Что значит math processing error

Ошибка домена математики Python (как исправить эту глупую ошибку)

Вы можете столкнуться с специальной ValueError при работе с математическим модулем Python. ValueError: Ошибка Math Domain Python поднимает эту ошибку, когда вы пытаетесь сделать что-то, что не является математически возможным или математически определенным. Чтобы понять эту ошибку, посмотрите на определение домена: «Домен функции является полной … ошибка домена Python Math (как исправить эту глупую ошибку) Подробнее»

Автор: Chris
Дата записи

Автор оригинала: Chris.

Вы можете столкнуться с специальными ValueError При работе с Python’s Математический модуль Отказ

Python поднимает эту ошибку, когда вы пытаетесь сделать то, что не математически возможно или математически определяется.

Чтобы понять эту ошибку, посмотрите на определение домен :

« Домен функции – это полный набор возможных значений независимой переменной. Грубо говоря, домен это набор всех возможных (входных) X-значений, который приводит к действительному (выводу) Y-значению. ” ( Источник )

Домен функции – это набор всех возможных входных значений. Если Python бросает ValueError: Ошибка математического домена Вы пропустили неопределенный ввод в Математика функция. Исправьте ошибку, передавая действительный вход, для которого функция может рассчитать числовой выход.

Вот несколько примеров:

Ошибка домена математики Python SQRT

Ошибка по математике домена появляется, если вы передаете отрицательный аргумент в math.sqrt () функция. Математически невозможно рассчитать квадратный корень отрицательного числа без использования сложных чисел. Python не получает это и бросает ValueError: Ошибка математического домена Отказ

Вот минимальный пример:

Вы можете исправить ошибку математической домена, используя CMATH Пакет, который позволяет создавать комплексные числа:

Журнал ошибки домена Python Math

Ошибка математической домена для math.log () Появится функция, если вы проходите нулевое значение в него – логарифм не определен для значения 0.

Вот код на входном значении за пределами домена функции логарифма:

Выходной выход – это ошибка домена математики:

Вы можете исправить эту ошибку, передавая действительное входное значение в math.log () Функция:

Эта ошибка иногда может появиться, если вы пройдете очень небольшое число в IT-Python, который не может выразить все номера. Чтобы пройти значение «Близки к 0», используйте Десятичная Модуль с более высокой точностью или пройти очень маленький входной аргумент, такой как:

Ошибка ошибки домена математики Python ACOS

Ошибка математической домена для math.acos () Появится функция, если вы передаете значение для него, для которого он не определен-ARCCO, определяется только значениями между -1 и 1.

Вот неверный код:

Выходной выход – это ошибка домена математики:

Вы можете исправить эту ошибку, передавая действительное входное значение между [-1,1] в math.acos () Функция:

Ошибка домена Math Python Asin

Ошибка математической домена для math.asin () Функция появляется, если вы передаете значение в него, для которого он не определен – Arcsin определяется только значениями между -1 и 1.

Вот ошибочный код:

Выходной выход – это ошибка домена математики:

Вы можете исправить эту ошибку, передавая действительное входное значение между [-1,1] в math.asin () Функция:

Ошибка ошибки домена Python Math POW POW

Ошибка математической домена для math.pow (a, b) Функция для расчета A ** B, по-видимому, если вы передаете негативное базовое значение, и попытайтесь вычислить негативную мощность. Причина этого не определена, состоит в том, что любое отрицательное число к мощности 0,5 будет квадратным числом – и, таким образом, комплексное число. Но комплексные числа не определены по умолчанию в Python!

Выходной выход – это ошибка домена математики:

Если вам нужен комплекс номер, A B должен быть переписан в E B ln a Отказ Например:

Видите ли, это сложный номер!

Ошибка numpy математический домен – np.log (x)

Это график log (x) . Не волнуйтесь, если вы не понимаете код, что важнее, является следующим точком. Вы можете видеть, что журнал (X) имеет тенденцию к отрицательной бесконечности, когда X имеет тенденцию к 0. Таким образом, математически бессмысленно рассчитать журнал отрицательного числа. Если вы попытаетесь сделать это, Python поднимает ошибку математической домена.

Куда пойти отсюда?

Достаточно теории, давайте познакомимся!

Чтобы стать успешным в кодировке, вам нужно выйти туда и решать реальные проблемы для реальных людей. Вот как вы можете легко стать шестифункциональным тренером. И вот как вы польские навыки, которые вам действительно нужны на практике. В конце концов, что такое использование теории обучения, что никто никогда не нуждается?

Практические проекты – это то, как вы обостряете вашу пилу в кодировке!

Вы хотите стать мастером кода, сосредоточившись на практических кодовых проектах, которые фактически зарабатывают вам деньги и решают проблемы для людей?

Затем станьте питоном независимым разработчиком! Это лучший способ приближения к задаче улучшения ваших навыков Python – даже если вы являетесь полным новичком.

Присоединяйтесь к моему бесплатным вебинаре «Как создать свой навык высокого дохода Python» и посмотреть, как я вырос на моем кодированном бизнесе в Интернете и как вы можете, слишком от комфорта вашего собственного дома.

Присоединяйтесь к свободному вебинару сейчас!

Работая в качестве исследователя в распределенных системах, доктор Кристиан Майер нашел свою любовь к учению студентов компьютерных наук.

Чтобы помочь студентам достичь более высоких уровней успеха Python, он основал сайт программирования образования Finxter.com Отказ Он автор популярной книги программирования Python одноклассники (Nostarch 2020), Coauthor of Кофе-брейк Python Серия самооставленных книг, энтузиаста компьютерных наук, Фрилансера и владелец одного из лучших 10 крупнейших Питон блоги по всему миру.

Его страсти пишут, чтение и кодирование. Но его величайшая страсть состоит в том, чтобы служить стремлению кодер через Finxter и помогать им повысить свои навыки. Вы можете присоединиться к его бесплатной академии электронной почты здесь.

Источник

Методом математической индукции доказать, что: (1*3+2*5+. +n(2n+1)=frac<6>)

Автор оригинала: Chris.

Вы можете столкнуться с специальными ValueError При работе с Python’s Математический модуль Отказ

ValueError: math domain error

Python поднимает эту ошибку, когда вы пытаетесь сделать то, что не математически возможно или математически определяется.

Чтобы понять эту ошибку, посмотрите на определение домен :

« Домен функции – это полный набор возможных значений независимой переменной. Грубо говоря, домен это набор всех возможных (входных) X-значений, который приводит к действительному (выводу) Y-значению. ” ( Источник )

Домен функции – это набор всех возможных входных значений. Если Python бросает ValueError: Ошибка математического домена Вы пропустили неопределенный ввод в Математика функция. Исправьте ошибку, передавая действительный вход, для которого функция может рассчитать числовой выход.

Вот несколько примеров:

Ошибка домена математики Python SQRT

Ошибка по математике домена появляется, если вы передаете отрицательный аргумент в math.sqrt () функция. Математически невозможно рассчитать квадратный корень отрицательного числа без использования сложных чисел. Python не получает это и бросает ValueError: Ошибка математического домена Отказ

Вот минимальный пример:

from math import sqrt
print(sqrt(-1))
'''
Traceback (most recent call last):
  File "C:UsersxcentDesktopFinxterBlogcode.py", line 2, in 
    print(sqrt(-1))
ValueError: math domain error
'''

Вы можете исправить ошибку математической домена, используя CMATH Пакет, который позволяет создавать комплексные числа:

from cmath import sqrt
print(sqrt(-1))
# 1j

Журнал ошибки домена Python Math

Ошибка математической домена для math.log () Появится функция, если вы проходите нулевое значение в него – логарифм не определен для значения 0.

