Как изменить момент инерции системы - Исправление ошибок и поиск оптимальных решений проблем

Цель работы –
изучение основного закона динамики
вращательного движения, определение
момента инерции системы грузов.

Приборы
и принадлежности:
лабораторный модуль ЛКМ-3 со стойкой и
блоком,
стержень с отверстиями, два круглых
груза, груз наборный, нить длиной
55 см с крючком (синяя), измерительная
система ИСМ-1 (секундомер), пластиковый
фиксатор.

Краткая теория

Основной закон
динамики вращательного движения твердого
тела относительно неподвижной оси

(1)

связывает
кинематическую характеристику движения
– угловое ускорение

с динамическими
характеристиками
– моментом силы
и моментом инерции I
(рис. 1).

Угловое
ускорение характеризует изменение
угловой скорости
во времени и направлено, как и момент
силы, вдоль
оси вращения.

Рис. 1. Момент M
силы F

.
(2)

Угловое ускорение
связано с касательной составляющей
линейного ускорения а_τ
точки
вращающегося тела соотношением

,
(3)

где
r
–- кратчайшее
расстояние от этой точки до оси вращения.

Моментом
силы в общем случае называют векторную
величину

,
(4)

где

– сила,
лежащая в плоскости, перпендикулярной
оси вращения;
–
вектор, соединяющий точку на осиc
точкой приложения силы.

В уравнении (1)
– сумма составляющих
моментов сил вдоль направления оси
вращения.

Момент
инерции I
характеризует распределение массы в
твердом теле относительно
оси вращения и является мерой инертности
вращающегося тела. Момент
инерции равен сумме произведений
элементарных масс Δm_i, на
которые
мысленно разбито тело, на квадрат их
расстояний до оси вращения

I
=
Σ
Δm_ir_i_.(5)

Выражая Δm_i
через плотность тела: Δm_i
=ρ
ΔV_i,
где ΔV_i
– элементарный
объем тела, и переходя к пределу при ΔV_i
→ 0, получим

(6)

Формула
(6) позволяет теоретически найти момент
инерции любого тела. Например,
момент инерции тонкого однородного
стержня длиной l
и массой т
относительно
оси, проходящей перпендикулярно стержню
через его центр,

I
=
т
l
²/
12 .

Теорема Штейнера
устанавливает связь между моментом
инерции I_ствердого
тела относительно оси, проходящей через
центр инерции, и моментом
инерции относительно другой оси,
параллельной первой

I
= I_с
+ та²
, (7)

где а
– расстояние
между осями, т
– масса
тела.

В настоящей работе
экспериментально находится момент
инерции маятника Обербека (рис.2). Он
состоит из блока радиусом R,
который может вращаться вокруг неподвижной
горизонтальной оси. К блоку прикреплены
симметрично относительно
оси стержни,
на каждом из которых могут свободно
перемещаться грузы массами m₁,
что дает возможность изменять момент
инерции маятника. Грузы m₁
устанавливаются на одинаковом расстоянии
от оси, так что центр инерции всей
вращающейся части маятника находится
на оси вращения.

Рис.
2. Маятник Обербека

К
концу нити прикреплен груз массой m.
Из
закона динамики вращательного движения
следует

.
(8)

Момент
силы М,
создающийся
силой натяжения нити, исходя из (4)

,
(9)

где α
– угол между
вектором
и отрезком
R
на рис. 2,
равный 90°; sin
α =
1.

Запишем второй
закон Ньютона для поступательного
движения груза m
в
проекции на направление
ускорения а,

.
(10)

В этой формуле
сила натяжения нити T,
действующая на груз, по модулю равна
силе натяжения нити, действующей на
блок в формуле (9)
(поэтому они обозначены одинаково). Это
справедливо,
если массой нити можно пренебречь по
сравнению с массой груза т.

Из (9) и (10) получим

.
(11)

Тангенциальное
(касательное) ускорение точек участков
нити,намотанной
на блок, и точек на ободе блока равны,
если нет проскальзывания нити
по блоку, и равны ускорению груза m,
если нить нерастяжима.

Тогда
из (3) следует ,
(12)

(13)

Подставляя
(11)и(12)в
(8), получим

Из
этой формулы следует, что ускорение (а)
не зависит от времени, так как все
остальные величины в этом уравнении
постоянны, значит, движение маятника
будет равноускоренным и при нулевой
начальной скорости.

(14)

где
h
– путь,
пройденный грузом т
за
время t.

В
данной работе измеряется время одного
полного оборота блока, и за это время
груз массой m
пройдет путь

h=2πR
.
(15)

Подставив
(14) и (15) в (13), получим формулу для вычисления
момента инерции
маятника

(16)

Момент инерции
маятника Обербека будет изменяться при
изменении расстояния r
от оси
вращения маятника до центров грузов
массами m₁,перемещаемых
вдоль стержней.

Согласно теореме
Штейнера (7)

,
(17)

где
I_c
– момент
инерции всей вращающейся части маятника
при условии, что центры
грузов m₁
находились
бы на оси вращения.

Из (17) следует, что
зависимостьот

– линейная. В рассмотренной теории
движения маятника Обербека не учитывались
силы
трения в подшипниках оси блока и
сопротивление воздуха. Пренебрежение
действием этих сил является главной
причиной систематической
погрешности измерения момента инерции.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Макеты страниц

II. Общие теоремы

317. Изменение момента инерции системы относительно оси, перемещающейся параллельно самой себе.

Это изменение определяется следующей теоремой:

Момент инерции системы относительно данной оси равен ее моменту инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести системы, увеличенному на произведение всей массы на квадрат расстояния между обеими осями.

Пусть АВ — произвольно заданная ось. Примем параллельную ось проходящую через центр тяжести, за ось и пусть уравнения заданной оси Момент инерции относительно оси равен

что может быть написано в виде

Но равны нулю, так как центр тяжести лежит на оси таким образом, для момента инерции относительно остается выражение

что и доказывает предложение, так как есть момент инерции относительно оси есть квадрат расстояния между обеими осями. Следовательно, если У есть момент инерции относительно оси — момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести — расстояние между этими двумя осями, то Пусть — момент инерции

относительно оси, имеющей то же направление, но находящейся на расстоянии от центра тяжести. Тогда , следовательно,

Эта формула позволяет вычислить если известны и положение центра тяжести.

Из теоремы вытекает, что из всех моментов инерции относительно осей, имеющих одинаковое направление, наименьший будет относительно той оси, которая проходит через центр тяжести. Все оси заданного направления, относительно которых момент инерции имеет одинаковое значение, образуют круговой цилиндр, ось которого проходит через центр тяжести.

Точно так же можно доказать, что:

Момент инерции системы относительно плоскости равен моменту инерции относительно параллельной плоскости, проходящей через центр тяжести, увеличенному на произведение всей массы на квадрат расстояния между обеими плоскостями.

Момент инерции системы относительно точки О равен моменту инерции относительно центра тяжести увеличенному на произведение всей массы на квадрат расстояния между обеими точками.

Рис. 181.

Источник

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник