Как изменить ранг матрицы

Сиситемы линейных уравнений, теорема Ранг матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы, минор матрицы, свойства ранга матрицы, ступенчатая матрица, вычисление ранга матрицы, метод окаймляющих миноров, приведение матрицы к ступенчатому виду

Ранг матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы.


«Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,
а если хотите научиться решать задачи,
то решайте их
Д. Пойа (1887-1985 г.)

(Математик. Внёс большой вклад в популяризацию математики.
Написал несколько книг о том, как решают задачи и как надо учить решать задачи.)

Уважаемые студенты,

каждый месяц у вас есть возможность попасть на бесплатный вебинар по высшей математике. Темы предстоящих вебинаров выбираем все вместе в Телеграм-канале (ТК). Переходите, кликнув по иконке

Там же будут ссылки на трансляции вебинаров за 30-60 минут до начала. Так что заходите в ТК.

Ранг матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы.

Рассмотрим матрицу

матрица А.

Выделим в ней k-строк и k-столбцов (k≤(min(m,n))). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы.

Рассмотрим всевозможные миноры матрицы А, отличные от нуля.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.

Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают равным нулю.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Ранг матрицы А обозначается r(A) . Если r(A)=r(B) , то матрицы А и В называются эквивалентными. Пишут A̴∼В.

Свойства ранга матрицы:

  1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
  2. Если вычеркнуть из матрицы нулевую строку (столбец), то ранг матрицы не изменится.
  3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Под элементарными преобразованиями понимают:

  • Перестановку строк матрицы;
  • Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
  • Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на произвольное число.

При вычислении ранга матрицы могут быть использованы элементарные преобразования, метод приведения матрицы к ступенчатому виду, метод окаймляющих миноров.

Метод приведения матрицы к ступенчатому виду заключается в том, что при помощи элементарных преобразований данная матрица приводится к ступенчатой.

Матрица называется ступенчатой, если в каждой ее строке первый ненулевой элемент стоит правее, чем в предыдущей (т. е. получаются ступеньки, высота каждой ступеньки должна быть равна единице).

Примеры ступенчатых матриц:

Ступенчатые матрицы

Примеры не ступенчатых матриц:

не ступенчатые матрицы

ПРИМЕР: Найти ранг матрицы:

Пример 1

РЕШЕНИЕ:

Приведем данную матрицу к ступенчатой с помощью элементарных преобразований.

1.Поменяем местами первую и третью строки.

матрицы

2. Получим в первом столбце нули под единицей.

Прибавив ко второй строке первую, умноженную на (-3), к третьей – первую, умноженную на (-5), к четвертой – первую, умноженную на (-3), получим

матрицы

Для того чтобы было понятней где еще нужно получить нули, нарисуем ступеньки в матрице. (Матрица будет ступенчатой, если везде под ступеньками будут нули)

матрицы

3. Прибавив к третьей строке вторую, умноженную на (-1), к четвертой – вторую, умноженную на (-1), получим нули под ступеньками во втором столбце.

матрицы

Если нарисовать опять ступеньки, увидим, что матрица ступенчатая.

матрицы

Ее ранг равен r=3 (число строк ступенчатой матрицы, в каждой из которых хотя бы один элемент отличен от нуля). Следовательно, ранг данной матрицы r=3.

Решение можно записать так:

матрицы

(римскими цифрами обозначены номера строк)

Ответ: r=3.

Минор порядка k+1, содержащий в себе минор порядка k называется окаймляющим минор.

Метод окаймляющих миноров основан на том, что ранг данной матрицы равен порядку такого минора этой матрицы, который отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю.

ПРИМЕР : Найти ранг матрицы:

Матрица

РЕШЕНИЕ:

Найдем теперь ранг этой матрицы методом окаймляющих миноров.

Среди миноров первого порядка есть отличные от нуля, например 5. Среди окаймляющих его миноров есть отличный от нуля, например

минор 2 порядка

Среди миноров, окаймляющих этот минор, есть отличный от нуля, например

минор 3 порядка

Так как единственный минор, окаймляющий последний минор равен нулю, то r=3.

минор 4 порядка

Ответ: r=3.

Если Вам понравился урок и появилось желание поддержать нас, Вы можете:

  1. отправить денежный перевод (комиссия за операцию 1%) по ссылке Ссылка на перевод.

    В открывшемся окне:

    • поставить галочку возле «Добавить сообщение получателю»
    • в появившемся поле оставить сообщение «в дар» или «подарок».

    ИЛИ

  2. оставить комментарий ниже.

Упражнения к уроку:

Найти ранг матрицы:

Матрицы

Показать ответ

В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.

Минор матрицы

Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.

Определение 1

Минор k-ого порядка матрицы — определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.

Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а из тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.

Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.

Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.

При таком выборе элементов минором второго порядка будет -1302=(-1)×2-3×0=-2

Другим минором 2-го порядка матрицы А является 0011=0

Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:

Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:

003112-1-40=0×1×0+0×2×(-1)+3×1×(-4)-3×1×(-1)-0×1×0-0×2×(-4)=-9

Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:

Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что

k≤min(p, n)=min (3, 4)=3

Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?

Число миноров вычисляют по следующей формуле:

Cpk×Cnk, где Сpk=p!k!(p-k)! и Cnk=n!k!(n-k)! — число сочетаний из p по k, из n по k соответственно.

После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.

Ранг матрицы: методы нахождения

Определение 2

Ранг матрицы — наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.

Обозначение 1

Rank (A), Rg (A), Rang (A).

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.

Нахождение ранга матрицы по определению

Определение 3

Метод перебора миноров — метод, основанный на определении ранга матрицы.

Алгоритм действий способом перебора миноров:

Необходимо найти ранг матрицы А порядка p×n. При наличии хотя бы одного элемента, отличного от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (т.к. есть минор 1-го порядка, который не равен нулю).

Далее следует перебор миноров 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то ранг равен единице. При существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-го порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум двум.

Аналогичным образом поступим с рангом 3-го порядка: если все миноры матрицы равняются нулю, то ранг будет равен двум. При наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-го порядка, то ранг матрицы равен минимум трем. И так далее, по аналогии.

Пример 2

Найти ранг матрицы:

А=-11-1-202260-443111-7

Поскольку матрица ненулевая, то ее ранг минимум равен единице.

Минор 2-го порядка -1122=(-1)×2-1×2=4 отличен от нуля. Отсюда следует, что ранг матрицы А не меньше двух.

Перебираем миноры 3-го порядка: С33×С53=15!3!(5-3)!= 10 штук. 

-11-12264311=(-1)×2×11+1×6×4+(-1)×2×3-(-1)×2×4-1×2×11-(-1)×6×3=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0×3=0

-1-1-22604111=(-1)×6×1+(-1)×0×4+(-2)×2×11-(-2)×6×4-(-1)×2×1-(-1)×0×11=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0×3=0

-1-1026-4411-7=(-1)×6×(-7)+(-1)×(-4)×4+0×2×11-0×6×4-(-1)×2×(-7)-(-1)×(-4)×11=0

1-1026-4311-7=1×6×(-7)+(-1)×(-4)×3+0×2×11-0×6×3-(-1)×2×(-7)-1×(-4)×11=0

1-2020-431-7=1×0×(-7)+(-2)×(-4)×3+0×2×1-0×0×3-(-2)×2×(-7)-1×(-4)×1=0

-1-2060-4111-7=(-1)×0×(-7)+(-2)×(-4)×11+0×6×1-0×0×11-(-2)×6×(-7)-(-1)×(-4)×1=0

Миноры 3-го порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.

Ответ: Rank (A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Определение 3

Метод окаймляющих миноров — метод, который позволяет получить результат при меньшей вычислительной работе.

Окаймляющий минор — минор Mok(k+1) -го порядка матрицы А, который окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица, которая соответствует минору Mok , «содержит» матрицу, которая соответствует минору М.

Проще говоря, матрица, которая соответствует окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору Mok , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Пример 3

Найти ранг матрицы:

А=120-13-2037134-21100365

Для нахождения ранга берем минор 2-го порядка М=2-141

Записываем все окаймляющие миноры:

12-1-207341,20-10374-21,2-13071411,12-1341006,20-14-21036,2-13411065.

Чтобы обосновать метод окаймляющих миноров, приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.

Теорема 1

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равна нулю.

Алгоритм действий:

Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть на окаймляющие.

Если окаймляющие миноры равняются нулю, то ранг матрицы нулевой. Если существует хотя бы один минор, который не равен нулю, то рассматриваем окаймляющие миноры.

Если все они равны нулю, то Rank(A) равняется двум. При наличии хотя бы одного ненулевого окаймляющего минора, то приступаем к рассматриванию его окаймляющих миноров. И так далее, аналогичным образом.

Пример 4

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

А=210-134210-12111-40024-14

Как решить?

Поскольку элемент а11 матрицы А не равен нулю, то возьмем минор 1-го порядка. Начнем искать окаймляющий минор, отличный от нуля:

2142=2×2-1×4=02041=2×1-0×4=2

Мы нашли окаймляющий минор 2-го порядка не равный нулю 2041.

Осуществим перебор окаймляющих миноров — (их(4-2)×(5-2)=6 штук).

210421211=0; 20-1410211=0; 20341-121-4=0;210421002=0; 20-1410024=0; 20341-102-14=0

Ответ: Rank(A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.

Элементарные преобразования:

  • путем перестановки строк (столбцов) матрицы;
  • путем умножение всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное ненулевое число k;

путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.

Определение 5

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса — метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:

  • в случае перестановки строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то и при перестановке строк или столбцов остается равным нулю;
  • в случае умножения всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, которое не равняется нулю, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, которая умножена на k;

в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований: привести матрицу ,чей ранг необходимо найти, к трапециевидной при помощи элементарных преобразований.

Для чего?

Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.

Проиллюстрируем этот процесс:

  • для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-2b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01000⋯00⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00, Rank(A)=n

или

А~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0, Rank(A)=k

  • для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов:

А~1b12b13⋯b1pb1p+1⋯b1n01b23⋯b2pb2p+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bpp+1⋯bpn, Rank(A)=p

или

А~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0

  • для квадратных матриц А порядка n на n:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-1b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01, Rank(A)=n

или

A~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0, Rank(A)=k, k<n

Пример 5

Найти ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411

Как решить?

Поскольку элемент а11 отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на 1а11=12:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411~

Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибавляем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1):

~А(1)=112-13300-11-12-75-24-1572-411~А(2)==112-133+1(-3)0+12(-3)0+(-1)(-3)-1+3(-3)1+1(-3)-1+12(-3)2+(-1)(-1)-7+3(-1)5+1(-5)-2+12(-5)4+(-1)(-5)-15+3(-5)7+1(-7)2+12(-7)-4+(-1)(-7)11+3(-7)=

=112-130-323-100-323-100-929-300-323-10

Элемент а22(2) отличен от нуля, поэтому мы умножаем элементы 2-ой строки матрицы А на А(2) на 1а22(2)=-23:

А(3)=112-1301-22030-323-100-929-300-323-10~А(4)=112-1301-22030-32+1323+(-2)32-10+203×320-92+1929+(-2)92-30+203×920-32+1323+(-2)32-10+203×32==112-1301-2203000000000000

  • К элементам 3-ей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы 2-ой строки ,которые умножены на 32;
  • к элементам 4-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 92;
  • к элементам 5-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 32.

Все элементы строк равны нулю. Таким образом, при помощи элементарных преобразований ,мы привели матрицу к трапецеидальному виду, откуда видно, что Rank (A(4))=2 . Отсюда следует, что ранг исходной матрицы также равен двум.

Замечание 

Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближенные значения!

Содержание:

Элементарные преобразования матриц:

Рассмотрим прямоугольную матрицу:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

состоящую из m строк и n столбцов. В п.3.2 отмсчалось, что каждую строку матрицы можно рассматривать как n-мсрный вектор, а каждый столбец — как m-мерный вектор. Тогда матрицу А можно записать в виде:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

и, следовательно, данную матрицу можно рассматривать как систему вектор строк или вектор столбцов. Б указанных системах вектор-строк и вектор-столбцов можно выделять линейно независимые (зависимые) векторы. Тогда будем говорить, что строки (столбцы) матрицы линейно независимы (зависимы), если соответствующие им векторы независимы (зависимы).

Определения

Определение: Рангом системы строк (соответственно столбцов) матрицы А называется наибольшее число линейно независимых среди них.

Поскольку легко доказать, что ранг системы строк матрицы равен рангу системы её столбцов, то справедливо следующее

Определение: Рангом матрицы, обозначаемым r(А), называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

При транспонировании матрицы ранг её не изменяется.

Другой метод определения ранга матрицы связан с понятием определителя.

Выделим в матрице А любые k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на их пересечении, образуют квадратную матрицу, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А. Ясно, что величина к должна удовлетворять двум условиям:Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения . Полагая последовательно k = 1,2,…,l, где

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения, составляем при каждом k все миноры k-то порядка матрицы А. Тогда можно сформулировать еще одно определение ранга матрицы.

Определение: Рангом матрицы, обозначаемым r(А), называется порядок самого старшего минора этой матрицы, не равного нулю.

Из определения следует, что если ранг матрицы А равен l, то среди всех её миноров существует хотя бы один минор l-го порядка, отличный от нуля, но все миноры (l+1)-го порядков либо равны нулю, либо не могут быть составлены.

Вычисление ранга матрицы путём перебора всех её миноров весьма трудоёмко. Существует, однако, более простой способ вычисления ранга матрицы, основанный на упрощении структуры матрицы с помощью элементарных преобразований. Элементариыми преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

  1. обмен местами двух строк или двух столбцов матрицы;
  2. умножение всех элементов строки или столбца матрицы на произвольное число Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения, не равное нулю;
  3. прибавление ко всем элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на одно и то же число;
  4. исключение из матрицы строки или столбца, состоящего из нулей.

Матрицы называются эквивалентными, если от одной из них к другой можно перейти путём конечного числа элементарных преобразований.

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая тому свойству, что если в какой-либо из сё строк первый отличный от нуля элемент стоит на l-м месте, то во всех следующих строках на первых l местах стоят нули:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

где элементы Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения отличны от нуля, а все элементы, стоящие под ними, равны нулю.

Для вычисления ранга матрицы приводят её с помощью цепочки элементарных преобразований к ступенчатому виду. Тогда ранг матрицы совпадает с числом её ненулевых диагональных элементов.

Теоремы о ранге матриц. Свойства ранга матриц

Относительно ранга матриц можно сформулировать следующие теоремы:

Теорема: Если матрица имеет минор порядка r, отличный от нуля, для которого все содержащие его миноры порядкаРанг матрицы - определение и вычисление с примерами решения(окаймляющие миноры) равны нулю, то ранг этой матрицы равен r.

Вычисление ранга матрицы при помощи метода окаймления нужно вести от низших порядков к высшим. Сначала ищем минор первого порядка (т.е. элемент матрицы) или сразу второго порядка, отличный от нуля. Затем вычисляем окаймляющие его миноры следующего порядка, пока не найдём среди них отличного от нуля и т.д., пока не найдем минор порядка l, отличный от нуля, для которого либо все окаймляющие его миноры порядка l+1 равны нулю, либо такие миноры не могут быть составлены.

Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство теоремы следует из определения ранга матрицы и свойств определителей.

Пример:

Найти ранг матрицы: Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Минор первого порядка в левом верхнем углу равен Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения. Окаймляющий его минор второго порядка:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения Вычисляем окаймляющий его минор третьего порядка: Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Значит ранг матрицы равен 2.

Пример:

Найти ранг матрицы:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

При помощи элементарных преобразований приведём данную матрицу к ступенчатому виду. На первом шаге умножим последовательно первую строку на 3, 3, 2 и вычтем из второй, третьей, четвёртой строк соответственно:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

В эквивалентной матрице прибавим к третьей строке вторую и вычтем вторую из четвёртой строки:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

(поменяем местами третью и четвертую строки)

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

(поменяем местами третий, четвёртый и пятый столбцы со вторым и опустим строки, состоящие из нулей) Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения Преобразовали матрицу к ступеньчатому виду, у которой на диагонали три ненулевых элемента. Ранг матрицы равен 3.

Отмстим некоторые свойства ранга матриц.

  1. Ранг суммы двух (или нескольких) матриц не больше суммы их рангов.
  2. Любую матрицу ранга r можно представить в виде суммы r матриц ранга 1, но нельзя представить в виде суммы менее чем r таких матриц.
  3. Любую матрицу С ранга r можно представить в виде произведения Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения, где А состоит из r линейно независимых столбцов, г B -из r линейно независимых строк.
  4. Ранг произведения матриц порядка n удовлетворяет неравенству Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения.

Определение системы m линейных уравнений с n неизвестными

Системой m линейных уравнений с n неизвестными Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения называется система вида:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Числа Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения называются соответственно коэффициентами системы и ее свободными членами. Первый индекс i коэффициента Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения соответствует номеру уравнения, в которое входит этот коэффициент, а второй индекс — номеру неизвестной Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения , при которой стоит этот коэффициент. Индекс свободного члена Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения соответствует номеру уравнения, содержащего Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения .

С помощью знака суммированияРанг матрицы - определение и вычисление с примерами решения систему (5.3.1) можно записать в виде:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Матрица

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

составленная из коэффициентов системы Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения, называется матрицей

системы. Если к этой матрице добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы: Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения Обозначив матрицу-столбец неизвестных Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения и матрицу-столбец свободных членов Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения , систему (5. 3.1) можно записать в матричной форме:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения где Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Используется также табличная форма записи системы (5.3.1):Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что (5.3.1), (5.3.2), (5.3.3), (5.3.4)- различные виды записи одной и той же системы линейных уравнений.

Решением системы (5.3.1) называется любой упорядоченный набор действительных чисел Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения, который при подстановке в (5.3.1) вместо неизвестных Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения, обращает каждое из уравнений системы в верное равенство.

Система уравнений (5.3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений с одинаковыми наборами неизвестных Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Отмстим, что для любой системы (5.3.1) возможны только три случая:

  1. система (5.3.1) имеет единственное решение;
  2. система (5.3.1) имеет бесчисленное множество решений;
  3. система (5.3.1) несовместна.

Множество всех решений системы (5.3.1) называется ее общим решением.

Решить систему (5.3.1) — значит найти ее общее решение.

Пример:

Пусть задана система

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Тогда эту систему можно записать в матричном виде:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

или в виде таблицы:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Система определенная, так как она имеет единственное решение Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения. Других решений быть не может, так как прямые

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения на координатной плоскости Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения пересекаются в единственной точке.

Экономические задачи, приводящие к системе линейных уравнений

Предположим, что производственные мощности для изготовления n различных видов продукции установлены в т цехах. Пусть Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения представляет собой суммарную мощность цеха i, и Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения — часть производственного аппарата цеха i, которая необходима для производства единицы продукции вида j. Тогда обозначив через Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения количество выпущенной продукции, получим систему уравнений, показывающих. как можно использовать имеющиеся мощности в полном объёме.

Широкий круг задач экономики приводит к составлению системы уравнений. Так в примере 4.3.2 составлялась система линейных уравнений (4.3.1) балансовой модели для трёх отраслей. В общем случае под балансовой моделью понимается система уравнений, каэ/сдое из которых выражает требование баланса между производимым количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции.

При построении балансовых моделей используется понятие чистой (или технологической) отрасли, т.е. условной отрасли, объединяющей всё производство данного продукта независимо от ведомственной (административной) подчинённости и форм собственности предприятий и фирм. Всё народное хозяйство представляется в виде совокупности п отраслей, каждая из которых рассматривается как производящая и как потребляющая.

Если обозначить через:

то систему уравнений баланса можно записать в виде:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

или в матричной форме:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

где Х- вектор-столбец валовой продукции; Y- вектор-столбец конечной продукции; А — матрица коэффициентов прямых затрат.

Основу экономико-математической модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица А, содержащая коэффициенты прямых затрат на производство единицы продукции:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Коэффициент!,! прямых затрат являются довольно стабильной величиной во времени.

Переписав матричное уравнение (5.4.2) в виде EX-AX = Y или (E-A)X = Y, (5.4.3) получим стандартную форму записи системы уравнений.

Определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выделить произвольно Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения строк и Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения, но всякий минор порядка, большего чем Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения(А).

Очевидно, что выполняется соотношение

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

  1. перестановка двух любых строк (или столбцов),
  2. умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
  3. прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: А ~ В.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы

равны нулю, например, Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Найти методом окаймления миноров ранг матрицы Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения отличный от нуля.

Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, асе окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

Пример:

Найти ранг матрицы Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения и привести ее к каноническому виду.

Решение:

Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки: Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5: Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

из третьей строки вычтем первую; получим матрицу Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Вычисление ранга матрицы

Для исследования разрешимости систем линейных уравнений важную роль играет понятие ранга матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу А Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Выделим k произвольных строк и k произвольных столбцов этой матрицы. Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Обозначение: rank А, Ранг матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Рассмотрим некоторые методы вычисления ранга матрицы.

Метод окаймляющих миноров

Минор порядка k+1, содержащий в себе минор порядка k, называется окаймляющим минором.

Вычисляя ранг матрицы, удобнее переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если найден минор k-го порядка, отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры порядка k+1 равны нулю, то ранг матрицы равен k.

  • Определители второго и третьего порядков и их свойства
  • Метод Гаусса — определение и вычисление
  • Прямая линия на плоскости и в пространстве
  • Плоскость в трехмерном пространстве
  • Кратный интеграл
  • Ряды в математике
  • Дифференциальные уравнения с примерами
  • Обратная матрица — определение и нахождение

Определение ранга матрицы

Ранг матрицы при элементарных
преобразованиях

Линейные комбинации строк или столбцов

Связь ранга с числом независимых
строк (столбцов)

Строка матрицы как линейная комбинация
независимых строк матрицы

Определение ранга
матрицы

Понятие
ранга матрицы одно из фундаментальных
в линейной алгебре. В матрице

размерами

вычеркиванием каких либо строк или
столбцов можно образовать квадратную
матрицу

-го
порядка

.
Определитель

такой матрицы называется минором

-го
порядка
. У матрицы размерами

есть миноры 1-го порядка, 2-го порядка и
так далее до

-го
порядка, где

.
Например, у матрицы

имеются миноры 1-го, 2-го и 3-го порядков.

Определение. Рангом матрицы

называется наивысший порядок отличных
от нуля миноров этой матрицы.

Обозначение: rang A
или

.

Свойства ранга:

1) Ранг нулевой матрицы считается равным
нулю.

2)

.

3)

у матрицы

-го
порядка тогда и только тогда, когда

.

ПРИМЕР. Вычислить
ранг матрицы

.

Решение. Для
матрицы

ранг

.
Чтобы проверить, может ли ранг быть
равным 3, вычислим все миноры 3-го порядка,
которые можно образовать из матрицы
вычеркиванием одного столбца.


,


,


,

.

Следовательно,
ранг не может быть более 2. Легко найти
минор 2-го порядка, отличный от нуля.
Например,

.
Но тогда

.

Поиск ранга матрицы большого порядка
перебором миноров является трудоемкой
задачей. Развиты эффективные методы
определения ранга матрицы.

К введенным ранее трем типам элементарных
преобразований матрицы добавим еще
два:

4) Отбрасывание нулевой строки или
столбца.

5) Транспонирование матрицы.

