Кратные интегралы как изменить порядок интегрирования

Сегодня детально проанализируем алгоритм изменения порядка интегрирования в двойном интеграле. Под изменением порядка интегрирования имеем в виду, что задан двойной интеграл в котором интегрирование проводится сначала по «икс», а дальше полученный результат интегрируют по «игрек». Нужно поменять пределы интегрирования, а возможно и разбить на несколько областей интегрирование, для того, чтобы сначала интегрировать по «игрек», а далее по «иксу». В курсе высшей математики подобные примеры учат решать достаточно длительное время, но не во всех это выходит. Схема изменения порядка интегрирования будет расписана на готовых примерах с красиво выполненными рисунками областей интегрирования. Кто-то может подумать, что рисунки здесь ни к чему, но прочитав статью целиком Вы поймете, что без рисунков Вы не сможете понять как изменяются пределы интегрирования, и как их правильно расставлять.

Пример 3.1 Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

Решение: Построим область интегрирования ограниченую кривыми
0≤x≤4, 3x²≤y≤12x, где
y=3x² — парабола с вершиной в точке O(0;0) и ветками вверх;
y=12x — прямая, которая проходит через начало координат O(0;0).
График области интегрирования приведен на рисунке.

В этом примере «игрек» изменяется от нижней кривой (параболы) к верхней (прямой), в это время «икс» пробегает значение от 0 до 4.
При изменении порядка интегрирования мы будем пробегать значение от первой кривой по «иксу» (прямой) ко второй (параболы), «игрек» в это время будет проходить значение от 0 ко второй точке пересечения заданных кривых.
Отсюда следует, что для изменения порядка интегрирования нужно найти точки пересечения кривых, дальше для изменения пределов нужно перейти от y(x) к x(y) для этих самых пределов.
Выражаем заданные функции y(x) через переменную y:
y=3x², отсюда (перед корнем взяли знак «+», поскольку x≥0)
y=12x, отсюда x=y/12.
Найдем точки пересечения:
y=3x²=12x, отсюда

Расставим пределы в заданной области:
D: 0≤y≤48

Выполняем изменение порядка интегрирования 

Вот и вся схема перехода от интегрирования по y,x  к двойному интегралу по x,y.

Пример 3.2 Изменить порядок интегрирования: 

Решение: Запишем область интегрирования для заданного примера
a/2≤x≤a , где y=0 — ось абсцисс.
Превратим верхнюю кривую по y к каноническому виду
y=√(2ax-x²), y²=2ax-x², x²-2ax+a²+y²=a², (x-a)²+y²=a² — верхний полукруг с центром в начале координат O(a;0) и радиусом a.
На рисунку наведем область интегрирования

Найдем запись функции через переменную y:
(x-a)^2+y^2=a^2, (x-a)^2 =a^2-y^2,

При изменении порядка интегрирования нашу область необходимо разбить на две подобласти:
D=D₁+D₂.
Расставим пределы в каждой области:
D1: 0≤y≤a√3/2, a/2≤x≤a;
D2: a√3/2≤y≤a,
Дальше можем изменить порядок интегрирования

Внимательно пересмотрите фрагмент где область интегрирования разбивается на 2 участка, для чего это делается и от чего зависит.
Многие этого не понимают, поскольку не представляют что делаем, здесь же имеем график из которого видим, что в первой области «икс» изменяется от первой прямой x=a/2 ко второй x=a, во второй области переменная «икс» пробегает значение от полукруга к прямой x=a.

Пример 3.3 Изменить порядок интегрирования:

Решение: Область интегрирования ограничена кривыми
0≤y≤1, , где x=y²/2 — парабола с вершиной в точке O(0;0) и ветками вправо
x=√(3-y²), x²=3-y², x²+y²=(√3)² — правый полукруг с центром в точке O(0;0) и радиусом R=√3.
Для изменения порядка интегрирования выражаем функции через переменную x:
x=y²/2, y²=2x, y=√(2x);
x²=3-y², y²=3-x², y=√(3-x²).

