Mean squared error пример

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics, the mean squared error (MSE)^[1] or mean squared deviation (MSD) of an estimator (of a procedure for estimating an unobserved quantity) measures the average of the squares of the errors—that is, the average squared difference between the estimated values and the actual value. MSE is a risk function, corresponding to the expected value of the squared error loss.^[2] The fact that MSE is almost always strictly positive (and not zero) is because of randomness or because the estimator does not account for information that could produce a more accurate estimate.^[3] In machine learning, specifically empirical risk minimization, MSE may refer to the empirical risk (the average loss on an observed data set), as an estimate of the true MSE (the true risk: the average loss on the actual population distribution).

The MSE is a measure of the quality of an estimator. As it is derived from the square of Euclidean distance, it is always a positive value that decreases as the error approaches zero.

The MSE is the second moment (about the origin) of the error, and thus incorporates both the variance of the estimator (how widely spread the estimates are from one data sample to another) and its bias (how far off the average estimated value is from the true value).^{[citation needed]} For an unbiased estimator, the MSE is the variance of the estimator. Like the variance, MSE has the same units of measurement as the square of the quantity being estimated. In an analogy to standard deviation, taking the square root of MSE yields the root-mean-square error or root-mean-square deviation (RMSE or RMSD), which has the same units as the quantity being estimated; for an unbiased estimator, the RMSE is the square root of the variance, known as the standard error.

Definition and basic properties[edit]

The MSE either assesses the quality of a predictor (i.e., a function mapping arbitrary inputs to a sample of values of some random variable), or of an estimator (i.e., a mathematical function mapping a sample of data to an estimate of a parameter of the population from which the data is sampled). The definition of an MSE differs according to whether one is describing a predictor or an estimator.

Predictor[edit]

If a vector of predictions is generated from a sample of data points on all variables, and is the vector of observed values of the variable being predicted, with being the predicted values (e.g. as from a least-squares fit), then the within-sample MSE of the predictor is computed as

In other words, the MSE is the mean of the squares of the errors . This is an easily computable quantity for a particular sample (and hence is sample-dependent).

In matrix notation,

where is and is the column vector.

The MSE can also be computed on q data points that were not used in estimating the model, either because they were held back for this purpose, or because these data have been newly obtained. Within this process, known as statistical learning, the MSE is often called the test MSE,^[4] and is computed as

Estimator[edit]

The MSE of an estimator with respect to an unknown parameter is defined as^[1]

This definition depends on the unknown parameter, but the MSE is a priori a property of an estimator. The MSE could be a function of unknown parameters, in which case any estimator of the MSE based on estimates of these parameters would be a function of the data (and thus a random variable). If the estimator is derived as a sample statistic and is used to estimate some population parameter, then the expectation is with respect to the sampling distribution of the sample statistic.

The MSE can be written as the sum of the variance of the estimator and the squared bias of the estimator, providing a useful way to calculate the MSE and implying that in the case of unbiased estimators, the MSE and variance are equivalent.^[5]

Proof of variance and bias relationship[edit]

An even shorter proof can be achieved using the well-known formula that for a random variable , . By substituting with, , we have

But in real modeling case, MSE could be described as the addition of model variance, model bias, and irreducible uncertainty (see Bias–variance tradeoff). According to the relationship, the MSE of the estimators could be simply used for the efficiency comparison, which includes the information of estimator variance and bias. This is called MSE criterion.

In regression[edit]

In regression analysis, plotting is a more natural way to view the overall trend of the whole data. The mean of the distance from each point to the predicted regression model can be calculated, and shown as the mean squared error. The squaring is critical to reduce the complexity with negative signs. To minimize MSE, the model could be more accurate, which would mean the model is closer to actual data. One example of a linear regression using this method is the least squares method—which evaluates appropriateness of linear regression model to model bivariate dataset,^[6] but whose limitation is related to known distribution of the data.

The term mean squared error is sometimes used to refer to the unbiased estimate of error variance: the residual sum of squares divided by the number of degrees of freedom. This definition for a known, computed quantity differs from the above definition for the computed MSE of a predictor, in that a different denominator is used. The denominator is the sample size reduced by the number of model parameters estimated from the same data, (n−p) for p regressors or (n−p−1) if an intercept is used (see errors and residuals in statistics for more details).^[7] Although the MSE (as defined in this article) is not an unbiased estimator of the error variance, it is consistent, given the consistency of the predictor.

In regression analysis, «mean squared error», often referred to as mean squared prediction error or «out-of-sample mean squared error», can also refer to the mean value of the squared deviations of the predictions from the true values, over an out-of-sample test space, generated by a model estimated over a particular sample space. This also is a known, computed quantity, and it varies by sample and by out-of-sample test space.

Examples[edit]

Mean[edit]

Suppose we have a random sample of size from a population, . Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all draws. The usual estimator for the is the sample average

which has an expected value equal to the true mean (so it is unbiased) and a mean squared error of

where is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

Variance[edit]

The usual estimator for the variance is the corrected sample variance:

This is unbiased (its expected value is ), hence also called the unbiased sample variance, and its MSE is^[8]

where is the fourth central moment of the distribution or population, and is the excess kurtosis.

However, one can use other estimators for which are proportional to , and an appropriate choice can always give a lower mean squared error. If we define

then we calculate:

This is minimized when

For a Gaussian distribution, where , this means that the MSE is minimized when dividing the sum by . The minimum excess kurtosis is ,^[a] which is achieved by a Bernoulli distribution with p = 1/2 (a coin flip), and the MSE is minimized for Hence regardless of the kurtosis, we get a «better» estimate (in the sense of having a lower MSE) by scaling down the unbiased estimator a little bit; this is a simple example of a shrinkage estimator: one «shrinks» the estimator towards zero (scales down the unbiased estimator).

Further, while the corrected sample variance is the best unbiased estimator (minimum mean squared error among unbiased estimators) of variance for Gaussian distributions, if the distribution is not Gaussian, then even among unbiased estimators, the best unbiased estimator of the variance may not be

Gaussian distribution[edit]

The following table gives several estimators of the true parameters of the population, μ and σ², for the Gaussian case.^[9]

True value	Estimator	Mean squared error
	= the unbiased estimator of the population mean,
	= the unbiased estimator of the population variance,
	= the biased estimator of the population variance,
	= the biased estimator of the population variance,

Interpretation[edit]

An MSE of zero, meaning that the estimator predicts observations of the parameter with perfect accuracy, is ideal (but typically not possible).

Values of MSE may be used for comparative purposes. Two or more statistical models may be compared using their MSEs—as a measure of how well they explain a given set of observations: An unbiased estimator (estimated from a statistical model) with the smallest variance among all unbiased estimators is the best unbiased estimator or MVUE (Minimum-Variance Unbiased Estimator).

Both analysis of variance and linear regression techniques estimate the MSE as part of the analysis and use the estimated MSE to determine the statistical significance of the factors or predictors under study. The goal of experimental design is to construct experiments in such a way that when the observations are analyzed, the MSE is close to zero relative to the magnitude of at least one of the estimated treatment effects.

In one-way analysis of variance, MSE can be calculated by the division of the sum of squared errors and the degree of freedom. Also, the f-value is the ratio of the mean squared treatment and the MSE.

MSE is also used in several stepwise regression techniques as part of the determination as to how many predictors from a candidate set to include in a model for a given set of observations.

Applications[edit]

• Minimizing MSE is a key criterion in selecting estimators: see minimum mean-square error. Among unbiased estimators, minimizing the MSE is equivalent to minimizing the variance, and the estimator that does this is the minimum variance unbiased estimator. However, a biased estimator may have lower MSE; see estimator bias.
• In statistical modelling the MSE can represent the difference between the actual observations and the observation values predicted by the model. In this context, it is used to determine the extent to which the model fits the data as well as whether removing some explanatory variables is possible without significantly harming the model’s predictive ability.
• In forecasting and prediction, the Brier score is a measure of forecast skill based on MSE.

Loss function[edit]

Squared error loss is one of the most widely used loss functions in statistics^{[citation needed]}, though its widespread use stems more from mathematical convenience than considerations of actual loss in applications. Carl Friedrich Gauss, who introduced the use of mean squared error, was aware of its arbitrariness and was in agreement with objections to it on these grounds.^[3] The mathematical benefits of mean squared error are particularly evident in its use at analyzing the performance of linear regression, as it allows one to partition the variation in a dataset into variation explained by the model and variation explained by randomness.

Criticism[edit]

The use of mean squared error without question has been criticized by the decision theorist James Berger. Mean squared error is the negative of the expected value of one specific utility function, the quadratic utility function, which may not be the appropriate utility function to use under a given set of circumstances. There are, however, some scenarios where mean squared error can serve as a good approximation to a loss function occurring naturally in an application.^[10]

Like variance, mean squared error has the disadvantage of heavily weighting outliers.^[11] This is a result of the squaring of each term, which effectively weights large errors more heavily than small ones. This property, undesirable in many applications, has led researchers to use alternatives such as the mean absolute error, or those based on the median.

See also[edit]

• Bias–variance tradeoff
• Hodges’ estimator
• James–Stein estimator
• Mean percentage error
• Mean square quantization error
• Mean square weighted deviation
• Mean squared displacement
• Mean squared prediction error
• Minimum mean square error
• Minimum mean squared error estimator
• Overfitting
• Peak signal-to-noise ratio

Notes[edit]

References[edit]

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics, the mean squared error (MSE)^[1] or mean squared deviation (MSD) of an estimator (of a procedure for estimating an unobserved quantity) measures the average of the squares of the errors—that is, the average squared difference between the estimated values and the actual value. MSE is a risk function, corresponding to the expected value of the squared error loss.^[2] The fact that MSE is almost always strictly positive (and not zero) is because of randomness or because the estimator does not account for information that could produce a more accurate estimate.^[3] In machine learning, specifically empirical risk minimization, MSE may refer to the empirical risk (the average loss on an observed data set), as an estimate of the true MSE (the true risk: the average loss on the actual population distribution).

The MSE is a measure of the quality of an estimator. As it is derived from the square of Euclidean distance, it is always a positive value that decreases as the error approaches zero.

The MSE is the second moment (about the origin) of the error, and thus incorporates both the variance of the estimator (how widely spread the estimates are from one data sample to another) and its bias (how far off the average estimated value is from the true value).^{[citation needed]} For an unbiased estimator, the MSE is the variance of the estimator. Like the variance, MSE has the same units of measurement as the square of the quantity being estimated. In an analogy to standard deviation, taking the square root of MSE yields the root-mean-square error or root-mean-square deviation (RMSE or RMSD), which has the same units as the quantity being estimated; for an unbiased estimator, the RMSE is the square root of the variance, known as the standard error.

Definition and basic properties[edit]

The MSE either assesses the quality of a predictor (i.e., a function mapping arbitrary inputs to a sample of values of some random variable), or of an estimator (i.e., a mathematical function mapping a sample of data to an estimate of a parameter of the population from which the data is sampled). The definition of an MSE differs according to whether one is describing a predictor or an estimator.

Predictor[edit]

If a vector of predictions is generated from a sample of data points on all variables, and is the vector of observed values of the variable being predicted, with being the predicted values (e.g. as from a least-squares fit), then the within-sample MSE of the predictor is computed as

In other words, the MSE is the mean of the squares of the errors . This is an easily computable quantity for a particular sample (and hence is sample-dependent).

In matrix notation,

where is and is the column vector.

The MSE can also be computed on q data points that were not used in estimating the model, either because they were held back for this purpose, or because these data have been newly obtained. Within this process, known as statistical learning, the MSE is often called the test MSE,^[4] and is computed as

Estimator[edit]

The MSE of an estimator with respect to an unknown parameter is defined as^[1]

This definition depends on the unknown parameter, but the MSE is a priori a property of an estimator. The MSE could be a function of unknown parameters, in which case any estimator of the MSE based on estimates of these parameters would be a function of the data (and thus a random variable). If the estimator is derived as a sample statistic and is used to estimate some population parameter, then the expectation is with respect to the sampling distribution of the sample statistic.

The MSE can be written as the sum of the variance of the estimator and the squared bias of the estimator, providing a useful way to calculate the MSE and implying that in the case of unbiased estimators, the MSE and variance are equivalent.^[5]

Proof of variance and bias relationship[edit]

An even shorter proof can be achieved using the well-known formula that for a random variable , . By substituting with, , we have

But in real modeling case, MSE could be described as the addition of model variance, model bias, and irreducible uncertainty (see Bias–variance tradeoff). According to the relationship, the MSE of the estimators could be simply used for the efficiency comparison, which includes the information of estimator variance and bias. This is called MSE criterion.