Ранг матрицы при
элементарных преобразованиях

( о ранге матрицы при элементарных
преобразованиях)

Элементарные
преобразования не изменяют ранга
матрицы.

◄ Рассмотрим последовательно все типы
элементарных преобразований матрицы.

Элементарные преобразования 1-го типа
меняют строки или столбцы в матрице. В
этом случае определитель матрицы меняет
знак, но не может обратиться в нуль.

Элементарные преобразования 2-го типа
умножают строку или столбец на не равное
нулю число. Но тогда определитель
матрицы умножится на это число, что не
может привести к его обнулению.

Элементарные преобразования 3-го типа
приводят к прибавлению к


строке матрицы

ее


строки, что не меняет величины
определителя.

Элементарные преобразования 4-го типа
позволяют отбросить все миноры

-го
порядка, равные нулю, и перейти к
рассмотрению миноров

-го
порядка. На величине ранга это, очевидно,
не отразится.

Элементарные преобразования 5-го типа
транспонируют матрицу, отчего величина
ее определителя, как известно (свойство
3 определителей), не изменяется.

Мы установили, что при элементарных
преобразованиях матриц их определители
либо сохраняются, либо изменяют свою
величину, не обращаясь при этом в нуль.
В результате сохраняется наивысший
порядок отличных от нуля миноров
исходной матрицы, т.е. ее ранг не
изменяется.►

Теорема дает возможность посредством
элементарных преобразований привести
матрицу к определенному виду, когда
ее ранг вычисляется без труда. Рассмотрим
задачу эффективного вычисления ранга
подробнее.

Матрица

называется матрицей ступенчатого
вида
или ступенчатой матрицей,
если она имеет вид

или

,

где

;

.
Ранг ступенчатой матрицы равен

,
так как существует минор порядка

,
отличный от нуля:


.

Таким образом, произвольную матрицу

следует привести к ступенчатому виду.
Число ненулевых строк матрицы будет
равно ее рангу. Если квадратная матрица

примет
треугольный вид, ее ранг будет равен

.
При проведении элементарных преобразований
с матрицей знак равенства ставиться
не может (матрицы не равны), ставится
обычно знак тильды «~» .

ПРИМЕР. Найти ранг
матрицы


.

Решение. Ко 2-й
строке прибавим 1-ю, предварительно
умноженную на -2, к 3-й строке прибавим
1-ю, предварительно умноженную на -1.
Получим


.

К 3-й строке прибавим
2-ю, предварительно умноженную на -2:


.

Число ненулевых
строк равно 2. Тогда

.
При ином обосновании выделим из матрицы
минор максимального порядка, не равный
нулю. Это, например,

.
Тогда

.

Линейные комбинации
строк или столбцов

Познакомимся с понятием линейной
зависимости строк или столбцов. В
матрице

введем обозначения строк:


.

Эти строки

являются

-мерными
и представляют собой матрицы размерами

.
В новых обозначениях исходная матрица
записывается в виде


.

Строка

,
определяемая равенством


, (11)

называется линейной комбинацией
строк

,
где

— любые действи­тель­ные числа.

В развернутом матричном виде последнее
равенство выглядит так:


=
.

Для элементов строки

имеем систему уравнений


(12)

Строки

называются линейно зависимыми,
если существуют такие

,
не равные нулю одновременно, что линейная
комбинация этих строк равна нулевой
строке


.

Строки

называются линейно независимыми,
если линейная комбинация этих строк
равна нулевой строке только при

.

(о линейной комбинации строк матрицы)

Если строки матрицы
линейно зависимы, то одна из них является
линейной комбинацией остальных.

◄Пусть строки

линейно зависимы. Тогда найдутся числа

,
не все равные нулю одновременно и такие,
что

.

Пусть, например,

.
Перенесем первые

слагаемых направо и разделим равенство
на

.
Получим


.

или


,

где

,

.►

Замечание 1. Верно и обратное утверждение:
если одна из строк является линейной
комбинацией остальных, то эти строки
линейно зависимы.

Замечание 2. Аналогичными свойствами
обладает множество

-мерных
столбцов.

Связь ранга с
числом независимых строк (столбцов)

(о связи ранга с числом независимых
строк)

Ранг матрицы равен
числу ее независимых строк (столбцов).

◄Пусть матрица

имеет ранг

.
По определению ранга матрицы, существует
минор порядка

,
отличный от нуля. Пусть для определенности
это минор


.

Тогда строки

линейно
независимы. Предположим противное.
Например, строка с номером

есть линейная комбинация остальных
строк. В этом случае


.

Проведем элементарные преобразования,
не изменяющие величину определителя.
Прибавим к этой строке 1-ю строку,
предварительно умноженную на

,
2-ю строку, умноженную на

и так далее, наконец,


строку, умноженную на

.
Получим на месте строки с номером

последовательно строку

Последняя строка теперь будет состоять
из одних нулей. Но тогда

,
что невозможно. Наше предположение о
том, что строки

линейно зависимы, неверно.►

Строка матрицы
как линейная комбинация независимых
строк матрицы

(о представлении строки в виде линейной
комбинации независимых строк)

Каждая строка
матрицы

может быть представлена в виде линейной
комбинации независимых строк матрицы.

◄Пусть матрица

имеет ранг

.
По определению ранга, матрицы существует
минор порядка

,
отличный от нуля. Пусть для определенности
это минор

.

Рассмотрим минор

-го
порядка матрицы

,
который можно получить, добавив к минору


строку и


столбец матрицы

:


.

Этот минор

равен нулю как минор более высокого
порядка, чем

.
Разложим его по последнему столбцу:


. (13)

Разделим равенство на

и введем обозначения:


,где

Перепишем равенство в следующем виде


,
где

. (14)

Это равенство верно также и для

.
Действительно, если добавить к минору


столбец матрицы с одним из номеров

,
то новый минор

будет содержать два одинаковых столбца.
Следовательно, его величина также равна
нулю, и равенство (13) будет иметь место.
Перепишем соотношение (14) в виде столбца
равенств для всех

:

Мы получили систему уравнений для
нахождения элементов


строки, подобную (12). Запишем систему в
матричном виде (см. (12)
(11))


. (15)

Равенство (15) дает представление


строки как линейной комбинации
независимых строк

.
Поскольку


строка выбрана произвольно, заключаем,
что каждая строка матрицы может быть
представлена в виде линейной комбинации
независимых строк матрицы.►

Замечание 1. Все рассуждения в отношении
строк справедливы также и для столбцов.

Замечание 2. Задача определения числа
независимых строк или столбцов матрицы
сводится к нахождению ее ранга.

Вопросы для
повторения

1 Привести определение матрицы.
Перечислить виды матриц.

2. Сформулировать арифметические
операции над матрицами.

3. Что означает транспонирование матрицы?
Привести свойства транспонирования.

4. Сформулировать понятие определителя
квадратной матрицы любого порядка.

5. Чем алгебраическое дополнение элемента

матрицы отличается от минора того же
элемента?

6. Как найти величину определителя?

7. Перечислить свойства определителей.

8. Дать определение обратной матрицы.
Привести ее свойства.

9. Что такое матрицы элементарных
преобразований? Что называют элементарными
преобразованиями матрицы?

10. Объяснить способ построения обратной
матрицы, основанный на использовании
расширенной матрицы.

11. Сформулировать определение ранга
матрицы.

12. Какие строки матрицы называются
линейно независимыми?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Матрицы и действия с ними, определители

Определение ранга матрицы

Рассмотрим матрицу (A) типа ((m,n)). Пусть, для определенности, (m leq n). Возьмем (m) строк и выберем (m) столбцов матрицы (A), на пересечении этих строк и столбцов получится квадратная матрица порядка (m), определитель которой называют минором порядка (m) матрицы (A). Если этот минор отличен от 0, его называют базисным минором и говорят, что ранг матрицы (A) равен (m). Если же этот определитель равен 0, то выбирают другие (m) столбцов, на их пересечении стоят элементы, образующие другой минор порядка (m). Если минор равен 0, продолжаем процедуру. Если среди всех возможных миноров порядка (m) нет отличных от нуля, мы выбираем (m-1) cтрок и столбцов из матрицы (A), на их пересечении возникает квадратная матрица порядка (m-1), ее определитель называется минором порядка (m-1) исходной матрицы. Продолжая процедуру, ищем ненулевой минор, перебирая все возможные миноры, понижая их порядок.