Найдем точки пересечения графиков функций:
параболы с горизонтальной прямой

параболы с правой частью полукруга (І четверть)

Подставляем y² из второго уравнения системы уравнений в первое x=1,5-0,5x²;
При решении получим x=1.
Выполняем построение и разбитие на нужные подобласти интегрирования

Для изменения порядка интегрирования нашу область разобьем на три подобласти:
D=D₁+D₂+D₃.
Расставим пределы в каждой области:
D1: 0≤x≤0,5, 0≤y≤√(2x);
D2: 0,5≤x≤1, 0≤y≤1;
D3: 1≤x≤√3, 0≤y≤√(3-x²).

Внимательно разберитесь, как это сопоставить с областями на рисунку и почему именно такое разбитие здесь нужно выполнять.
Запишем как изменится интеграл при изменении порядка интегрирования

Думаю приведенных объяснений достаточно, чтобы самостоятельно научиться менять порядок интегрирования.

Пример 3.4 Изменить порядок интегрирования:

Решение: Построим область интегрирования, которая ограничена кривыми
0≤x≤π/2, 0≤y≤sin(x), где y=0 — ось абсцисс;
y=sin(x) — синусоида.
Выражаемый полученные функции через переменную y:
y=sin(x), отсюда x=arcsin(y);
y=0, отсюда x=0.
Графику кривых наведем на рисунку

Пределы интегрирования в заданной области поменяются на такие:
D: 0≤y≤1, 0≤x≤arcsin(y).
Записываем двойной интеграл с перечисленными пределами интегрирования

Имеем еще 5 готовых примеров на изменение порядка интегрирования, их Вы можете пересмотреть в следующей статье.

1.2.1. Как изменить порядок обхода области?

Половина задачи решена. Теперь перейдём к повторным интегралам вторым способом.

Для этого нужно найти обратные функции. Смотрим на функции, которыми задается область . Если совсем просто, то перейти к обратным функциям,

это значит – выразить «иксы» через «игреки». Единственной функцией, где есть и «икс» и «игрек», является .

Если , то , причём:
обратная функция  задает

правую ветку параболы;
обратная функция  задает

левую ветку параболы.

Нередко возникают сомнения, вот, к примеру, функция  определяет левую или правую ветвь параболы? Сомнения развеять

очень просто: возьмите какую-нибудь точку параболы, например,  (с правой ветви) и подставьте её координаты в любое уравнение,

например,  в то же уравнение :

Получено верное числовое равенство, значит, функция  определяет именно правую ветвь параболы, а не левую.

Более того, такую проверку (мысленно или на черновике) желательно проводить всегда – после того, как вы перешли к обратным

функциям. Времени займет всего ничего, а от ошибки убережёт наверняка!

Обойдём область интегрирования вторым способом:

Теперь лазерную указку держим горизонтально, слева от области интегрирования. Луч лазера проходит область

строго слева направо. В данном случае он входит в область через ветвь параболы  и выходит из области через прямую, которая задана

уравнением  (красная

стрелка). Чтобы просканировать лазером всю область, нужно провести указкой вдоль оси  строго снизу вверх от 0 до 1

(зелёная стрелка).

Таким образом:
«икс» изменяется от  до

1,
а «игрек» при этом изменяется от 0 до 1.

Запишем порядок обхода области в виде неравенств:

И, следовательно, переход к повторным интегралам таков:

Ответ можно записать следующим образом:

Напоминаю, что окончательный результат вычислений не зависит от того, какой порядок обхода области мы выбрали (поэтому

поставлен знак равенства). Но, до конечного результата ещё далеко, сейчас наша задача – лишь правильно расставить

пределы интегрирования.

Пример 2

Дан двойной интеграл ,

где область  ограничена

линиями   . Перейти к

повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами.

Это пример для самостоятельного решения. Грамотно постройте чертёж и строго соблюдайте направления обхода

(откуда и куда светить лазерной указкой). Примерный образец чистового оформления задачи в конце книги.

