Как изменить фазу сигнала

Иногда нужно получить определенный фазовый сдвиг ВЧ сигнала. Например, такая задача возникает, когда вы делаете фазированные антенные решетки (ФАР). На УКВ задача решается просто. Берем кабель длиной N×λ с поправкой на коэффициент укорочения кабеля, и получаем фазовый сдвиг N×360°. Но на КВ такой способ не всегда практичен, поскольку λ измеряется десятками метров. Вот о некоторых альтернативных схемах, решающих ту же задачу, далее и пойдет речь.

Важно! У меня возникли небольшие сложности с поиском устоявшихся вариантов перевода для использованных далее терминов. Вся английская терминология верна, однако русская терминология остается под вопросом. Если вы знаете более удачные варианты перевода, прошу поделиться ими в комментариях.

Фазореверсирующий трансформатор

Сдвинуть фазу на 180° можно очень просто. Разрезаем кусок коаксиального кабеля. Жилу левого отрезка припаиваем к экрану правого, а жилу правого отрезка — к экрану левого. Этим мы перевернули сигнал, то есть, сдвинули его на 180°. Но есть нюанс. Мы не можем гарантировать, что экран левого отрезка не имеет контакта с экраном правого. Это зависит от того, кто и в какой задаче использует наше устройство для сдвига фазы. Если контакт есть, то вместо сдвига фазы мы получаем КЗ.

Решение заключается в том, чтобы отрезать путь ВЧ сигналу через внешнюю сторону экрана:

Семь витков RG58 намотано на кольце FT114-43. На входе жила и экран припаяны к BNC-разъему как положено, а на выходе — задом наперед. Такое устройство называется фазореверсирующим трансформатором (phase reversal transformer). Вопреки названию, трансформатора в привычном смысле здесь нет. Принцип действия больше похож на то, как работает балун по току 1:1. Использование отрезка кабеля не нулевой длины приводит к дополнительному фазовому сдвигу. На КВ этот сдвиг будет небольшим.

Берем генератор сигналов и осциллограф. Убеждаемся, что все работает:

Выход генератора подается на делитель мощности. С первого выхода делителя сигнал идет на первый канал осциллографа, а со второго выхода — на второй канал через DUT. Важно, чтобы кабели по обоим путям были одинаковыми и равной длины. Для согласования импеданса подключение к осциллографу осуществляется через T-образные BNC-коннекторы с нагрузкой 50 Ом. На скриншоте видим фазовый сдвиг 177.5°. Вообще, осциллограф не является самым точным прибором для измерения таких вещей. Его показания скачут где-то на ±3°.

Анализатор спектра показывает вносимые потери порядка 0.25 дБ:

Это довольно много и объясняется использованием недорогого кабеля, который был сильно изогнут. Для минимизации потерь нужно использовать более толстый кабель и ферритовое кольца большего диаметра.

Описание подхода из этого раздела впервые встретилось мне в книге ON4UN’s Low Band DXing, 5th Edition. В этой же книге я нашел отсылку к статье, описывающей гибридный ответвитель. О нем речь пойдет в следующем разделе.

Квадратурный гибридный ответвитель

В качестве следующего устройства рассмотрим гибридный ответвитель со сдвигом фазы 90°, также называемый квадратурным гибридным ответвителем. Часто говорят просто «гибридный ответвитель» (hybrid coupler), так как по контексту понятно, о чем речь.

Описание устройства и формулы для его расчета можно найти в статье «Twisted-Wire Quadrature Hybrid Directional Coupler», написанной Reed Fisher, W2CQH и опубликованной в журнале QST за январь 1978 года. Здесь я не стану пересказывать статью и лишь расскажу о своем опыте изготовления конкретного гибридного ответвителя.

На основе формул из статьи был написан скрипт hybrid-coupler.py. Вы найдете его в этом репозитории на GitHub. Перебирая аргументы скрипта, я остановился на такой схеме:

Схема состоит из двух конденсаторов и двух катушек индуктивности. Катушки мотаются бифилярной обмоткой на одном ферритовом кольце. Сигнал подается на порт IN. С портов OUT1 и OUT2 выходит две его копии с уровнем -3 дБ и разностью фаз 90°. Порт DUMP не используется и должен быть нагружен на 50 Ом. Устройство работает на одной частоте, плюс в некоторых ее окрестностях. Номиналы компонентов вычисляются из этой частоты, а также волнового сопротивления портов.

Устройство похоже на делитель/сумматор. В том числе, оно может работать и в обратную сторону, как сумматор. Отличие заключается в фазовом сдвиге между выходами, а также зависимостью от частоты.