In regression[edit]

In regression analysis, plotting is a more natural way to view the overall trend of the whole data. The mean of the distance from each point to the predicted regression model can be calculated, and shown as the mean squared error. The squaring is critical to reduce the complexity with negative signs. To minimize MSE, the model could be more accurate, which would mean the model is closer to actual data. One example of a linear regression using this method is the least squares method—which evaluates appropriateness of linear regression model to model bivariate dataset,^[6] but whose limitation is related to known distribution of the data.

The term mean squared error is sometimes used to refer to the unbiased estimate of error variance: the residual sum of squares divided by the number of degrees of freedom. This definition for a known, computed quantity differs from the above definition for the computed MSE of a predictor, in that a different denominator is used. The denominator is the sample size reduced by the number of model parameters estimated from the same data, (n−p) for p regressors or (n−p−1) if an intercept is used (see errors and residuals in statistics for more details).^[7] Although the MSE (as defined in this article) is not an unbiased estimator of the error variance, it is consistent, given the consistency of the predictor.

In regression analysis, «mean squared error», often referred to as mean squared prediction error or «out-of-sample mean squared error», can also refer to the mean value of the squared deviations of the predictions from the true values, over an out-of-sample test space, generated by a model estimated over a particular sample space. This also is a known, computed quantity, and it varies by sample and by out-of-sample test space.

Examples[edit]

Mean[edit]

Suppose we have a random sample of size from a population, . Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all draws. The usual estimator for the is the sample average

which has an expected value equal to the true mean (so it is unbiased) and a mean squared error of

where is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

Variance[edit]

The usual estimator for the variance is the corrected sample variance:

This is unbiased (its expected value is ), hence also called the unbiased sample variance, and its MSE is^[8]

where is the fourth central moment of the distribution or population, and is the excess kurtosis.

However, one can use other estimators for which are proportional to , and an appropriate choice can always give a lower mean squared error. If we define

then we calculate:

This is minimized when

For a Gaussian distribution, where , this means that the MSE is minimized when dividing the sum by . The minimum excess kurtosis is ,^[a] which is achieved by a Bernoulli distribution with p = 1/2 (a coin flip), and the MSE is minimized for Hence regardless of the kurtosis, we get a «better» estimate (in the sense of having a lower MSE) by scaling down the unbiased estimator a little bit; this is a simple example of a shrinkage estimator: one «shrinks» the estimator towards zero (scales down the unbiased estimator).

Further, while the corrected sample variance is the best unbiased estimator (minimum mean squared error among unbiased estimators) of variance for Gaussian distributions, if the distribution is not Gaussian, then even among unbiased estimators, the best unbiased estimator of the variance may not be

Gaussian distribution[edit]

The following table gives several estimators of the true parameters of the population, μ and σ², for the Gaussian case.^[9]

True value	Estimator	Mean squared error
	= the unbiased estimator of the population mean,
	= the unbiased estimator of the population variance,
	= the biased estimator of the population variance,
	= the biased estimator of the population variance,

Interpretation[edit]

An MSE of zero, meaning that the estimator predicts observations of the parameter with perfect accuracy, is ideal (but typically not possible).

Values of MSE may be used for comparative purposes. Two or more statistical models may be compared using their MSEs—as a measure of how well they explain a given set of observations: An unbiased estimator (estimated from a statistical model) with the smallest variance among all unbiased estimators is the best unbiased estimator or MVUE (Minimum-Variance Unbiased Estimator).

Both analysis of variance and linear regression techniques estimate the MSE as part of the analysis and use the estimated MSE to determine the statistical significance of the factors or predictors under study. The goal of experimental design is to construct experiments in such a way that when the observations are analyzed, the MSE is close to zero relative to the magnitude of at least one of the estimated treatment effects.

In one-way analysis of variance, MSE can be calculated by the division of the sum of squared errors and the degree of freedom. Also, the f-value is the ratio of the mean squared treatment and the MSE.

MSE is also used in several stepwise regression techniques as part of the determination as to how many predictors from a candidate set to include in a model for a given set of observations.

Applications[edit]

• Minimizing MSE is a key criterion in selecting estimators: see minimum mean-square error. Among unbiased estimators, minimizing the MSE is equivalent to minimizing the variance, and the estimator that does this is the minimum variance unbiased estimator. However, a biased estimator may have lower MSE; see estimator bias.
• In statistical modelling the MSE can represent the difference between the actual observations and the observation values predicted by the model. In this context, it is used to determine the extent to which the model fits the data as well as whether removing some explanatory variables is possible without significantly harming the model’s predictive ability.
• In forecasting and prediction, the Brier score is a measure of forecast skill based on MSE.

Loss function[edit]

Squared error loss is one of the most widely used loss functions in statistics^{[citation needed]}, though its widespread use stems more from mathematical convenience than considerations of actual loss in applications. Carl Friedrich Gauss, who introduced the use of mean squared error, was aware of its arbitrariness and was in agreement with objections to it on these grounds.^[3] The mathematical benefits of mean squared error are particularly evident in its use at analyzing the performance of linear regression, as it allows one to partition the variation in a dataset into variation explained by the model and variation explained by randomness.

Criticism[edit]

The use of mean squared error without question has been criticized by the decision theorist James Berger. Mean squared error is the negative of the expected value of one specific utility function, the quadratic utility function, which may not be the appropriate utility function to use under a given set of circumstances. There are, however, some scenarios where mean squared error can serve as a good approximation to a loss function occurring naturally in an application.^[10]

Like variance, mean squared error has the disadvantage of heavily weighting outliers.^[11] This is a result of the squaring of each term, which effectively weights large errors more heavily than small ones. This property, undesirable in many applications, has led researchers to use alternatives such as the mean absolute error, or those based on the median.

See also[edit]

• Bias–variance tradeoff
• Hodges’ estimator
• James–Stein estimator
• Mean percentage error
• Mean square quantization error
• Mean square weighted deviation
• Mean squared displacement
• Mean squared prediction error
• Minimum mean square error
• Minimum mean squared error estimator
• Overfitting
• Peak signal-to-noise ratio

Notes[edit]

References[edit]

Есть 3 различных API для оценки качества прогнозов модели:

• Метод оценки оценщика : у оценщиков есть score метод, обеспечивающий критерий оценки по умолчанию для проблемы, для решения которой они предназначены. Это обсуждается не на этой странице, а в документации каждого оценщика.
• Параметр оценки: инструменты оценки модели с использованием перекрестной проверки (например, model_selection.cross_val_score и model_selection.GridSearchCV) полагаются на внутреннюю стратегию оценки . Это обсуждается в разделе Параметр оценки: определение правил оценки модели .
• Метрические функции : В sklearn.metrics модуле реализованы функции оценки ошибки прогноза для конкретных целей. Эти показатели подробно описаны в разделах по метрикам классификации , MultiLabel ранжирования показателей , показателей регрессии и показателей кластеризации .

Наконец, фиктивные оценки полезны для получения базового значения этих показателей для случайных прогнозов.

3.3.1. В scoring параметрах: определение правил оценки моделей

Выбор и оценка модели с использованием таких инструментов, как model_selection.GridSearchCV и model_selection.cross_val_score, принимают scoring параметр, который контролирует, какую метрику они применяют к оцениваемым оценщикам.

3.3.1.1. Общие случаи: предопределенные значения

Для наиболее распространенных случаев использования вы можете назначить объект подсчета с помощью scoring параметра; в таблице ниже показаны все возможные значения. Все объекты счетчика следуют соглашению о том, что более высокие возвращаемые значения лучше, чем более низкие возвращаемые значения . Таким образом, метрики, которые измеряют расстояние между моделью и данными, например metrics.mean_squared_error, доступны как neg_mean_squared_error, которые возвращают инвертированное значение метрики.

Примеры использования:

>>> from sklearn import svm, datasets
>>> from sklearn.model_selection import cross_val_score
>>> X, y = datasets.load_iris(return_X_y=True)
>>> clf = svm.SVC(random_state=0)
>>> cross_val_score(clf, X, y, cv=5, scoring='recall_macro')
array([0.96..., 0.96..., 0.96..., 0.93..., 1.        ])
>>> model = svm.SVC()
>>> cross_val_score(model, X, y, cv=5, scoring='wrong_choice')
Traceback (most recent call last):
ValueError: 'wrong_choice' is not a valid scoring value. Use sorted(sklearn.metrics.SCORERS.keys()) to get valid options.

3.3.1.2. Определение стратегии выигрыша от метрических функций

Модуль sklearn.metrics также предоставляет набор простых функций, измеряющих ошибку предсказания с учетом истинности и предсказания:

• функции, заканчивающиеся на, _score возвращают значение для максимизации, чем выше, тем лучше.
• функции, заканчивающиеся на _error или _loss возвращающие значение, которое нужно минимизировать, чем ниже, тем лучше. При преобразовании в объект счетчика с использованием make_scorer установите для greater_is_better параметра значение False ( True по умолчанию; см. Описание параметра ниже).

Метрики, доступные для различных задач машинного обучения, подробно описаны в разделах ниже.

Многим метрикам не даются имена для использования в качестве scoring значений, иногда потому, что они требуют дополнительных параметров, например fbeta_score. В таких случаях вам необходимо создать соответствующий объект оценки. Самый простой способ создать вызываемый объект для оценки — использовать make_scorer. Эта функция преобразует метрики в вызываемые объекты, которые можно использовать для оценки модели.

Один из типичных вариантов использования — обернуть существующую метрическую функцию из библиотеки значениями, отличными от значений по умолчанию для ее параметров, такими как beta параметр для fbeta_score функции:

>>> from sklearn.metrics import fbeta_score, make_scorer
>>> ftwo_scorer = make_scorer(fbeta_score, beta=2)
>>> from sklearn.model_selection import GridSearchCV
>>> from sklearn.svm import LinearSVC
>>> grid = GridSearchCV(LinearSVC(), param_grid={'C': [1, 10]},
...                     scoring=ftwo_scorer, cv=5)

Второй вариант использования — создание полностью настраиваемого объекта скоринга из простой функции Python с использованием make_scorer, которая может принимать несколько параметров:

• функция Python, которую вы хотите использовать ( my_custom_loss_func в примере ниже)
• возвращает ли функция Python оценку ( greater_is_better=True, по умолчанию) или потерю ( greater_is_better=False). В случае потери результат функции python аннулируется объектом скоринга в соответствии с соглашением о перекрестной проверке, согласно которому скоринтеры возвращают более высокие значения для лучших моделей.
• только для показателей классификации: требуется ли для предоставленной вами функции Python постоянная уверенность в принятии решений ( needs_threshold=True). Значение по умолчанию неверно.
• любые дополнительные параметры, такие как betaили labels в f1_score.

Вот пример создания пользовательских счетчиков очков и использования greater_is_better параметра:

>>> import numpy as np
>>> def my_custom_loss_func(y_true, y_pred):
...     diff = np.abs(y_true - y_pred).max()
...     return np.log1p(diff)
...
>>> # score will negate the return value of my_custom_loss_func,
>>> # which will be np.log(2), 0.693, given the values for X
>>> # and y defined below.
>>> score = make_scorer(my_custom_loss_func, greater_is_better=False)
>>> X = [[1], [1]]
>>> y = [0, 1]
>>> from sklearn.dummy import DummyClassifier
>>> clf = DummyClassifier(strategy='most_frequent', random_state=0)
>>> clf = clf.fit(X, y)
>>> my_custom_loss_func(y, clf.predict(X))
0.69...
>>> score(clf, X, y)
-0.69...

3.3.1.3. Реализация собственного скорингового объекта

Вы можете сгенерировать еще более гибкие модели скоринга, создав свой собственный скоринговый объект с нуля, без использования make_scorer фабрики. Чтобы вызываемый может быть бомбардиром, он должен соответствовать протоколу, указанному в следующих двух правилах:

• Его можно вызвать с параметрами (estimator, X, y), где estimator это модель, которая должна быть оценена, X это данные проверки и y основная истинная цель для (в контролируемом случае) или None (в неконтролируемом случае).
• Он возвращает число с плавающей запятой, которое количественно определяет estimator качество прогнозирования X со ссылкой на y. Опять же, по соглашению более высокие числа лучше, поэтому, если ваш секретарь сообщает о проигрыше, это значение следует отменить.