Вот код на входном значении за пределами домена функции логарифма:

from math import log
print(log(0))

Выходной выход – это ошибка домена математики:

Traceback (most recent call last):
  File "C:UsersxcentDesktopFinxterBlogcode.py", line 3, in 
    print(log(0))
ValueError: math domain error

Вы можете исправить эту ошибку, передавая действительное входное значение в math.log () Функция:

from math import log
print(log(0.000001))
# -13.815510557964274

Эта ошибка иногда может появиться, если вы пройдете очень небольшое число в IT-Python, который не может выразить все номера. Чтобы пройти значение «Близки к 0», используйте Десятичная Модуль с более высокой точностью или пройти очень маленький входной аргумент, такой как:

math.log(sys.float_info.min)

Ошибка ошибки домена математики Python ACOS

Ошибка математической домена для math.acos () Появится функция, если вы передаете значение для него, для которого он не определен-ARCCO, определяется только значениями между -1 и 1.

Вот неверный код:

import math
print(math.acos(2))

Выходной выход – это ошибка домена математики:

Traceback (most recent call last):
  File "C:UsersxcentDesktopFinxterBlogcode.py", line 3, in 
    print(math.acos(2))
ValueError: math domain error

Вы можете исправить эту ошибку, передавая действительное входное значение между [-1,1] в math.acos () Функция:

import math
print(math.acos(0.5))
# 1.0471975511965979

Ошибка домена Math Python Asin

Ошибка математической домена для math.asin () Функция появляется, если вы передаете значение в него, для которого он не определен – Arcsin определяется только значениями между -1 и 1.

Вот ошибочный код:

import math
print(math.asin(2))

Выходной выход – это ошибка домена математики:

Traceback (most recent call last):
  File "C:UsersxcentDesktopFinxterBlogcode.py", line 3, in 
    print(math.asin(2))
ValueError: math domain error

Вы можете исправить эту ошибку, передавая действительное входное значение между [-1,1] в math.asin () Функция:

import math
print(math.asin(0.5))
# 0.5235987755982989

Ошибка ошибки домена Python Math POW POW

Ошибка математической домена для math.pow (a, b) Функция для расчета A ** B, по-видимому, если вы передаете негативное базовое значение, и попытайтесь вычислить негативную мощность. Причина этого не определена, состоит в том, что любое отрицательное число к мощности 0,5 будет квадратным числом – и, таким образом, комплексное число. Но комплексные числа не определены по умолчанию в Python!

import math
print(math.pow(-2, 0.5))

Выходной выход – это ошибка домена математики:

Traceback (most recent call last):
  File "C:UsersxcentDesktopFinxterBlogcode.py", line 3, in 
    print(math.pow(-2, 0.5))
ValueError: math domain error

Если вам нужен комплекс номер, A ^B должен быть переписан в E ^{B ln a} Отказ Например:

import cmath
print(cmath.exp(0.5 * cmath.log(-2)))
# (8.659560562354932e-17+1.414213562373095j)

Видите ли, это сложный номер!

Ошибка numpy математический домен – np.log (x)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Plotting y = log(x)
fig, ax = plt.subplots()
ax.set(xlim=(-5, 20), ylim=(-4, 4), title='log(x)', ylabel='y', xlabel='x')
x = np.linspace(-10, 20, num=1000)
y = np.log(x)

plt.plot(x, y)

Это график log (x) . Не волнуйтесь, если вы не понимаете код, что важнее, является следующим точком. Вы можете видеть, что журнал (X) имеет тенденцию к отрицательной бесконечности, когда X имеет тенденцию к 0. Таким образом, математически бессмысленно рассчитать журнал отрицательного числа. Если вы попытаетесь сделать это, Python поднимает ошибку математической домена.

>>> math.log(-10)
Traceback (most recent call last):
  File "", line 1, in 
ValueError: math domain error

Куда пойти отсюда?

Достаточно теории, давайте познакомимся!

Чтобы стать успешным в кодировке, вам нужно выйти туда и решать реальные проблемы для реальных людей. Вот как вы можете легко стать шестифункциональным тренером. И вот как вы польские навыки, которые вам действительно нужны на практике. В конце концов, что такое использование теории обучения, что никто никогда не нуждается?

Практические проекты – это то, как вы обостряете вашу пилу в кодировке!

Вы хотите стать мастером кода, сосредоточившись на практических кодовых проектах, которые фактически зарабатывают вам деньги и решают проблемы для людей?