Почему выбрана такая странная частота, 6.3 МГц? Дело в том, что большинство имеющихся у меня ферритовых колец имеют высокую магнитную проницаемость. Они обеспечивают индуктивность в 1-2 мкГн, необходимые для работы схемы, буквально в один виток. В качестве исключения в запасах нашлось кольцо FT82-61, имеющее Al = 79 и погрешность ±20%. Четыре витка на таком кольце должны давать примерно:

… 1.264 мкГн, которые позволяют сделать гибридный ответвитель на 6.3 МГц. L1 и L2 я мотал эмалированной проволокой толщиной 0.6 мм простой бифилярной обмоткой, без скручивания. Измеренная индуктивность составила ровно 1.2 мкГн. С парой конденсаторов на 241 пФ мы получим гибридный ответвитель где-то на 6.6 МГц. У меня как раз нашлась пара NP0 конденсаторов по 240 пФ. Это чуть меньше, но я подумал, что разница в 1 пФ не должна все сломать.

Гибридный ответвитель получился таким:

А это вид сверху:

Точка -3 дБ пришлась где-то на 6.76 МГц:

Наконец, проверим фазовый сдвиг при помощи осциллографа:

Как можно видеть, на 7.0-7.2 МГц гибридный ответвитель тоже как-то работает. При этом сигналы на портах OUT1 и OUT2 различаются на 0.3-0.6 дБ.

Устройство было проверено и в режиме сумматора. Все работает. Генерируемые при этом картинки мало отличаются от полученных ранее для самодельного делителя/сумматора. Поэтому здесь я их не привожу.

Сдвиг фазы при помощи LC-цепей

Существует несколько LC-цепей, позволяющих получить произвольный фазовый сдвиг на заданной частоте. Этот вопрос поднимается во многих источниках. Больше всего мне понравилась статья High-Pass Low-Pass Phase Shifters на сайте microwaves101.com. Опять же, пересказывать статью в мои планы не входит. Вместо этого я расскажу об опыте применения ее на практике.

На основе формул из статьи был написан скрипт phase-shifter.py. Как и предыдущий скрипт, вы найдете его на GitHub. При помощи LTspice я убедился, что скрипт генерирует правильные схемы.

Теперь допустим, что я хочу получить фазовый сдвиг 42° на частоте 7.1 МГц. Скрипт предлагает четыре схемы на выбор, из которых мне больше всего приглянулась такая:

Катушки на 0.43 мкГн легко намотать, а 300 пФ — это стандартный номинал:

При размещении катушек я старался минимизировать эффект взаимоиндукции.

Фактически, перед нами фильтр нижних частот:

Действительно, 7.1 МГц попадает в полосу пропускания, и на частоте мы видим:

… фазовый сдвиг примерно в 42°. На частоте 1 МГц имеем сдвиг примерно в 5°, а ближе к точке -3 дБ получаем 120°.

Заключение

Список возможных решений не претендует на полноту. Но он покрывает многие реальные случаи. Особенно если не забывать про возможность сдвинуть фазу банально куском кабеля.

А сталкивались ли вы с задачей, где нужно обеспечить фазовый сдвиг сигнала? Если да, то что это была за задача, и как вы ее решали?

Дополнение: См также заметки Получаем сигналы с фазовым сдвигом 90° при помощи двойного D-триггера 74HC74 и Генерация сигналов с фазовым сдвигом при помощи Si5351.

Метки: Беспроводная связь, Любительское радио, Электроника.

Предполагаемое время на прочтение: 7 минут(ы)

Фазовый сдвиг – что это? А фаза звукового сигнала? Попробуем немного разобраться в этом вопросе. Не факт, что смогу ясно разъяснить этот вопрос, но примерное понятие должно получиться.

Пролог

Музыканты, меломаны, а так же, любители “хай-эндовского” звука, в разговорах между собой, часто используют, вроде бы всем понятные термины – спектр, фаза, частота, меандр, глубина и локализация сцены, и прочие узкозначимые слова. Но зачастую, даже некоторые из “знатоков”, до конца не могут понять, что же это на самом деле такое.

Такие понятия как – “Фазовый сдвиг” очень часто упоминаются при проектировании кроссоверов для акустики. Подробно про кроссоверы мы уже поговорили чуть ранее.

При наличии интернета выяснить тот или иной вопрос не составляет проблем. В отсутствии такового – можно сходить в библиотеку, найти пару реально научных книжек и почитать саму теорию. Но все нынче стали на столько занятые, что даже выуживать информацию из интернета – времени нет. Попробуем найти простое объяснение – что же такое “фазовый сдвиг”?

