Элементы теории ошибок

1.5 Элементы теории ошибок измерений
Единицы измерений, применяемые в геодезии
При производстве геодезических измерений находят применение меры
длины, площади, массы, температуры, времени, давления, угловые меры и
др.
В нашей стране линейные измерения производят в метрической системе
мер. За основную единицу измерения длины принят метр. Длина метра была
определена из результатов градусных измерений французскими учеными
Мишеню и Деламбром и в 1799 г. принята условно как 1:40 000 000
Парижского меридиана. На этом основании был изготовлен платиновый жезл
соответствующей длины, получивший название «архивный метр».
В 1875– 1889 гг. из платино-иридиевого сплава был изготовлен 31 жезл,
из которых по международному соглашению Россия получила два эталона за
номерами 11 и 28. Метр-прототип № 28 хранится во Всесоюзном научноисследовательском институте метрологии им. Д.И. Менделеева (ВНИИМ) в
Санкт-Петербурге и является государственным эталоном длины в нашей
стране. Для более надежного хранения установленной длины метра XI
Генеральная конференция по мерам и весам в 1960 г. утвердила новый
стандарт метра как длину, равную 1 650 763,73 длины волны оранжевой
линии спектра излучения в вакууме атома изотопа криптона-86. Этот более
стабильный эталон метра 12 января 1968 г. был утвержден Госстандартом
СССР в качестве нового государственного эталона.
Один метр (м) содержит 10 дециметров (дм), 100 сантиметров (см) или
1000 миллиметров (мм); одна тысячная доля миллиметра, т. е. миллионная
доля метра, называется микрометром (мкм).
Единицей измерения плоских углов является градус, равный 1/90 части
прямого угла; 1° содержит 60′, 1′ – 60″. Значения углов можно выражать
также в радианной мере, представляющей отношение длины
соответствующей дуги к ее радиусу. Следовательно, окружность длиной 2πR
содержит 2π радиан. Отсюда значения радиана ρ в градусах, минутах и
секундах будут равными:
ρ° = 57,3°; ρ’ = 3438′, ρ» =206265″.
Для перевода значения угла из градусной меры в радианную нужно
разделить его на радиан:
В ряде стран (Германия, Франция и др.) при измерении углов применяется
также децимальная (метрическая) система угловых мер. В ней прямой угол
делится на 100 частей, которые называются гонами (ранее их называли
градами). 1 гон равен 0,9 градуса и содержит 100 сантигон (сгон) или 1000
миллигон (мгон). Эта система нашла применение в угломерных кругах
электронных тахеометров.
Единицей измерения площади является квадратный метр; 10000 м2 = 1
гектару (га); 1 000 000 м2 = 100 га = 1 км2.
Единицами измерения времени, массы и температуры являются
соответственно секунда, международный килограмм и градус по шкале
Цельсия.
Единицей измерения атмосферного давления является миллиметр
ртутного столба (мм рт. ст.) или миллибар (мб). 1мб = 0,750 мм рт. ст. За
нормальное давление атмосферы принято давление ртутного столба высотой
760 мм на уровне моря и на географической широте 45° при температуре 0°С.
В некоторых типах приборов для измерения атмосферного давления
(барометр-анероид и микробарометр) в соответствии с Международной
системой единиц (СИ) в качестве единицы измерения принят паскаль (Па); 1
мм рт. ст. = 133,322 Па.
За единицу измерения частоты периодических (модулированных)
электромагнитных колебаний принят герц; 106 герц= 1 мегагерц.
Виды измерений
Результаты измерений разделяют на равноточные и неравноточные.
Под равноточными понимают однородные результаты, полученные в
процессе измерений инструментами одного класса точности при одинаковых
условиях, а неравноточные результаты измерений получают при
несоблюдении условий равноточности.
Измерения различаются на необходимые и избыточные. Число
измерений, требующихся для решения поставленной задачи, называют
необходимыми. Например, при измерении длины линии, чтобы получить
результат, необходимо выполнить одно измерение.
В геодезической практике всегда выполняют некоторое число
избыточных измерений с тем, чтобы обеспечить контроль, повысить
точность и получить сравнительные данные для оценки точности
полученного результата.
Ошибки измерений
В процессе измерений участвуют наблюдатель, приборы и условия
внешней среды, которые постоянно меняются, что и приводит к неизбежным
ошибкам измерений.
Ошибки измерений подразделяют на грубые, систематические и
случайные.
Грубые ошибки возникают из-за промахов и просчетов, связанных с
неисправностью приборов, невнимательностью наблюдателя, резким
ухудшением внешних условий. Теория математической обработки не
рассматривает измерения с грубыми ошибками, такие измерения либо
отбрасываются, либо выполняются заново.