>>> from custom_scorer_module import custom_scoring_function 
>>> cross_val_score(model,
...  X_train,
...  y_train,
...  scoring=make_scorer(custom_scoring_function, greater_is_better=False),
...  cv=5,
...  n_jobs=-1) 

3.3.1.4. Использование множественной метрической оценки

Scikit-learn также позволяет оценивать несколько показателей в GridSearchCV, RandomizedSearchCV и cross_validate.

Есть три способа указать несколько показателей оценки для scoring параметра:

• Как итерация строковых показателей:

>>> scoring = ['accuracy', 'precision']

• В качестве dictсопоставления имени секретаря с функцией подсчета очков:

>>> from sklearn.metrics import accuracy_score
>>> from sklearn.metrics import make_scorer
>>> scoring = {'accuracy': make_scorer(accuracy_score),
...            'prec': 'precision'}

Обратите внимание, что значения dict могут быть либо функциями счетчика, либо одной из предварительно определенных строк показателей.

• Как вызываемый объект, возвращающий словарь оценок:

>>> from sklearn.model_selection import cross_validate
>>> from sklearn.metrics import confusion_matrix
>>> # A sample toy binary classification dataset
>>> X, y = datasets.make_classification(n_classes=2, random_state=0)
>>> svm = LinearSVC(random_state=0)
>>> def confusion_matrix_scorer(clf, X, y):
...      y_pred = clf.predict(X)
...      cm = confusion_matrix(y, y_pred)
...      return {'tn': cm[0, 0], 'fp': cm[0, 1],
...              'fn': cm[1, 0], 'tp': cm[1, 1]}
>>> cv_results = cross_validate(svm, X, y, cv=5,
...                             scoring=confusion_matrix_scorer)
>>> # Getting the test set true positive scores
>>> print(cv_results['test_tp'])
[10  9  8  7  8]
>>> # Getting the test set false negative scores
>>> print(cv_results['test_fn'])
[0 1 2 3 2]

3.3.2. Метрики классификации

В sklearn.metrics модуле реализованы несколько функций потерь, оценки и полезности для измерения эффективности классификации. Некоторые метрики могут потребовать оценок вероятности положительного класса, значений достоверности или значений двоичных решений. Большинство реализаций позволяют каждой выборке вносить взвешенный вклад в общую оценку с помощью sample_weight параметра.

Некоторые из них ограничены случаем двоичной классификации:

Другие также работают в случае мультикласса:

Некоторые также работают в многоярусном регистре:

А некоторые работают с двоичными и многозначными (но не мультиклассовыми) проблемами:

В следующих подразделах мы опишем каждую из этих функций, которым будут предшествовать некоторые примечания по общему API и определению показателей.

3.3.2.1. От бинарного до мультиклассового и многозначного

Некоторые метрики по существу определены для задач двоичной классификации (например f1_score, roc_auc_score). В этих случаях по умолчанию оценивается только положительная метка, предполагая по умолчанию, что положительный класс помечен 1 (хотя это можно настроить с помощью pos_label параметра).

При расширении двоичной метрики на задачи с несколькими классами или метками данные обрабатываются как набор двоичных задач, по одной для каждого класса. Затем есть несколько способов усреднить вычисления двоичных показателей по набору классов, каждый из которых может быть полезен в некотором сценарии. Если возможно, вы должны выбрать одно из них с помощью average параметра.

• "macro" просто вычисляет среднее значение двоичных показателей, придавая каждому классу одинаковый вес. В задачах, где редкие занятия тем не менее важны, макро-усреднение может быть средством выделения их производительности. С другой стороны, предположение, что все классы одинаково важны, часто неверно, так что макро-усреднение будет чрезмерно подчеркивать обычно низкую производительность для нечастого класса.
• "weighted" учитывает дисбаланс классов, вычисляя среднее значение двоичных показателей, в которых оценка каждого класса взвешивается по его присутствию в истинной выборке данных.
• "micro" дает каждой паре выборка-класс равный вклад в общую метрику (за исключением результата взвешивания выборки). Вместо того, чтобы суммировать метрику для каждого класса, это суммирует дивиденды и делители, составляющие метрики для каждого класса, для расчета общего частного. Микро-усреднение может быть предпочтительным в настройках с несколькими ярлыками, включая многоклассовую классификацию, когда класс большинства следует игнорировать.
• "samples" применяется только к задачам с несколькими ярлыками. Он не вычисляет меру для каждого класса, вместо этого вычисляет метрику по истинным и прогнозируемым классам для каждой выборки в данных оценки и возвращает их ( sample_weight — взвешенное) среднее значение.
• Выбор average=None вернет массив с оценкой для каждого класса.

В то время как данные мультикласса предоставляются метрике, как двоичные цели, в виде массива меток классов, данные с несколькими метками указываются как индикаторная матрица, в которой ячейка [i, j] имеет значение 1, если у образца i есть метка j, и значение 0 в противном случае.

3.3.2.2. Оценка точности

Функция accuracy_score вычисляет точность , либо фракции ( по умолчанию) или количество (нормализует = False) правильных предсказаний.

В классификации с несколькими ярлыками функция возвращает точность подмножества. Если весь набор предсказанных меток для выборки строго соответствует истинному набору меток, то точность подмножества равна 1,0; в противном случае — 0, 0.

Если $hat{y}_i$ прогнозируемое значение $i$-й образец и $y_i$ — соответствующее истинное значение, тогда доля правильных прогнозов по сравнению с $n_{samples}$ определяется как
$$texttt{accuracy}(y, hat{y}) = frac{1}{n_text{samples}} sum_{i=0}^{n_text{samples}-1} 1(hat{y}_i = y_i)$$

где $1(x)$- индикаторная функция .

>>> import numpy as np
>>> from sklearn.metrics import accuracy_score
>>> y_pred = [0, 2, 1, 3]
>>> y_true = [0, 1, 2, 3]
>>> accuracy_score(y_true, y_pred)
0.5
>>> accuracy_score(y_true, y_pred, normalize=False)
2

В многопозиционном корпусе с бинарными индикаторами меток:

>>> accuracy_score(np.array([[0, 1], [1, 1]]), np.ones((2, 2)))
0.5

3.3.2.3. Рейтинг точности Top-k

Функция top_k_accuracy_score представляет собой обобщение accuracy_score. Разница в том, что прогноз считается правильным, если истинная метка связана с одним из kнаивысших прогнозируемых баллов. accuracy_score является частным случаем k = 1.

Функция охватывает случаи двоичной и многоклассовой классификации, но не случай многозначной классификации.

Если $hat{f}_{i,j}$ прогнозируемый класс для $i$-й образец, соответствующий $j$-й по величине прогнозируемый результат и $y_i$ — соответствующее истинное значение, тогда доля правильных прогнозов по сравнению с $n_{samples}$ определяется как
$$texttt{top-k accuracy}(y, hat{f}) = frac{1}{n_text{samples}} sum_{i=0}^{n_text{samples}-1} sum_{j=1}^{k} 1(hat{f}_{i,j} = y_i)$$

где k допустимое количество предположений и 1(x)- индикаторная функция.

>>> import numpy as np
>>> from sklearn.metrics import top_k_accuracy_score
>>> y_true = np.array([0, 1, 2, 2])
>>> y_score = np.array([[0.5, 0.2, 0.2],
...                     [0.3, 0.4, 0.2],
...                     [0.2, 0.4, 0.3],
...                     [0.7, 0.2, 0.1]])
>>> top_k_accuracy_score(y_true, y_score, k=2)
0.75
>>> # Not normalizing gives the number of "correctly" classified samples
>>> top_k_accuracy_score(y_true, y_score, k=2, normalize=False)
3

3.3.2.4. Сбалансированный показатель точности

Функция balanced_accuracy_score вычисляет взвешенную точность , что позволяет избежать завышенных оценок производительности на несбалансированных данных. Это макросреднее количество оценок отзыва по классу или, что то же самое, грубая точность, где каждая выборка взвешивается в соответствии с обратной распространенностью ее истинного класса. Таким образом, для сбалансированных наборов данных оценка равна точности.

В двоичном случае сбалансированная точность равна среднему арифметическому чувствительности (истинно положительный показатель) и специфичности (истинно отрицательный показатель) или площади под кривой ROC с двоичными прогнозами, а не баллами:
$$texttt{balanced-accuracy} = frac{1}{2}left( frac{TP}{TP + FN} + frac{TN}{TN + FP}right )$$

Если классификатор одинаково хорошо работает в любом классе, этот термин сокращается до обычной точности (т. е. Количества правильных прогнозов, деленного на общее количество прогнозов).

Напротив, если обычная точность выше вероятности только потому, что классификатор использует несбалансированный набор тестов, тогда сбалансированная точность, при необходимости, упадет до $frac{1}{n_classes}$.

Оценка варьируется от 0 до 1 или, когда adjusted=True используется, масштабируется до диапазона $frac{1}{1 — n_classes}$ до 1 включительно, с произвольной оценкой 0.

Если yi истинная ценность $i$-й образец, и $w_i$ — соответствующий вес образца, затем мы настраиваем вес образца на:
$$hat{w}_i = frac{w_i}{sum_j{1(y_j = y_i) w_j}}$$

где $1(x)$- индикаторная функция . Учитывая предсказанный $hat{y}_i$ для образца $i$, сбалансированная точность определяется как:
$$texttt{balanced-accuracy}(y, hat{y}, w) = frac{1}{sum{hat{w}_i}} sum_i 1(hat{y}_i = y_i) hat{w}_i$$

С adjusted=True сбалансированной точностью сообщает об относительном увеличении от $texttt{balanced-accuracy}(y, mathbf{0}, w) =frac{1}{n_classes}$. В двоичном случае это также известно как * статистика Юдена * , или информированность .

3.3.2.5. Каппа Коэна

Функция cohen_kappa_score вычисляет каппа-Коэна статистику. Эта мера предназначена для сравнения меток, сделанных разными людьми-аннотаторами, а не классификатором с достоверной информацией.

Показатель каппа (см. Строку документации) представляет собой число от -1 до 1. Баллы выше 0,8 обычно считаются хорошим совпадением; ноль или ниже означает отсутствие согласия (практически случайные метки).

Оценка Каппа может быть вычислена для двоичных или многоклассовых задач, но не для задач с несколькими метками (за исключением ручного вычисления оценки для каждой метки) и не более чем для двух аннотаторов.

>>> from sklearn.metrics import cohen_kappa_score
>>> y_true = [2, 0, 2, 2, 0, 1]
>>> y_pred = [0, 0, 2, 2, 0, 2]
>>> cohen_kappa_score(y_true, y_pred)
0.4285714285714286

3.3.2.6. Матрица неточностей ¶

Точность функции confusion_matrix вычисляет классификацию пути вычисления матрицы путаницы с каждой строкой , соответствующей истинный классом (Википедия и другие ссылки могут использовать различные конвенции для осей).

По определению запись i,j в матрице неточностей — количество наблюдений в группе i, но предполагается, что он будет в группе j. Вот пример:

>>> from sklearn.metrics import confusion_matrix
>>> y_true = [2, 0, 2, 2, 0, 1]
>>> y_pred = [0, 0, 2, 2, 0, 2]
>>> confusion_matrix(y_true, y_pred)
array([[2, 0, 0],
       [0, 0, 1],
       [1, 0, 2]])

plot_confusion_matrix может использоваться для визуального представления матрицы неточностей, как показано в примере матрицы неточностей, который создает следующий рисунок:

Параметр normalize позволяет сообщать коэффициенты вместо подсчетов. Матрица путаница может быть нормализована в 3 различными способами: 'pred', 'true'и 'all' которые будут делить счетчики на сумму каждого столбца, строки или всей матрицы, соответственно.

>>> y_true = [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1]
>>> y_pred = [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1]
>>> confusion_matrix(y_true, y_pred, normalize='all')
array([[0.25 , 0.125],
       [0.25 , 0.375]])

Для двоичных задач мы можем получить подсчет истинно отрицательных, ложноположительных, ложноотрицательных и истинно положительных результатов следующим образом:

>>> y_true = [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1]
>>> y_pred = [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1]
>>> tn, fp, fn, tp = confusion_matrix(y_true, y_pred).ravel()
>>> tn, fp, fn, tp
(2, 1, 2, 3)

3.3.2.7. Отчет о классификации

Функция classification_report создает текстовый отчет , показывающий основные показатели классификации. Вот небольшой пример с настраиваемыми target_names и предполагаемыми ярлыками:

>>> from sklearn.metrics import classification_report
>>> y_true = [0, 1, 2, 2, 0]
>>> y_pred = [0, 0, 2, 1, 0]
>>> target_names = ['class 0', 'class 1', 'class 2']
>>> print(classification_report(y_true, y_pred, target_names=target_names))
              precision    recall  f1-score   support

     class 0       0.67      1.00      0.80         2
     class 1       0.00      0.00      0.00         1
     class 2       1.00      0.50      0.67         2

    accuracy                           0.60         5
   macro avg       0.56      0.50      0.49         5
weighted avg       0.67      0.60      0.59         5

3.3.2.8. Потеря Хэмминга

hamming_loss вычисляет среднюю потерю Хэмминга или расстояние Хемминга между двумя наборами образцов.

