляющего все документы нерелевантными, будет близка к единице. Напомним, что $text{Accuracy} = frac{TP + TN}{TP + TN + FP + FN}$, и в нашем случае высокое значение метрики будет обеспечено членом TN, в то время для пользователей более важен высокий TP.

Поэтому в случае ассиметрии классов, можно использовать метрики, которые не учитывают TN и ориентируются на TP.

Если мы рассмотрим долю правильно предсказанных положительных объектов среди всех объектов, предсказанных положительным классом, то мы получим метрику, которая называется точностью (precision)

$$color{#348FEA}{text{Precision} = frac{TP}{TP + FP}}$$

Интуитивно метрика показывает долю релевантных документов среди всех найденных классификатором. Чем меньше ложноположительных срабатываний будет допускать модель, тем больше будет её Precision.

Если же мы рассмотрим долю правильно найденных положительных объектов среди всех объектов положительного класса, то мы получим метрику, которая называется полнотой (recall)

$$color{#348FEA}{text{Recall} = frac{TP}{TP + FN}}$$

Интуитивно метрика показывает долю найденных документов из всех релевантных. Чем меньше ложно отрицательных срабатываний, тем выше recall модели.

Например, в задаче предсказания злокачественности опухоли точность показывает, сколько из определённых нами как злокачественные опухолей действительно являются злокачественными, а полнота – какую долю злокачественных опухолей нам удалось выявить.

Хорошее понимание происходящего даёт следующая картинка: (источник картинки)

Recall@k, Precision@k

Метрики Recall и Precision хорошо подходят для задачи поиска «документ d релевантен запросу q», когда из списка рекомендованных алгоритмом документов нас интересует только первый. Но не всегда алгоритм машинного обучения вынужден работать в таких жестких условиях. Может быть такое, что вполне достаточно, что релевантный документ попал в первые k рекомендованных. Например, в интерфейсе выдачи первые три подсказки видны всегда одновременно и вообще не очень понятно, какой у них порядок. Тогда более честной оценкой качества алгоритма будет «в выдаче D размера k по запросу q нашлись релевантные документы». Для расчёта метрики по всей выборке объединим все выдачи и рассчитаем precision, recall как обычно подокументно.

F1-мера

Как мы уже отмечали ранее, модели очень удобно сравнивать, когда их качество выражено одним числом. В случае пары Precision-Recall существует популярный способ скомпоновать их в одну метрику — взять их среднее гармоническое. Данный показатель эффективности исторически носит название F1-меры (F1-measure).

$$
color{#348FEA}{F_1 = frac{2}{frac{1}{Recall} + frac{1}{Precision}}} = $$

$$ = 2 frac{Recall cdot Precision }{Recall + Precision} = frac
{TP} {TP + frac{FP + FN}{2}}
$$

Стоит иметь в виду, что F1-мера предполагает одинаковую важность Precision и Recall, если одна из этих метрик для вас приоритетнее, то можно воспользоваться $F_{beta}$ мерой:

$$
F_{beta} = (beta^2 + 1) frac{Recall cdot Precision }{Recall + beta^2Precision}
$$

Бинарная классификация: вероятности классов

Многие модели бинарной классификации устроены так, что класс объекта получается бинаризацией выхода классификатора по некоторому фиксированному порогу:

$$fleft(x ; w, w_{0}right)=mathbb{I}left[g(x, w) > w_{0}right].$$

Например, модель логистической регрессии возвращает оценку вероятности принадлежности примера к положительному классу. Другие модели бинарной классификации обычно возвращают произвольные вещественные значения, но существуют техники, называемые калибровкой классификатора, которые позволяют преобразовать предсказания в более или менее корректную оценку вероятности принадлежности к положительному классу.

Как оценить качество предсказываемых вероятностей, если именно они являются нашей конечной целью? Общепринятой мерой является логистическая функция потерь, которую мы изучали раньше, когда говорили об устройстве некоторых методов классификации (например уже упоминавшейся логистической регрессии).