Систематические ошибки обычно имеют одну величину и знак и
могут быть выявлены и учтены путем введения поправок в результате
измерений. Например, при измерении длин линий лентой или рулеткой в
зимнее время необходимо вводить в результаты измерений поправку за
температуру.
Случайные ошибки неустранимы и неизбежны.
Для случайных ошибок установлены следующие свойства:
а) случайные ошибки для данных условий не могут превышать по
абсолютной величине известного предела;
б) малые по абсолютной величине ошибки появляются чаще больших;
в) по знаку положительные ошибки появляются так же часто, как и
равные им по величине отрицательные ошибки;
г) среднее арифметическое из случайных ошибок одной и той же
величины неограниченно стремится к нулю с увеличением числа измерений.
Это свойство можно записать так:
(1)
где ∆ – случайная ошибка; n – число измерений.
Если одна и та же величина равноточно измерена n раз, то за ее
окончательное значение принимают среднее арифметическое, то есть:
Средняя квадратичная ошибка
Чтобы судить о точности измерений, необходимо выбрать критерий
для оценки, причем необходимо, чтобы такой критерий не зависел от знаков
отдельных ошибок и более рельефно отражал бы наличие сравнительно
крупных отдельных ошибок. Таким требованиям удовлетворяет
предложенная Гауссом средняя квадратичная ошибка
(2)
где ∆ – истинная случайная ошибка.
Однако истинные значения величин и истинные ошибки при
ограниченном числе измерений обычно не известны и в практике измерений
получают вероятнейшие значения измеренных величин и вероятнейшие
ошибки V, в связи с чем обычно пользуются для получения средней
квадратической ошибки формулой Бесселя:
Оценка точности топографо-геодезических измерений
Оценка точности геодезических сетей имеет большое теоретическое и
практическое значение. Она выполняется как на стадии проектирования,
когда разрабатывается оптимальный в определенном смысле вариант
построения сети, так и после построения и уравнивания сети.
Оценка точности, выполняемая на заключительном этапе
уравнительных вычислений, дает наиболее достоверные данные о реальной
точности элементов построенной на местности геодезической сети. Они
необходимы для правильного использования геодезических сетей при
решении соответствующих научных и народнохозяйственных задач
геодезическими методами, требующих определения с заданной точностью
длин и азимутов сторон, координат и высот геодезических пунктов.
Особо следует отметить значение оценки точности геодезических сетей
на стадии их проектирования. Благодаря оценке точности представляется
возможность решить задачи, имеющие большое техническое и
экономическое значение: изучить закономерности действия ошибок
измерений при передаче длин и азимутов сторон, координат пунктов в
геодезических сетях разного вида;
установить выгоднейшую форму треугольников в триангуляции и
трилатерации,
обеспечивающих
наиболее
высокую
точность передачи длин сторон, азимутов и координат пунктов;
рассчитать необходимую частоту размещения базисных сторон и
азимутов Лапласа в сети;
определить требуемую точность измерения горизонтальных углов,
длин сторон и азимутов Лапласа в проектируемой сети, а затем на основе
этих данных сделать правильный выбор приборов и методов измерений;
путем моделирования на ЭВМ определить на основе оценки точности
наиболее рациональный вариант построения сети при разном составе
измерений и разном размещении в ней базисных сторон, азимутов, пунктов,
определяемых из наблюдений ИСЗ, и т. п., позволяющий при прочих равных
условиях получить уравненные элементы сети с наивысшей точностью,
достигаемой в массовых работах при наименьших затратах труда, денежных
средств и времени на их производство;
проверить, будет ли достигнута заданная точность определения
уравненных элементов в наиболее слабом месте сети при выбранной схеме и
методах построения сети с учетом намеченного состава и точности
измерений.
Детальность, полнота и точность планово-картографического материала
Планы и карты, полученные в результате различных видов съемок,
имеют неодинаковую детальность и полноту.
Под детальностью понимают степень подобия изображения на плане
всех изгибов и извилин, всех деталей контуров ситуации и рельефа. При
отсутствии детальности говорят, что план (карта) обобщенный. Обобщение
(генерализация) происходит при дешифрировании фотоматериалов или
рисовке рельефа при построении мелкомасштабных карт на основе
крупномасштабных.
Под полнотой понимают степень насыщенности плана объектами
местности, изображение которых на плане необходимо и при данном
масштабе и высоте сечения рельефа возможно.
Детальность и полнота планов зависят от детальности и полноты
абрисов.
Под точностью плана (карты) понимают величину средней
квадратической погрешности mt положения контурной точки на плане
относительно ближайшего пункта главного геодезического обоснования
съемки (контурная точка – точка объекта).