Если $hat{y}_j$ прогнозируемое значение для $j$-я этикетка данного образца, $y_j$ — соответствующее истинное значение, а $n_{labels}$ — количество классов или меток, то потеря Хэмминга $L_{Hamming}$ между двумя образцами определяется как:
$$L_{Hamming}(y, hat{y}) = frac{1}{n_text{labels}} sum_{j=0}^{n_text{labels} — 1} 1(hat{y}_j not= y_j)$$

где $1(x)$- индикаторная функция .

>>> from sklearn.metrics import hamming_loss
>>> y_pred = [1, 2, 3, 4]
>>> y_true = [2, 2, 3, 4]
>>> hamming_loss(y_true, y_pred)
0.25

В многопозиционном корпусе с бинарными индикаторами меток:

>>> hamming_loss(np.array([[0, 1], [1, 1]]), np.zeros((2, 2)))
0.75

3.3.2.9. Точность, отзыв и F-меры

Интуитивно, точность — это способность классификатора не маркировать как положительный образец, который является отрицательным, а отзыв — это способность классификатора находить все положительные образцы.

F-мера ($F_beta$ а также $F_1$ меры) можно интерпретировать как взвешенное гармоническое среднее значение точности и полноты. А $F_beta$ мера достигает своего лучшего значения на уровне 1 и худшего результата на уровне 0. С $beta = 1$, $F_beta$ а также $F_1$ эквивалентны, а отзыв и точность одинаково важны.

precision_recall_curve вычисляет кривую точности-отзыва на основе наземной метки истинности и оценки, полученной классификатором путем изменения порога принятия решения.

Функция average_precision_score вычисляет среднюю точность (AP) от оценки прогнозирования. Значение от 0 до 1 и выше — лучше. AP определяется как
$$text{AP} = sum_n (R_n — R_{n-1}) P_n$$

где $P_n$ а также $R_n$- точность и отзыв на n-м пороге. При случайных прогнозах AP — это доля положительных образцов.

Ссылки [Manning2008] и [Everingham2010] представляют альтернативные варианты AP, которые интерполируют кривую точности-отзыва. В настоящее время average_precision_score не реализован какой-либо вариант с интерполяцией. Ссылки [Davis2006] и [Flach2015] описывают, почему линейная интерполяция точек на кривой точности-отзыва обеспечивает чрезмерно оптимистичный показатель эффективности классификатора. Эта линейная интерполяция используется при вычислении площади под кривой с помощью правила трапеции в auc.

Несколько функций позволяют анализировать точность, отзыв и оценку F-мер:

Обратите внимание, что функция precision_recall_curve ограничена двоичным регистром. Функция average_precision_score работает только в двоичном формате классификации и MultiLabel индикатора. В функции plot_precision_recall_curve графики точности вспомнить следующим образом .

3.3.2.9.1. Бинарная классификация

В задаче бинарной классификации термины «положительный» и «отрицательный» относятся к предсказанию классификатора, а термины «истинный» и «ложный» относятся к тому, соответствует ли этот прогноз внешнему суждению ( иногда известное как «наблюдение»). Учитывая эти определения, мы можем сформулировать следующую таблицу:

В этом контексте мы можем определить понятия точности, отзыва и F-меры:
$$text{precision} = frac{tp}{tp + fp},$$
$$text{recall} = frac{tp}{tp + fn},$$
$$F_beta = (1 + beta^2) frac{text{precision} times text{recall}}{beta^2 text{precision} + text{recall}}.$$

Вот несколько небольших примеров бинарной классификации:

>>> from sklearn import metrics
>>> y_pred = [0, 1, 0, 0]
>>> y_true = [0, 1, 0, 1]
>>> metrics.precision_score(y_true, y_pred)
1.0
>>> metrics.recall_score(y_true, y_pred)
0.5
>>> metrics.f1_score(y_true, y_pred)
0.66...
>>> metrics.fbeta_score(y_true, y_pred, beta=0.5)
0.83...
>>> metrics.fbeta_score(y_true, y_pred, beta=1)
0.66...
>>> metrics.fbeta_score(y_true, y_pred, beta=2)
0.55...
>>> metrics.precision_recall_fscore_support(y_true, y_pred, beta=0.5)
(array([0.66..., 1.        ]), array([1. , 0.5]), array([0.71..., 0.83...]), array([2, 2]))


>>> import numpy as np
>>> from sklearn.metrics import precision_recall_curve
>>> from sklearn.metrics import average_precision_score
>>> y_true = np.array([0, 0, 1, 1])
>>> y_scores = np.array([0.1, 0.4, 0.35, 0.8])
>>> precision, recall, threshold = precision_recall_curve(y_true, y_scores)
>>> precision
array([0.66..., 0.5       , 1.        , 1.        ])
>>> recall
array([1. , 0.5, 0.5, 0. ])
>>> threshold
array([0.35, 0.4 , 0.8 ])
>>> average_precision_score(y_true, y_scores)
0.83...

3.3.2.9.2. Мультиклассовая и многозначная классификация

В задаче классификации по нескольким классам и меткам понятия точности, отзыва и F-меры могут применяться к каждой метке независимо. Есть несколько способов , чтобы объединить результаты по этикеткам, указанных в average аргументе к average_precision_score (MultiLabel только) f1_score, fbeta_score, precision_recall_fscore_support, precision_score и recall_score функция, как описано выше . Обратите внимание, что если включены все метки, «микро» -усреднение в настройке мультикласса обеспечит точность, отзыв и $F$ все они идентичны по точности. Также обратите внимание, что «взвешенное» усреднение может дать оценку F, которая не находится между точностью и отзывом.

Чтобы сделать это более явным, рассмотрим следующие обозначения:

• $y$ набор предсказанных ($sample$, $label$) пары
• $hat{y}$ набор истинных ($sample$, $label$) пары
•  $L$ набор лейблов
• $S$ набор образцов
• $y_s$ подмножество $y$ с образцом $s$, т.е $y_s := left{(s’, l) in y | s’ = sright}$. 
• $y_l$ подмножество $y$ с этикеткой $l$
• по аналогии, $hat{y}_s$ а также $hat{y}_l$ являются подмножествами $hat{y}$
• $P(A, B) := frac{left| A cap B right|}{left|Aright|}$ для некоторых наборов $A$ и $B$
• $R(A, B) := frac{left| A cap B right|}{left|Bright|}$ (Условные обозначения различаются в зависимости от обращения $B = emptyset$; эта реализация использует $R(A, B):=0$, и аналогичные для $P$.)
• $$F_beta(A, B) := left(1 + beta^2right) frac{P(A, B) times R(A, B)}{beta^2 P(A, B) + R(A, B)}$$

Тогда показатели определяются как:

>>> from sklearn import metrics
>>> y_true = [0, 1, 2, 0, 1, 2]
>>> y_pred = [0, 2, 1, 0, 0, 1]
>>> metrics.precision_score(y_true, y_pred, average='macro')
0.22...
>>> metrics.recall_score(y_true, y_pred, average='micro')
0.33...
>>> metrics.f1_score(y_true, y_pred, average='weighted')
0.26...
>>> metrics.fbeta_score(y_true, y_pred, average='macro', beta=0.5)
0.23...
>>> metrics.precision_recall_fscore_support(y_true, y_pred, beta=0.5, average=None)
(array([0.66..., 0.        , 0.        ]), array([1., 0., 0.]), array([0.71..., 0.        , 0.        ]), array([2, 2, 2]...))

Для мультиклассовой классификации с «отрицательным классом» можно исключить некоторые метки:

>>> metrics.recall_score(y_true, y_pred, labels=[1, 2], average='micro')
... # excluding 0, no labels were correctly recalled
0.0

Точно так же метки, отсутствующие в выборке данных, могут учитываться при макро-усреднении.

>>> metrics.precision_score(y_true, y_pred, labels=[0, 1, 2, 3], average='macro')
0.166...

3.3.2.10. Оценка коэффициента сходства Жаккара

Функция jaccard_score вычисляет среднее значение коэффициентов сходства Jaccard , также называемый индексом Jaccard, между парами множеств меток.

Коэффициент подобия Жаккара i-ые образцы, с набором меток наземной достоверности yi и прогнозируемый набор меток y^i, определяется как
$$J(y_i, hat{y}_i) = frac{|y_i cap hat{y}_i|}{|y_i cup hat{y}_i|}.$$

jaccard_score работает как precision_recall_fscore_support наивно установленная мера, применяемая изначально к бинарным целям, и расширена для применения к множественным меткам и мультиклассам за счет использования average(см. выше ).

В двоичном случае:

>>> import numpy as np
>>> from sklearn.metrics import jaccard_score
>>> y_true = np.array([[0, 1, 1],
...                    [1, 1, 0]])
>>> y_pred = np.array([[1, 1, 1],
...                    [1, 0, 0]])
>>> jaccard_score(y_true[0], y_pred[0])
0.6666...

В многопозиционном корпусе с бинарными индикаторами меток:

>>> jaccard_score(y_true, y_pred, average='samples')
0.5833...
>>> jaccard_score(y_true, y_pred, average='macro')
0.6666...
>>> jaccard_score(y_true, y_pred, average=None)
array([0.5, 0.5, 1. ])

Задачи с несколькими классами преобразуются в двоичную форму и обрабатываются как соответствующая задача с несколькими метками:

>>> y_pred = [0, 2, 1, 2]
>>> y_true = [0, 1, 2, 2]
>>> jaccard_score(y_true, y_pred, average=None)
array([1. , 0. , 0.33...])
>>> jaccard_score(y_true, y_pred, average='macro')
0.44...
>>> jaccard_score(y_true, y_pred, average='micro')
0.33...

3.3.2.11. Петля лосс

Функция hinge_loss вычисляет среднее расстояние между моделью и данными с использованием петля лосс, односторонний показателем , который учитывает только ошибки прогнозирования. (Потери на шарнирах используются в классификаторах максимальной маржи, таких как опорные векторные машины.)

Если метки закодированы с помощью +1 и -1, $y$: истинное значение, а $w$ — прогнозируемые решения на выходе decision_function, тогда потери на шарнирах определяются как:
$$L_text{Hinge}(y, w) = maxleft{1 — wy, 0right} = left|1 — wyright|_+$$

Если имеется более двух ярлыков, hinge_loss используется мультиклассовый вариант, разработанный Crammer & Singer. Вот статья, описывающая это.

Если $y_w$ прогнозируемое решение для истинного лейбла и $y_t$ — это максимум предсказанных решений для всех других меток, где предсказанные решения выводятся функцией принятия решений, тогда потеря шарнира в нескольких классах определяется следующим образом:
$$L_text{Hinge}(y_w, y_t) = maxleft{1 + y_t — y_w, 0right}$$

Вот небольшой пример, демонстрирующий использование hinge_loss функции с классификатором svm в задаче двоичного класса:

>>> from sklearn import svm
>>> from sklearn.metrics import hinge_loss
>>> X = [[0], [1]]
>>> y = [-1, 1]
>>> est = svm.LinearSVC(random_state=0)
>>> est.fit(X, y)
LinearSVC(random_state=0)
>>> pred_decision = est.decision_function([[-2], [3], [0.5]])
>>> pred_decision
array([-2.18...,  2.36...,  0.09...])
>>> hinge_loss([-1, 1, 1], pred_decision)
0.3...

Вот пример, демонстрирующий использование hinge_loss функции с классификатором svm в мультиклассовой задаче:

>>> X = np.array([[0], [1], [2], [3]])
>>> Y = np.array([0, 1, 2, 3])
>>> labels = np.array([0, 1, 2, 3])
>>> est = svm.LinearSVC()
>>> est.fit(X, Y)
LinearSVC()
>>> pred_decision = est.decision_function([[-1], [2], [3]])
>>> y_true = [0, 2, 3]
>>> hinge_loss(y_true, pred_decision, labels)
0.56...