Затем станьте питоном независимым разработчиком! Это лучший способ приближения к задаче улучшения ваших навыков Python – даже если вы являетесь полным новичком.

Присоединяйтесь к моему бесплатным вебинаре «Как создать свой навык высокого дохода Python» и посмотреть, как я вырос на моем кодированном бизнесе в Интернете и как вы можете, слишком от комфорта вашего собственного дома.

Присоединяйтесь к свободному вебинару сейчас!

Работая в качестве исследователя в распределенных системах, доктор Кристиан Майер нашел свою любовь к учению студентов компьютерных наук.

Чтобы помочь студентам достичь более высоких уровней успеха Python, он основал сайт программирования образования Finxter.com Отказ Он автор популярной книги программирования Python одноклассники (Nostarch 2020), Coauthor of Кофе-брейк Python Серия самооставленных книг, энтузиаста компьютерных наук, Фрилансера и владелец одного из лучших 10 крупнейших Питон блоги по всему миру.

Его страсти пишут, чтение и кодирование. Но его величайшая страсть состоит в том, чтобы служить стремлению кодер через Finxter и помогать им повысить свои навыки. Вы можете присоединиться к его бесплатной академии электронной почты здесь.

Оригинал: “https://blog.finxter.com/python-math-domain-error/”

Матрицы и действия с ними, определители

Определение ранга матрицы

Рассмотрим матрицу (A) типа ((m,n)). Пусть, для определенности, (m leq n). Возьмем (m) строк и выберем (m) столбцов матрицы (A), на пересечении этих строк и столбцов получится квадратная матрица порядка (m), определитель которой называют минором порядка (m) матрицы (A). Если этот минор отличен от 0, его называют базисным минором и говорят, что ранг матрицы (A) равен (m). Если же этот определитель равен 0, то выбирают другие (m) столбцов, на их пересечении стоят элементы, образующие другой минор порядка (m). Если минор равен 0, продолжаем процедуру. Если среди всех возможных миноров порядка (m) нет отличных от нуля, мы выбираем (m-1) cтрок и столбцов из матрицы (A), на их пересечении возникает квадратная матрица порядка (m-1), ее определитель называется минором порядка (m-1) исходной матрицы. Продолжая процедуру, ищем ненулевой минор, перебирая все возможные миноры, понижая их порядок.

Определение.

Ненулевой минор данной матрицы наивысшего порядка называется базисным минором исходной матрицы, его порядок называется рангом матрицы (A), строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисныи строками и столбцами. Ранг матрицы обозначается (rang(A)).

Из этого определения следуют простые свойства ранга матрицы: это целое число, причем ранг ненулевой матрицы удовлетворяет неравенствам: (1 leq rang(A) leq min(m,n)).

Линейная зависимость и линейная независимость столбцов матрицы

Пусть (A) — матрица типа ((m,n)). Рассмотрим столбцы матрицы (A) — это столбцы из (m) чисел каждый. Обозначим их (A_1,A_2,…,A_n). Пусть (c_1,c_2,…,c_n) — какие-то числа.

Определение.

Столбец
[
D=c_1A_1+c_2A_2+…+c_nA_n = sum _{m=1}^nc_mA_m
]
называется линейной комбинацией столбцов (A_1,A_2,…,A_n), числа (c_1,c_2,…,c_n) называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Определение.

Пусть дано (p) столбцов (A_1, A_2, …, A_p). Если существуют такие числа (c_1,c_2,…,c_p), что

1. не все эти числа равны нулю,

2. линейная комбинация (c_1A_1+c_2A_2+…+c_pA_p =sum _{m=1}^pc_mA_m) равна нулевому столбцу (т.е. столбцу, все элементы которого нули),

то говорят, что столбцы (A_1, A_2, …, A_p) линейно зависимы. Если для данного набора столбцов таких чисел (c_1,c_2,…,c_n) не существует, столбцы называются линейно независимыми.