Что означают эти термины на самом деле? Можно ли “пощупать” их истинное значение? Да, однозначно, можно. Сейчас мы попробуем разобраться в вопросе – “Что такое – фазовый сдвиг?”

Фаза сигнала

Для начала порассуждаем, что такое – “фаза сигнала”. Фаза сигнала никогда не существует сама по себе. Это виртуальное понятие. Вообще, можно сказать так: Фаза – это уровень сигнала в текущий момент времени, или иначе, – это уровень звукового давления в текущий момент времени в измеряемой точке пространства (к примеру, это место, где находится слушатель).

Вот картинка, изображающая звуковые волны в фазе. К примеру, звуковые сигналы двух каналов нашей акустики совпадают. В этом случае, музыка звучит чётко, без каких либо искажений. В музыкальном произведении можно услышать все задействованные инструменты, которые звукорежиссер слышал при записи. Имеется некая область звукового давления, где ощущается “эффект присутствия” – это то, о чем спорят меломаны и аудиофилы. Иными словами – получаем ожидаемый звук и впечатления.

На следующей картинке ниже, фаза смещена на 90 градусов, или на четверть фазы. Этот эффект можно услышать в виде небольшого эха. Это может и не связано с оборудованием самой комнаты. Эффект звуковой задержки с небольшим смещением фазы вносит некую сумятицу в музыку, теряется “картинка”, исполнители “уходят в разные стороны”, появляется ощущение, что находишься в огромном зале с каменными стенами. Звуки становятся не естественными, искаженными.

Далее, мы наблюдаем смещение фаз на 180 градусов. То есть, акустика в этом случае играет в противофазе. Чуть ниже подробно об этом. В данном случае, общая “звуковая картина” на столько становится не понятной, что слушать музыку становится просто не интересно и противно. Звуки становятся “ватные”, многие часты просто могут отсутствовать, хотя они и воспроизводятся колонками. Может сложиться такое впечатление, что слушаешь музыку в завязанной шапке-ушанке.

Далее, немного теории без научных выкладок.

К примеру, слушая, сидя у себя дома, свои акустические системы, мы слышим, как они порождают в районе дивана те или иные переменные звуковые давления. Звуковые волны складываются друг с другом. Эти волны имеют разные частоты и амплитуду. Они то нарастают, то убывают.

Противофаза

А теперь предположим, что давления от обоих колонок (звуковые волны) изменяются одинаково, но имеют противоположную направленность. То есть, одна колонка излучает “плюсовые” волны, а другая колонка – “минусовые”. Это может случиться, когда слушатель, случайно, перепутал клеммы подключения одного из каналов (левый канал например).

Немного проще. Динамики правой колонки играют вперёд, а динамики в левой колонке играют назад, одновременно пытаясь воспроизводить одну и туже частоту. Одна колонка создаёт давление, скажем, 1 Паскаль, а другая – минус 1 Паскаль. Такой эффект называется – противофаза.

Общая громкость звука в том месте, где находится слушатель, теоретически, должна стремится к нулю, но это не означает, что какой либо звук вообще будет не слышно. В этом случае, может сильно поломаться “звуковая сцена”, “картинка” музыкального произведения, а в каком либо месте помещения звук реально будет затухать, но не совсем. Звук станет “смазанным” и исчезнут некоторые частотные составляющие из общего звукового сигнала.

Не будем вдаваться в непростую научную формулировку, приводя формулы. Можно сказать так, что из второй колонки звук доходит к слушателю, но с задержкой по времени (не забываем, что сигнал на колонки подаётся одинаковый!). И задержка в этом случае получается именно 180 градусов. Почему так? Попробуем разобраться на картинке, нагляднее – понятнее.

360 градусов – длина периода сигнала (Фаза), 180 градусов – половина периода сигнала.

Фазовый сдвиг

А теперь, мы дошли до момента, когда можно уже разобрать вопрос – “Что такое – фазовый сдвиг?”

Фаза — это временная связь двух сигналов. И в течении периода колебания меняется от 0 до 360 градусов. Потом опять – от 0 до 360, и так далее. Можно сказать, что это мгновенный уровень сигнала в определенной точке времени внутри периода. Саму фазу мы не слышим, но слышим фазовый сдвиг одного сигнала относительно другого.

Вики про это говорит так: Сдвиг фаз — это разность между начальными фазами двух переменных величин, изменяющихся во времени периодически с одинаковой частотой.

Фазовый сдвиг является безмерной величиной и измеряется в градусах или долях периода.