Погрешность положения точки (пункта) mt является двумерной и
определяется формулой
mt
mx2
m 2y ,
где m x и m y – погрешности координат точки (т.е. погрешности положения
точки по осям координат). Если m x m y mk (т.е. точность положения точки
приближенно характеризуется кругом погрешностей, а не эллипсом, что
точнее), тогда
mt mk 2 и mk mt 2 ,
где mk – средняя квадратическая погрешность координат точки.
Точность положения контурных точек на планах
Точность планов разных видов съемок различна, что объясняется
различием приборов и технологических процессов, применяемых на съемках.
Согласно многочисленным исследованиям погрешности положения
точки для теодолитной, мензульной и аэрофотосъемки в масштабе 1:10 000
примерно одинаковы и составляют 4 м, т.е. на плане 0.4 мм. Согласно
Инструкции по топографическим съемкам [7] для масштабов 1:500–1:10 000
средние погрешности в положении на карте четких контуров и предметов
местности относительно ближайших точек планового съемочного
обоснования не должны превышать:
0.5 мм – при создании карт и планов равнинных и холмистых местностей,
6 .
0.7 мм – при создании карт местности с большими уклонами.
Некоторые исследователи замечают, что с укрупнением масштаба
погрешности положения контурных точек на плане увеличиваются. Точность
расплывчатых нечетких контуров, например, болот, достигает 10 м на
местности, а положение контуров почвенных разновидностей – 40 м.
Копии планов обладают меньшей точностью по сравнению с оригиналом.
Наиболее точна ксерокопия и копии, полученные фотомеханическим
способом.
Если
копирование
производится
графическим
или
графомеханическим способами, то для сохранения точности копии на бумаге
строят координатную сетку и все точки (границы, геодезические пункты)
наносят на нее по координатам.
Точность изображения расстояний
Если отдельные точки на плане имеют погрешности, то и расстояния
между ними будут определены с погрешностями. Пусть надо определить
погрешность расстояния S между точкой 1 и точкой 2 с координатами x1, y1 и
x2, y2:
2
2
S 2 x2 x1
y 2 y1 .
Возьмем
полный
дифференциал
этого
выражения
(
dS, dx1 , dy1 , dx2 , dy2 ) и получим при dS ms , dx1 mkx , dy1 mky ,
ms mt , т.е. средняя квадратическая
погрешность расстояния между точками на плане равна средней
квадратической погрешности положения точки.
Средняя квадратическая погрешность определения расстояния между
точками 1 и 2 при помощи измерителя и масштабной линейки ms0 с учетом
mkx
mky
mk ,
mk 2 , что
mt
точности плана получится по формуле
ms0
mt2 mГ2 ,
где mt – средняя квадратическая погрешность расстояний между точками 1 и
2; mГ – графическая погрешность (0.08 – 0.1 мм).
Пример: при mt = 0.4 мм и mГ = 0.1 мм ms0 = 0.41 мм, т.е. точность
измерения расстояний между точками по плану определяется главным
образом точностью плана.
Точность направлений и углов
Точность направления, характеризуемого азимутом (дирекционным
углом) линии между двумя точками на плане (точками 1 и 2), зависит от
погрешностей положения этих точек m x1 , m у1 и m x2 , m x2 .
Тогда дирекционный угол
направления с точки 1 на точку 2
y 2 y1
определим по формуле tg
.
x2 x1
После дифференцирования, переходя к средним квадратическим
погрешностям
mk1 mx1 m y1 , mk2 m x2 m y2 ,
mt1
mk1 2 и mt2
mk2 2
получим
m2
Если же принять mt1
mt2
1
mt21
2
2S
mt , то m
mt22 .
mt
, при этом m
S
выражена в
радианной мере.
Если
m
выразить в минутах, то
m
2
1 2
mt
2 1
mt22
343 8
S
2
и
mt
343 8 , т.е. погрешность дирекционного угла увеличивается с
S
уменьшением расстояния между точками.
Пример: S = 50 мм, mt = 0.4 мм. Тогда m 27 , что представляет
довольно значительную величину.
Погрешность определения направления на плане при помощи
транспортира с учетом точности плана получится равной
m
m
m2
m2
27
2
7
2
27.9 ,
т.е. точность направления между точками по плану определяется главным
образом точностью плана.
Еще большей погрешностью характеризуется точность угла (так как
угол определяется разностью отсчетов на два направления)
y
y2
y y2
arctg 1
arctg 3
;
21
23
x1 x2
x3 x 2
m2
mt2
1
2
S 21
1
2
S 23
cos
;
S 21S 23
m
m ;
при
при
90
m
при
180
m
mt
2 343 8 ;
S
mt
3 343 8 .
S
Точность определения площадей контуров
Погрешности положения контура вызывают погрешность его площади.