Пример. Рассмотрим 2-столбцы

[
A_1=left( begin{array}{c} 1 \ 0 end{array} right), A_2=left( begin{array}{c} 0 \ 1 end{array} right),
]
тогда для любых чисел (c_1,c_2) имеем:
[
c_1A_1+c_2A_2=c_1left( begin{array}{c} 1 \ 0 end{array} right)+c_2left( begin{array}{c} 0 \ 1 end{array} right)=left( begin{array}{c} c_1 \ c_2 end{array} right).
]

Эта линейная комбинация равна нулевому столбцу тогда и только тогда, когда оба числа (c_1,c_2) равны нулю. Таким образом, эти столбцы линейно независимы.

Утверждение. Для того, чтобы столбцы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.

Пусть столбцы (A_1,A_2,…,A_m) линейно зависимы, т.е. для некоторых констант (lambda _1, lambda _2,…,lambda _m), не все из которых равны 0, выполняется:
[
sum _{k=1}^mlambda _kA_k=0
]
(в правой части — нулевой столбец). Пусть, например, (lambda _1 neq 0). Тогда
[
A_1=sum _{k=2}^mc_kA_k, quad c_k=-lambda _k/lambda _1, quad quad (15)
]
т.е. первый столбец — линейная комбинация остальных.

Теорема о базисном миноре

Теорема.

Для любой ненулевой матрицы (A) справедливо следующее:

1. Базисные столбцы линейно независимы.

2. Любой столбец матрицы является линейной комбинацией его базисных столбцов.

(Аналогичное верно и для строк).

Замечание.

Из теоремы о базисном миноре следует, что ранг матрицы равен числу ее линейно независимых столбцов (которое равно числу линейно независимых строк).

Следствие 1.

Если определитель равен нулю, то у него есть столбец, который является линейной комбинацией остальных столбцов.

Следствие 2.

Если ранг матрицы меньше числа столбцов, то столбцы матрицы линейно зависимы.

Вычисление ранга матрицы и нахождение базисного минора

Некоторые преобразования матрицы не меняют ее ранг. Такие преобразования можно назвать элементарными. Соответствующие факты нетрудно проверить с помощью свойств определителей и определения ранга матрицы.

1. Перестановка столбцов.

2. Умножение элементов какого-нибудь столбца на ненулевой множитель.

3. Прибавление к столбцу любого другого столбца, умноженного на произвольное число.

4. Вычеркивание нулевого столбца.

Аналогичное верно и для строк.

С помощью этих преобразований матрицу можно преобразовать к так называемой «трапециевидной» форме — матрице, под главной диагональю которой располагаются только нули. Для «трапециевидной» матрицы ранг — это число ненулевых элементов на главной диагонали, и базисный минор — минор, диагональ которого совпадает с набором ненулевых элементов на главной диагонали преобразованной матрицы.

Пример.

Рассмотрим матрицу

[
A=left(
begin{array}{cccc}
2 &1 & 11 & 2 \
1 & 0 & 4 & -1 \
11 & 4 & 56 & 5 \
2 & -1 & 5 & -6
end{array}
right).
]
Будем преобразовывать ее с помощью указанных выше преобразований.
[
A=left( begin{array}{cccc} 2 &1 & 11 & 2 \ 1 & 0 & 4 & -1 \ 11 & 4 & 56 & 5 \ 2 & -1 & 5 & -6 end{array} right) mapsto
left( begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & -1 \ 2 & 1 & 11 & 2 \ 11 & 4 & 56 & 5 \ 2 & -1 & 5 & -6 end{array} right)
mapsto
left( begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & -1 \ 0 & 1 & 3 & 4 \ 0 & 4 & 12 & 16 \ 0 & -1 & -3 & -4 end{array} right) mapsto
]
[
left( begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & -1 \ 0 & 1 & 3 & 4 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 end{array} right)mapsto
left( begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & -1 \ 0 & 1 & 3 & 4 end{array}right).
]

Здесь мы последовательно делаем следующие шаги: 1) переставляем вторую строку наверх, 2) вычитаем первую строку из остальных с подходящим множителем, 3) вычитаем вторую строку из третьей 4 раза, прибавляем вторую строку к четвертой, 4) вычеркиваем нулевые строки — третью и четвертую. Наша итоговая матрица прибрела желаемую форму: на главной диагонали стоят ненулевые числа, под главной диагональю — нули. После этого процедура останавливается и число ненулевых элементов на главной диагонали равно рангу матрицы. Базисный минор при этом — две первые строки и два первых столбца. На их пересечении стоит матрица порядка 2 с ненулевым определителем. При этом, возвращаясь по цепочке преобразований в обратную сторону, можно проследить, откуда возникла та или иная строка (тот или иной столбец) в конечной матрице, т.е. определить базисные строки и столбцы в исходной матрице. В данном случае первые две строки и первые два столбца образуют базисный минор.