Если же нашей целью является построение прогноза в терминах метки класса, то нам нужно учесть, что в зависимости от порога мы будем получать разные предсказания и разное качество на отложенной выборке. Так, чем ниже порог отсечения, тем больше объектов модель будет относить к положительному классу. Как в этом случае оценить качество модели?

AUC

Пусть мы хотим учитывать ошибки на объектах обоих классов. При уменьшении порога отсечения мы будем находить (правильно предсказывать) всё большее число положительных объектов, но также и неправильно предсказывать положительную метку на всё большем числе отрицательных объектов. Естественным кажется ввести две метрики TPR и FPR:

TPR (true positive rate) – это полнота, доля положительных объектов, правильно предсказанных положительными:

$$ TPR = frac{TP}{P} = frac{TP}{TP + FN} $$

FPR (false positive rate) – это доля отрицательных объектов, неправильно предсказанных положительными:

$$FPR = frac{FP}{N} = frac{FP}{FP + TN}$$

Обе эти величины растут при уменьшении порога. Кривая в осях TPR/FPR, которая получается при варьировании порога, исторически называется ROC-кривой (receiver operating characteristics curve, сокращённо ROC curve). Следующий график поможет вам понять поведение ROC-кривой.

Желтая и синяя кривые показывают распределение предсказаний классификатора на объектах положительного и отрицательного классов соответственно. То есть значения на оси X (на графике с двумя гауссианами) мы получаем из классификатора. Если классификатор идеальный (две кривые разделимы по оси X), то на правом графике мы получаем ROC-кривую (0,0)->(0,1)->(1,1) (убедитесь сами!), площадь под которой равна 1. Если классификатор случайный (предсказывает одинаковые метки положительным и отрицательным объектам), то мы получаем ROC-кривую (0,0)->(1,1), площадь под которой равна 0.5. Поэкспериментируйте с разными вариантами распределения предсказаний по классам и посмотрите, как меняется ROC-кривая.

Чем лучше классификатор разделяет два класса, тем больше площадь (area under curve) под ROC-кривой – и мы можем использовать её в качестве метрики. Эта метрика называется AUC и она работает благодаря следующему свойству ROC-кривой:

AUC равен доле пар объектов вида (объект класса 1, объект класса 0), которые алгоритм верно упорядочил, т.е. предсказание классификатора на первом объекте больше:

$$
color{#348FEA}{operatorname{AUC} = frac{sumlimits_{i = 1}^{N} sumlimits_{j = 1}^{N}mathbb{I}[y_i < y_j] I^{prime}[f(x_{i}) < f(x_{j})]}{sumlimits_{i = 1}^{N} sumlimits_{j = 1}^{N}mathbb{I}[y_i < y_j]}}
$$

$$
I^{prime}left[f(x_{i}) < f(x_{j})right]=
left{
begin{array}{ll}
0, & f(x_{i}) > f(x_{j}) \
0.5 & f(x_{i}) = f(x_{j}) \
1, & f(x_{i}) < f(x_{j})
end{array}
right.
$$

$$
Ileft[y_{i}< y_{j}right]=
left{
begin{array}{ll}
0, & y_{i} geq y_{j} \
1, & y_{i} < y_{j}
end{array}
right.
$$

Чтобы детальнее разобраться, почему это так, советуем вам обратиться к материалам А.Г.Дьяконова.

В каких случаях лучше отдать предпочтение этой метрике? Рассмотрим следующую задачу: некоторый сотовый оператор хочет научиться предсказывать, будет ли клиент пользоваться его услугами через месяц. На первый взгляд кажется, что задача сводится к бинарной классификации с метками 1, если клиент останется с компанией и $0$ – иначе.

Однако если копнуть глубже в процессы компании, то окажется, что такие метки практически бесполезны. Компании скорее интересно упорядочить клиентов по вероятности прекращения обслуживания и в зависимости от этого применять разные варианты удержания: кому-то прислать скидочный купон от партнёра, кому-то предложить скидку на следующий месяц, а кому-то и новый тариф на особых условиях.

Таким образом, в любой задаче, где нам важна не метка сама по себе, а правильный порядок на объектах, имеет смысл применять AUC.