3.3.2.12. Лог лосс

Лог лосс, также называемые потерями логистической регрессии или кросс-энтропийными потерями, определяются на основе оценок вероятности. Он обычно используется в (полиномиальной) логистической регрессии и нейронных сетях, а также в некоторых вариантах максимизации ожидания и может использоваться для оценки выходов вероятности ( predict_proba) классификатора вместо его дискретных прогнозов.

Для двоичной классификации с истинной меткой $y in {0,1}$ и оценка вероятности $p = operatorname{Pr}(y = 1)$, логарифмическая потеря на выборку представляет собой отрицательную логарифмическую вероятность классификатора с истинной меткой:
$$L_{log}(y, p) = -log operatorname{Pr}(y|p) = -(y log (p) + (1 — y) log (1 — p))$$

Это распространяется на случай мультикласса следующим образом. Пусть истинные метки для набора выборок будут закодированы размером 1 из K как двоичная индикаторная матрица $Y$, т.е. $y_{i,k}=1$ если образец $i$ есть ярлык $k$ взят из набора $K$ этикетки. Пусть $P$ — матрица оценок вероятностей, с $p_{i,k} = operatorname{Pr}(y_{i,k} = 1)$. Тогда потеря журнала всего набора равна
$$L_{log}(Y, P) = -log operatorname{Pr}(Y|P) = — frac{1}{N} sum_{i=0}^{N-1} sum_{k=0}^{K-1} y_{i,k} log p_{i,k}$$

Чтобы увидеть, как это обобщает приведенную выше потерю двоичного журнала, обратите внимание, что в двоичном случае $p_{i,0} = 1 — p_{i,1}$ и $y_{i,0} = 1 — y_{i,1}$, поэтому разложив внутреннюю сумму на $y_{i,k} in {0,1}$ дает двоичную потерю журнала.

В log_loss функции вычисляет журнал потеря дана список меток приземной истины и матриц вероятностей, возвращенный оценщик predict_proba методом.

>>> from sklearn.metrics import log_loss
>>> y_true = [0, 0, 1, 1]
>>> y_pred = [[.9, .1], [.8, .2], [.3, .7], [.01, .99]]
>>> log_loss(y_true, y_pred)
0.1738...

Первое [.9, .1] в y_pred означает 90% вероятность того, что первая выборка будет иметь метку 0. Лог лос неотрицательны.

3.3.2.13. Коэффициент корреляции Мэтьюза

Функция matthews_corrcoef вычисляет коэффициент корреляции Матфея (MCC) для двоичных классов. Цитата из Википедии:

«Коэффициент корреляции Мэтьюза используется в машинном обучении как мера качества двоичных (двухклассных) классификаций. Он учитывает истинные и ложные положительные и отрицательные результаты и обычно рассматривается как сбалансированная мера, которую можно использовать, даже если классы очень разных размеров. MCC — это, по сути, значение коэффициента корреляции между -1 и +1. Коэффициент +1 представляет собой идеальное предсказание, 0 — среднее случайное предсказание и -1 — обратное предсказание. Статистика также известна как коэффициент фи ».

В бинарном (двухклассовом) случае $tp$, $tn$, $fp$ а также $fn$ являются соответственно количеством истинно положительных, истинно отрицательных, ложноположительных и ложноотрицательных результатов, MCC определяется как
$$MCC = frac{tp times tn — fp times fn}{sqrt{(tp + fp)(tp + fn)(tn + fp)(tn + fn)}}.$$

В случае мультикласса коэффициент корреляции Мэтьюза может быть определен в терминах confusion_matrix C для Kклассы. Чтобы упростить определение, рассмотрим следующие промежуточные переменные:

• $t_k=sum_{i}^{K} C_{ik}$ количество занятий k действительно произошло,
• $p_k=sum_{i}^{K} C_{ki}$ количество занятий k был предсказан,
• $c=sum_{k}^{K} C_{kk}$ общее количество правильно спрогнозированных образцов,
• $s=sum_{i}^{K} sum_{j}^{K} C_{ij}$ общее количество образцов.

Тогда мультиклассовый MCC определяется как:
$$MCC = frac{ c times s — sum_{k}^{K} p_k times t_k }{sqrt{ (s^2 — sum_{k}^{K} p_k^2) times (s^2 — sum_{k}^{K} t_k^2) }}$$

Когда имеется более двух меток, значение MCC больше не будет находиться в диапазоне от -1 до +1. Вместо этого минимальное значение будет где-то между -1 и 0 в зависимости от количества и распределения наземных истинных меток. Максимальное значение всегда +1.

Вот небольшой пример, иллюстрирующий использование matthews_corrcoef функции:

>>> from sklearn.metrics import matthews_corrcoef
>>> y_true = [+1, +1, +1, -1]
>>> y_pred = [+1, -1, +1, +1]
>>> matthews_corrcoef(y_true, y_pred)
-0.33...

3.3.2.14. Матрица путаницы с несколькими метками

Функция multilabel_confusion_matrix вычисляет класс-накрест ( по умолчанию) или samplewise (samplewise = True) MultiLabel матрицы спутанности для оценки точности классификации. Multilabel_confusion_matrix также обрабатывает данные мультикласса, как если бы они были многоклассовыми, поскольку это преобразование, обычно применяемое для оценки проблем мультикласса с метриками двоичной классификации (такими как точность, отзыв и т. д.).

При вычислении классовой матрицы путаницы с несколькими метками $C$, количество истинных негативов для класса i является $C_{i,0,0}$, ложноотрицательные $C_{i,1,0}$, истинные положительные стороны $C_{i,1,1}$ а ложные срабатывания $C_{i,0,1}$.

Вот пример, демонстрирующий использование multilabel_confusion_matrix функции с вводом многозначной индикаторной матрицы:

>>> import numpy as np
>>> from sklearn.metrics import multilabel_confusion_matrix
>>> y_true = np.array([[1, 0, 1],
...                    [0, 1, 0]])
>>> y_pred = np.array([[1, 0, 0],
...                    [0, 1, 1]])
>>> multilabel_confusion_matrix(y_true, y_pred)
array([[[1, 0],
        [0, 1]],

       [[1, 0],
        [0, 1]],

       [[0, 1],
        [1, 0]]])

Или можно построить матрицу неточностей для каждой метки образца:

>>> multilabel_confusion_matrix(y_true, y_pred, samplewise=True)
array([[[1, 0],
        [1, 1]],

       [[1, 1],
        [0, 1]]])

Вот пример, демонстрирующий использование multilabel_confusion_matrix функции с многоклассовым вводом:

>>> y_true = ["cat", "ant", "cat", "cat", "ant", "bird"]
>>> y_pred = ["ant", "ant", "cat", "cat", "ant", "cat"]
>>> multilabel_confusion_matrix(y_true, y_pred,
...                             labels=["ant", "bird", "cat"])
array([[[3, 1],
        [0, 2]],

       [[5, 0],
        [1, 0]],

       [[2, 1],
        [1, 2]]])

Вот несколько примеров, демонстрирующих использование multilabel_confusion_matrix функции для расчета отзыва (или чувствительности), специфичности, количества выпадений и пропусков для каждого класса в задаче с вводом многозначной индикаторной матрицы.

Расчет отзыва (также называемого истинно положительным коэффициентом или чувствительностью) для каждого класса:

>>> y_true = np.array([[0, 0, 1],
...                    [0, 1, 0],
...                    [1, 1, 0]])
>>> y_pred = np.array([[0, 1, 0],
...                    [0, 0, 1],
...                    [1, 1, 0]])
>>> mcm = multilabel_confusion_matrix(y_true, y_pred)
>>> tn = mcm[:, 0, 0]
>>> tp = mcm[:, 1, 1]
>>> fn = mcm[:, 1, 0]
>>> fp = mcm[:, 0, 1]
>>> tp / (tp + fn)
array([1. , 0.5, 0. ])

Расчет специфичности (также называемой истинно отрицательной ставкой) для каждого класса:

>>> tn / (tn + fp)
array([1. , 0. , 0.5])

Расчет количества выпадений (также называемый частотой ложных срабатываний) для каждого класса:

>>> fp / (fp + tn)
array([0. , 1. , 0.5])

Расчет процента промахов (также называемого ложноотрицательным показателем) для каждого класса:

>>> fn / (fn + tp)
array([0. , 0.5, 1. ])

3.3.2.15. Рабочая характеристика приемника (ROC)

Функция roc_curve вычисляет рабочую характеристическую кривую приемника или кривую ROC . Цитата из Википедии:

«Рабочая характеристика приемника (ROC), или просто кривая ROC, представляет собой графический график, который иллюстрирует работу системы двоичного классификатора при изменении ее порога дискриминации. Он создается путем построения графика доли истинных положительных результатов из положительных (TPR = частота истинных положительных результатов) по сравнению с долей ложных положительных результатов из отрицательных (FPR = частота ложных положительных результатов) при различных настройках пороговых значений. TPR также известен как чувствительность, а FPR — это единица минус специфичность или истинно отрицательный показатель ».

Для этой функции требуется истинное двоичное значение и целевые баллы, которые могут быть либо оценками вероятности положительного класса, либо значениями достоверности, либо двоичными решениями. Вот небольшой пример использования roc_curve функции:

>>> import numpy as np
>>> from sklearn.metrics import roc_curve
>>> y = np.array([1, 1, 2, 2])
>>> scores = np.array([0.1, 0.4, 0.35, 0.8])
>>> fpr, tpr, thresholds = roc_curve(y, scores, pos_label=2)
>>> fpr
array([0. , 0. , 0.5, 0.5, 1. ])
>>> tpr
array([0. , 0.5, 0.5, 1. , 1. ])
>>> thresholds
array([1.8 , 0.8 , 0.4 , 0.35, 0.1 ])

На этом рисунке показан пример такой кривой ROC:

Функция roc_auc_score вычисляет площадь под операционной приемника характеристика (ROC) кривой, которая также обозначается через ППК или AUROC. При вычислении площади под кривой roc информация о кривой суммируется в одном номере. Для получения дополнительной информации см. Статью в Википедии о AUC.

По сравнению с такими показателями, как точность подмножества, потеря Хэмминга или оценка F1, ROC не требует оптимизации порога для каждой метки.

3.3.2.15.1. Двоичный регистр

В двоичном случае вы можете либо предоставить оценки вероятности, используя classifier.predict_proba() метод, либо значения решения без пороговых значений, заданные classifier.decision_function() методом. В случае предоставления оценок вероятности следует указать вероятность класса с «большей меткой». «Большая метка» соответствует classifier.classes_[1] и, следовательно classifier.predict_proba(X) [:, 1]. Следовательно, параметр y_score имеет размер (n_samples,).

>>> from sklearn.datasets import load_breast_cancer
>>> from sklearn.linear_model import LogisticRegression
>>> from sklearn.metrics import roc_auc_score
>>> X, y = load_breast_cancer(return_X_y=True)
>>> clf = LogisticRegression(solver="liblinear").fit(X, y)
>>> clf.classes_
array([0, 1])

Мы можем использовать оценки вероятностей, соответствующие clf.classes_[1].

>>> y_score = clf.predict_proba(X)[:, 1]
>>> roc_auc_score(y, y_score)
0.99...

В противном случае мы можем использовать значения решения без порога.

>>> roc_auc_score(y, clf.decision_function(X))
0.99...

3.3.2.15.2. Мультиклассовый кейс

Функция roc_auc_score также может быть использована в нескольких классах классификации . В настоящее время поддерживаются две стратегии усреднения: алгоритм «один против одного» вычисляет среднее попарных оценок AUC ROC, а алгоритм «один против остальных» вычисляет среднее значение оценок ROC AUC для каждого класса по сравнению со всеми другими классами. В обоих случаях предсказанные метки предоставляются в виде массива со значениями от 0 до n_classes, а оценки соответствуют оценкам вероятности того, что выборка принадлежит определенному классу. Алгоритмы OvO и OvR поддерживают равномерное взвешивание ( average='macro') и по распространенности ( average='weighted').

Алгоритм «один против одного» : вычисляет средний AUC всех возможных попарных комбинаций классов. [HT2001] определяет метрику AUC мультикласса, взвешенную равномерно:
$$frac{1}{c(c-1)}sum_{j=1}^{c}sum_{k > j}^c (text{AUC}(j | k) + text{AUC}(k | j))$$

где $c$ количество классов и $text{AUC}(j | k)$ AUC с классом $j$ как положительный класс и класс $k$ как отрицательный класс. В общем, $text{AUC}(j | k) neq text{AUC}(k | j))$ в случае мультикласса. Этот алгоритм используется, установив аргумент ключевого слова , multiclass чтобы 'ovo' и average в 'macro'.

