Обратное распространение ошибки сверточная нейронная сеть - Исправление ошибок и поиск оптимальных решений проблем

В первой части были рассмотрены: структура, топология, функции активации и обучающее множество. В этой части попробую объяснить как происходит обучение сверточной нейронной сети.

Обучение сверточной нейронной сети

На начальном этапе нейронная сеть является необученной (ненастроенной). В общем смысле под обучением понимают последовательное предъявление образа на вход нейросети, из обучающего набора, затем полученный ответ сравнивается с желаемым выходом, в нашем случае это 1 – образ представляет лицо, минус 1 – образ представляет фон (не лицо), полученная разница между ожидаемым ответом и полученным является результат функции ошибки (дельта ошибки). Затем эту дельту ошибки необходимо распространить на все связанные нейроны сети.

Таким образом обучение нейронной сети сводится к минимизации функции ошибки, путем корректировки весовых коэффициентов синаптических связей между нейронами. Под функцией ошибки понимается разность между полученным ответом и желаемым. Например, на вход был подан образ лица, предположим, что выход нейросети был 0.73, а желаемый результат 1 (т.к. образ лица), получим, что ошибка сети является разницей, то есть 0.27. Затем веса выходного слоя нейронов корректируются в соответствии с ошибкой. Для нейронов выходного слоя известны их фактические и желаемые значения выходов. Поэтому настройка весов связей для таких нейронов является относительно простой. Однако для нейронов предыдущих слоев настройка не столь очевидна. Долгое время не было известно алгоритма распространения ошибки по скрытым слоям.

Алгоритм обратного распространения ошибки

Для обучения описанной нейронной сети был использован алгоритм обратного распространения ошибки (backpropagation). Этот метод обучения многослойной нейронной сети называется обобщенным дельта-правилом. Метод был предложен в 1986 г. Румельхартом, Макклеландом и Вильямсом. Это ознаменовало возрождение интереса к нейронным сетям, который стал угасать в начале 70-х годов. Данный алгоритм является первым и основным практически применимым для обучения многослойных нейронных сетей.

Для выходного слоя корректировка весов интуитивна понятна, но для скрытых слоев долгое время не было известно алгоритма. Веса скрытого нейрона должны изменяться прямо пропорционально ошибке тех нейронов, с которыми данный нейрон связан. Вот почему обратное распространение этих ошибок через сеть позволяет корректно настраивать веса связей между всеми слоями. В этом случае величина функции ошибки уменьшается и сеть обучается.

Основные соотношения метода обратного распространения ошибки получены при следующих обозначениях:

Величина ошибки определяется по формуле 2.8 среднеквадратичная ошибка:

Неактивированное состояние каждого нейрона j для образа p записывается в виде взвешенной суммы по формуле 2.9:

Выход каждого нейрона j является значением активационной функции

, которая переводит нейрон в активированное состояние. В качестве функции активации может использоваться любая непрерывно дифференцируемая монотонная функция. Активированное состояние нейрона вычисляется по формуле 2.10:

В качестве метода минимизации ошибки используется метод градиентного спуска, суть этого метода сводится к поиску минимума (или максимума) функции за счет движения вдоль вектора градиента. Для поиска минимума движение должно быть осуществляться в направлении антиградиента. Метод градиентного спуска в соответствии с рисунком 2.7.

Градиент функции потери представляет из себя вектор частных производных, вычисляющийся по формуле 2.11:

Производную функции ошибки по конкретному образу можно записать по правилу цепочки, формула 2.12:

Ошибка нейрона обычно записывается в виде символа δ (дельта). Для выходного слоя ошибка определена в явном виде, если взять производную от формулы 2.8, то получим t минус y, то есть разницу между желаемым и полученным выходом. Но как рассчитать ошибку для скрытых слоев? Для решения этой задачи, как раз и был придуман алгоритм обратного распространения ошибки. Суть его заключается в последовательном вычислении ошибок скрытых слоев с помощью значений ошибки выходного слоя, т.е. значения ошибки распространяются по сети в обратном направлении от выхода к входу.

Ошибка δ для скрытого слоя рассчитывается по формуле 2.13:

Алгоритм распространения ошибки сводится к следующим этапам:

прямое распространение сигнала по сети, вычисления состояния нейронов;
вычисление значения ошибки δ для выходного слоя;
обратное распространение: последовательно от конца к началу для всех скрытых слоев вычисляем δ по формуле 2.13;
обновление весов сети на вычисленную ранее δ ошибки.

Алгоритм обратного распространения ошибки в многослойном персептроне продемонстрирован ниже:

До этого момента были рассмотрены случаи распространения ошибки по слоям персептрона, то есть по выходному и скрытому, но помимо них, в сверточной нейросети имеются подвыборочный и сверточный.