Утверждение выше может вызывать у вас желание использовать AUC в качестве метрики в задачах ранжирования, но мы призываем вас быть аккуратными.

ПодробнееУтверждение выше может вызывать у вас желание использовать AUC в качестве метрики в задачах ранжирования, но мы призываем вас быть аккуратными.» details=»Продемонстрируем это на следующем примере: пусть наша выборка состоит из $9100$ объектов класса $0$ и $10$ объектов класса $1$, и модель расположила их следующим образом:

$$underbrace{0 dots 0}_{9000} ~ underbrace{1 dots 1}_{10} ~ underbrace{0 dots 0}_{100}$$

Тогда AUC будет близка к единице: количество пар правильно расположенных объектов будет порядка $90000$, в то время как общее количество пар порядка $91000$.

Однако самыми высокими по вероятности положительного класса будут совсем не те объекты, которые мы ожидаем.

Average Precision

Будем постепенно уменьшать порог бинаризации. При этом полнота будет расти от $0$ до $1$, так как будет увеличиваться количество объектов, которым мы приписываем положительный класс (а количество объектов, на самом деле относящихся к положительному классу, очевидно, меняться не будет). Про точность же нельзя сказать ничего определённого, но мы понимаем, что скорее всего она будет выше при более высоком пороге отсечения (мы оставим только объекты, в которых модель «уверена» больше всего). Варьируя порог и пересчитывая значения Precision и Recall на каждом пороге, мы получим некоторую кривую примерно следующего вида:

(источник картинки)

Рассмотрим среднее значение точности (оно равно площади под кривой точность-полнота):

$$ text { AP }=int_{0}^{1} p(r) d r$$

Получим показатель эффективности, который называется average precision. Как в случае матрицы ошибок мы переходили к скалярным показателям эффективности, так и в случае с кривой точность-полнота мы охарактеризовали ее в виде числа.

Многоклассовая классификация

Если классов становится больше двух, расчёт метрик усложняется. Если задача классификации на $K$ классов ставится как $K$ задач об отделении класса $i$ от остальных ($i=1,ldots,K$), то для каждой из них можно посчитать свою матрицу ошибок. Затем есть два варианта получения итогового значения метрики из $K$ матриц ошибок:

1. Усредняем элементы матрицы ошибок (TP, FP, TN, FN) между бинарными классификаторами, например $TP = frac{1}{K}sum_{i=1}^{K}TP_i$. Затем по одной усреднённой матрице ошибок считаем Precision, Recall, F-меру. Это называют микроусреднением.
2. Считаем Precision, Recall для каждого классификатора отдельно, а потом усредняем. Это называют макроусреднением.

Порядок усреднения влияет на результат в случае дисбаланса классов. Показатели TP, FP, FN — это счётчики объектов. Пусть некоторый класс обладает маленькой мощностью (обозначим её $M$). Тогда значения TP и FN при классификации этого класса против остальных будут не больше $M$, то есть тоже маленькие. Про FP мы ничего уверенно сказать не можем, но скорее всего при дисбалансе классов классификатор не будет предсказывать редкий класс слишком часто, потому что есть большая вероятность ошибиться. Так что FP тоже мало. Поэтому усреднение первым способом сделает вклад маленького класса в общую метрику незаметным. А при усреднении вторым способом среднее считается уже для нормированных величин, так что вклад каждого класса будет одинаковым.

Рассмотрим пример. Пусть есть датасет из объектов трёх цветов: желтого, зелёного и синего. Желтого и зелёного цветов почти поровну — 21 и 20 объектов соответственно, а синих объектов всего 4.

Модель по очереди для каждого цвета пытается отделить объекты этого цвета от объектов оставшихся двух цветов. Результаты классификации проиллюстрированы матрицей ошибок. Модель «покрасила» в жёлтый 25 объектов, 20 из которых были действительно жёлтыми (левый столбец матрицы). В синий был «покрашен» только один объект, который на самом деле жёлтый (средний столбец матрицы). В зелёный — 19 объектов, все на самом деле зелёные (правый столбец матрицы).