Определение.

Ненулевой минор данной матрицы наивысшего порядка называется базисным минором исходной матрицы, его порядок называется рангом матрицы (A), строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисныи строками и столбцами. Ранг матрицы обозначается (rang(A)).

Из этого определения следуют простые свойства ранга матрицы: это целое число, причем ранг ненулевой матрицы удовлетворяет неравенствам: (1 leq rang(A) leq min(m,n)).

Как изменится ранг матрицы, если вычеркнуть какую-нибудь строку? Добавить какую-нибудь строку?

1) Ранг может уменьшиться на 1.

2) Ранг может увеличиться на 1.

Линейная зависимость и линейная независимость столбцов матрицы

Пусть (A) — матрица типа ((m,n)). Рассмотрим столбцы матрицы (A) — это столбцы из (m) чисел каждый. Обозначим их (A_1,A_2,…,A_n). Пусть (c_1,c_2,…,c_n) — какие-то числа.

Определение.

Столбец
[
D=c_1A_1+c_2A_2+…+c_nA_n = sum _{m=1}^nc_mA_m
]
называется линейной комбинацией столбцов (A_1,A_2,…,A_n), числа (c_1,c_2,…,c_n) называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Определение.

Пусть дано (p) столбцов (A_1, A_2, …, A_p). Если существуют такие числа (c_1,c_2,…,c_p), что

1. не все эти числа равны нулю,

2. линейная комбинация (c_1A_1+c_2A_2+…+c_pA_p =sum _{m=1}^pc_mA_m) равна нулевому столбцу (т.е. столбцу, все элементы которого нули),

то говорят, что столбцы (A_1, A_2, …, A_p) линейно зависимы. Если для данного набора столбцов таких чисел (c_1,c_2,…,c_n) не существует, столбцы называются линейно независимыми.

Пример. Рассмотрим 2-столбцы

[
A_1=left( begin{array}{c} 1 \ 0 end{array} right), A_2=left( begin{array}{c} 0 \ 1 end{array} right),
]
тогда для любых чисел (c_1,c_2) имеем:
[
c_1A_1+c_2A_2=c_1left( begin{array}{c} 1 \ 0 end{array} right)+c_2left( begin{array}{c} 0 \ 1 end{array} right)=left( begin{array}{c} c_1 \ c_2 end{array} right).
]

Эта линейная комбинация равна нулевому столбцу тогда и только тогда, когда оба числа (c_1,c_2) равны нулю. Таким образом, эти столбцы линейно независимы.

Утверждение. Для того, чтобы столбцы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.

Пусть столбцы (A_1,A_2,…,A_m) линейно зависимы, т.е. для некоторых констант (lambda _1, lambda _2,…,lambda _m), не все из которых равны 0, выполняется:
[
sum _{k=1}^mlambda _kA_k=0
]
(в правой части — нулевой столбец). Пусть, например, (lambda _1 neq 0). Тогда
[
A_1=sum _{k=2}^mc_kA_k, quad c_k=-lambda _k/lambda _1, quad quad (15)
]
т.е. первый столбец — линейная комбинация остальных.

Теорема о базисном миноре

Теорема.

Для любой ненулевой матрицы (A) справедливо следующее:

1. Базисные столбцы линейно независимы.

2. Любой столбец матрицы является линейной комбинацией его базисных столбцов.

(Аналогичное верно и для строк).

Пусть, для определенности, ((m,n)) — тип матрицы (A), (rang(A)=r leq n) и базисный минор расположен в первых (r) строках и столбцах матрицы (A). Пусть (s) — любое число между 1 и (m), (k) — любое число между 1 и (n). Рассмотрим минор следующего вида:
[
D=left| begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & ldots & a_{1r} & a_{1s} \
a_{21} & a_{22} & ldots & a_{2r} & a_{2s} \
dots &ldots & ldots & ldots & ldots \
a_{r1} & a_{r2} & ldots & a_{rr} & a_{rs} \
a_{k1} & a_{k2} & ldots & a_{kr} & a_{ks} \
end{array} right| ,
]
т.е. мы к базисному минору приписали (s-)ый столбец и (k-)ую строку. По определению ранга матрицы этот определитель равен нулю (если мы выбрали (sleq r) или (k leq r) , значит в этом миноре 2 одинаковых столбца или 2 одинаковых строки, если (s>r) и (k>r) — по определению ранга минор размера больше (r) обращается в ноль). Разложим этот определитель по последней строке, получим:
[
a_{k1}A_{k1}+a_{k2}A_{k2}+….+a_{kr}A_{kr}+a_{ks}A_{ks}=0. quad quad(16)
]

Здесь числа (A_{kp}) — алгебраические дополнения элементов из нижней строки (D). Их величины не зависят от (k), т.к. образуются с помощью элементов из первых (r) строк. При этом величина (A_{ks}) — это базисный минор, отличный от 0. Обозначим (A_{k1}=c_1,A_{k2}=c_2,…,A_{ks}=c_s neq 0). Перепишем в новых обозначениях (16):
[
c_1a_{k1}+c_2a_{k2}+…+c_ra_{kr}+c_sa_{ks}=0,
]
или, разделив на (c_s),
[
a_{ks}=lambda_1a_{k1}+lambda_2a_{k2}+…+lambda_ra_{kr}, quad lambda _p=-c_p/c_s.
]
Это равенство справедливо для любого значения (k), так что
[
a_{1s}=lambda_1a_{11}+lambda_2a_{12}+…+lambda_ra_{1r},
]
[
a_{2s}=lambda_1a_{21}+lambda_2a_{22}+…+lambda_ra_{2r},
]
[
………………………………………………..
]
[
a_{ms}=lambda_1a_{m1}+lambda_2a_{m2}+…+lambda_ra_{mr}.
]
Итак, (s-)ый столбец является линейной комбинацией первых (r) столбцов. Теорема доказана.

Замечание.

Из теоремы о базисном миноре следует, что ранг матрицы равен числу ее линейно независимых столбцов (которое равно числу линейно независимых строк).

Следствие 1.

Если определитель равен нулю, то у него есть столбец, который является линейной комбинацией остальных столбцов.

Следствие 2.

Если ранг матрицы меньше числа столбцов, то столбцы матрицы линейно зависимы.

Вычисление ранга матрицы и нахождение базисного минора

Некоторые преобразования матрицы не меняют ее ранг. Такие преобразования можно назвать элементарными. Соответствующие факты нетрудно проверить с помощью свойств определителей и определения ранга матрицы.

1. Перестановка столбцов.

2. Умножение элементов какого-нибудь столбца на ненулевой множитель.

3. Прибавление к столбцу любого другого столбца, умноженного на произвольное число.

4. Вычеркивание нулевого столбца.

Аналогичное верно и для строк.

С помощью этих преобразований матрицу можно преобразовать к так называемой «трапециевидной» форме — матрице, под главной диагональю которой располагаются только нули. Для «трапециевидной» матрицы ранг — это число ненулевых элементов на главной диагонали, и базисный минор — минор, диагональ которого совпадает с набором ненулевых элементов на главной диагонали преобразованной матрицы.

Пример.