Вывод

Предположим, вы подключили два динамика к выходу усилителя (пусть физически это будут ваши акустические системы). Один динамик как положено – плюс на плюс, минус на минус. А второй, перепутали и он получился подключенным плюс на минус и минус на плюс. Включив усилитель, что мы услышим? Вероятнее всего – жалкое подобие звука. Один динамик будет как-бы гасить сигнал другого своими звуковыми волнами.

На картинках ниже будет нагляднее. Представим, что это мы видим на экране осциллографа, который измеряет сигналы левого и правого каналов вашего усилителя.

На первой картинке левый и правый канал – в фазе. Сигнал одинаков в обоих каналах. Линии идеально повторяют сигнал. У них синхронная амплитуда на всем протяжении. Тут можно сказать, что сигналы находятся «в фазе». Если практически, то суммирующий уровень сигнала будет усиливаться сигналами левого и правого каналов.

Вторая картинка демонстрирует осциллограмму полного не совпадения. “Горб” левого канала по времени совпадает с “ямой” правого. Чисто по школьной физике – в результате сложения таких колебаний, в идеале, получится ноль. Эти сигналы будут взаимно подавлять друг друга. Сигналы в противофазе.

Фазовый сдвиг подразумевает запаздывание первого сигнала по времени относительно второго.

При двух гармонических колебаниях одной частоты результатом сдвига фаз будет частичное ослабление сигнала. Степень ослабления результирующего сигнала будет зависеть как раз от этого самого сдвига фаз. В предельном случае (в противофазе), на выходе получится абсолютный ноль.

Все эти картинки и рассуждения, о физических свойствах звуковых волн, отдаленно относятся к практике, к реальности. Звуки любого музыкального инструмента нельзя назвать – “одночастотным сигналом” (как осциллограмма на картинках). Частичный сдвиг фаз может ослаблять одни частоты по сравнению с другими. А иногда, усиливать некоторые из них.

In physics and mathematics, the phase of a periodic function of some real variable (such as time) is an angle-like quantity representing the fraction of the cycle covered up to . It is denoted and expressed in such a scale that it varies by one full turn as the variable goes through each period (and goes through each complete cycle). It may be measured in any angular unit such as degrees or radians, thus increasing by 360° or as the variable completes a full period.^[1]

This convention is especially appropriate for a sinusoidal function, since its value at any argument then can be expressed as , the sine of the phase, multiplied by some factor (the amplitude of the sinusoid). (The cosine may be used instead of sine, depending on where one considers each period to start.)

Usually, whole turns are ignored when expressing the phase; so that is also a periodic function, with the same period as , that repeatedly scans the same range of angles as goes through each period. Then, is said to be «at the same phase» at two argument values and (that is, ) if the difference between them is a whole number of periods.

The numeric value of the phase depends on the arbitrary choice of the start of each period, and on the interval of angles that each period is to be mapped to.

The term «phase» is also used when comparing a periodic function with a shifted version of it. If the shift in is expressed as a fraction of the period, and then scaled to an angle spanning a whole turn, one gets the phase shift, phase offset, or phase difference of relative to . If is a «canonical» function for a class of signals, like is for all sinusoidal signals, then is called the initial phase of .

Mathematical definition[edit]

Let be a periodic signal (that is, a function of one real variable), and be its period (that is, the smallest positive real number such that for all ). Then the phase of at any argument is

Here denotes the fractional part of a real number, discarding its integer part; that is, ; and is an arbitrary «origin» value of the argument, that one considers to be the beginning of a cycle.

This concept can be visualized by imagining a clock with a hand that turns at constant speed, making a full turn every seconds, and is pointing straight up at time . The phase is then the angle from the 12:00 position to the current position of the hand, at time , measured clockwise.

The phase concept is most useful when the origin is chosen based on features of . For example, for a sinusoid, a convenient choice is any where the function’s value changes from zero to positive.

The formula above gives the phase as an angle in radians between 0 and . To get the phase as an angle between and , one uses instead

The phase expressed in degrees (from 0° to 360°, or from −180° to +180°) is defined the same way, except with «360°» in place of «2π».

Consequences[edit]

With any of the above definitions, the phase of a periodic signal is periodic too, with the same period :

for all .

The phase is zero at the start of each period; that is

for any integer .

Moreover, for any given choice of the origin , the value of the signal for any argument depends only on its phase at . Namely, one can write , where is a function of an angle, defined only for a single full turn, that describes the variation of as ranges over a single period.