Обучение без учителя

Ранее мы рассматривали в основном только задачи, где у части данных (тренировочной) была размечена целевая функция (таргет), а для другой части данных (тестовой) таргета нет, и мы хотели его восстановить. Такие задачи (классификация, регрессия, ранжирование), как вы помните, называются обучением с учителем (supervised learning).

Давайте посмотрим теперь на задачи, в которых таргета не дано — но все же что-то сопоставить каждому элементу надо. Такие задачи называются обучением без учителя (unsupervised learning).

Примеры таких задач:

• кластеризация
• уменьшение размерности
• визуализация
• вложение в пространство

Одна из особенностей обучения без учителя — нам не нужны тренировочная и тестовая выборка. Нет таргета — нет проблем с переобучением.

Задачу кластеризации вы знаете: она состоит в разделении точек в пространстве на кластеры близко расположенных.

Рассмотрим несколько известных алгоритмов кластеризации.

Алгоритм K-Means

Визуализация.

Нужно в начале выбрать KK центров кластеров (KK — константа, которую надо самому выбрать).
Далее итеративно выполняются 22 шага, пока обновления не перестанут происходить:

1. Обновить кластеры, приписав каждой точке кластер самого близкого к ней центра
2. Обновить центр каждого кластера как центр масс его точек

Плюсы:

• простой и понятный

Минусы:

• нужно знать KK
• слишком простая модель, кластер = выпуклая околокруглая штука, так как это по сути диаграмма Вороного (если вы знаете, что это такое)
• если плохо выбрать начальные центры, может сойтись к плохому результату

Поэтому обычно K-Means запускают несколько раз и выбирают лучший результат.

Метрика качества кластеризации

Как и для задач обучения с учителем, хочется уметь понимать, хорошо ли мы решили задачу — нужно научиться измерять качество кластеризации. Так, например, даже не зная число кластеров, можно перебрать KK в K-Means и выбрать гиперпараметр с лучшим качеством.

Одним из примеров метрики может быть метрика силуэт. Для одного элемента xx она считается так:
S(x)=b(x)−a(x)max⁡(a(x),b(x))S(x) = frac{b(x) — a(x)}{max{(a(x), b(x))}}

a(x)a(x) — среднее расстояние от xx до точек внутри того же кластера
b(x)b(x) — среднее расстояние от xx до точек внутри ближайшего кластера

Значение метрики силуэт лежит в диапазоне значений [0.0,1.0][0.0, 1.0], и ее можно посчитать для каждого примера и для кластера.
Значение силуэта для кластера равно среднему значению S(x)S(x) от каждого элемента. Чем он больше тем лучше кластер отделим от других кластеров.

Примеры из выборки можно отсортировать по значению силуэта для каждого примера и по присвоенной метке кластера. Такое представление позволяет отфильтровать шумные примеры (у которых силуэт меньше некоторого порога).

DBSCAN

Визуализация.

DBSCAN строит столько кластеров, сколько получится, причем многие вершины могут не войти ни в один кластер, они называются выбросами.