Чаще всего типовое задание встречается немного в другой формулировке:

Пример 3

Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования

По условию, дан первый способ обхода области, и решение опять начинается с чертежа. Здесь область  не лежит на «блюдечке с

голубой каёмочкой», но построить её не составляет особого труда. Сначала «снимаем» функции с пределов интегрирования: , . Функция , понятно, задаёт прямую, но что задаёт функция ?  Давайте её немного преобразуем,

возведя обе части в квадрат:
 – окружность с центром

в начале координат радиуса 2. Функция же  задаёт верхнюю полуокружность (не забываем, что если есть

сомнения, то всегда можно подставить точку лежащую на верхней или нижней полуокружности).

Смотрим на пределы внешнего интеграла: «икс» изменяется от –2  до 0.
Итак, изобразим на чертеже прямую , полуокружность  и снова посмотрим на исходные повторные интегралы . Луч лазера входит в область

 вертикально

снизу через прямую и выходит из области через полуокружность (красная стрелка), при этом лазерную указку нам

нужно переместить слева направо вдоль ось  от –2 до 0 (зелёная стрелка). И, исходя из этой

замечательной логики, штрихуем искомую область синим цветом:

Теперь нужно изменить порядок обхода области, для этого перейдем к обратным функциям (выразим «иксы» через

«игреки»): .
Недавно мы преобразовали функцию  к уравнению окружности , и сейчас нам нужно выразить «икс»: . В результате получаем две обратные функции:
 – определяет правую

полуокружность;
 – определяет левую

полуокружность.
Опять же, если возникают сомнения, возьмите любую точку окружности и выясните, где лево, а где право.
Изменим порядок обхода области. Согласно второму способу обхода, луч лазера входит в область слева через

левую полуокружность  и

выходит справа через прямую  (красная стрелка). В то же время лазерная указка проводится

вдоль оси ординат снизу вверх от 0 до 2 (зелёная стрелка).

Таким образом, порядок обхода области:

и, в общем-то, можно записать ответ:

Пример 4

Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования

Это пример для самостоятельного решения. Пример не очень сложный, но обратите внимание, что порядок обхода изначально задан

вторым способом! Что делать в подобных случаях? Во-первых, возникает трудность с чертежом, поскольку чертить график обратной

функции наподобие  непривычно

даже мне самому. Я рекомендую следующий порядок действий: сначала из  получаем «обычную» функцию (выражаем «игрек» через «икс»).

Далее строим график этой «обычной» функции (всегда можно построить хотя бы поточечно). Аналогично поступаем с более простой

линейной функцией: из  выражаем

«игрек» и проводим прямую.

Анализируем исходные пределы интегрирования: входим слева в область через  и выходим через . При этом все дела происходят в «игрековой» полосе от –1 до 0.

После того, как вы определили на чертеже область интегрирования, сменить порядок обхода не составит особого труда. Примерный

образец оформления решения в конце книги. Похожий пример будет разобран подробнее чуть позже.

И сейчас внимание! Даже если вы всё отлично поняли, не торопитесь переходить непосредственно к вычислениям

двойного интеграла. Порядок обхода – вещь коварная, и очень важно немного набить руку на данной задаче, тем более, я

ещё не всё рассказал:

Пример 5

Изменить порядок интегрирования

Решение: запишем функции  и  выполним чертёж. График второй функции  представляет собой

кубическую параболу, которая «лежит на боку»:

Порядок обхода области, соответствующий исходным повторным интегралам, обозначен стрелками. Ещё раз посмотрИте на пределы

интегрирования и мысленно просканируйте область лазером!

Также обратите внимание, что в ходе выполнения чертежа у нас прорисовалась еще одна ограниченная фигура (левее оси ). Поэтому следует быть

внимательным при определении области интегрирования – за область можно ошибочно принять не ту фигуру!
Перейдем к обратным функциям:
 – нужная нам правая ветвь

параболы;
.