Рассмотрим матрицу

[
A=left(
begin{array}{cccc}
2 &1 & 11 & 2 \
1 & 0 & 4 & -1 \
11 & 4 & 56 & 5 \
2 & -1 & 5 & -6
end{array}
right).
]
Будем преобразовывать ее с помощью указанных выше преобразований.
[
A=left( begin{array}{cccc} 2 &1 & 11 & 2 \ 1 & 0 & 4 & -1 \ 11 & 4 & 56 & 5 \ 2 & -1 & 5 & -6 end{array} right) mapsto
left( begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & -1 \ 2 & 1 & 11 & 2 \ 11 & 4 & 56 & 5 \ 2 & -1 & 5 & -6 end{array} right)
mapsto
left( begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & -1 \ 0 & 1 & 3 & 4 \ 0 & 4 & 12 & 16 \ 0 & -1 & -3 & -4 end{array} right) mapsto
]
[
left( begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & -1 \ 0 & 1 & 3 & 4 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 end{array} right)mapsto
left( begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & -1 \ 0 & 1 & 3 & 4 end{array}right).
]

Здесь мы последовательно делаем следующие шаги: 1) переставляем вторую строку наверх, 2) вычитаем первую строку из остальных с подходящим множителем, 3) вычитаем вторую строку из третьей 4 раза, прибавляем вторую строку к четвертой, 4) вычеркиваем нулевые строки — третью и четвертую. Наша итоговая матрица прибрела желаемую форму: на главной диагонали стоят ненулевые числа, под главной диагональю — нули. После этого процедура останавливается и число ненулевых элементов на главной диагонали равно рангу матрицы. Базисный минор при этом — две первые строки и два первых столбца. На их пересечении стоит матрица порядка 2 с ненулевым определителем. При этом, возвращаясь по цепочке преобразований в обратную сторону, можно проследить, откуда возникла та или иная строка (тот или иной столбец) в конечной матрице, т.е. определить базисные строки и столбцы в исходной матрице. В данном случае первые две строки и первые два столбца образуют базисный минор.

Пусть (A) — матрица типа ((m,n)) ранга (r_1), (B) — матрица типа ((p,n)) ранга (r_2). Объединим их строки — получим матрицу (C). Можно ли дать двустороннюю оценку ранга матрицы (C)?

(max(r_1, r_2) leq rang(C) leq min(n, r_1 + r_2))

1. Вычислить ранг матрицы

а)
[
left( begin{array}{cccc} 1 &2 &1 & 1 \ 2& 4 & 2 & 2\ 3 & 6& 3& 5 end{array} right) .
]

б)
[
left( begin{array}{cccc} 1 &7 &7 & 9 \ 7& 5 & 1 & -1\ 4 & 2& -1& -3 \ -1 & 1 & 3 &5 end{array} right) .
]

в)
[
left( begin{array}{cccc} 2 & 1 &11 & 2 \ 1& 0 & 4 & -1\ 11 & 4& 56& 5 \ 2 & -1 & 5 &- 6 end{array} right) .
]

г)
[
left( begin{array}{cccc} 5 & 4 & 1 & 3 \ 2& 1 & 1 & 4\ 3 & 2& 1& 1 \ 1 & 3 & -2 & 2 end{array} right) .
]

2. Доказать равенство (rang(A)=rang(A^T)).

3. Пусть (A) и (B) — матрицы с одинаковым числом строк. Доказать, что
[
rangleft( begin{array}{cc} A & B\ 2A & 3B end{array} right)=rang(A)+rang(B).
]

Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований (алгоритм Гаусса).

Под элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы понимают следующие действия:

  1. Перемена мест двух строк (столбцов).
  2. Умножение всех элементов строки (столбца) на некоторое число $aneq 0$.
  3. Суммирование всех элементов одной строки (столбца) с соответствующими элементами иной строки (столбца), умноженными на некое действительное число.

Если применить к строкам или столбцам матрицы $A$ некое элементарное преобразование, то получим новую матрицу $B$. В этом случае $rang{A}=rang{B}$, т.е. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

Если $rang A=rang B$, то матрицы $A$ и $B$ называются эквивалентными. Тот факт, что матрица $A$ эквивалентна матрице $B$, записывают так: $Asim B$.

Часто используется и такая запись: $Arightarrow B$, которая означает, что матрица $B$ получена из матрицы $A$ применением некоего элементарного преобразования.

При нахождении ранга методом Гаусса работать можно как со строками, так и со столбцами. Удобнее работать со строками, поэтому в примерах на этой странице преобразования выполняются именно над строками матриц.

Отмечу, что транспонирование не изменяет ранг матрицы, т.е. $rang{A}=rang{A^T}$. Этим свойством в некоторых случаях удобно пользоваться (см. пример №3), так как при необходимости строки легко сделать столбцами и наоборот.

Краткое описание алгоритма

Введём несколько терминов. Нулевая строка – строка, все элементы которой равны нулю. Ненулевая строка – строка, хоть один элемент которой отличен от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки называется её первый (считая слева направо) отличный от нуля элемент. Например, в строке $(0;0;5;-9;0)$ ведущим будет третий элемент (он равен 5).

Ранг любой нулевой матрицы равен 0, поэтому станем рассматривать матрицы, отличные от нулевых. Конечная цель преобразований матрицы – сделать её ступенчатой. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк.

Рассматриваемый метод нахождения ранга матрицы состоит из нескольких шагов. На первом шаге используется первая строка, на втором шаге – вторая и так далее. Когда под той строкой, которую мы используем на текущем шаге, остаются лишь нулевые строки, или же не остаётся строк вовсе, то алгоритм прекращается, так как полученная матрица будет ступенчатой.

Теперь обратимся к тем преобразованиям над строками, которые выполняются на каждом шаге алгоритма. Пусть под текущей строкой, которую нам нужно использовать на данном шаге, имеются ненулевые строки, причём $k$ – номер ведущего элемента текущей строки, а $k_{min}$ – наименьший из номеров ведущих элементов тех строк, которые лежат ниже текущей строки.

  • Если $klt{k_{min}}$, то переходим к следующему шагу алгоритма, т.е. к использованию следующей строки.
  • Если $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Если появляются нулевые строки, то переносим их в низ матрицы. Затем переходим к следующему шагу алгоритма.
  • Если $kgt{k_{min}}$, то меняем местами текущую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. После этого производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Если таких строк нет, то переходим к следующему шагу алгоритма. Если появляются нулевые строки, то переносим их в низ матрицы.

Как конкретно происходит обнуление ведущих элементов, рассмотрим на практике. Буквами $r$ (от слова «row») станем обозначать строки: $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее. Буквами $c$ (от слова «column») станем обозначать столбцы: $c_1$ – первый столбец, $c_2$ – второй столбец и так далее.

В примерах на данной странице буквой $k$ я стану обозначать номер ведущего элемента текущей строки, а запись $k_{min}$ будет использована для обозначения наименьшего из номеров ведущих элементов строк, лежащих под текущей строкой.

Пример №1

Найти ранг матрицы $A=left(begin{array}{ccccc}
-2 & 3 & 1 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
4 & -11 & -5 & 12 & 18 \
-9 & 6 & 0 & -2 & 21 \
-5 & 5 & 1 & 1 & 1
end{array} right)$.

Решение

Данная матрица не является нулевой, а значит её ранг больше нуля. Перейдём к первому шагу алгоритма.

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой. В первой строке заданной нам матрицы ведущим является первый элемент, т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 4, 1, 1 и 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_{min}=1$. Так как $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы третьей, четвёртой и пятой строк.

В принципе, можно приступать к обнулению указанных выше элементов, однако для тех преобразований, которые выполняются для обнуления, удобно, когда ведущим элементом используемой строки является единица. Это не обязательно, но очень упрощает расчёты. У нас ведущим элементом первой строки есть число -2. Чтобы заменить «неудобное» число единицей (или числом (-1)) есть несколько вариантов. Можно, например, умножить первую строку на 2, а затем от первой строки вычесть пятую. А можно просто поменять местами первый и третий столбцы. После перестановки столбцов №1 и №3 получим новую матрицу, эквивалентную заданной матрице $A$:

$$
left(begin{array}{ccccc}
-2 & 3 & 1 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
4 & -11 & -5 & 12 & 18 \
-9 & 6 & 0 & -2 & 21 \
-5 & 5 & 1 & 1 & 1
end{array}right)overset{c_1leftrightarrow{c_3}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
boldred{1} & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
normblue{-5} & -11 & 4 & 12 & 18 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
normgreen{1} & 5 & -5 & 1 & 1
end{array}right)
$$

Ведущим элементом первой строки стала единица. Номер ведущего элемента первой строки не поменялся: $k=1$. Номера ведущих элементов строк, расположенных ниже первой, таковы: 4, 1, 2, 1. Наименьший номер $k_{min}=1$. Так как $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и пятой строк. Эти элементы выделены синим и зелёным цветами.