[HT2001] мультиклассируют AUC метрика может быть расширена , чтобы быть взвешены по распространенности:
$$frac{1}{c(c-1)}sum_{j=1}^{c}sum_{k > j}^c p(j cup k)( text{AUC}(j | k) + text{AUC}(k | j))$$

где cколичество классов. Этот алгоритм используется, установив аргумент ключевого слова , multiclass чтобы 'ovo' и average в 'weighted'. В 'weighted' опции возвращает распространенность усредненные , как описано в [FC2009] .

Алгоритм «один против остальных» : вычисляет AUC каждого класса относительно остальных [PD2000] . Алгоритм функционально такой же, как и в случае с несколькими этикетками. Чтобы включить этот алгоритм, установите для аргумента ключевого слова multiclass значение 'ovr'. Как и OvO, OvR поддерживает два типа усреднения: 'macro' [F2006] и 'weighted' [F2001] .

В приложениях , где высокий процент ложных срабатываний не терпимый параметр max_fpr из roc_auc_score может быть использовано , чтобы суммировать кривую ROC до заданного предела.

3.3.2.15.3. Кейс с несколькими метками

В классификации несколько меток, функция roc_auc_score распространяются путем усреднения меток , как выше . В этом случае вы должны указать y_score форму . Таким образом, при использовании оценок вероятности необходимо выбрать вероятность класса с большей меткой для каждого выхода.(n_samples, n_classes)

>>> from sklearn.datasets import make_multilabel_classification
>>> from sklearn.multioutput import MultiOutputClassifier
>>> X, y = make_multilabel_classification(random_state=0)
>>> inner_clf = LogisticRegression(solver="liblinear", random_state=0)
>>> clf = MultiOutputClassifier(inner_clf).fit(X, y)
>>> y_score = np.transpose([y_pred[:, 1] for y_pred in clf.predict_proba(X)])
>>> roc_auc_score(y, y_score, average=None)
array([0.82..., 0.86..., 0.94..., 0.85... , 0.94...])

И значения решений не требуют такой обработки.

>>> from sklearn.linear_model import RidgeClassifierCV
>>> clf = RidgeClassifierCV().fit(X, y)
>>> y_score = clf.decision_function(X)
>>> roc_auc_score(y, y_score, average=None)
array([0.81..., 0.84... , 0.93..., 0.87..., 0.94...])

3.3.2.16. Компромисс при обнаружении ошибок (DET)

Функция det_curve вычисляет кривую компенсации ошибок обнаружения (DET) [WikipediaDET2017] . Цитата из Википедии:

«График компромисса ошибок обнаружения (DET) — это графическая диаграмма частоты ошибок для систем двоичной классификации, отображающая частоту ложных отклонений по сравнению с частотой ложных приемов. Оси x и y масштабируются нелинейно по их стандартным нормальным отклонениям (или просто с помощью логарифмического преобразования), в результате получаются более линейные кривые компромисса, чем кривые ROC, и большая часть области изображения используется для выделения важных различий в критический рабочий регион ».

Кривые DET представляют собой вариацию кривых рабочих характеристик приемника (ROC), где ложная отрицательная скорость нанесена на ось y вместо истинной положительной скорости. Кривые DET обычно строятся в масштабе нормального отклонения путем преобразования $phi^{-1}$ (с участием $phi$ — кумулятивная функция распределения). Полученные кривые производительности явно визуализируют компромисс типов ошибок для заданных алгоритмов классификации. См. [Martin1997], где приведены примеры и мотивация.

На этом рисунке сравниваются кривые ROC и DET двух примеров классификаторов для одной и той же задачи классификации:

Характеристики:

• Кривые DET образуют линейную кривую по шкале нормального отклонения, если оценки обнаружения нормально (или близки к нормальному) распределены. В [Navratil2007] было показано, что обратное не обязательно верно, и даже более общие распределения могут давать линейные кривые DET.
• При обычном преобразовании масштаба с отклонением точки распределяются таким образом, что занимает сравнительно большее пространство графика. Следовательно, кривые с аналогичными характеристиками классификации легче различить на графике DET.
• С ложноотрицательной скоростью, «обратной» истинной положительной скорости, точкой совершенства для кривых DET является начало координат (в отличие от верхнего левого угла для кривых ROC).

Приложения и ограничения:

Кривые DET интуитивно понятны для чтения и, следовательно, позволяют быстро визуально оценить работу классификатора. Кроме того, кривые DET можно использовать для анализа пороговых значений и выбора рабочей точки. Это особенно полезно, если требуется сравнение типов ошибок.

С другой стороны, кривые DET не представляют свою метрику в виде единого числа. Поэтому для автоматической оценки или сравнения с другими задачами классификации лучше подходят такие показатели, как производная площадь под кривой ROC.

3.3.2.17. Нулевой проигрыш

Функция zero_one_loss вычисляет сумму или среднее значение потери 0-1 классификации ($L_{0−1}$) над $n_{samples}$. По умолчанию функция нормализуется по выборке. Чтобы получить сумму $L_{0−1}$, установите normalize значение False.

В классификации по zero_one_loss нескольким меткам подмножество оценивается как единое целое, если его метки строго соответствуют прогнозам, и как ноль, если есть какие-либо ошибки. По умолчанию функция возвращает процент неправильно спрогнозированных подмножеств. Чтобы вместо этого получить количество таких подмножеств, установите normalize значение False

Если $hat{y}_i$ прогнозируемое значение $i$-й образец и $y_i$ — соответствующее истинное значение, тогда потеря 0-1 $L_{0−1}$ определяется как:
$$L_{0-1}(y_i, hat{y}_i) = 1(hat{y}_i not= y_i)$$

где $1(x)$- индикаторная функция.

>>> from sklearn.metrics import zero_one_loss
>>> y_pred = [1, 2, 3, 4]
>>> y_true = [2, 2, 3, 4]
>>> zero_one_loss(y_true, y_pred)
0.25
>>> zero_one_loss(y_true, y_pred, normalize=False)
1

В случае с несколькими метками с двоичными индикаторами меток, где первый набор меток [0,1] содержит ошибку:

>>> zero_one_loss(np.array([[0, 1], [1, 1]]), np.ones((2, 2)))
0.5

>>> zero_one_loss(np.array([[0, 1], [1, 1]]), np.ones((2, 2)),  normalize=False)
1

3.3.2.18. Потеря очков по Брайеру

Функция brier_score_loss вычисляет оценку Шиповник для бинарных классов [Brier1950] . Цитата из Википедии:

«Оценка Бриера — это правильная функция оценки, которая измеряет точность вероятностных прогнозов. Это применимо к задачам, в которых прогнозы должны назначать вероятности набору взаимоисключающих дискретных результатов ».

Эта функция возвращает среднеквадратичную ошибку фактического результата. y∈{0,1} и прогнозируемая оценка вероятности $p=Pr⁡(y=1)$ ( pred_proba ) как выведено :
$$BS = frac{1}{n_{text{samples}}} sum_{i=0}^{n_{text{samples}} — 1}(y_i — p_i)^2$$

Потеря по шкале Бриера также составляет от 0 до 1, и чем ниже значение (средняя квадратичная разница меньше), тем точнее прогноз.

Вот небольшой пример использования этой функции:

>>> import numpy as np
>>> from sklearn.metrics import brier_score_loss
>>> y_true = np.array([0, 1, 1, 0])
>>> y_true_categorical = np.array(["spam", "ham", "ham", "spam"])
>>> y_prob = np.array([0.1, 0.9, 0.8, 0.4])
>>> y_pred = np.array([0, 1, 1, 0])
>>> brier_score_loss(y_true, y_prob)
0.055
>>> brier_score_loss(y_true, 1 - y_prob, pos_label=0)
0.055
>>> brier_score_loss(y_true_categorical, y_prob, pos_label="ham")
0.055
>>> brier_score_loss(y_true, y_prob > 0.5)
0.0

Балл Бриера можно использовать для оценки того, насколько хорошо откалиброван классификатор. Однако меньшая потеря по шкале Бриера не всегда означает лучшую калибровку. Это связано с тем, что по аналогии с разложением среднеквадратичной ошибки на дисперсию смещения потеря оценки по Бриеру может быть разложена как сумма потерь калибровки и потерь при уточнении [Bella2012]. Потеря калибровки определяется как среднеквадратическое отклонение от эмпирических вероятностей, полученных из наклона ROC-сегментов. Потери при переработке можно определить как ожидаемые оптимальные потери, измеренные по площади под кривой оптимальных затрат. Потери при уточнении могут изменяться независимо от потерь при калибровке, таким образом, более низкие потери по шкале Бриера не обязательно означают более качественную калибровку модели. «Только когда потеря точности остается неизменной, более низкая потеря по шкале Бриера всегда означает лучшую калибровку» [Bella2012] , [Flach2008] .

3.3.3. Метрики ранжирования с несколькими ярлыками

В многоэлементном обучении с каждой выборкой может быть связано любое количество меток истинности. Цель состоит в том, чтобы дать высокие оценки и более высокий рейтинг наземным лейблам.

3.3.3.1. Ошибка покрытия

Функция coverage_error вычисляет среднее число меток , которые должны быть включены в окончательном предсказании таким образом, что все истинные метки предсказанные. Это полезно, если вы хотите знать, сколько меток с наивысшими баллами вам нужно предсказать в среднем, не пропуская ни одной истинной. Таким образом, наилучшее значение этого показателя — среднее количество истинных ярлыков.

Формально, учитывая двоичную индикаторную матрицу наземных меток истинности $y in left{0, 1right}^{n_text{samples} times n_text{labels}}$ и оценка, связанная с каждой меткой $hat{f} in mathbb{R}^{n_text{samples} times n_text{labels}}$ покрытие определяется как
$$coverage(y, hat{f}) = frac{1}{n_{text{samples}}} sum_{i=0}^{n_{text{samples}} — 1} max_{j:y_{ij} = 1} text{rank}_{ij}$$

с участием $text{rank}{ij} = left|left{k: hat{f}{ik} geq hat{f}_{ij} right}right|$. Учитывая определение ранга, связи y_scores разрываются путем присвоения максимального ранга, который был бы присвоен всем связанным значениям.

Вот небольшой пример использования этой функции:

>>> import numpy as np
>>> from sklearn.metrics import coverage_error
>>> y_true = np.array([[1, 0, 0], [0, 0, 1]])
>>> y_score = np.array([[0.75, 0.5, 1], [1, 0.2, 0.1]])
>>> coverage_error(y_true, y_score)
2.5

3.3.3.2. Средняя точность ранжирования метки

В label_ranking_average_precision_score функции реализует маркировать ранжирование средней точности (LRAP). Этот показатель связан с average_precision_score функцией, но основан на понятии ранжирования меток, а не на точности и отзыве.

Средняя точность ранжирования меток (LRAP) усредняет по выборкам ответ на следующий вопрос: для каждой основной метки истинности какая доля меток с более высоким рейтингом была истинной? Этот показатель эффективности будет выше, если вы сможете лучше ранжировать метки, связанные с каждым образцом. Полученная оценка всегда строго больше 0, а наилучшее значение равно 1. Если имеется ровно одна релевантная метка для каждой выборки, средняя точность ранжирования меток эквивалентна среднему обратному рангу .

Формально, учитывая двоичную индикаторную матрицу наземных меток истинности $y in left{0, 1right}^{n_text{samples} times n_text{labels}}$ и оценка, связанная с каждой меткой $hat{f} in mathbb{R}^{n_text{samples} times n_text{labels}}$, средняя точность определяется как
$$LRAP(y, hat{f}) = frac{1}{n_{text{samples}}} sum_{i=0}^{n_{text{samples}} — 1} frac{1}{||y_i||0} sum{j:y_{ij} = 1} frac{|mathcal{L}{ij}|}{text{rank}{ij}}$$

где $mathcal{L}{ij} = left{k: y{ik} = 1, hat{f}{ik} geq hat{f}{ij} right}$, $text{rank}{ij} = left|left{k: hat{f}{ik} geq hat{f}_{ij} right}right|$, |cdot| вычисляет мощность набора (т. е. количество элементов в наборе), и $||cdot||_0$ это $ell_0$ «Norm» (который вычисляет количество ненулевых элементов в векторе).