Изменим порядок обхода области. Как вы помните, при втором способе обхода, область нужно сканировать лазерным лучом

горизонтально – слева направо. Но тут наблюдается интересная вещь:

Как поступать в подобных случаях? В таких случаях область интегрирования нужно разделить на две части и для каждой части

составить свои повторные интегралы:

1) Если «игрек» изменяется от –1 до 0 (зеленая стрелка), то луч входит в область через кубическую параболу  и выходит через прямую  (красная стрелка). Поэтому

порядок обхода области будет следующим:

И соответствующие повторные интегралы:
2) Если «игрек» изменяется от 0 до 1 (голубая стрелка), то луч входит в область через ветвь параболы  и выходит через ту же прямую

 (малиновая

стрелка). Следовательно, порядок обхода области будет следующим:

И соответствующие повторные интегралы:

У интегралов (кратных в частности) есть весьма удобное свойство аддитивности, то есть, их можно сложить, что в данном

случае и нужно сделать:
 – а вот и наш обход

области вторым способом в виде суммы двух интегралов.

Ответ записываем так:

Какой порядок обхода выгоднее? Конечно тот, который был дан в условии задачи – вычислений будет в два раза меньше!

Пример 6

Изменить порядок интегрирования

Это пример для самостоятельного решения. В нём присутствуют полуокружности, разборки с которыми были подробно рассмотрены в

Примере 3. Примерный образец оформления решения в конце книги.

А сейчас обещанная задача, когда изначально задан второй способ обхода области:

Пример 7

Изменить порядок интегрирования

Решение: когда порядок обхода задан вторым способом, то перед построением чертежа целесообразно перейти к

«обычным» функциям. В данном примере присутствуют два пациента для преобразования:  и .
С линейной функцией всё просто: .
Да и с функцией  тоже

несложно, её график представляет собой параболу, которая «лежит на боку». Выразим «игрек» через «икс»:

и получаем две ветви:  и

.

Какую ветку выбрать? Можно провести рассуждения, но проще начертить обе. Даже если вы не сразу понимаете, как они

расположены, всегда можно прибегнуть к поточечному методу построения:
Ещё раз обращаю внимание, что на чертеже может получиться несколько плоских фигур, и здесь крайне

важно выбрать нужную! В выборе искомой фигуры помогут пределы интегрирования исходных повторных

интегралов:
, при этом не

забывайте, что обратная функция  задаёт всю параболу.

Стрелочки, которыми обозначен обход фигуры, в точности соответствуют пределам интегрирования интегралов – ОБЯЗАТЕЛЬНО проведите действия с лазерной указкой мысленно!

Довольно быстро вы научитесь без труда определять нужную область.
Когда

фигура найдена, заключительная часть решения, в общем-то, элементарна, меняем порядок обхода области (мысленно сканируем

лазером!):

Обратные функции уже найдены, и искомый порядок обхода области таков:

Ответ:

Финальный пример параграфа для самостоятельного решения:

Пример 8

Изменить порядок интегрирования:  

Сверяемся с решением и переходим, наконец, непосредственно к вычислению двойного интеграла . Начнём с простейшего случая, когда

функция двух

переменных равна единице: , и это ещё и особый случай:

1.3. Как найти площадь фигуры с помощью двойного интеграла?

1.2. Область интегрирования и порядок её обхода

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Содержание:

1. Рассмотрим двойной интеграл
2. Как вычислить двойной интеграл?

Пример 1.

Изменить порядок интегрирования в интеграле:

Решение: В данном интеграле область интегрирования D — правильная область первого типа (рис. 10). По теореме 1 интеграл / записывается в виде двойного интеграла . Равенство означает, что точка D лежит на окружности Если то точка лежит на окружности Две эти окружности пересекаются в точках, для которых или при Подставляя это значение у в уравнение получаем

Для обоих интегралов переменная х принимает только отрицательные значения. Значит для точек лежащих на первой окружности, справедливо равенство а для точек второй окружности

Теперь, если рассмотреть область интегрирования D как правильную область второго типа, то согласно теореме 2 интеграл / записывается в виде

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример 2.

Изменить порядок интегрирования в повторном» интеграле.