Чтобы обнулить нужные элементы, будем выполнять операции со строками матрицы. Запишу эти операции отдельно:

$$
begin{aligned}
&r_3-frac{normblue{-5}}{boldred{1}}cdot{r_1}=r_3+5r_1;\
&r_5-frac{normgreen{1}}{boldred{1}}cdot{r_1}=r_5-r_1.
end{aligned}
$$

Запись $r_3+5r_1$ означает, что к элементам третьей строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на пять. Результат записывают на место третьей строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:

$$
r_3+5r_1
=(-5;;-11;;4;;12;;18)+5cdot(1;;3;;-2;;0;;-4)=\

=(-5;;-11;;4;;12;;18)+(5;;15;;-10;;0;;-20)
=(0;;4;;-6;;12;;-2).
$$

Действие $r_5-r_1$ выполняется аналогично. В результате преобразований строк получим такую матрицу:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
-5 & -11 & 4 & 12 & 18 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
1 & 5 & -5 & 1 & 1
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3+5r_1 \ phantom{0} \ r_5-r_1 end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 4 & -6 & 12 & -2 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5
end{array}right)
$$

На этом первый шаг можно считать законченным. Так как под первой строкой остались ненулевые строки, то нужно продолжать работу. Единственный нюанс: в третьей строке полученной матрицы все элементы делятся нацело на 2. Чтобы уменьшить числа и упростить себе расчёты, умножим элементы третьей строки на $frac{1}{2}$, а затем уже перейдём ко второму шагу:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 4 & -6 & 12 & -2 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ 1/2cdot{r_3} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 2 & -3 & 6 & -1 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5
end{array}right)
$$

Второй шаг

На втором шаге мы работаем с второй строкой. Во второй строке матрицы ведущим является четвёртый элемент, т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=4$. Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 2, 2 и 2. Наименьшим из этих номеров есть $k_{min}=2$. Так как $kgt{k_{min}}$, то нужно поменять местами текущую вторую строку с одной из тех строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Иными словами, надо поменять вторую строку с третьей, четвёртой или пятой. Я выберу пятую строку (это позволит избежать появления дробей), т.е. поменяю местами пятую и вторую строки:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 2 & -3 & 6 & -1 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5
end{array}right)
overset{r_2leftrightarrow{r_5}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & boldred{2} & -3 & 1 & 5 \
0 & normblue{2} & -3 & 6 & -1 \
0 & normgreen{6} & -9 & -2 & 21 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6
end{array}right)
$$

Опять обратимся ко второй строке. Теперь ведущим в ней является второй элемент (он выделен красным цветом), т.е. $k=2$. Наименьшим из номеров ведущих элементов нижележащих строк (т.е. из чисел 2, 2 и 4) будет $k_{min}=2$. Так как $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и четвёртой строк. Эти элементы выделены синим и зелёным цветами.

Отмечу, что на предыдущем шаге ведущим элементом текущей строки с помощью перестановки столбцов была сделана единица. Это было выполнено, чтобы избежать работы с дробями. Здесь тоже можно поставить единицу на место ведущего элемента второй строки: например, поменяв местами второй и четвёртый столбцы. Однако делать это мы не станем, так как дробей и так не возникнет. Действия со строками будут такими:

$$
begin{aligned}
&r_3-frac{normblue{2}}{boldred{2}}cdot{r_2}=r_3-r_2;\
&r_4-frac{normgreen{6}}{boldred{2}}cdot{r_2}=r_4-3r_2.
end{aligned}
$$

Выполняя указанные операции, придём к такой матрице:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 2 & -3 & 6 & -1 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3-r_2 \ r_4-3r_2 \ phantom{0} end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 0 & 0 & -5 & 6 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6
end{array}right)
$$

Второй шаг закончен. Так как под второй строкой остались ненулевые строки, то переходим к третьему шагу.

Третий шаг

На третьем шаге мы работаем с третьей строкой. В третьей строке матрицы ведущим является четвёртый элемент, т.е. номер ведущего элемента третьей строки $k=4$. Посмотрим на строки, расположенные под третьей строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 4 и 4, наименьший из которых $k_{min}=4$. Так как $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы четвёртой и пятой строк. Преобразования, которые выполняются с этой целью, полностью аналогичны тем, что осуществлялись ранее:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 0 & 0 & -5 & 6 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ phantom{0} \ r_4+r_3 \ r_5-r_3 end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}right)
$$

Под третьей строкой остались лишь нулевые строки. Это значит, что преобразования закончены. Мы привели матрицу к ступенчатому виду. Так как приведённая матрица содержит три ненулевых строки, то её ранг равен 3. Следовательно, и ранг исходной матрицы равен трём, т.е. $rang A=3$. Полное решение без пояснений таково:

$$
left(begin{array}{ccccc}
-2 & 3 & 1 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
4 & -11 & -5 & 12 & 18 \
-9 & 6 & 0 & -2 & 21 \
-5 & 5 & 1 & 1 & 1
end{array}right)overset{c_1leftrightarrow{c_3}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
-5 & -11 & 4 & 12 & 18 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
1 & 5 & -5 & 1 & 1
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3+5r_1 \ phantom{0} \ r_5-r_1 end{array}sim
$$

$$
simleft(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 4 & -6 & 12 & -2 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ 1/2cdot{r_3} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 2 & -3 & 6 & -1 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5
end{array}right)
overset{r_2leftrightarrow{r_5}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 2 & -3 & 6 & -1 \
0 & 6 & -9 & -2 & 21 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3-r_2 \ r_4-3r_2 \ phantom{0} end{array}sim
$$

$$
simleft(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 0 & 0 & -5 & 6 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6
end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ phantom{0} \ r_4+r_3 \ r_5-r_3 end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & 3 & -2 & 0 & -4 \
0 & 2 & -3 & 1 & 5 \
0 & 0 & 0 & 5 & -6 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array}right)
$$

Ответ: $rang A=3$.

Пример №2

Найти ранг матрицы $A=left(begin{array}{ccccc}
11 & -13 & 61 & 10 & -11\
2 & -2 & 11 & 2 & -2\
-3 & 5 & -17 & -2 & 3\
4 & 0 & 24 & 7 & -8
end{array} right)$.

Решение

Данная матрица не является нулевой, а значит её ранг больше нуля. Перейдём к первому шагу алгоритма.

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой. В первой строке заданной нам матрицы ведущим является первый элемент, т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номер 1, т.е. наименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк есть $k_{min}=1$. Так как $k=k_{min}$, то нужно произвести обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы второй, третьей и четвёртой строк.

Для удобства расчётов сделаем так, чтобы ведущим элементом первой строки стала единица. В предыдущем примере для этого мы меняли местами столбцы, однако с этой матрицей такое действие не пройдёт – в данной матрице нет элементов, равных единице. Выполним одно вспомогательное действие: $r_1-5r_2$. Тогда ведущий элемент первой строки станет равен 1.

$$
left(begin{array}{ccccc}
11 & -13 & 61 & 10 & -11\
2 & -2 & 11 & 2 & -2\
-3 & 5 & -17 & -2 & 3\
4 & 0 & 24 & 7 & -8
end{array} right)
begin{array} {l} r_1-5r_2\ phantom{0}\ phantom{0} \ phantom{0} end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
2 & -2 & 11 & 2 & -2\
-3 & 5 & -17 & -2 & 3\
4 & 0 & 24 & 7 & -8
end{array} right)
$$

Ведущим элементом первой строки стала единица. Обнулим ведущие элементы нижележащих строк:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
2 & -2 & 11 & 2 & -2\
-3 & 5 & -17 & -2 & 3\
4 & 0 & 24 & 7 & -8
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2-2r_1\ r_3+3r_1 \ r_4-4r_1 end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & -4 & 1 & -2 & 0\
0 & 12 & 0 & 7 & -4
end{array} right)
$$

Первый шаг закончен. Так как под первой строкой остались ненулевые строки, то нужно продолжать работу.