Посчитаем Precision классификации двумя способами:

1. С помощью микроусреднения получаем $$
   text{Precision} = frac{dfrac{1}{3}left(20 + 0 + 19right)}{dfrac{1}{3}left(20 + 0 + 19right) + dfrac{1}{3}left(5 + 1 + 0right)} = 0.87
   $$
2. С помощью макроусреднения получаем $$
   text{Precision} = dfrac{1}{3}left( frac{20}{20 + 5} + frac{0}{0 + 1} + frac{19}{19 + 0}right) = 0.6
   $$

Видим, что макроусреднение лучше отражает тот факт, что синий цвет, которого в датасете было совсем мало, модель практически игнорирует.

Как оптимизировать метрики классификации?

Пусть мы выбрали, что метрика качества алгоритма будет $F(a(X), Y)$. Тогда мы хотим обучить модель так, чтобы $F$ на валидационной выборке была минимальная/максимальная. Лучший способ добиться минимизации метрики $F$ — оптимизировать её напрямую, то есть выбрать в качестве функции потерь ту же $F(a(X), Y)$. К сожалению, это не всегда возможно. Рассмотрим, как оптимизировать метрики иначе.

Метрики precision и recall невозможно оптимизировать напрямую, потому что эти метрики нельзя рассчитать на одном объекте, а затем усреднить. Они зависят от того, какими были правильная метка класса и ответ алгоритма на всех объектах. Чтобы понять, как оптимизировать precision, recall, рассмотрим, как расчитать эти метрики на отложенной выборке. Пусть модель обучена на стандартную для классификации функцию потерь (LogLoss). Для получения меток класса специалист по машинному обучению сначала применяет на объектах модель и получает вещественные предсказания модели ($p_i in left(0, 1right)$). Затем предсказания бинаризуются по порогу, выбранному специалистом: если предсказание на объекте больше порога, то метка класса 1 (или «положительная»), если меньше — 0 (или «отрицательная»). Рассмотрим, что будет с метриками precision, recall в крайних положениях порога.

1. Пусть порог равен нулю. Тогда всем объектам будет присвоена положительная метка. Следовательно, все объекты будут либо TP, либо FP, потому что отрицательных предсказаний нет, $TP + FP = N$, где $N$ — размер выборки. Также все объекты, у которых метка на самом деле 1, попадут в TP. По формуле точность $text{Precision} = frac{TP}{TP + FP} = frac1N sum_{i = 1}^N mathbb{I} left[ y_i = 1 right]$ равна среднему таргету в выборке. А полнота $text{Recall} = frac{TP}{TP + FN} = frac{TP}{TP + 0} = 1$ равна единице.
2. Пусть теперь порог равен единице. Тогда ни один объект не будет назван положительным, $TP = FP = 0$. Все объекты с меткой класса 1 попадут в FN. Если есть хотя бы один такой объект, то есть $FN ne 0$, будет верна формула $text{Recall} = frac{TP}{TP + FN} = frac{0}{0+ FN} = 0$. То есть при пороге единица, полнота равна нулю. Теперь посмотрим на точность. Формула для Precision состоит только из счётчиков положительных ответов модели (TP, FP). При единичном пороге они оба равны нулю, $text{Precision} = frac{TP}{TP + FP} = frac{0}{0 + 0}$то есть при единичном пороге точность неопределена. Пусть мы отступили чуть-чуть назад по порогу, чтобы хотя бы несколько объектов были названы моделью положительными. Скорее всего это будут самые «простые» объекты, которые модель распознает хорошо, потому что её предсказание близко к единице. В этом предположении $FP approx 0$. Тогда точность $text{Precision} = frac{TP}{TP + FP} approx frac{TP}{TP + 0} approx 1$ будет близка к единице.

Изменяя порог, между крайними положениями, получим графики Precision и Recall, которые выглядят как-то так:

Recall меняется от единицы до нуля, а Precision от среднего тагрета до какого-то другого значения (нет гарантий, что график монотонный).

