На 100 страницах 110 ошибок распределение пуассона

Закон распределения Пуассона

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач, где используется распределение Пуассона.

Краткая теория

Рассмотрим некоторый поток событий, в котором события наступают независимо друг от друга и с некоторой фиксированной средней интенсивностью $lambda$ (событий в единицу времени). Тогда случайная величина $X$, равная числу событий $k$, произошедших за фиксированное время, имеет распределение Пуассона. Вероятности вычисляются по следующей формуле:

$$
P(X=k)=frac{lambda^k}{k!}cdot e^{-lambda}, k=0,1,2,…
$$

Для пуассоновской случайной величины математическое ожидание и дисперсия совпадают с интенсивностью потока событий:

$$M(X)=lambda, quad D(X)=lambda.$$

Распределение Пуассона играет важную роль в теории массового обслуживания. При увеличении $lambda$ данное распределение стремится к нормальному распределению $N(lambda, sqrt{lambda})$. В свою очередь, оно само является «приближенной» моделью биномиального распределения при больших $n$ и крайне малых $p$ (см. теорию про формулу Пуассона).

Примеры решенных задач

Задача 1. Среднее число самолетов, взлетающих с полевого аэродрома за одни сутки, равно 10. Найти вероятность того, что за 6 часов взлетят:
А) три самолета,
Б) не менее двух самолетов.

Задача 2. На автовокзале время прибытия автобусов различных рейсов объявляет дежурный. Появление информации о различных рейсах происходит случайной и независимо друг от друга. В среднем на автовокзал прибывает 5 рейсов каждые полчаса.
А) Составьте ряд распределения числа сообщений о прибытии автобусов в течение получаса.
Б) Найдите числовые характеристики этого распределения.
В) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график.
Г) Чему равна вероятность того, что в течение получаса прибудут не менее трех автобусов?
Д) Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не прибудет ни один автобус?

Задача 3. АТС получает в среднем за час 480 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно 3 вызова; от 2 до 5 вызовов.

Задача 4. Случайная величина $X$ распределена по закону Пуассона с параметром $lambda=0,8$. Необходимо:
А) выписать формулу для вычисления вероятности $P(X=m)$;
Б) найти вероятность $P(1 le X lt 3)$;
В) найти математическое ожидание $M(2X+5)$ и дисперсию $D(5-2X)$.

Задача 5. Среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента в единицу времени, равно 8. Какова вероятность того, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4?

Задача 6. В среднем в магазин заходят 3 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты в магазин зайдет не более 1 человека.

Задача 7. Автомобиль проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределяется по закону Пуассона с параметром 0,63. Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание автомобиля продолжается в среднем 2 ч. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, то автомобиль становится на профилактический ремонт, где он находится в среднем 4 ч.
Определите закон распределения среднего времени $T$ обслуживания и ремонта автомобиля и его математическое ожидание $M(T)$.

Задача 8. В тексте учебника по психологии содержатся опечатки: в среднем, одна на
десять страниц. Пусть Х – число опечаток на одной странице. Определить закон распределения для Х. Найти вероятность, что на странице есть хотя бы одна опечатка.

Решебник по терверу

Если решения нужны срочно и почти даром? Ищите в решебнике по теории вероятностей:

Дискретная
случайная величина

имеет закон
распределения Пуассона
с параметром λ>0,
если она принимает значения 0, 1, 2,…,
m,…
с вероятностями

.

Случайная
величина может принимать бесконечное
множество значений.

Закон
Пуассона описывает число событий m,
происходящих за одинаковые промежутки
времени. При этом полагается, что
события появляются независимо друг
от друга. Число
λ − среднее число событий, которые
появляются в единицу времени, должно
быть одинаковым для каждого интервала
времени. Число событий, появившихся
в течение одного интервала времени,
не зависит от числа появлений в
другие интервалы.

Распределение
Пуассона имеют случайные величины:
число вызовов на АТС; число клиентов
на предприятии бытового обслуживания;
число типографических ошибок в книге.

Пример
4._________________________________________________________

Месячное
количество дождливых дней в определенном
городе подчиняется закону Пуассона
со средним значением, равным 6 дней.
Найдем вероятность того, что в
следующем месяце будет три дождливых
дня.

Так
как λ=6,
m=3,
то

.

Если
случайная величина распределена по
закону Пуассона, то ее математическое
ожидание и дисперсия совпадают и
равны параметру λ:

Если
в схеме Бернулли число испытаний n

велико, а вероятность p
появления события в каждом испытании
очень мала, то формулу Пуассона
используют для приближенного вычисления
этой вероятности:

,
где λ=np<10.