DBSCAN опирается на два гиперпараметра:

• eps — означает расстояние, на котором две вершины считаются соседями
• min_samples — означает сколько нужно соседей из кластера, чтобы считать вершину коренной вершиной кластера

Сам алгоритм состоит из таких шагов:

1. Выбрать соседей для каждой вершины на расстоянии до eps
2. Найти компоненты связности коренных вершин — добавляем вершину в компоненту коренных, если у нее хотя бы min_samples соседей лежат в этой компоненте
3. Добавить оставшиеся вершины в самый популярный кластер соседей, если есть соседи
4. Оставшиеся вершины — это выбросы

Плюсы:

• сам подберет число кластеров
• опирается на плотность точек, кластеры могут быть вытянутыми и даже невыпуклыми

Минусы:

• нужно подбирать два других параметра
• алгоритм считает, что в разных частях данных плотности должны быть примерно одинаковыми

Агломеративная кластеризация

Интуиция у алгоритма очень простая:

1. Начинаем с того, что высыпаем на каждую точку свой кластер
2. Сортируем попарные расстояния между центрами кластеров по возрастанию
3. Берём пару ближайших кластеров, склеиваем их в один и пересчитываем центр кластера
4. Повторяем п. 2 и 3 до тех пор, пока все данные не склеятся в один кластер

Чтобы найти пару ближайших кластеров берут не только расстояние между центрами, бывают и такие метрики:

• Single linkage — минимум попарных расстояний между точками из двух кластеров
• Complete linkage — максимум попарных расстояний между точками из двух кластеров
• Average linkage — среднее попарных расстояний между точками из двух кластеров
• Centroid linkage — расстояние между центроидами двух кластеров

По итогам выполнения такого алгоритма строится дерево склеивания кластеров. Глядя на него можно определить, на каком этапе оптимальнее всего остановить алгоритм.

Уменьшение размерности и визуализации

Обе эти задачи состоят в сжатии выборки: нужно перевести точки из NN-мерного пространства в MM-мерное пространство, где M<NM<N, причем так, чтобы близкие точки остались близкими. То есть хочется значительно уменьшить число признаков, не сильно потеряв (или даже улучшив) их качество.

Для примеров мы будем чаще всего переводить в 22-мерное пространство — это заодно и хороший способ визуализировать датасет. Помимо визуализации уменьшение размерности очень часто используют для отбора признаков. Вместо 6464 малозначащих признаков мы хотим оставить 22, в которых лежит как можно больше информации. Заметьте, что это слабый способ отбора признаков: мы никак не используем значение таргета.

SVD — используем матрицы

В этом методе уменьшения размерности применяется SVD-разложение матрицы признаков.
Что это такое? Это единственное представление матрицы в виде произведения трех других:

A=UΣVA=U Sigma V

где AA — прямоугольная матрица признаков, ΣSigma — прямоугольная диагональная, причём числа на диагонали неотрицательны и убывают, U,VU, V квадратные и унитарные (не важно, что это значит, но по смыслу это что-то вроде поворота пространства). Нас больше всего будет интересовать матрица ΣSigma.

PCA — метод главных компонент

Визуализация выделения первой и второй главных компонент методом PCA.

Метод PCA заключается в том, чтобы найти в NN-мерном пространстве такое KK-мерное пространство, что проекция всех точек на него будет как можно более рассеянной (то есть иметь наибольшую дисперсию).

• Оказывается, подходит пространство, сумма квадратов расстояния от которого до всех точек минимальна.
• Первая компонента (ось) выбирается так, чтобы дисперсия проекции вдоль нее была максимальна.
• После этого все точки проецируются вдоль первой компоненты и там таким же способом выбирается вторая компонента и так далее.
• Получившиеся KK компонент будут образовывать KK-мерное пространство, проекция точек на которое будет иметь наибольшую дисперсию.

Оказывается, если применить TruncatedSVD к центрированным данным (среднее по каждой координате равно 00), то именно это и получится!

В каком-то смысле PCA — это лучший линейный способ уменьшить размерность пространства.

Плюсы PCA:

• считается относительно быстро
• детерминированность (зависит от реализации, в sklearn не так)
• любая размерность
• полученную модель уменьшения размерности можно применять и к новым точкам (нужно просто спроецировать ее на выделенное KK-мерное пространство)
• визуализация при K=2K = 2 — это честная проекция на какую-то плоскость, легкая интерпретируемость результатов
• при увеличении размерности старые координаты не меняются
• отлично подходит для отбора признаков

Минусы PCA:

• алгоритм слишком простой — он линейный
• некоторые непохожие точки могут спроецироваться в одну и ту же при K=2K = 2

t-SNE

Визуализация метода уменьшения размерности t-SNE.