Итого оптимизация precision и recall происходит так:

1. Модель обучается на стандартную функцию потерь (например, LogLoss).
2. Используя вещественные предсказания на валидационной выборке, перебирая разные пороги от 0 до 1, получаем графики метрик в зависимости от порога.
3. Выбираем нужное сочетание точности и полноты.

Пусть теперь мы хотим максимизировать метрику AUC. Стандартный метод оптимизации, градиентный спуск, предполагает, что функция потерь дифференцируема. AUC этим качеством не обладает, то есть мы не можем оптимизировать её напрямую. Поэтому для метрики AUC приходится изменять оптимизационную задачу. Метрика AUC считает долю верно упорядоченных пар. Значит от исходной выборки можно перейти к выборке упорядоченных пар объектов. На этой выборке ставится задача классификации: метка класса 1 соответствует правильно упорядоченной паре, 0 — неправильно. Новой метрикой становится accuracy — доля правильно классифицированных объектов, то есть доля правильно упорядоченных пар. Оптимизировать accuracy можно по той же схеме, что и precision, recall: обучаем модель на LogLoss и предсказываем вероятности положительной метки у объекта выборки, считаем accuracy для разных порогов по вероятности и выбираем понравившийся.

Регрессия

В задачах регрессии целевая метка у нас имеет потенциально бесконечное число значений. И природа этих значений, обычно, связана с каким-то процессом измерений:

• величина температуры в определенный момент времени на метеостанции
• количество прочтений статьи на сайте
• количество проданных бананов в конкретном магазине, сети магазинов или стране
• дебит добывающей скважины на нефтегазовом месторождении за месяц и т.п.

Мы видим, что иногда метка это целое число, а иногда произвольное вещественное число. Обычно случаи целочисленных меток моделируют так, словно это просто обычное вещественное число. При таком подходе может оказаться так, что модель A лучше модели B по некоторой метрике, но при этом предсказания у модели A могут быть не целыми. Если в бизнес-задаче ожидается именно целочисленный ответ, то и оценивать нужно огрубление.

Общая рекомендация такова: оценивайте весь каскад решающих правил: и те «внутренние», которые вы получаете в результате обучения, и те «итоговые», которые вы отдаёте бизнес-заказчику.

Например, вы можете быть удовлетворены, что стали ошибаться не во втором, а только в третьем знаке после запятой при предсказании погоды. Но сами погодные данные измеряются с точностью до десятых долей градуса, а пользователь и вовсе может интересоваться лишь целым числом градусов.

Итак, напомним постановку задачи регрессии: нам нужно по обучающей выборке ${(x_i, y_i)}_{i=1}^N$, где $y_i in mathbb{R}$ построить модель f(x).

Величину $ e_i = f(x_i) — y_i $ называют ошибкой на объекте i или регрессионным остатком.

Весь набор ошибок на отложенной выборке может служить аналогом матрицы ошибок из задачи классификации. А именно, когда мы рассматриваем две разные модели, то, глядя на то, как и на каких объектах они ошиблись, мы можем прийти к выводу, что для решения бизнес-задачи нам выгоднее взять ту или иную модель. И, аналогично со случаем бинарной классификации, мы можем начать строить агрегаты от вектора ошибок, получая тем самым разные метрики.

MSE, RMSE, $R^2$

MSE – одна из самых популярных метрик в задаче регрессии. Она уже знакома вам, т.к. применяется в качестве функции потерь (или входит в ее состав) во многих ранее рассмотренных методах.

$$ MSE(y^{true}, y^{pred}) = frac1Nsum_{i=1}^{N} (y_i — f(x_i))^2 $$

Иногда для того, чтобы показатель эффективности MSE имел размерность исходных данных, из него извлекают квадратный корень и получают показатель эффективности RMSE.

MSE неограничен сверху, и может быть нелегко понять, насколько «хорошим» или «плохим» является то или иное его значение. Чтобы появились какие-то ориентиры, делают следующее:

• Берут наилучшее константное предсказание с точки зрения MSE — среднее арифметическое меток $bar{y}$. При этом чтобы не было подглядывания в test, среднее нужно вычислять по обучающей выборке

• Рассматривают в качестве показателя ошибки:

  $$ R^2 = 1 — frac{sum_{i=1}^{N} (y_i — f(x_i))^2}{sum_{i=1}^{N} (y_i — bar{y})^2}.$$

  У идеального решающего правила $R^2$ равен $1$, у наилучшего константного предсказания он равен $0$ на обучающей выборке. Можно заметить, что $R^2$ показывает, какая доля дисперсии таргетов (знаменатель) объяснена моделью.