Пример
5._________________________________________________________

Завод
отправил на базу 1000 изделий. Вероятность
повреждения изделия в пути равна
0,002. Найдем вероятность того, что в
пути будет повреждено три изделия.
Число n=1000
велико, вероятность p=0,002
мала; λ=np=2<10,
поэтому
применим формулу Пуассона:

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

From Wikipedia, the free encyclopedia

In probability theory, a compound Poisson distribution is the probability distribution of the sum of a number of independent identically-distributed random variables, where the number of terms to be added is itself a Poisson-distributed variable. The result can be either a continuous or a discrete distribution.

Definition[edit]

Suppose that

i.e., N is a random variable whose distribution is a Poisson distribution with expected value λ, and that

are identically distributed random variables that are mutually independent and also independent of N. Then the probability distribution of the sum of i.i.d. random variables

is a compound Poisson distribution.

In the case N = 0, then this is a sum of 0 terms, so the value of Y is 0. Hence the conditional distribution of Y given that N = 0 is a degenerate distribution.

The compound Poisson distribution is obtained by marginalising the joint distribution of (Y,N) over N, and this joint distribution can be obtained by combining the conditional distribution Y | N with the marginal distribution of N.

Properties[edit]

The expected value and the variance of the compound distribution can be derived in a simple way from law of total expectation and the law of total variance. Thus

Then, since E(N) = Var(N) if N is Poisson-distributed, these formulae can be reduced to

The probability distribution of Y can be determined in terms of characteristic functions:

and hence, using the probability-generating function of the Poisson distribution, we have

An alternative approach is via cumulant generating functions:

Via the law of total cumulance it can be shown that, if the mean of the Poisson distribution λ = 1, the cumulants of Y are the same as the moments of X₁.^{[citation needed]}

It can be shown that every infinitely divisible probability distribution is a limit of compound Poisson distributions.^[1] And compound Poisson distributions is infinitely divisible by the definition.

Discrete compound Poisson distribution[edit]

When are non-negative integer-valued i.i.d random variables with , then this compound Poisson distribution is named discrete compound Poisson distribution^[2][3][4] (or stuttering-Poisson distribution^[5]) . We say that the discrete random variable satisfying probability generating function characterization

has a discrete compound Poisson(DCP) distribution with parameters (where , with ), which is denoted by

Moreover, if , we say has a discrete compound Poisson distribution of order . When , DCP becomes Poisson distribution and Hermite distribution, respectively. When , DCP becomes triple stuttering-Poisson distribution and quadruple stuttering-Poisson distribution, respectively.^[6] Other special cases include: shift geometric distribution, negative binomial distribution, Geometric Poisson distribution, Neyman type A distribution, Luria–Delbrück distribution in Luria–Delbrück experiment. For more special case of DCP, see the reviews paper^[7] and references therein.

Feller’s characterization of the compound Poisson distribution states that a non-negative integer valued r.v. is infinitely divisible if and only if its distribution is a discrete compound Poisson distribution.^[8] It can be shown that the negative binomial distribution is discrete infinitely divisible, i.e., if X has a negative binomial distribution, then for any positive integer n, there exist discrete i.i.d. random variables X₁, …, X_n whose sum has the same distribution that X has. The shift geometric distribution is discrete compound Poisson distribution since it is a trivial case of negative binomial distribution.

This distribution can model batch arrivals (such as in a bulk queue^[5][9]). The discrete compound Poisson distribution is also widely used in actuarial science for modelling the distribution of the total claim amount.^[3]

When some are negative, it is the discrete pseudo compound Poisson distribution.^[3] We define that any discrete random variable satisfying probability generating function characterization

has a discrete pseudo compound Poisson distribution with parameters where and , with .

Compound Poisson Gamma distribution[edit]

If X has a gamma distribution, of which the exponential distribution is a special case, then the conditional distribution of Y | N is again a gamma distribution. The marginal distribution of Y can be shown to be a Tweedie distribution^[10] with variance power 1<p<2 (proof via comparison of characteristic function (probability theory)). To be more explicit, if

and

i.i.d., then the distribution of

is a reproductive exponential dispersion model with

The mapping of parameters Tweedie parameter to the Poisson and Gamma parameters is the following:

Compound Poisson processes[edit]

A compound Poisson process with rate and jump size distribution G is a continuous-time stochastic process given by

where the sum is by convention equal to zero as long as N(t)=0. Here, is a Poisson process with rate , and are independent and identically distributed random variables, with distribution function G, which are also independent of ^[11]

For the discrete version of compound Poisson process, it can be used in survival analysis for the frailty models.^[12]

Applications[edit]

A compound Poisson distribution, in which the summands have an exponential distribution, was used by Revfeim to model the distribution of the total rainfall in a day, where each day contains a Poisson-distributed number of events each of which provides an amount of rainfall which has an exponential distribution.^[13] Thompson applied the same model to monthly total rainfalls.^[14]

There has been applications to insurance claims^[15][16] and x-ray computed tomography.^[17][18][19]

See also[edit]

References[edit]

From Wikipedia, the free encyclopedia

In probability theory, a compound Poisson distribution is the probability distribution of the sum of a number of independent identically-distributed random variables, where the number of terms to be added is itself a Poisson-distributed variable. The result can be either a continuous or a discrete distribution.

