Найти выборочную дисперсию ошибок прибора

Выборочная дисперсия, описание

Выборочная дисперсия является сводной характеристикой для наблюдения рассеяния количественного признака выборки вокруг среднего значения.

Связь выборочной и генеральной дисперсии

Генеральная дисперсия представляет собой среднее арифметическое квадратов отступлений значений признаков генеральной совокупности от их среднего значения.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Выборочная совокупность или выборка является частью генеральной совокупности, выбранной для изучения и составления заключения касательной всей генеральной совокупности.

Как вычислить выборочную дисперсию

Выборочная дисперсия при различии всех значений варианта выборки находится по формуле:

({widehat D}_В=frac{displaystylesum_{i-1}^n{(x_i-{overline x}_В)}^2}n)

Для значений признаков выборочной совокупности с частотами n₁, n₂,…,n_k формула выглядит следующим образом:

({widehat D}_В=frac{displaystylesum_{i-1}^kn_i{(x_i-{overline x}_В)}^2}n)

Квадратный корень из выборочной дисперсии характеризует рассеивание значений вариантов выборки вокруг своего среднего значения. Данная характеристика называется выборочным средним квадратическим отклонением и имеет вид:

({widehatsigma}_В=sqrt{{widehat D}_В})

Упрощенный способ вычисления выборочной или генеральной дисперсии производят по формуле:

(D=overline{x^2}-left[overline xright]^2)

Если вариационный ряд выборочной совокупности интервальный, то за x_i принимается центр частичных интервалов. 

Пример

Найти выборочную дисперсию выборки со значениями:

• x_i: 1, 2, 3, 4;
• n_i: 20, 15, 10, 5.

Решение

Для начала необходимо определить выборочную среднюю:

({overline x}_В=frac1{50}(1cdot20+2cdot15+3cdot10+4cdot5)=frac1{50}cdot100=2)

Затем найдем выборочную дисперсию:

(D_В=frac1{50}({(1-2)}^2cdot20+{(2-2)}^2cdot15+{(3-2)}^2cdot10+{(4-2)}^2cdot5)=1)

Исправленная дисперсия

Математически выборочная дисперсия не соответствует генеральной, поскольку выборочная используется для смещенного оценивания генеральной дисперсии. По этой причине математическое ожидание выборочной дисперсии вычисляется так:

(Mleft[D_Bright]=frac{n-1}nD_Г)

В данной формуле D_Г – это истинное значение дисперсии генеральной совокупности.

Исправить выборочную дисперсию можно путем умножения ее на дробь:

(frac n{n-1})

Получим формулу следующего вида:

(S^2=frac n{n-1}cdot D_В=frac{displaystylesum_{i=1}^kn_i{(x_i-{overline x}_В)}^2}{n-1})

Исправленная дисперсия используется для несмещенной оценки генеральной дисперсии и обозначается S². 

Среднеквадратическая генеральная совокупность оценивается при помощи исправленного среднеквадратического отклонения, которое вычисляется по формуле:

(S=sqrt{S^2})

При нахождении выборочной и исправленной дисперсии разнятся лишь знаменатели в формулах. Различия в этих характеристиках при больших n незначительны. Применение исправленной дисперсии целесообразно при объеме выборки меньше 30.

Для чего применяют исправленную выборочную дисперсию

Исправленную выборочную используют для точечной оценки генеральной дисперсии.

Пример

Длину стержня измерили одним и тем же прибором пять раз. В результате получили следующие величины: 92 мм, 94 мм, 103 мм, 105 мм, 106 мм. Задача найти выборочную среднюю длину предмета и выборочную исправленную дисперсию ошибок измерительного прибора.

Решение

Сначала вычислим выборочную среднюю:

({overline x}_В=frac{92+94+103+105+106}5=100)

Затем найдем выборочную дисперсию:

(D_В=frac{displaystylesum_{i=1}^k{(x_i-{overline x}_В)}^2}n=frac{{(92-100)}^2+{(94-100)}^2+{(103-100)}^2+{(105-100)}^2+{(106-100)}^2}5=34)

Теперь рассчитаем исправленную дисперсию:

(S^2=frac5{5-1}cdot34=42,5)

Из генеральной
совокупности извлечена выборка объема
n=50:

Варианта	x	2	5	7	10
Частота	n	16	12	8	14

Найти
несмещенную оценку генеральной средней.

Решение:
Несмещенной оценкой генеральной средней
является выборочная средняя n=16+12+8+14=50

Ответ:
5,76.