MSE квадратично штрафует за большие ошибки на объектах. Мы уже видели проявление этого при обучении моделей методом минимизации квадратичных ошибок – там это проявлялось в том, что модель старалась хорошо подстроиться под выбросы.

Пусть теперь мы хотим использовать MSE для оценки наших регрессионных моделей. Если большие ошибки для нас действительно неприемлемы, то квадратичный штраф за них — очень полезное свойство (и его даже можно усиливать, повышая степень, в которую мы возводим ошибку на объекте). Однако если в наших тестовых данных присутствуют выбросы, то нам будет сложно объективно сравнить модели между собой: ошибки на выбросах будет маскировать различия в ошибках на основном множестве объектов.

Таким образом, если мы будем сравнивать две модели при помощи MSE, у нас будет выигрывать та модель, у которой меньше ошибка на объектах-выбросах, а это, скорее всего, не то, чего требует от нас наша бизнес-задача.

История из жизни про бананы и квадратичный штраф за ошибкуИз-за неверно введенных данных метка одного из объектов оказалась в 100 раз больше реального значения. Моделировалась величина при помощи градиентного бустинга над деревьями решений. Функция потерь была MSE.

Однажды уже во время эксплуатации случилось ч.п.: у нас появились предсказания, в 100 раз превышающие допустимые из соображений физического смысла значения. Представьте себе, например, что вместо обычных 4 ящиков бананов система предлагала поставить в магазин 400. Были распечатаны все деревья из ансамбля, и мы увидели, что постепенно число ящиков действительно увеличивалось до прогнозных 400.

Было решено проверить гипотезу, что был выброс в данных для обучения. Так оно и оказалось: всего одна точка давала такую потерю на объекте, что алгоритм обучения решил, что лучше переобучиться под этот выброс, чем смириться с большим штрафом на этом объекте. А в эксплуатации у нас возникли точки, которые плюс-минус попадали в такие же листья ансамбля, что и объект-выброс.

Избежать такого рода проблем можно двумя способами: внимательнее контролируя качество данных или адаптировав функцию потерь.

Аналогично, можно поступать и в случае, когда мы разрабатываем метрику качества: менее жёстко штрафовать за большие отклонения от истинного таргета.

MAE

Использовать RMSE для сравнения моделей на выборках с большим количеством выбросов может быть неудобно. В таких случаях прибегают к также знакомой вам в качестве функции потери метрике MAE (mean absolute error):

$$ MAE(y^{true}, y^{pred}) = frac{1}{N}sum_{i=1}^{N} left|y_i — f(x_i)right| $$

Метрики, учитывающие относительные ошибки

И MSE и MAE считаются как сумма абсолютных ошибок на объектах.

Рассмотрим следующую задачу: мы хотим спрогнозировать спрос товаров на следующий месяц. Пусть у нас есть два продукта: продукт A продаётся в количестве 100 штук, а продукт В в количестве 10 штук. И пусть базовая модель предсказывает количество продаж продукта A как 98 штук, а продукта B как 8 штук. Ошибки на этих объектах добавляют 4 штрафных единицы в MAE.

И есть 2 модели-кандидата на улучшение. Первая предсказывает товар А 99 штук, а товар B 8 штук. Вторая предсказывает товар А 98 штук, а товар B 9 штук.

Обе модели улучшают MAE базовой модели на 1 единицу. Однако, с точки зрения бизнес-заказчика вторая модель может оказаться предпочтительнее, т.к. предсказание продажи редких товаров может быть приоритетнее. Один из способов учесть такое требование – рассматривать не абсолютную, а относительную ошибку на объектах.

MAPE, SMAPE

Когда речь заходит об относительных ошибках, сразу возникает вопрос: что мы будем ставить в знаменатель?