Чтобы определить погрешность площади контура в зависимости от
погрешностей положения поворотных точек этого контура, надо представить,
что каждая такая точка определяется на плане независимо от других и ее
положение характеризуется координатами xi и yi со средними
квадратическими погрешностями m xi и m yi .
Зависимость площади контура от координат его поворотных точек
можно представить формулой
2P
n
i 1
xi y i
1
yi
1
.
Для получения зависимости средних квадратических погрешностей
площади от координат точек контура продифференцируем это выражение по
1 n 2 2
mt Di , где
всем переменным xi и yi и после преобразования получим m 2p
8i 1 i
Di – диагонали.
Если участок близок к правильному многоугольнику с n вершинами, то
P sin 360
m p S sin mt n 2 mt
;
2
n
для прямоугольника m p mt P 1 k 2 2k , где k – отношение большей
стороны к меньшей;
для квадрата m p mt P , причем m p м 2 , mt м , P м 2 .
Теперь для выражения m p и P в гектарах на местности и mt в
сантиметрах на плане напишем
mt (см)
m p (га) 1000
M P (га) 10000 .
100
Тогда m p (га) mt (см)
M
P (га) , где M – знаменатель численного
10000
масштаба.
Из анализа формул следует, что погрешности площадей фигур
значительно уменьшаются с увеличением числа точек фигуры и несколько
увеличиваются с увеличением ее вытянутости k.
Для более точного представления о погрешностях определения
площади по плану для фигур, близких по форме к прямоугольнику, с числом
точек n, вытянутостью k и с приблизительно равными расстояниями между
точками по контуру, используют формулу
M
4 0.5n 1 k 1
m p (га) mt (см)
P (га)
.
10000
n
2 k
Особенности расчета точности расстояний, направлений, углов и
площадей на фотоплане
Формулы выведены в предположении, что каждая точка на плане независима
от других (т.е. при наземных съемках они сняты с разных станций, а при
аэрокосмических каждая точка расположена на разных снимках). Если же все
точки (или часть их) сняты с одной станции или расположены на одном
снимке, то их положение не является независимым. Они обладают
корреляционной связью, теснота которой характеризуется коэффициентом
корреляции r (по формуле Неумывакина):
2
m0
,
r
mt
где m0 – средняя квадратическая погрешность положения станции или
положения снимка на фотоплане; mt – средняя квадратическая погрешность
положения каждой точки, mt2 m02 mc2 , (mc – средняя квадратическая
погрешность положения снимаемой точки относительно станции или
положения точки на снимке относительно его положения на фотоплане).
Тогда для учета корреляции во все формулы вводится коэффициент
1 r , тогда
mt
ms mt 1 r ; m
1 r;
S
m
mt
1
2
S 21
1
2
S 23
cos
1 r;
S 21S 23
для площадей многоугольника m p0
mt
1
8
n
1
Di2 1 r ;
1 k2
прямоугольника
m p0 mt P
(1 r ) ;
2k
m p0 mt P (1 r ) ,
квадрата
т.е. корреляционная связь уменьшает среднюю квадратическую погрешность.
В формулах фотограмметрии учитываются еще погрешности из-за
влияния рельефа местности и графическая погрешность (0.1 мм).
Установлено, что большее влияние на погрешность изображения
площади оказывает рельеф, а для малых площадей – погрешности
вычерчивания контуров при дешифрировании.
Точность превышений и уклонов
Превышения и уклоны линий между точками определяют по плану с
горизонталями, изображающими рельеф местности. Точность изображения
рельефа на плане обычно характеризуется средней квадратической
погрешностью высоты точки, лежащей на горизонтали, т.е. средней
квадратической погрешностью положения горизонтали по высоте, которую
можно охарактеризовать по формуле Коппе
mH a btg ,
где а – величина, характеризующая точность определения точки земной
поверхности по высоте; b – величина, характеризующая сдвиг точки в
горизонтальной плоскости вследствие погрешностей определения планового
положения станции и пикетов,
интерполирования,
проведения
горизонталей; – угол наклона.
Среднюю квадратическую погрешность превышения между точками 1
и 2 с высотами H1 и H2: mh mH 2 . Если расстояние между точками мало,
то величины H1 и H2 коррелированы и mh mH 2 1 r .
Средняя квадратическая погрешность уклона, определяемого по
горизонталям плана, можно получить из формул i h S и mi mh S , т.е.
точность определения уклона снижается с уменьшением расстояния.
Следовательно, уклон надо считать по возможно большему расстоянию.
Искажение линий и площадей в проекции Гаусса-Крюгера
Проекция Гаусса-Крюгера равноугольная поперечно-цилиндрическая.