In fact, every periodic signal with a specific waveform can be expressed as

where is a «canonical» function of a phase angle in
0 to 2π, that describes just one cycle of that waveform; and is a scaling factor for the amplitude. (This claim assumes that the starting time chosen to compute the phase of corresponds to argument 0 of .)

Adding and comparing phases[edit]

Since phases are angles, any whole full turns should usually be ignored when performing arithmetic operations on them. That is, the sum and difference of two phases (in degrees) should be computed by the formulas

and

respectively. Thus, for example, the sum of phase angles 190° + 200° is 30° (190 + 200 = 390, minus one full turn), and subtracting 50° from 30° gives a phase of 340° (30 — 50 = −20, plus one full turn).

Similar formulas hold for radians, with instead of 360.

Phase shift [edit]

The difference between the phases of two periodic signals and is called the phase difference or phase shift of relative to .^[1] At values of when the difference is zero, the two signals are said to be in phase, otherwise they are out of phase with each other.

In the clock analogy, each signal is represented by a hand (or pointer) of the same clock, both turning at constant but possibly different speeds. The phase difference is then the angle between the two hands, measured clockwise.

The phase difference is particularly important when two signals are added together by a physical process, such as two periodic sound waves emitted by two sources and recorded together by a microphone. This is usually the case in linear systems, when the superposition principle holds.

For arguments when the phase difference is zero, the two signals will have the same sign and will be reinforcing each other. One says that constructive interference is occurring. At arguments when the phases are different, the value of the sum depends on the waveform.

For sinusoids[edit]

For sinusoidal signals, when the phase difference is 180° ( radians), one says that the phases are opposite, and that the signals are in antiphase. Then the signals have opposite signs, and destructive interference occurs.
Conversely, a phase reversal or phase inversion implies a 180-degree phase shift.^[2]

When the phase difference is a quarter of turn (a right angle, +90° = π/2 or −90° = 270° = −π/2 = 3π/2), sinusoidal signals are sometimes said to be in quadrature (e.g., in-phase and quadrature components).

If the frequencies are different, the phase difference increases linearly with the argument . The periodic changes from reinforcement and opposition cause a phenomenon called beating.

For shifted signals[edit]

The phase difference is especially important when comparing a periodic signal with a shifted and possibly scaled version of it. That is, suppose that for some constants and all . Suppose also that the origin for computing the phase of has been shifted too. In that case, the phase difference is a constant (independent of ), called the ‘phase shift’ or ‘phase offset’ of relative to . In the clock analogy, this situation corresponds to the two hands turning at the same speed, so that the angle between them is constant.

In this case, the phase shift is simply the argument shift , expressed as a fraction of the common period (in terms of the modulo operation) of the two signals and then scaled to a full turn:

If is a «canonical» representative for a class of signals, like is for all sinusoidal signals, then the phase shift called simply the initial phase of .

Therefore, when two periodic signals have the same frequency, they are always in phase, or always out of phase. Physically, this situation commonly occurs, for many reasons. For example, the two signals may be a periodic soundwave recorded by two microphones at separate locations. Or, conversely, they may be periodic soundwaves created by two separate speakers from the same electrical signal, and recorded by a single microphone. They may be a radio signal that reaches the receiving antenna in a straight line, and a copy of it that was reflected off a large building nearby.

A well-known example of phase difference is the length of shadows seen at different points of Earth. To a first approximation, if is the length seen at time at one spot, and is the length seen at the same time at a longitude 30° west of that point, then the phase difference between the two signals will be 30° (assuming that, in each signal, each period starts when the shadow is shortest).

For sinusoids with same frequency[edit]

For sinusoidal signals (and a few other waveforms, like square or symmetric triangular), a phase shift of 180° is equivalent to a phase shift of 0° with negation of the amplitude. When two signals with these waveforms, same period, and opposite phases are added together, the sum is either identically zero, or is a sinusoidal signal with the same period and phase, whose amplitude is the difference of the original amplitudes.

The phase shift of the co-sine function relative to the sine function is +90°. It follows that, for two sinusoidal signals and with same frequency and amplitudes and , and has phase shift +90° relative to , the sum is a sinusoidal signal with the same frequency, with amplitude and phase shift from , such that

and .

A real-world example of a sonic phase difference occurs in the warble of a Native American flute. The amplitude of different harmonic components of same long-held note on the flute come into dominance at different points in the phase cycle. The phase difference between the different harmonics can be observed on a spectrogram of the sound of a warbling flute.^[4]

Phase comparison[edit]

Phase comparison is a comparison of the phase of two waveforms, usually of the same nominal frequency. In time and frequency, the purpose of a phase comparison is generally to determine the frequency offset (difference between signal cycles) with respect to a reference.^[3]

A phase comparison can be made by connecting two signals to a two-channel oscilloscope. The oscilloscope will display two sine signals, as shown in the graphic to the right. In the adjacent image, the top sine signal is the test frequency, and the bottom sine signal represents a signal from the reference.