Решение:

Область интегрирования D ограничена линиями Так как правый участок границы области D задан двумя линиями, то прямая у = 1 разбивает ее наобласти В результате получаем

Пример 3.

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

написать уравнения кривых, ограничивающих область ингегрирования, построить эту область.

Решение:

Образец выполнения задания в Mathcad:

Зададим подынтегральную функцию и определим границы области интегрирования по пределам повторного интеграла:

Найдем точки пересечения графиков функций: это точки с координатами

Изменим порядок интегрирования. Для этого надо выразить уравнения границ в виде: Область интегрирования разбиваегся на две части, левая и правая границы которых однозначно определены. Исходный интеграл записывается в виде суммы двух интегралов.

Указание. Для того, чтобы задать уравнения границ в виде: или надо определить границу в виде: и записать функцию Затем в меню Символика выбрать команду Разрешить относительно переменной, выделив сначала у или х в зависимости от того, какое уравнение хотим получить. Функции — есть уравнения границ в другом виде.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Рассмотрим двойной интеграл

в прямоугольных координатах Предположим, что переменные х и у являются функциями двух переменных и эти функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по в некоторой замкнутой области G плоскости . Предположим также, что эти функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область G на область D.

Тогда имеет место равенство называется якобианом преобразования G в D (предполагается, что определитель J, названный в честь немецкого математика Якоби, всюду в G отличен от нуля). Геометрически |J(u, v)dudv выражает элемент площади в области G, а — коэффициент изменения элемента площади G при преобразовании в элемент площади D.

Координаты называются криволинейными координатами точки , поскольку уравнения представляют некоторые линии, вообще говоря, кривые, в области G.

Интеграл

называется двойным интегралом в криволинейных координатах.

Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты Они связаны с прямоугольными координатами формулами Якобиан преобразования в этом случае равен

a — элемент площади в полярных координатах.

При этом имеет место формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования круг или часть круга.

Расстановка пределов и вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах выполняется аналогично случаю прямоугольных координат.

Как вычислить двойной интеграл?

по области D, ограниченной прямыми

Решение:

Область D — параллелограмм АВСК (рис. 19 а). Хотя подынтегральная функция и область интегрирования просты, вычисление данного интеграла в прямоугольных координатах достаточно громоздко (убедитесь самостоятельно). Заметив, что уравнения прямых можно записать в виде перейдем к новым координатам, для чего обозначим Имеем

В новой системе координат область G ограничена прямыми т.е. представляет собой прямоугольник (рис. 19 6), а подынтегральная функция равна

Отметим, что первая система формул, написанная выше, преобразует параллелограмм АВС К в прямоугольник вторая система — наоборот, преобразует прямоугольник в параллелограмм АВСК. При этом видно, что направление обхода вершин одной фигуры соответствует противоположному направлению обхода вершин другой. Именно поэтому Переходим к вычислениям:

Область D изображена на рис. 20 а. Заметим, что расставить пределы интегрирования в исходном интеграле не просто, однако подходящая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику.

Введем новые переменные при помощи равенств Выразим отсюда переменные через

Находим якобиан полученного преобразования

откуда, с учетом того, что на области D, а значит, имеем

Таким образом, исходный интеграл в плоскости имеет вид

Граница области G описывается линиями (так как одна из формул преобразования имеет вид то линии в плоскости соответствует линия в плоскости ), (рис. 20 6).

Поэтому область G имеет вид (т. е. представляет собой прямоугольник), а преобразованный интеграл вычисляется намного проще: Вычислить интеграл

Строим круг радиуса а с центром в точке (а, 0) (рис. 21). Подынтегральная функция четная по переменной а область интегрирования симметрична относительно оси . Поэтому можно вычислить интеграл только по верхнему полукругу и результат удвоить: Переходим к полярным координатам Для удобства расстановки пределов в полярных координатах совместим полярную систему с прямоугольной так, как это показано на рис. 21. Тогда полукруг D/2 в полярных координатах задается системой неравенств подынтегральная функция примет вид

Таким образом,