Если план составлен на плоскости в проекции Гаусса–Крюгера, то длины
линий и площади участков, измеренных на плане или вычисленных по
координатам точек, всегда больше соответствующих горизонтальных
проложений этих же линий и площадей на местности, т.е. масштаб
изображений линий в проекции Гаусса-Крюгера всегда крупнее того
масштаба, который принят для составления плана. При этом укрупнение
масштаба тем больше, чем дальше линия или участок расположены от
осевого меридиана зоны.
Известно, что линия, измеренная на местности, при перенесении
(редуцировании) ее на плоскость Гаусса–Крюгера должна быть увеличена в
соответствии с выражением
2
1 y
,
SГ S
S
2 R
где S – горизонтальное проложение линии на местности; y – ордината
(расстояние от осевого меридиана); R – средний радиус кривизны земного
шара ( R 6371 км).
1 y
называют относительным искажением линии.
2 R
Значение ординаты на краю шестиградусной зоны в средних широтах
России 200 км (
53 ), в южных широтах 250 км (
40 ).
При y = 200 км относительное искажение за редуцирование составит
Величину
2
2
200
1
100
1
, при y = 100 км
.
6371
2000
6371
8000
Таким образом, искажением линии в проекции Гаусса-Крюгера можно
пренебречь за исключением краев шестиградусных зон.
Искажение линий вызывает соответственно и искажение площадей
участков. Проекция Гаусса-Крюгера равноугольная (конформная), поэтому
для небольшого участка в несколько тысяч или десятков тысяч гектар его
изображение в проекции Гаусса-Крюгера с площадью PГ можно считать
подобным горизонтальному проложению на местности с площадью P.
Площади P и PГ будут относиться как квадраты сходственных сторон
P
PГ
S2
P
, или
2
PГ
SГ
y2
1 1
2R 2
2
.
y2
Тогда, умножив числитель и знаменатель на 1
2R 2
2
2
и пренебрегая
y
малыми порядка y 4R , получим P PГ PГ
, т.е. относительное
R
искажение площади P в два раза больше относительного искажения линии.
Для небольших площадей поправку можно не учитывать, а для больших
следует учитывать только на краях шестиградусных зон.
Деформация плана и ее учет при планометрических работах
При определении линий и площадей по плану графическим или
механическим способом (при помощи измерителя, планиметра и палеток)
учитывают деформацию бумаги. Величина деформации характеризуется
коэффициентами
деформации,
определяемыми
в
двух
взаимно
перпендикулярных направлениях по формуле
l l
q0 0
,
l0
где l0 – теоретическая (истинная) длина линии в соответствующем масштабе;
l – результат измерения этой же линии на плане.
4000 3980
1
0.005
Пример: l0 4000 м, l 3980 м, q0
.
4000
200
Значения коэффициента деформации различны: 1:400, 1:200, 1:100 и
даже 1:50. Величина его зависит от сорта бумаги, условий хранения плана,
погоды, времени, которое прошло с момента составления плана, и других
условий.
4
4
Бумага, наклеенная на алюминий или высокосортную фанеру,
практически не деформируется, а бумага, наклеенная на полотно,
деформируется сильнее, чем ненаклеенная.
Копии с планшетов деформируются во время печати, в направлении
движения бумага растягивается, а в поперечном направлении – сжимается.
Через некоторое время деформация бумаги, правда, несколько уменьшается,
но все же остается значительной. Особенно сильно деформируется бумага от
свертывания в трубку или складывания.
Если бумага деформируется в двух взаимно перпендикулярных
направлениях одинаково, то учесть ее деформацию нетрудно; при
неравномерной деформации труднее, ведь обычно линии располагаются под
различными углами к линиям координатной сетки.
Для учета деформации бумаги в длины линий, определяемых по плану,
приходится вводить поправки. Если l – результат измерения линии на
деформированном плане, l0 – истинное горизонтальное проложение линии на
местности, q – относительная деформация бумаги (1/200–1/100), то l0 l lq ,
где lq – поправка к длине линии, обусловленная деформацией бумаги. Если
поправка меньше точности масштаба, то ее не вводят в результат измерения
линии на плане. Для площади P на плане истинное значение P0 P 2 Pq .
Требования к оформлению результатов полевых измерений и их
обработке
Все материалы геодезических измерений состоят из полевой
документации, а также документации вычислительных и графических работ.
Многолетний опыт производства геодезических измерений и их обработки
позволил разработать правила ведения этой документации.
Оформление полевых документов. К полевым документам относят
материалы поверок геодезических приборов, журналы измерений и бланки
специальной формы, абрисы, пикетажные журналы. Вся полевая
документация считается действительной только в подлиннике. Она
составляется в единственном экземпляре и в случае утраты может быть
восстановлена лишь повторными измерениями, что практически не всегда
возможно.
Правила ведения полевых журналов сводятся к следующим.
1. Заполнять полевые журналы следует аккуратно, все цифры и буквы
должны быть записаны четко и разборчиво.