В метрике MAPE (mean absolute percentage error) в знаменатель помещают целевое значение:

$$ MAPE(y^{true}, y^{pred}) = frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} frac{ left|y_i — f(x_i)right|}{left|y_iright|} $$

С особым случаем, когда в знаменателе оказывается $0$, обычно поступают «инженерным» способом: или выдают за непредсказание $0$ на таком объекте большой, но фиксированный штраф, или пытаются застраховаться от подобного на уровне формулы и переходят к метрике SMAPE (symmetric mean absolute percentage error):

$$ SMAPE(y^{true}, y^{pred}) = frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} frac{ 2 left|y_i — f(x_i)right|}{y_i + f(x_i)} $$

Если же предсказывается ноль, штраф считаем нулевым.

Таким переходом от абсолютных ошибок на объекте к относительным мы сделали объекты в тестовой выборке равнозначными: даже если мы делаем абсурдно большое предсказание, на фоне которого истинная метка теряется, мы получаем штраф за этот объект порядка 1 в случае MAPE и 2 в случае SMAPE.

WAPE

Как и любая другая метрика, MAPE имеет свои границы применимости: например, она плохо справляется с прогнозом спроса на товары с прерывистыми продажами. Рассмотрим такой пример:

Среднее MAPE – 36.7%, что не очень отражает реальную ситуацию, ведь два дня мы предсказывали с хорошей точностью. В таких ситуациях помогает WAPE (weighted average percentage error):

$$ WAPE(y^{true}, y^{pred}) = frac{sum_{i=1}^{N} left|y_i — f(x_i)right|}{sum_{i=1}^{N} left|y_iright|} $$

Если мы предсказываем идеально, то WAPE = 0, если все предсказания отдаём нулевыми, то WAPE = 1.

В нашем примере получим WAPE = 5.9%

RMSLE

Альтернативный способ уйти от абсолютных ошибок к относительным предлагает метрика RMSLE (root mean squared logarithmic error):

$$ RMSLE(y^{true}, y^{pred}| c) = sqrt{ frac{1}{N} sum_{i=1}^N left(vphantom{frac12}log{left(y_i + c right)} — log{left(f(x_i) + c right)}right)^2 } $$

где нормировочная константа $c$ вводится искусственно, чтобы не брать логарифм от нуля. Также по построению видно, что метрика пригодна лишь для неотрицательных меток.

Веса в метриках

Все вышеописанные метрики легко допускают введение весов для объектов. Если мы из каких-то соображений можем определить стоимость ошибки на объекте, можно брать эту величину в качестве веса. Например, в задаче предсказания спроса в качестве веса можно использовать стоимость объекта.

Доля предсказаний с абсолютными ошибками больше, чем d

Еще одним способом охарактеризовать качество модели в задаче регрессии является доля предсказаний с абсолютными ошибками больше заданного порога $d$:

$$frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} mathbb{I}left[ left| y_i — f(x_i) right| > d right] $$

Например, можно считать, что прогноз погоды сбылся, если ошибка предсказания составила меньше 1/2/3 градусов. Тогда рассматриваемая метрика покажет, в какой доле случаев прогноз не сбылся.

Как оптимизировать метрики регрессии?

Пусть мы выбрали, что метрика качества алгоритма будет $F(a(X), Y)$. Тогда мы хотим обучить модель так, чтобы F на валидационной выборке была минимальная/максимальная. Аналогично задачам классификации лучший способ добиться минимизации метрики $F$ — выбрать в качестве функции потерь ту же $F(a(X), Y)$. К счастью, основные метрики для регрессии: MSE, RMSE, MAE можно оптимизировать напрямую. С формальной точки зрения MAE не дифференцируема, так как там присутствует модуль, чья производная не определена в нуле. На практике для этого выколотого случая в коде можно возвращать ноль.

Для оптимизации MAPE придётся изменять оптимизационную задачу. Оптимизацию MAPE можно представить как оптимизацию MAE, где объектам выборки присвоен вес $frac{1}{vert y_ivert}$.