Вот небольшой пример использования этой функции:

>>> import numpy as np
>>> from sklearn.metrics import label_ranking_average_precision_score
>>> y_true = np.array([[1, 0, 0], [0, 0, 1]])
>>> y_score = np.array([[0.75, 0.5, 1], [1, 0.2, 0.1]])
>>> label_ranking_average_precision_score(y_true, y_score)
0.416...

3.3.3.3. Потеря рейтинга

Функция label_ranking_loss вычисляет ранжирование потери , которые в среднем более образцы числа пар меток, которые неправильно упорядочены, т.е. истинные метки имеют более низкую оценку , чем ложные метки, взвешенную по обратной величине числа упорядоченных пар ложных и истинных меток. Наименьшая возможная потеря рейтинга равна нулю.

Формально, учитывая двоичную индикаторную матрицу наземных меток истинности $y in left{0, 1right}^{n_text{samples} times n_text{labels}}$ и оценка, связанная с каждой меткой $hat{f} in mathbb{R}^{n_text{samples} times n_text{labels}}$ потеря ранжирования определяется как
$$ranking_loss(y, hat{f}) = frac{1}{n_{text{samples}}} sum_{i=0}^{n_{text{samples}} — 1} frac{1}{||y_i||0(ntext{labels} — ||y_i||0)} left|left{(k, l): hat{f}{ik} leq hat{f}{il}, y{ik} = 1, y_{il} = 0 right}right|$$

где $|cdot|$ вычисляет мощность набора (т. е. количество элементов в наборе) и $||cdot||_0$ это $ell_0$ «Norm» (который вычисляет количество ненулевых элементов в векторе).

Вот небольшой пример использования этой функции:

>>> import numpy as np
>>> from sklearn.metrics import label_ranking_loss
>>> y_true = np.array([[1, 0, 0], [0, 0, 1]])
>>> y_score = np.array([[0.75, 0.5, 1], [1, 0.2, 0.1]])
>>> label_ranking_loss(y_true, y_score)
0.75...
>>> # With the following prediction, we have perfect and minimal loss
>>> y_score = np.array([[1.0, 0.1, 0.2], [0.1, 0.2, 0.9]])
>>> label_ranking_loss(y_true, y_score)
0.0

3.3.3.4. Нормализованная дисконтированная совокупная прибыль

Дисконтированный совокупный выигрыш (DCG) и Нормализованный дисконтированный совокупный выигрыш (NDCG) — это показатели ранжирования, реализованные в dcg_score и ndcg_score; они сравнивают предсказанный порядок с оценками достоверности, такими как релевантность ответов на запрос.

Со страницы Википедии о дисконтированной совокупной прибыли:

«Дисконтированная совокупная прибыль (DCG) — это показатель качества ранжирования. При поиске информации он часто используется для измерения эффективности алгоритмов поисковой системы или связанных приложений. Используя шкалу градуированной релевантности документов в наборе результатов поисковой системы, DCG измеряет полезность или выгоду документа на основе его позиции в списке результатов. Прирост накапливается сверху вниз в списке результатов, причем прирост каждого результата дисконтируется на более низких уровнях »

DCG упорядочивает истинные цели (например, релевантность ответов на запросы) в предсказанном порядке, затем умножает их на логарифмическое убывание и суммирует результат. Сумма может быть усечена после первогоKрезультатов, и в этом случае мы называем это DCG @ K. NDCG или NDCG @ $K$ — это DCG, деленная на DCG, полученную с помощью точного прогноза, так что оно всегда находится между 0 и 1. Обычно NDCG предпочтительнее DCG.

По сравнению с потерей ранжирования, NDCG может принимать во внимание оценки релевантности, а не ранжирование на основе фактов. Таким образом, если основополагающая информация состоит только из упорядочивания, предпочтение следует отдавать потере ранжирования; если основополагающая информация состоит из фактических оценок полезности (например, 0 для нерелевантного, 1 для релевантного, 2 для очень актуального), можно использовать NDCG.

Для одного образца, учитывая вектор непрерывных значений истинности для каждой цели $y in R^M$, где $M$ это количество выходов, а прогноз $hat{y}$, что индуцирует функцию ранжирования $f$, оценка DCG составляет
$$sum_{r=1}^{min(K, M)}frac{y_{f(r)}}{log(1 + r)}$$

а оценка NDCG — это оценка DCG, деленная на оценку DCG, полученную для $y$.

3.3.4. Метрики регрессии

В sklearn.metrics модуле реализованы несколько функций потерь, оценки и полезности для измерения эффективности регрессии. Некоторые из них были расширены , чтобы обработать случай multioutput: mean_squared_error, mean_absolute_error, explained_variance_score и r2_score. 

У этих функций есть multioutput аргумент ключевого слова, который определяет способ усреднения результатов или проигрышей для каждой отдельной цели. По умолчанию используется значение 'uniform_average', которое определяет равномерно взвешенное среднее значение по выходным данным. Если передается ndarrayформа shape (n_outputs,), то ее записи интерпретируются как веса, и возвращается соответствующее средневзвешенное значение. Если multioutputесть 'raw_values'указан, то все неизменные индивидуальные баллы или потери будут возвращены в массиве формы (n_outputs,).

r2_score и  explained_variance_score принять дополнительное значение 'variance_weighted' для multioutput параметра. Эта опция приводит к взвешиванию каждой индивидуальной оценки по дисперсии соответствующей целевой переменной. Этот параметр определяет количественно зафиксированную немасштабированную дисперсию на глобальном уровне. Если целевые переменные имеют разную шкалу, то этот балл придает большее значение хорошему объяснению переменных с более высокой дисперсией. multioutput='variance_weighted' — значение по умолчанию r2_score для обратной совместимости. В будущем это будет изменено на uniform_average.

3.3.4.1. Оценка объясненной дисперсии

explained_variance_score вычисляет объясненной дисперсии регрессии балл.

Если $hat{y}$ — расчетный целевой объем производства, y соответствующий (правильный) целевой результат, и $Var$- Дисперсия , квадрат стандартного отклонения, то объясненная дисперсия оценивается следующим образом:
$$explained_{}variance(y, hat{y}) = 1 — frac{Var{ y — hat{y}}}{Var{y}}$$

Наилучшая возможная оценка — 1.0, более низкие значения — хуже.

Вот небольшой пример использования explained_variance_score функции:

>>> from sklearn.metrics import explained_variance_score
>>> y_true = [3, -0.5, 2, 7]
>>> y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
>>> explained_variance_score(y_true, y_pred)
0.957...
>>> y_true = [[0.5, 1], [-1, 1], [7, -6]]
>>> y_pred = [[0, 2], [-1, 2], [8, -5]]
>>> explained_variance_score(y_true, y_pred, multioutput='raw_values')
array([0.967..., 1.        ])
>>> explained_variance_score(y_true, y_pred, multioutput=[0.3, 0.7])
0.990...

3.3.4.2. Максимальная ошибка

Функция max_error вычисляет максимальную остаточную ошибку , показатель , который фиксирует худшую ошибку случае между предсказанным значением и истинным значением. В идеально подобранной модели регрессии с одним выходом он max_error будет находиться 0 в обучающем наборе, и хотя это маловероятно в реальном мире, этот показатель показывает степень ошибки, которую имела модель при подборе.

Если $hat{y}_i$ прогнозируемое значение $i$-й образец, и $y_i$ — соответствующее истинное значение, тогда максимальная ошибка определяется как
$$text{Max Error}(y, hat{y}) = max(| y_i — hat{y}_i |)$$

Вот небольшой пример использования функции max_error:

>>> from sklearn.metrics import max_error
>>> y_true = [3, 2, 7, 1]
>>> y_pred = [9, 2, 7, 1]
>>> max_error(y_true, y_pred)
6

max_error не поддерживает multioutput.

3.3.4.3. Средняя абсолютная ошибка

Функция mean_absolute_error вычисляет среднюю абсолютную погрешность , риск метрики , соответствующей ожидаемого значение абсолютной потери или ошибок $l1$-нормальная потеря.

Если $hat{y}_i$ прогнозируемое значение $i$-й образец, и $y_i$ — соответствующее истинное значение, тогда средняя абсолютная ошибка (MAE), оцененная за $n_{samples}$ определяется как
$$text{MAE}(y, hat{y}) = frac{1}{n_{text{samples}}} sum_{i=0}^{n_{text{samples}}-1} left| y_i — hat{y}_i right|.$$

Вот небольшой пример использования функции mean_absolute_error:

>>> from sklearn.metrics import mean_absolute_error
>>> y_true = [3, -0.5, 2, 7]
>>> y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
>>> mean_absolute_error(y_true, y_pred)
0.5
>>> y_true = [[0.5, 1], [-1, 1], [7, -6]]
>>> y_pred = [[0, 2], [-1, 2], [8, -5]]
>>> mean_absolute_error(y_true, y_pred)
0.75
>>> mean_absolute_error(y_true, y_pred, multioutput='raw_values')
array([0.5, 1. ])
>>> mean_absolute_error(y_true, y_pred, multioutput=[0.3, 0.7])
0.85...

3.3.4.4. Среднеквадратичная ошибка

Функция mean_squared_error вычисляет среднюю квадратическую ошибку , риск метрики , соответствующую ожидаемое значение квадрата (квадратичной) ошибки или потерю.

Если $hat{y}_i$ прогнозируемое значение $i$-й образец, и $y_i$ — соответствующее истинное значение, тогда среднеквадратичная ошибка (MSE), оцененная на $n_{samples}$ определяется как
$$text{MSE}(y, hat{y}) = frac{1}{n_text{samples}} sum_{i=0}^{n_text{samples} — 1} (y_i — hat{y}_i)^2.$$

Вот небольшой пример использования функции mean_squared_error:

>>> from sklearn.metrics import mean_squared_error
>>> y_true = [3, -0.5, 2, 7]
>>> y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
>>> mean_squared_error(y_true, y_pred)
0.375
>>> y_true = [[0.5, 1], [-1, 1], [7, -6]]
>>> y_pred = [[0, 2], [-1, 2], [8, -5]]
>>> mean_squared_error(y_true, y_pred)
0.7083...

3.3.4.5. Среднеквадратичная логарифмическая ошибка

Функция mean_squared_log_error вычисляет риск метрики , соответствующий ожидаемому значению квадрата логарифмической (квадратичной) ошибки или потери.

Если $hat{y}_i$ прогнозируемое значение $i$-й образец, и $y_i$ — соответствующее истинное значение, тогда среднеквадратичная логарифмическая ошибка (MSLE), оцененная на $n_{samples}$ определяется как
$$text{MSLE}(y, hat{y}) = frac{1}{n_text{samples}} sum_{i=0}^{n_text{samples} — 1} (log_e (1 + y_i) — log_e (1 + hat{y}_i) )^2.$$

Где $log_e (x)$ означает натуральный логарифм $x$. Эту метрику лучше всего использовать, когда цели имеют экспоненциальный рост, например, численность населения, средние продажи товара в течение нескольких лет и т. Д. Обратите внимание, что эта метрика штрафует за заниженную оценку больше, чем за завышенную оценку.

Вот небольшой пример использования функции mean_squared_log_error:

>>> from sklearn.metrics import mean_squared_log_error
>>> y_true = [3, 5, 2.5, 7]
>>> y_pred = [2.5, 5, 4, 8]
>>> mean_squared_log_error(y_true, y_pred)
0.039...
>>> y_true = [[0.5, 1], [1, 2], [7, 6]]
>>> y_pred = [[0.5, 2], [1, 2.5], [8, 8]]
>>> mean_squared_log_error(y_true, y_pred)
0.044...

3.3.4.6. Средняя абсолютная ошибка в процентах

mean_absolute_percentage_error (MAPE), также известный как среднее абсолютное отклонение в процентах (МАПД), является метрикой для оценки проблем регрессии. Идея этой метрики — быть чувствительной к относительным ошибкам. Например, он не изменяется глобальным масштабированием целевой переменной.

Если $hat{y}_i$ прогнозируемое значение $i$-й образец и $y_i$ — соответствующее истинное значение, тогда средняя абсолютная процентная ошибка (MAPE), оцененная за $n_{samples}$ определяется как
$$text{MAPE}(y, hat{y}) = frac{1}{n_{text{samples}}} sum_{i=0}^{n_{text{samples}}-1} frac{{}left| y_i — hat{y}_i right|}{max(epsilon, left| y_i right|)}$$

где $epsilon$ — произвольное маленькое, но строго положительное число, чтобы избежать неопределенных результатов, когда y равно нулю.