2. Исправление цифр и их подчистка, а также написание цифры по цифре
не допускаются.
3. Ошибочные записи отсчетов зачеркиваются одной чертой и справа
указывается «ошибочно» или «описка», а правильные результаты
надписываются сверху.
4. Все записи в журналах ведутся простым карандашом средней
твердости, чернилами или шариковой ручкой; использование для этого
химических или цветных карандашей запрещается.
5. При выполнении каждого вида геодезических съемок записи
результатов измерений делают в соответствующих журналах установленной
формы. До начала работ страницы журналов пронумеровывают и их число
заверяет руководитель работ.
6. В процессе полевых работ страницы с забракованными результатами
измерений зачеркивают по диагонали одной чертой, указывают причину
брака и номер страницы, содержащей результаты повторных измерений.
7. В каждом журнале на заглавном листе заполняют сведения о
геодезическом приборе (марка, номер, средняя квадратическая погрешность
измерения), записывают дату и время наблюдений, метеоусловия (погода,
видимость и т. п.), фамилии исполнителей, приводят необходимые схемы,
формулы и примечания.
8. Журнал должен заполняться таким образом, чтобы другой исполнитель,
не участвующий в полевых работах, мог безошибочно выполнить
последующую обработку результатов измерений. При заполнении полевых
журналов следует придерживаться следующих форм записи:
а) числа в столбцах записываются так, чтобы все цифры соответствующих
разрядов располагались одна под другой без смещения.
Пример:
1175,18
1232,79
234,49, а не 125,15;
б)все результаты измерений, выполненных с одинаковой точностью,
записывают с одинаковым числом знаков после запятой.
Пример:
356,24 и 205,60 м – правильно,
356,24 и 205,6 м – неправильно;
в) значения минут и секунд при угловых измерениях и вычислениях всегда
записывают двузначным числом.
Пример:
127°07′ 05», а не 127°7′ 5′
г) в числовых значениях результатов измерений записывают такое
количество цифр, которое позволяет получить отсчетное устройство
соответствующего средства измерений. Например, если длина линии
измеряется рулеткой с миллиметровыми делениями и отсчитывание
проводится с точностью до 1 мм, то отсчет должен быть записан 27,400 м, а
не 27,4 м. Или если угломерный прибор позволяет отсчитывать только целые
минуты, то отсчет запишется как 47°00′, а не 47° или 47°00’00».
Понятие о правилах геодезических вычислений. К обработке результатов
измерений приступают после проверки всех полевых материалов. При этом
следует придерживаться выработанных практикой правил и приемов,
соблюдение которых облегчает труд вычислителя и позволяет ему
рационально использовать вычислительную технику и вспомогательные
средства.
1. Перед началом обработки результатов геодезических измерений следует
разработать подробную вычислительную схему, в которой указывается
последовательность действий, позволяющая получить искомый результат
наиболее простым и быстрым путем.
2. С учетом объема вычислительных работ выбирать наиболее
оптимальные средства и способы вычислений, требующие наименьших
затрат при обеспечении необходимой точности.
3. Точность результатов вычислений не может быть выше точности
измерений. Поэтому заранее следует задаваться достаточной, но не излишней
точностью вычислительных действий.
4. При вычислениях нельзя пользоваться черновиками, так как
переписывание цифрового материала отнимает много времени и часто
сопровождается ошибками.
5. Для записей результатов вычислений рекомендуется использование
специальных схем, бланков и ведомостей, определяющих порядок расчетов и
обеспечивающих промежуточный и общий контроль.
6. Без контроля вычисление не может считаться законченным. Контроль
можно выполнять, используя другой ход (способ) решения задачи либо
выполняя повторные вычисления другим исполнителем (в «две руки»).
7. Вычисления всегда заканчиваются определением погрешностей и
обязательным их сравнением с допусками, предусматриваемыми
соответствующими инструкциями.
8. Особые требования при вычислительных работах предъявляются к
аккуратности и четкости записи чисел в вычислительных бланках, поскольку
небрежности в записях приводят к ошибкам.
Как и в полевых журналах, при записях столбцов чисел в вычислительных
схемах цифры одинаковых разрядов следует располагать одна под другой.
При этом дробную часть числа отделяют запятой; многоразрядные числа
желательно записывать с интервалами, например:
2 560 129,13. Записи вычислений следует вести только чернилами прямым
вычислительным шрифтом; ошибочные результаты аккуратно перечеркивать
и сверху писать исправленные значения.
При обработке материалов измерений следует знать, с какой точностью
должны быть получены результаты вычислений, чтобы не оперировать с
излишним числом знаков; если окончательный результат вычисления
получается с большим числом знаков, чем это необходимо, то производят
округление чисел.