If the two frequencies were exactly the same, their phase relationship would not change and both would appear to be stationary on the oscilloscope display. Since the two frequencies are not exactly the same, the reference appears to be stationary and the test signal moves. By measuring the rate of motion of the test signal the offset between frequencies can be determined.

Vertical lines have been drawn through the points where each sine signal passes through zero. The bottom of the figure shows bars whose width represents the phase difference between the signals. In this case the phase difference is increasing, indicating that the test signal is lower in frequency than the reference.^[3]

Formula for phase of an oscillation or a periodic signal[edit]

The phase of an oscillation or signal refers to a sinusoidal function such as the following:

where , , and are constant parameters called the amplitude, frequency, and phase of the sinusoid. These signals are periodic with period , and they are identical except for a displacement of along the axis. The term phase can refer to several different things:

See also[edit]

References[edit]

External links[edit]

• «What is a phase?». Prof. Jeffrey Hass. «An Acoustics Primer«, Section 8. Indiana University, 2003. See also: (pages 1 thru 3, 2013)
• Phase angle, phase difference, time delay, and frequency
• ECE 209: Sources of Phase Shift — Discusses the time-domain sources of phase shift in simple linear time-invariant circuits.
• Open Source Physics JavaScript HTML5
• Phase Difference Java Applet

In physics and mathematics, the phase of a periodic function of some real variable (such as time) is an angle-like quantity representing the fraction of the cycle covered up to . It is denoted and expressed in such a scale that it varies by one full turn as the variable goes through each period (and goes through each complete cycle). It may be measured in any angular unit such as degrees or radians, thus increasing by 360° or as the variable completes a full period.^[1]

This convention is especially appropriate for a sinusoidal function, since its value at any argument then can be expressed as , the sine of the phase, multiplied by some factor (the amplitude of the sinusoid). (The cosine may be used instead of sine, depending on where one considers each period to start.)

Usually, whole turns are ignored when expressing the phase; so that is also a periodic function, with the same period as , that repeatedly scans the same range of angles as goes through each period. Then, is said to be «at the same phase» at two argument values and (that is, ) if the difference between them is a whole number of periods.

The numeric value of the phase depends on the arbitrary choice of the start of each period, and on the interval of angles that each period is to be mapped to.

The term «phase» is also used when comparing a periodic function with a shifted version of it. If the shift in is expressed as a fraction of the period, and then scaled to an angle spanning a whole turn, one gets the phase shift, phase offset, or phase difference of relative to . If is a «canonical» function for a class of signals, like is for all sinusoidal signals, then is called the initial phase of .

Mathematical definition[edit]

Let be a periodic signal (that is, a function of one real variable), and be its period (that is, the smallest positive real number such that for all ). Then the phase of at any argument is

Here denotes the fractional part of a real number, discarding its integer part; that is, ; and is an arbitrary «origin» value of the argument, that one considers to be the beginning of a cycle.

This concept can be visualized by imagining a clock with a hand that turns at constant speed, making a full turn every seconds, and is pointing straight up at time . The phase is then the angle from the 12:00 position to the current position of the hand, at time , measured clockwise.

The phase concept is most useful when the origin is chosen based on features of . For example, for a sinusoid, a convenient choice is any where the function’s value changes from zero to positive.

The formula above gives the phase as an angle in radians between 0 and . To get the phase as an angle between and , one uses instead

The phase expressed in degrees (from 0° to 360°, or from −180° to +180°) is defined the same way, except with «360°» in place of «2π».

Consequences[edit]

With any of the above definitions, the phase of a periodic signal is periodic too, with the same period :

for all .

The phase is zero at the start of each period; that is

for any integer .

Moreover, for any given choice of the origin , the value of the signal for any argument depends only on its phase at . Namely, one can write , where is a function of an angle, defined only for a single full turn, that describes the variation of as ranges over a single period.

In fact, every periodic signal with a specific waveform can be expressed as

where is a «canonical» function of a phase angle in
0 to 2π, that describes just one cycle of that waveform; and is a scaling factor for the amplitude. (This claim assumes that the starting time chosen to compute the phase of corresponds to argument 0 of .)