В функции mean_absolute_percentage_error опоры multioutput.

Вот небольшой пример использования функции mean_absolute_percentage_error:

>>> from sklearn.metrics import mean_absolute_percentage_error
>>> y_true = [1, 10, 1e6]
>>> y_pred = [0.9, 15, 1.2e6]
>>> mean_absolute_percentage_error(y_true, y_pred)
0.2666...

В приведенном выше примере, если бы мы использовали mean_absolute_error, он бы проигнорировал небольшие значения магнитуды и только отразил бы ошибку в предсказании максимального значения магнитуды. Но эта проблема решена в случае MAPE, потому что он вычисляет относительную процентную ошибку по отношению к фактическому выходу.

3.3.4.7. Средняя абсолютная ошибка

Это median_absolute_error особенно интересно, потому что оно устойчиво к выбросам. Убыток рассчитывается путем взятия медианы всех абсолютных различий между целью и прогнозом.

Если $hat{y}_i$ прогнозируемое значение $i$-й образец и $y_i$ — соответствующее истинное значение, тогда средняя абсолютная ошибка (MedAE), оцененная на $n_{samples}$ определяется как
$$text{MedAE}(y, hat{y}) = text{median}(mid y_1 — hat{y}_1 mid, ldots, mid y_n — hat{y}_n mid).$$

median_absolute_error Не поддерживает multioutput.

Вот небольшой пример использования функции median_absolute_error:

>>> from sklearn.metrics import median_absolute_error
>>> y_true = [3, -0.5, 2, 7]
>>> y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
>>> median_absolute_error(y_true, y_pred)
0.5

3.3.4.8. R² балл, коэффициент детерминации

Функция r2_score вычисляет коэффициент детерминации , как правило , обозначенный как R².

Он представляет собой долю дисперсии (y), которая была объяснена независимыми переменными в модели. Он обеспечивает показатель степени соответствия и, следовательно, меру того, насколько хорошо невидимые выборки могут быть предсказаны моделью через долю объясненной дисперсии.

Поскольку такая дисперсия зависит от набора данных, R² не может быть значимо сопоставимым для разных наборов данных. Наилучшая возможная оценка — 1,0, и она может быть отрицательной (потому что модель может быть произвольно хуже). Постоянная модель, которая всегда предсказывает ожидаемое значение y, игнорируя входные характеристики, получит оценку R² 0,0.

Если $hat{y}_i$ прогнозируемое значение $i$-й образец и $y_i$ соответствующее истинное значение для общего n образцов, расчетный R² определяется как:
$$R^2(y, hat{y}) = 1 — frac{sum_{i=1}^{n} (y_i — hat{y}i)^2}{sum{i=1}^{n} (y_i — bar{y})^2}$$

где $bar{y} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} y_i$ и $sum_{i=1}^{n} (y_i — hat{y}i)^2 = sum{i=1}^{n} epsilon_i^2$.

Обратите внимание, что r2_score вычисляется нескорректированное R² без поправки на смещение выборочной дисперсии y.

Вот небольшой пример использования функции r2_score:

>>> from sklearn.metrics import r2_score
>>> y_true = [3, -0.5, 2, 7]
>>> y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
>>> r2_score(y_true, y_pred)
0.948...
>>> y_true = [[0.5, 1], [-1, 1], [7, -6]]
>>> y_pred = [[0, 2], [-1, 2], [8, -5]]
>>> r2_score(y_true, y_pred, multioutput='variance_weighted')
0.938...
>>> y_true = [[0.5, 1], [-1, 1], [7, -6]]
>>> y_pred = [[0, 2], [-1, 2], [8, -5]]
>>> r2_score(y_true, y_pred, multioutput='uniform_average')
0.936...
>>> r2_score(y_true, y_pred, multioutput='raw_values')
array([0.965..., 0.908...])
>>> r2_score(y_true, y_pred, multioutput=[0.3, 0.7])
0.925...

3.3.4.9. Средние отклонения Пуассона, Гаммы и Твиди

Функция mean_tweedie_deviance вычисляет среднюю ошибку Deviance Tweedie с powerпараметром ($p$). Это показатель, который выявляет прогнозируемые ожидаемые значения целей регрессии.

Существуют следующие особые случаи:

• когда power=0 это эквивалентно mean_squared_error.
• когда power=1 это эквивалентно mean_poisson_deviance.
• когда power=2 это эквивалентно mean_gamma_deviance.

Если $hat{y}_i$ прогнозируемое значение $i$-й образец и $y_i$ — соответствующее истинное значение, тогда средняя ошибка отклонения Твиди (D) для мощности $p$, оценивается более $n_{samples}$ определяется как

Отклонение от твиди — однородная функция степени 2-power. Таким образом, гамма-распределение power=2 означает, что одновременно масштабируется y_true и y_pred не влияет на отклонение. Для распределения Пуассона power=1 отклонение масштабируется линейно, а для нормального распределения ( power=0) — квадратично. В общем, чем выше, powerтем меньше веса придается крайним отклонениям между истинными и прогнозируемыми целевыми значениями.

Например, давайте сравним два прогноза 1.0 и 100, которые оба составляют 50% от их соответствующего истинного значения.

Среднеквадратичная ошибка ( power=0) очень чувствительна к разнице прогнозов второй точки:

>>> from sklearn.metrics import mean_tweedie_deviance
>>> mean_tweedie_deviance([1.0], [1.5], power=0)
0.25
>>> mean_tweedie_deviance([100.], [150.], power=0)
2500.0

Если увеличить powerдо 1:

>>> mean_tweedie_deviance([1.0], [1.5], power=1)
0.18...
>>> mean_tweedie_deviance([100.], [150.], power=1)
18.9...

разница в ошибках уменьшается. Наконец, установив power=2:

>>> mean_tweedie_deviance([1.0], [1.5], power=2)
0.14...
>>> mean_tweedie_deviance([100.], [150.], power=2)
0.14...

мы получим идентичные ошибки. Таким образом, отклонение when power=2чувствительно только к относительным ошибкам.

3.3.5. Метрики кластеризации

В модуле sklearn.metrics реализованы несколько функций потерь, оценки и полезности. Для получения дополнительной информации см. Раздел « Оценка производительности кластеризации » для кластеризации экземпляров и « Оценка бикластеризации» для бикластеризации.

3.3.6. Фиктивные оценки

При обучении с учителем простая проверка работоспособности состоит из сравнения своей оценки с простыми практическими правилами. DummyClassifier реализует несколько таких простых стратегий классификации:

• stratified генерирует случайные прогнозы, соблюдая распределение классов обучающего набора.
• most_frequent всегда предсказывает наиболее частую метку в обучающем наборе.
• prior всегда предсказывает класс, который максимизирует предыдущий класс (как most_frequent) и predict_proba возвращает предыдущий класс.
• uniform генерирует предсказания равномерно в случайном порядке.
• constant всегда предсказывает постоянную метку, предоставленную пользователем. Основная мотивация этого метода — оценка F1, когда положительный класс находится в меньшинстве.

Обратите внимание, что со всеми этими стратегиями predict метод полностью игнорирует входные данные!

Для иллюстрации DummyClassifier сначала создадим несбалансированный набор данных:

>>> from sklearn.datasets import load_iris
>>> from sklearn.model_selection import train_test_split
>>> X, y = load_iris(return_X_y=True)
>>> y[y != 1] = -1
>>> X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=0)

Далее сравним точность SVC и most_frequent:

>>> from sklearn.dummy import DummyClassifier
>>> from sklearn.svm import SVC
>>> clf = SVC(kernel='linear', C=1).fit(X_train, y_train)
>>> clf.score(X_test, y_test)
0.63...
>>> clf = DummyClassifier(strategy='most_frequent', random_state=0)
>>> clf.fit(X_train, y_train)
DummyClassifier(random_state=0, strategy='most_frequent')
>>> clf.score(X_test, y_test)
0.57...

Мы видим, что SVC это не намного лучше, чем фиктивный классификатор. Теперь давайте изменим ядро:

>>> clf = SVC(kernel='rbf', C=1).fit(X_train, y_train)
>>> clf.score(X_test, y_test)
0.94...

Мы видим, что точность увеличена почти до 100%. Для лучшей оценки точности рекомендуется стратегия перекрестной проверки, если она не требует слишком больших затрат на ЦП. Для получения дополнительной информации см. Раздел « Перекрестная проверка: оценка производительности оценщика ». Более того, если вы хотите оптимизировать пространство параметров, настоятельно рекомендуется использовать соответствующую методологию; подробности см. в разделе « Настройка гиперпараметров оценщика ».

В более общем плане, когда точность классификатора слишком близка к случайной, это, вероятно, означает, что что-то пошло не так: функции бесполезны, гиперпараметр настроен неправильно, классификатор страдает от дисбаланса классов и т. Д.

DummyRegressor также реализует четыре простых правила регрессии:

• mean всегда предсказывает среднее значение тренировочных целей.
• median всегда предсказывает медианное значение тренировочных целей.
• quantile всегда предсказывает предоставленный пользователем квантиль учебных целей.
• constant всегда предсказывает постоянное значение, предоставляемое пользователем.

Во всех этих стратегиях predict метод полностью игнорирует входные данные.

• What is Mean Squared Error?
• MSE as Model Evaluation Measure
• Conclusion

What is Mean Squared Error?

In Statistics, Mean Squared Error (MSE) is defined as Mean or Average of the square of the difference between actual and estimated values.

Contributed by: Swati Deval

To understand it better, let us take an example of actual demand and forecasted demand for a brand of ice creams in a shop in a year. Before we move into the example,

MSE= 56/12 = 4.6667

From the above example, we can observe the following.

1. As forecasted values can be less than or more than actual values, a simple sum of difference can be zero. This can lead to a false interpretation that forecast is accurate
2. As we take a square, all errors are positive, and mean is positive indicating there is some difference in estimates and actual. Lower mean indicates forecast is closer to actual.
3. All errors in the above example are in the range of 0 to 2 except 1, which is 5. As we square it, the difference between this and other squares increases. And this single high value leads to higher mean. So MSE is influenced by large deviators or outliers.

As this can indicate how close a forecast or estimate is to the actual value, this can be used as a measure to evaluate models in Data Science.

MSE as Model Evaluation Measure

In the Supervised Learning method, the data set contains dependent or target variables along with independent variables. We build models using independent variables and predict dependent or target variables. If the dependent variable is numeric, regression models are used to predict it. In this case, MSE can be used to evaluate models.

In Linear regression, we find lines that best describe given data points. Many lines can describe given data points, but which line describes it best can be found using MSE.

For a given dataset, no data points are constant, say N.  Let SSE1, SSE2, … SSEn denotes Sum of squared error. So MSE for each line will be SSE1/N, SSE2/N, … , SSEn/N

Hence the least sum of squared error is also for the line having minimum MSE. So many best-fit algorithms use the least sum of squared error methods to find a regression line.

MSE unit order is higher than the error unit as the error is squared. To get the same unit order, many times the square root of MSE is taken. It is called the Root Mean Squared Error (RMSE).

RMSE = SQRT(MSE)

This is also used as a measure for model evaluation. There are other measures like MAE, R2 used for regression model evaluation. Let us see how these compare with MSE or RMSE

Mean Absolute Error (MAE) is the sum of the absolute difference between actual and predicted values.

R2 or R Squared is a coefficient of determination. It is the total variance explained by model/total variance.

RSME is always greater than or equal to MAE (RSME >= MAE). The greater difference between them indicates greater variance in individual errors in the sample.

Both R & Python have functions which give these values for a regression model. Which measure to choose depends on the data set and the problem being addressed. If we want to treat all errors equally,  MAE is a better measure. If we want to give more weight-age to large errors, MSE/RMSE is better.

Conclusion

MSE is used to check how close estimates or forecasts are to actual values. Lower the MSE, the closer is forecast to actual. This is used as a model evaluation measure for regression models and the lower value indicates a better fit.

Great Learning also offers a PG Program in Artificial Intelligence and Machine Learning in collaboration with UT Austin. Take up the PGP AIML and learn with the help of online mentorship sessions and gain access to career assistance, interview preparation, and job fairs. Get world-class training by industry leaders.

Definition and basic propertiesEdit

In regressionEdit

ExamplesEdit

InterpretationEdit

ApplicationsEdit

Loss functionEdit

See alsoEdit

NotesEdit

ReferencesEdit