Definition[edit]

Suppose that

i.e., N is a random variable whose distribution is a Poisson distribution with expected value λ, and that

are identically distributed random variables that are mutually independent and also independent of N. Then the probability distribution of the sum of i.i.d. random variables

is a compound Poisson distribution.

In the case N = 0, then this is a sum of 0 terms, so the value of Y is 0. Hence the conditional distribution of Y given that N = 0 is a degenerate distribution.

The compound Poisson distribution is obtained by marginalising the joint distribution of (Y,N) over N, and this joint distribution can be obtained by combining the conditional distribution Y | N with the marginal distribution of N.

Properties[edit]

The expected value and the variance of the compound distribution can be derived in a simple way from law of total expectation and the law of total variance. Thus

Then, since E(N) = Var(N) if N is Poisson-distributed, these formulae can be reduced to

The probability distribution of Y can be determined in terms of characteristic functions:

and hence, using the probability-generating function of the Poisson distribution, we have

An alternative approach is via cumulant generating functions:

Via the law of total cumulance it can be shown that, if the mean of the Poisson distribution λ = 1, the cumulants of Y are the same as the moments of X₁.^{[citation needed]}

It can be shown that every infinitely divisible probability distribution is a limit of compound Poisson distributions.^[1] And compound Poisson distributions is infinitely divisible by the definition.

Discrete compound Poisson distribution[edit]

When are non-negative integer-valued i.i.d random variables with , then this compound Poisson distribution is named discrete compound Poisson distribution^[2][3][4] (or stuttering-Poisson distribution^[5]) . We say that the discrete random variable satisfying probability generating function characterization

has a discrete compound Poisson(DCP) distribution with parameters (where , with ), which is denoted by

Moreover, if , we say has a discrete compound Poisson distribution of order . When , DCP becomes Poisson distribution and Hermite distribution, respectively. When , DCP becomes triple stuttering-Poisson distribution and quadruple stuttering-Poisson distribution, respectively.^[6] Other special cases include: shift geometric distribution, negative binomial distribution, Geometric Poisson distribution, Neyman type A distribution, Luria–Delbrück distribution in Luria–Delbrück experiment. For more special case of DCP, see the reviews paper^[7] and references therein.

Feller’s characterization of the compound Poisson distribution states that a non-negative integer valued r.v. is infinitely divisible if and only if its distribution is a discrete compound Poisson distribution.^[8] It can be shown that the negative binomial distribution is discrete infinitely divisible, i.e., if X has a negative binomial distribution, then for any positive integer n, there exist discrete i.i.d. random variables X₁, …, X_n whose sum has the same distribution that X has. The shift geometric distribution is discrete compound Poisson distribution since it is a trivial case of negative binomial distribution.

This distribution can model batch arrivals (such as in a bulk queue^[5][9]). The discrete compound Poisson distribution is also widely used in actuarial science for modelling the distribution of the total claim amount.^[3]

When some are negative, it is the discrete pseudo compound Poisson distribution.^[3] We define that any discrete random variable satisfying probability generating function characterization

has a discrete pseudo compound Poisson distribution with parameters where and , with .

Compound Poisson Gamma distribution[edit]

If X has a gamma distribution, of which the exponential distribution is a special case, then the conditional distribution of Y | N is again a gamma distribution. The marginal distribution of Y can be shown to be a Tweedie distribution^[10] with variance power 1<p<2 (proof via comparison of characteristic function (probability theory)). To be more explicit, if

and

i.i.d., then the distribution of

is a reproductive exponential dispersion model with

The mapping of parameters Tweedie parameter to the Poisson and Gamma parameters is the following:

Compound Poisson processes[edit]

A compound Poisson process with rate and jump size distribution G is a continuous-time stochastic process given by

where the sum is by convention equal to zero as long as N(t)=0. Here, is a Poisson process with rate , and are independent and identically distributed random variables, with distribution function G, which are also independent of ^[11]

For the discrete version of compound Poisson process, it can be used in survival analysis for the frailty models.^[12]

Applications[edit]

A compound Poisson distribution, in which the summands have an exponential distribution, was used by Revfeim to model the distribution of the total rainfall in a day, where each day contains a Poisson-distributed number of events each of which provides an amount of rainfall which has an exponential distribution.^[13] Thompson applied the same model to monthly total rainfalls.^[14]

There has been applications to insurance claims^[15][16] and x-ray computed tomography.^[17][18][19]

See also[edit]

References[edit]

.

Распределение Пуассона и расчёты в MS Excel

Вероятность распределения Пуассона P(m) и значения интегральной функции F(m) можно вычислить при помощи функции MS Excel ПУАССОН.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

• x – число событий m
  
• среднее;
• интегральная – логическое значение: 0 – если нужно вычислить вероятность P(m) и 1 – если вероятность F(m).