Adding and comparing phases[edit]

Since phases are angles, any whole full turns should usually be ignored when performing arithmetic operations on them. That is, the sum and difference of two phases (in degrees) should be computed by the formulas

and

respectively. Thus, for example, the sum of phase angles 190° + 200° is 30° (190 + 200 = 390, minus one full turn), and subtracting 50° from 30° gives a phase of 340° (30 — 50 = −20, plus one full turn).

Similar formulas hold for radians, with instead of 360.

Phase shift [edit]

The difference between the phases of two periodic signals and is called the phase difference or phase shift of relative to .^[1] At values of when the difference is zero, the two signals are said to be in phase, otherwise they are out of phase with each other.

In the clock analogy, each signal is represented by a hand (or pointer) of the same clock, both turning at constant but possibly different speeds. The phase difference is then the angle between the two hands, measured clockwise.

The phase difference is particularly important when two signals are added together by a physical process, such as two periodic sound waves emitted by two sources and recorded together by a microphone. This is usually the case in linear systems, when the superposition principle holds.

For arguments when the phase difference is zero, the two signals will have the same sign and will be reinforcing each other. One says that constructive interference is occurring. At arguments when the phases are different, the value of the sum depends on the waveform.

For sinusoids[edit]

For sinusoidal signals, when the phase difference is 180° ( radians), one says that the phases are opposite, and that the signals are in antiphase. Then the signals have opposite signs, and destructive interference occurs.
Conversely, a phase reversal or phase inversion implies a 180-degree phase shift.^[2]

When the phase difference is a quarter of turn (a right angle, +90° = π/2 or −90° = 270° = −π/2 = 3π/2), sinusoidal signals are sometimes said to be in quadrature (e.g., in-phase and quadrature components).

If the frequencies are different, the phase difference increases linearly with the argument . The periodic changes from reinforcement and opposition cause a phenomenon called beating.

For shifted signals[edit]

The phase difference is especially important when comparing a periodic signal with a shifted and possibly scaled version of it. That is, suppose that for some constants and all . Suppose also that the origin for computing the phase of has been shifted too. In that case, the phase difference is a constant (independent of ), called the ‘phase shift’ or ‘phase offset’ of relative to . In the clock analogy, this situation corresponds to the two hands turning at the same speed, so that the angle between them is constant.

In this case, the phase shift is simply the argument shift , expressed as a fraction of the common period (in terms of the modulo operation) of the two signals and then scaled to a full turn:

If is a «canonical» representative for a class of signals, like is for all sinusoidal signals, then the phase shift called simply the initial phase of .

Therefore, when two periodic signals have the same frequency, they are always in phase, or always out of phase. Physically, this situation commonly occurs, for many reasons. For example, the two signals may be a periodic soundwave recorded by two microphones at separate locations. Or, conversely, they may be periodic soundwaves created by two separate speakers from the same electrical signal, and recorded by a single microphone. They may be a radio signal that reaches the receiving antenna in a straight line, and a copy of it that was reflected off a large building nearby.

A well-known example of phase difference is the length of shadows seen at different points of Earth. To a first approximation, if is the length seen at time at one spot, and is the length seen at the same time at a longitude 30° west of that point, then the phase difference between the two signals will be 30° (assuming that, in each signal, each period starts when the shadow is shortest).

For sinusoids with same frequency[edit]

For sinusoidal signals (and a few other waveforms, like square or symmetric triangular), a phase shift of 180° is equivalent to a phase shift of 0° with negation of the amplitude. When two signals with these waveforms, same period, and opposite phases are added together, the sum is either identically zero, or is a sinusoidal signal with the same period and phase, whose amplitude is the difference of the original amplitudes.

The phase shift of the co-sine function relative to the sine function is +90°. It follows that, for two sinusoidal signals and with same frequency and amplitudes and , and has phase shift +90° relative to , the sum is a sinusoidal signal with the same frequency, with amplitude and phase shift from , such that

and .

A real-world example of a sonic phase difference occurs in the warble of a Native American flute. The amplitude of different harmonic components of same long-held note on the flute come into dominance at different points in the phase cycle. The phase difference between the different harmonics can be observed on a spectrogram of the sound of a warbling flute.^[4]

Phase comparison[edit]

Phase comparison is a comparison of the phase of two waveforms, usually of the same nominal frequency. In time and frequency, the purpose of a phase comparison is generally to determine the frequency offset (difference between signal cycles) with respect to a reference.^[3]

A phase comparison can be made by connecting two signals to a two-channel oscilloscope. The oscilloscope will display two sine signals, as shown in the graphic to the right. In the adjacent image, the top sine signal is the test frequency, and the bottom sine signal represents a signal from the reference.