Округление чисел. Округлить число до n знаков – значит сохранить в нем
первые n значащих цифр.
Значащие цифры числа – это все его цифры от первой слева, отличной от
нуля, до последней записанной цифры справа. При этом нули справа не
считаются значащими цифрами, если они заменяют неизвестные цифры или
поставлены вместо других цифр при округлении данного числа.
Например, число 0,027 имеет две значащие цифры, а число 139,030 –
шесть значащих цифр.
При округлении чисел следует придерживаться следующих правил.
1. Если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5,
то последняя оставляемая цифра сохраняется без изменения.
Например, число 145,873 после округления до пяти значащих цифр будет
145,87.
2. Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя
оставляемая цифра увеличивается на единицу.
Например, число 73,5672 после округления его до четырех значащих цифр
будет 73,57.
3. Если последней цифрой округляемого числа является цифра 5 и она
должна быть отброшена, то предшествующую ей цифру в числе увеличивают
на единицу только в том случае, если она нечетная (правило четной цифры).
Например, числа 45,175 и 81,325 после округления до 0,01 будут
соответственно 45,18 и 81,32.
Действия с приближенными числами. Результаты геодезических
измерений являются числами приближенными. Степень приближения,
характеризующая точность измерения, зависит от способа измерения и
применяемых приборов.
При действиях с приближенными числами необходимо руководствоваться
следующими правилами приближенных вычислений.
1. Чтобы при сложении приближенных чисел получить сумму с п верными
(т. е. заслуживающими доверия) десятичными знаками, следует каждое
слагаемое округлить до л+/-го десятичного знака.
При вычитании, когда уменьшаемое значительно превосходит
вычитаемое, к числу верных знаков разности применяют те же правила, что и
для числа верных знаков суммы.
При сложении или вычитании приближенных чисел в результате (в сумме
или разности) необходимо оставлять столько десятичных знаков, сколько их
дано в числе с наименьшим количеством этих знаков.
Пример:
135,32 + 18,537 + 4,7183 » 135,32 + 18,537 + 4,718 = 158,575 * 158,58;
При умножении двух приближенных чисел, имеющих поровну значащих
цифр, в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их
было в каждом из сомножителей.
Пример: 72,6 х 32,7 = 2374,02 * 23,7 х 102.
При умножении двух приближенных чисел с разным числом значащих
цифр в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их
имеется в числе с наименьшим количеством значащих цифр.
Пример: 4,248 х 0,55 = 2,3364 » 2,3.
Для получения произведения с п верными знаками сомножители следует
брать с л -hi или л+2 верными знаками.
2. При делении двух приближенных чисел, имеющих одинаковое число
значащих цифр, в частном следует сохранять столько значащих цифр,
сколько их имеется в каждом из данных.
Пример: 4,347 : 6,173 = 0,704 196 … « 0,7042.
При делении двух приближенных чисел, имеющих различное число
значащих цифр, в частном следует сохранять столько значащих цифр,
сколько их было в числе с меньшим количеством значащих цифр.
Пример: 548,4 : 3,6 = 152,33 » 1,5 х 102.
3. При возведении приближенных чисел в степень в результате следует
оставлять столько значащих цифр, сколько их содержится в основании
степени.
Пример: 12,312 « 151,5; 1,423 « 2,86.
4. При извлечении корня из приближенного числа в результате следует
оставлять столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном числе.
Пример: V61,3*7,83; ^/229,7«6,214.
5. Если для вычисления искомой величины требуется произвести ряд
разных действий, то в этом случае во всех промежуточных результатах
следует сохранять на одну цифру больше, чем это указано в правилах 1–4,
отбрасывая эту цифру только в окончательном результате.
6. Если некоторые величины, участвующие в вычислении, имеют
десятичных знаков (при сложении и вычитании) или значащих цифр (при
умножении, делении, возведении в степень или извлечении корня) больше,
чем другие, то их предварительно округляют, сохраняя лишь одну цифру
против числа, заданного с наименьшим числом значащих цифр.
Соблюдение данных правил при вычислениях позволяет обеспечить
необходимую точность и повысить производительность вычислительных
работ.
Средства вычислений. При обработке результатов геодезических
измерений широко используются различные средства вычислений: таблицы,
номограммы, логарифмическая (счетная) линейка, микрокалькуляторы,
переносные (notebook) и стационарные компьютеры.
Таблицы. До сих пор в практике используются различные таблицы. Они
содержат численные значения функций, данных с определенной точностью
для последовательно расположенных значений аргументов. Таблицы бывают
общие, или математические (таблицы квадратных и кубических корней,
натуральных значений тригонометрических функций, логарифмов и т. п.)( и
специальные
(таблицы
превышений,
приращений
координат,
тахеометрические таблицы и т. п.). Общие таблицы пригодны для любых
вычислений, а по специальным можно вычислить искомую величину по
одной формуле (например, поправку за наклон, поправку за температуру и
др.).