Второй шаг

На втором шаге работаем с второй строкой. Во второй строке матрицы ведущим является второй элемент, т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=2$. Ведущие элементы в нижележащих строках имеют тот же номер 2, поэтому $k_{min}=2$. Так как $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и четвёртой строк.

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & -4 & 1 & -2 & 0\
0 & 12 & 0 & 7 & -4
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3+r_2 \ r_4-3r_2 end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 3 & 1 & -4
end{array} right)
$$

Появилась нулевая строка. Опустим её в низ матрицы:

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 3 & 1 & -4
end{array} right)
overset{r_3leftrightarrow{r_4}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & 0 & 3 & 1 & -4\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array} right)
$$

Второй шаг закончен. Заметьте, что мы уже получили ступенчатую матрицу. Впрочем, мы можем формально закончить наш алгоритм. Так как под второй строкой остались ненулевые строки, то следует перейти к третьему шагу и работать с третьей строкой, однако под третьей строкой ненулевых строк нет. Следовательно, преобразования завершены.

К слову, полученная нами матрица является трапециевидной. Трапециевидная матрица – это частный случай ступенчатой матрицы.

Так как данная матрица содержит три ненулевых строки, то её ранг равен 3. Следовательно, и ранг исходной матрицы равен трём, т.е. $rang{A}=3$. Полное решение без пояснений таково:

$$
left(begin{array}{ccccc}
11 & -13 & 61 & 10 & -11\
2 & -2 & 11 & 2 & -2\
-3 & 5 & -17 & -2 & 3\
4 & 0 & 24 & 7 & -8
end{array} right)
begin{array} {l} r_1-5r_2\ phantom{0}\ phantom{0} \ phantom{0} end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
2 & -2 & 11 & 2 & -2\
-3 & 5 & -17 & -2 & 3\
4 & 0 & 24 & 7 & -8
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2-2r_1\ r_3+3r_1 \ r_4-4r_1 end{array}sim
$$

$$
left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & -4 & 1 & -2 & 0\
0 & 12 & 0 & 7 & -4
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3+r_2 \ r_4-3r_2 end{array}sim

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 3 & 1 & -4
end{array}right)overset{r_3leftrightarrow{r_4}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
1 & -3 & 6 & 0 & -1\
0 & 4 & -1 & 2 & 0\
0 & 0 & 3 & 1 & -4\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{array} right)
$$

Ответ: $rang A=3$.

Пример №3

Найти ранг матрицы $A=left(begin{array}{ccc}
0 & 2 & -4 \
-1 & -4 & 5 \
3 & 1 & 7 \
0 & 5 & -10 \
2 & 3 & 0
end{array} right)$.

Решение

Иногда в процессе решения удобно транспонировать матрицу. Так как ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной матрицы, то такая операция вполне допустима. В этом примере будет рассмотрен как раз такой случай. В ходе преобразований возникнут две одинаковые строки $(0;;1;;-2)$ (первая и четвёртая). В принципе, можно выполнить действие $r_4-r_1$, тогда четвёртая строка обнулится, однако это лишь удлинит решение на одну запись, поэтому выполнять обнуление четвёртой строки не станем.

$$
left(begin{array}{ccc}
0 & 2 & -4 \
-1 & -4 & 5 \
3 & 1 & 7 \
0 & 5 & -10 \
2 & 3 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} 1/2cdot{r_1}\ phantom{0}\ phantom{0} \ 1/5cdot{r_4} \phantom{0} end{array}sim

left(begin{array}{ccc}
0 & 1 & -2 \
-1 & -4 & 5 \
3 & 1 & 7 \
0 & 1 & -2 \
2 & 3 & 0
end{array} right)sim
$$

$$
simleft(begin{array}{ccccc}
0&-1&3&0&2\
1&-4&1&1&3\
-2&5&7&-2&0
end{array} right)
overset{r_1leftrightarrow{r_2}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
1&-4&1&1&3\
0&-1&3&0&2\
-2&5&7&-2&0
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3+2r_1 end{array}sim
$$

$$
left(begin{array}{ccccc}
1&-4&1&1&3\
0&-1&3&0&2\
0&-3&9&0&6
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3-3r_2 end{array}sim
left(begin{array}{ccccc}
1&-4&1&1&3\
0&-1&3&0&2\
0&0&0&0&0
end{array} right)
$$

Ранг преобразованной матрицы равен 2, поэтому и ранг исходной матрицы $rang{A}=2$. В принципе, можно было найти ранг и без транспонирования матрицы: поменять местами первую строку с второй, третьей или пятой и продолжить обычные преобразования со строками. Метод сведения матрицы к ступенчатому виду допускает вариации процесса решения.

Ответ: $rang A=2$.

Пример №4

Найти ранг матрицы $A=left(begin{array}{cccccc}
0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \
0 & 0 &5 &0 &2 &3 \
0 & 0 & 10 & 0& -4&1
end{array} right)$.

Решение

Данная матрица не является нулевой, т.е. её ранг больше нуля. Перейдём к первому шагу алгоритма.

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой. В первой строке заданной нам матрицы ведущим является второй элемент, т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=2$. Рассмотрим строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номер 3, т.е. наименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк есть $k_{min}=3$. Так как $klt{k_{min}}$, то переходим к следующему шагу алгоритма.

Второй шаг

На втором шаге мы работаем с второй строкой. Во второй строке ведущим является третий элемент, т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=3$. Под второй строкой расположена лишь одна третья строка, номер ведущего элемента которой равен 3, поэтому $k_{min}=3$. Так как $k=k_{min}$, то производим обнуление ведущего элемента третьей строки:

$$
left(begin{array}{cccccc}
0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \
0 & 0 &5 &0 &2 &3 \
0 & 0 & 10 & 0& -4&1
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ r_3-2r_2 end{array}sim

left(begin{array}{cccccc}
0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \
0 & 0 &5 &0 &2 &3 \
0 & 0 & 0 & 0& -8&-5
end{array} right)
$$

Получена ступенчатая матрица. Ранг преобразованной матрицы, а следовательно и ранг исходной матрицы, равен 3.

Ответ: $rang A=3$.

Пример №5

Найти ранг матрицы $A=left(begin{array}{ccccc}
0&0&0&0&6\
9&0&0&0&-11\
5&2&0&0&-5.
end{array} right)$.

Решение

Иногда можно свести матрицу к ступенчатой с помощью одних лишь перестановок строк или столбцов. Это бывает, разумеется, крайне редко, однако удачная перестановка позволяет существенно упростить решение.

$$
left(begin{array}{ccccc}
0&0&0&0&6\
9&0&0&0&-11\
5&2&0&0&-5
end{array} right)
overset{r_1leftrightarrow{r_3}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
5&2&0&0&-5\
9&0&0&0&-11\
0&0&0&0&6
end{array} right)
overset{с_1leftrightarrow{с_4}}{sim}

left(begin{array}{ccccc}
0&2&0&5&-5\
0&0&0&9&-11\
0&0&0&0&6
end{array} right)
$$

Матрица приведена к ступенчатой, $rang{A}=3$.

Ответ: $rang A=3$.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как изменить рамку только на одной странице
  • Как изменить рамку профиля стим
  • Как изменить рамку приложений на андроид
  • Как изменить рамку колонтитула на одной странице
  • Как изменить рамки экрана на виндовс 10