If the two frequencies were exactly the same, their phase relationship would not change and both would appear to be stationary on the oscilloscope display. Since the two frequencies are not exactly the same, the reference appears to be stationary and the test signal moves. By measuring the rate of motion of the test signal the offset between frequencies can be determined.

Vertical lines have been drawn through the points where each sine signal passes through zero. The bottom of the figure shows bars whose width represents the phase difference between the signals. In this case the phase difference is increasing, indicating that the test signal is lower in frequency than the reference.^[3]

Formula for phase of an oscillation or a periodic signal[edit]

The phase of an oscillation or signal refers to a sinusoidal function such as the following:

where , , and are constant parameters called the amplitude, frequency, and phase of the sinusoid. These signals are periodic with period , and they are identical except for a displacement of along the axis. The term phase can refer to several different things:

See also[edit]

References[edit]

External links[edit]

• «What is a phase?». Prof. Jeffrey Hass. «An Acoustics Primer«, Section 8. Indiana University, 2003. See also: (pages 1 thru 3, 2013)
• Phase angle, phase difference, time delay, and frequency
• ECE 209: Sources of Phase Shift — Discusses the time-domain sources of phase shift in simple linear time-invariant circuits.
• Open Source Physics JavaScript HTML5
• Phase Difference Java Applet

Журнал РАДИОЛОЦМАН, август 2014

Einar Abell

EDN

Предлагается простой способ формирования многофазного тактового сигнала, при управлении частотой которого фазовые соотношения остаются практически неизменными.

Сдвиг фазы сигнала на втором выходе можно перестраивать практически от нуля до 180°, не затрагивая его частоту. Базовая схема содержит минимальное количество компонентов: один конденсатор, два резистора и два триггера Шмитта (Рисунок 1).

Рисунок 1.	Двухфазный генератор с регулировкой частоты и фазового сдвига.

Частота является функцией емкости конденсатора C1 и суммы сопротивлений резисторов R1 и R2. Сигнал, опережающий по фазе сигнал на опорном выходе U1, формируется на выходе микросхемы U2, вход которой подключен к движку потенциометра R1. Когда уровень напряжения на выходе U1 высокий, и конденсатор C1 заряжается, напряжение на входе U2 будет больше, чем на входе U1, вследствие чего U2 переключится раньше, чем U1, то есть, опередит U1 по фазе. При низком уровне на выходе U1 напряжение на входе U2 будет ниже, чем на входе U1, и U2 опять будет впереди U1. Чем ближе друг к другу движки потенциометров R1 и R2, тем больше будут различаться фазы на двух выходах.

Входные пороги КМОП триггеров Шмитта не вполне симметричны по отношению к выходу, поэтому два фазовых сдвига не будут одинаковыми. Эта асимметрия особенно заметна при небольшом опережении фазы.

Резистор R1 управляет фазовым сдвигом, а с помощью R2 можно подстраивать частоту. Поскольку регулировка частоты приводит к изменению фазы, частоту надо всегда устанавливать первой, а фазу – последней. На схеме я показал переменные резисторы, но вы можете любой из них, или же оба, заменить постоянными, а также объединить R1 и R2 в один переменный резистор, отказавшись от управления частотой и ограничив диапазон регулировки. Небольшие различия в пороговых напряжениях микросхем U1 и U2 не позволят установить сдвиг фаз нулевым или близким к нулю.

Рисунок 2 демонстрирует способ управления частотой, при котором изменения фазы минимальны. В этой схеме резисторы R1 и R2 задают частоту сигнала, а R3 и R4 – фазу. Сумма сопротивлений резисторов R3 и R4 должна быть равна или больше суммы сопротивлений R1 и R2. Реальный диапазон перестройки частоты, который вам удастся получить, сохранив изменение фазы на приемлемо низком уровне, составит одну декаду или что-то около того. Добиться большего вам не удастся, поскольку схема будет работать плохо из-за фазового сдвига, вносимого входной емкостью U2, влияние которой на более высоких частотах становится весьма значительным.

Рисунок 2.	Генератор с уменьшенной зависимостью частоты от фазы.

Для простоты я представил только двухфазную схему, но добавив еще какое-то количество резисторов или потенциометров, количество фаз можно увеличить. Так, например, если R3 на Рисунке 2 разделить на две равные части, а сигнал, взятый со средней точки, инвертировать относительно остальных двух фаз, можно получить в результате классическую трехфазную схему. Реализация схемы не ограничивается только КМОП триггерами Шмитта; в ней возможно также использовать генераторы, сделанные на основе компараторов или таймера 556.