Пример 2

Из
генеральной совокупности извлечена
выборка объема n
:

x	1	3	6	26
n	8	40	10	2

Найти
несмещенную оценку генеральной средней.

Решение:

Ответ:4.

Пример 3

По выборке объема
n=41
найдена смещенная оценка D

генеральной дисперсии. Найти несмещенную
оценку дисперсии генеральной совокупности
.

Решение: Искомая
несмещенная оценка дисперсии ген.
совокупности равна исправленной
дисперсии: S

Ответ:
3,075.

Задание 1.Найти
выборочную среднюю по данному распределению
выборки объема n=10:

x	1250	1270	1280
n	2	5	3

Ответ:
1269

Задание
2. Найти выборочную среднюю по данному
распределению выборки объема n=20:

x	2560	2600	2620	2650	2700
n	2	3	10	4	1

Указание:
Перейти к условным вариантам U

Задание 3. По
выборке объема n=51
найдена смещенная оценка D

ген. дисперсии. Найти несмещенную оценку
дисперсии ген. совокупности.

Ответ:
5,1

Задание 4. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм.): 92;94;103;105;106.

Найти: a)
выборочную среднюю длину стержня; b)
выборочную и исправленную дисперсии
ошибок прибора. Взяли C=92

Ответ:

Задание 5. В
итоге четырех измерений некоторой
физической величины одним прибором
(без систематических ошибок) получены
следующие результаты: 8;9;11;12.

Найти: a)
выборочную среднюю результатов измерений;

b)
выборочную и исправленную дисперсии
ошибок прибора.

Ответ:

Задание 6. Ниже
приведены результаты измерения роста
(в см.) случайно отобранных 100 студентов.

Найти
выборочную среднюю и выборочную дисперсию
роста обследованных студентов.

Указание:
Найти середины интервала и принять их
в качестве вариант.

Ответ:

Задание 7. Найти
выборочную дисперсию по данному
распределению выборки объема n=10:

x	186	192	194
n	2	5	3

Ответ:
D

Задание 8. Найти
выборочную дисперсию по данному
распределению выборки объема n=100:

x	340	360	375	380
n	20	50	18	12

Указание:
Перейти к условным вариантам U

Ответ:
D

Задание 9.Найти
выборочную дисперсию по данному
распределению выборки объема n=100:

x	2502	2804	2903	3028
n	8	30	60	2

Указание:
Перейти к условным вариантам U

Задание
10. Найти выборочную дисперсию по данному
распределению выборки объема n=10:

x	0,01	0,04	0,08
n	5	3	2

Ответ:

Задание
11.Покажите,
что при наличии n
наблюдений условием того, чтобы обобщенная
формула (λ₁х₁
+…+λ_nx_n)
давала несмещенную оценку μ, является
λ₁
+…+ λ_n=1.

Контрольные
вопросы

1. Дать
   определение точечной, несмещенной,
   смещенной оценки.

2. По
   какой формуле определяется выборочная
   дисперсия

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Генеральная дисперсия

Пусть нам дана генеральная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Пусть значения вариант $x_1, x_2,dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1, n_2,dots ,n_k$. Тогда генеральная дисперсия вычисляется по формуле:

Тренируй мозг с удовольствием

Развивай память, внимание и мышление c помощью онлайн-тренажеров

Выбрать программу

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1, x_2,dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1, n_2,dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае генеральная дисперсия вычисляется по формуле:

С этим понятием также связано понятие генерального среднего квадратического отклонения.

Выборочная дисперсия

Пусть нам дана выборочная совокупность относительно случайной величины $X$. Для начала напомним следующее определение:

Пусть значения вариант $x_1, x_2,dots ,x_k$ имеют, соответственно, частоты $n_1, n_2,dots ,n_k$. Тогда выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

Рассмотрим частный случай. Пусть все варианты $x_1, x_2,dots ,x_k$ различны. В этом случае $n_1, n_2,dots ,n_k=1$. Получаем, что в этом случае выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

С этим понятием также связано понятие выборочного среднего квадратического отклонения.

Исправленная дисперсия

Для нахождения исправленной дисперсии $S^2$ необходимо умножить выборочную дисперсию на дробь $frac{n}{n-1}$, то есть

С этим понятием также связано понятие исправленного среднего квадратического отклонения, которое находится по формуле:

!!! В случае, когда значение вариант не являются дискретными, а представляют из себя интервалы, то в формулах для вычисления генеральной или выборочной дисперсий за значение $x_i$ принимается значение середины интервала, которому принадлежит $x_i.$

Пример задачи на нахождение дисперсии и среднего квадратического отклонения