При
нахождении
значений
тригонометрических
функций
и
логарифмических вычислениях следует пользоваться таблицами с
количеством знаков, обеспечивающих заданную точность. При решении
задач, связанных с отысканием по таблицам величин углов по значениям их
функций, для определения угла следует:
а) по sin а и cos а использовать функцию, меньшую по абсолютному
значению;
б) по tg а и ctg a, sec а и cosec а использовать функцию, большую по
абсолютному значению.
Во всех случаях второе определение будет менее точным, чем первое, и
используется для контроля.
Номограмма представляет собой чертеж, на котором изображена
функциональная зависимость между переменными, входящими в данную
математическую формулу. Номограммы играют роль специальных
приспособлений, позволяющих без вычислений определять численное
значение одной переменной по значениям других переменных. Они могут
использоваться для вычисления величин, содержащих не более трех
значащих цифр.
Логарифмическая линейка используется для приближенных контрольных
подсчетов, а также для расчета поправок, величины которых содержат не
более трех значащих цифр.
Калькуляторы являются одним из самых главных средств при расчетах как
в полевых, так и в камеральных условиях. По количеству производимых
операций калькуляторы подразделяются на следующие типы:
а) простые – с арифметическим объемом операций;
б) инженерные – имеющие встроенные функции (sin, cos, tg, log, In, exp и
др.) и позволяющие производить достаточно сложные расчеты;
в) программируемые – позволяющие производить расчеты без
промежуточных вычислений.
В настоящее время из счетных машин индивидуального пользования
наибольшее
распространение
получили
микрокалькуляторы
типов
«Электроника» и др. Они практически обеспечивают возможность решения
многих геодезических задач без привлечения других вычислительных
средств. Они отличаются малыми габаритами и сравнительно большим
числом производимых математических операций, работают как от
электросети, так и от батарей миниатюрных аккумуляторов, которые при
необходимости могут подзаряжаться, обеспечивая автономную работу
микрокалькулятора в течение нескольких часов. Это позволяет успешно
использовать микрокалькуляторы и в полевых условиях.
Единственным недостатком микрокалькуляторов является их небольшой
объем памяти.
Компьютерная техника является наиболее высокоэффективным средством
обработки геодезических измерений. На современном этапе как
геодезическое, так и землеустроительное производство основано на
применении этих устройств.
Все современные электронные геодезические инструменты имеют
встроенные
калькуляторы
программируемого
типа и
снабжены
электронными накопителями информации. Практически все результаты
измерений хранятся на специальных дискетах в виде файлов или впрямую
передаются на вычислительное устройство – компьютер или ноутбук
(notebook) – переносной компьютер.
Для ввода в дальнейшем обрабатываемой картографической информации
(карт и планов) используются специальные приборы: дигитайзеры,
поточечно фиксирующие графические изображения, и сканеры, передающие
фотографическое изображение объектов.
Камеральная обработка результатов проводится, как правило, в
полуавтоматическом режиме, используя специальное программное
обеспечение. Участие инженера-геодезиста в этом случае сводится к выбору
того или иного шага компьютерной операции.
Для получения искомой (выводной) информации используются принтеры
различных типов (матричные, струйные, лазерные и др.) и плоттеры (или
графопостроители).
Все сложные геодезические вычисления, связанные с решением большого
числа уравнений, выполняются на электронно-вычислительных машинах.
Однако в практической деятельности при выполнении простых вычислений с
небольшим количеством цифр нельзя преуменьшать роли устного счета
(вычислений в «уме»), позволяющего легко и быстро получить
окончательный результат. Для этого нужно научиться устно складывать и
вычитать числа, умножать и делить на такие простые числа, как 2, 3, 4 и 5.
Устным счетом следует также пользоваться при приближенном контроле
вычислений, подставляя в формулы округленные значения исходных данных.
Графические работы. Ценность графических материалов (планов, карт и
профилей), являющихся конечным результатом геодезических съемок, в
значительной мере определяется не только точностью полевых измерений и
правильностью вычислительной их обработки, но и качеством графического
исполнения. Графические работы должны выполняться с помощью
тщательно проверенных чертежных инструментов: линеек, треугольников,
геодезических транспортиров, циркулей-измерителей, остро отточенных
карандашей (Т и ТМ) и т. п. Большое влияние на качество и
производительность чертежных работ оказывает организация рабочего места.
Чертежные работы должны выполняться на листах качественной чертежной
бумаги, закрепленных на ровном столе либо на специальной чертежной
доске. Составленный карандашный оригинал графического документа после
тщательной проверки и корректировки оформляют в туши в соответствии с
установленными условными знаками.