Это гораздо более сложный нелинейный алгоритм. Он очень крут для визуализации данных, и работает только с переводом в 2D и 3D.
Внутри там происходит что-то физическое — элементы будто разлетаются, причем чем дальше они друг от друга, тем сильнее они друг друга отталкивают.

Плюсы t-SNE:

• отлично визуализирует (2D, 3D) данные
• физически разносит разные точки дальше друг от друга
• сильно разные точки не могут в конце оказаться рядом

Минусы t-SNE:

• недетерминированность, результат меняется при каждом запуске
• координаты ничего не значат сами по себе
• нельзя легко добавить новые данные (т.к. нет явной функции отображения в новое пространство)!
• долго работает
• уменьшает только до 2 и 3 размерности

Применение уменьшения размерности для классификации

Часто предварительное уменьшение размерности помогает лучше решать задачу обучения с учителем (например классификацию). Это помогает меньше переобучаться и позволяет алгоритмам обучаться быстрее (часть данных выкинули).

P.S. При обучении алгоритм уменьшения размерности не должен видеть тестовых данных, это приведет к переобучению!

Статья раскрывает понятие о перпендикулярности прямой и плоскости, дается определение прямой, плоскости, графически иллюстрировано  и показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. Сформулируем признак перпендикулярности прямой с плоскостью. Рассмотрим условия, при которых прямая и плоскость будут перпендикулярны с заданными уравнениями в плоскости и трехмерном пространстве. Все будет показано на примерах.

Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения

Прямая перпендикулярна к плоскости, когда она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Верно то, что и плоскость перпендикулярна  к прямой, как и прямая к плоскости.

Перпендикулярность обозначается «⊥». Если  в условии задано, что прямая с перпендикулярна плоскости γ, тогда запись имеет вид с⊥γ.

Например, если прямая перпендикулярна к плоскости, тогда возможно провести только одну прямую, благодаря которой две смежных стены комнаты пересекутся. Прямая считается перпендикулярной к плоскости потолка. Канат, расположенный в спортзале рассматривается в качестве отрезка прямой, который перпендикулярен плоскости, в данном случае полу.

При наличии перпендикулярной прямой к плоскости, угол между прямой и плоскостью считается прямым, то есть равен 90 градусов.

Перпендикулярность прямой и плоскости – признак и условия перпендикулярности

Для нахождения выявления перпендикулярности необходимо использовать достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости. Оно гарантирует выполнение перпендикулярности прямой и плоскости. Данное условие считается достаточным и называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, которые лежат в этой плоскости.

Подробное доказательство приведено в учебнике геометрии 10-11 класса. Теорема применяется для решения задач, где необходимо установить перпендикулярность прямой и плоскости.

При условии параллельности хоть одной из прямых плоскости, считается, что вторая прямая также перпендикулярна к данной плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости рассматривается еще со школы, когда необходимо решить задачи по геометрии. Рассмотрим подробнее еще одно необходимое и достаточное условие, при котором прямая и плоскость будут перпендикулярны.

Для того, чтобы прямая а была перпендикулярна плоскости γ , необходимым и достаточным условием является  коллинеарность направляющего вектора прямой а и нормального вектора плоскости γ.

При a→=(ax, ay, az) являющимся вектором прямой a, при n→=(nx, ny, nz) являющимся нормальным вектором плоскости γ для выполнения перпендикулярности нужно, чтобы прямая a и плоскость γ принадлежали выполняемости условия коллинеарности векторов a→=(ax, ay, az) и n→=(nx, ny, nz). Отсюда получаем, что a→=t·n→⇔ax=t·nxay=t·nyaz=t·nz, t является действительным числом.

Данное доказательство основывается на необходимом и достаточном условии перпендикулярности прямой и плоскости, направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Данное условие применимо для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, так как достаточно найти координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора в трехмерном пространстве, после чего производить вычисления. Используется для случаев, когда прямая определена уравнением прямой в пространстве, а плоскость уравнением плоскости некоторого вида.