Расчет ошибки на подвыборочном слое

Расчет ошибки на подвыборочном слое представляется в нескольких вариантах. Первый случай, когда подвыборочный слой находится перед полносвязным, тогда он имеет нейроны и связи такого же типа, как в полносвязном слое, соответственно вычисление δ ошибки ничем не отличается от вычисления δ скрытого слоя. Второй случай, когда подвыборочный слой находится перед сверточным, вычисление δ происходит путем обратной свертки. Для понимания обратно свертки, необходимо сперва понять обычную свертку и то, что скользящее окно по карте признаков (во время прямого распространения сигнала) можно интерпретировать, как обычный скрытый слой со связями между нейронами, но главное отличие — это то, что эти связи разделяемы, то есть одна связь с конкретным значением веса может быть у нескольких пар нейронов, а не только одной. Интерпретация операции свертки в привычном многослойном виде в соответствии с рисунком 2.8.

Рисунок 2.8 — Интерпретация операции свертки в многослойный вид, где связи с одинаковым цветом имеют один и тот же вес. Синим цветом обозначена подвыборочная карта, разноцветным – синаптическое ядро, оранжевым – получившаяся свертка

Теперь, когда операция свертки представлена в привычном многослойном виде, можно интуитивно понять, что вычисление дельт происходит таким же образом, как и в скрытом слое полносвязной сети. Соответственно имея вычисленные ранее дельты сверточного слоя можно вычислить дельты подвыборочного, в соответствии с рисунком 2.9.

Рисунок 2.9 — Вычисление δ подвыборочного слоя за счет δ сверточного слоя и ядра

Обратная свертка – это тот же самый способ вычисления дельт, только немного хитрым способом, заключающийся в повороте ядра на 180 градусов и скользящем процессе сканирования сверточной карты дельт с измененными краевыми эффектами. Простыми словами, нам необходимо взять ядро сверточной карты (следующего за подвыборочным слоем) повернуть его на 180 градусов и сделать обычную свертку по вычисленным ранее дельтам сверточной карты, но так чтобы окно сканирования выходило за пределы карты. Результат операции обратной свертки в соответствии с рисунком 2.10, цикл прохода обратной свертки в соответствии с рисунком 2.11.

Рисунок 2.10 — Результат операции обратной свертки

Рисунок 2.11 — Повернутое ядро на 180 градусов сканирует сверточную карту

Расчет ошибки на сверточном слое

Обычно впередиидущий слой после сверточного это подвыборочный, соответственно наша задача вычислить дельты текущего слоя (сверточного) за счет знаний о дельтах подвыборочного слоя. На самом деле дельта ошибка не вычисляется, а копируется. При прямом распространении сигнала нейроны подвыборочного слоя формировались за счет неперекрывающегося окна сканирования по сверточному слою, в процессе которого выбирались нейроны с максимальным значением, при обратном распространении, мы возвращаем дельту ошибки тому ранее выбранному максимальному нейрону, остальные же получают нулевую дельту ошибки.

Заключение

Представив операцию свертки в привычном многослойном виде (рисунок 2.8), можно интуитивно понять, что вычисление дельт происходит таким же образом, как и в скрытом слое полносвязной сети.

Источники

Алгоритм обратного распространения ошибки для сверточной нейронной сети

Обратное распространение ошибки в сверточных слоях
раз и два

Обратное распространение ошибки в персептроне

Еще можно почитать в РГБ диссертацию Макаренко: АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММНАЯ СИСТЕМА КЛАССИФИКАЦИИ

Источник

Нейронные сети обучаются с помощью тех или иных модификаций градиентного спуска, а чтобы применять его, нужно уметь эффективно вычислять градиенты функции потерь по всем обучающим параметрам. Казалось бы, для какого-нибудь запутанного вычислительного графа это может быть очень сложной задачей, но на помощь спешит метод обратного распространения ошибки.

Открытие метода обратного распространения ошибки стало одним из наиболее значимых событий в области искусственного интеллекта. В актуальном виде он был предложен в 1986 году Дэвидом Э. Румельхартом, Джеффри Э. Хинтоном и Рональдом Дж. Вильямсом и независимо и одновременно красноярскими математиками С. И. Барцевым и В. А. Охониным. С тех пор для нахождения градиентов параметров нейронной сети используется метод вычисления производной сложной функции, и оценка градиентов параметров сети стала хоть сложной инженерной задачей, но уже не искусством. Несмотря на простоту используемого математического аппарата, появление этого метода привело к значительному скачку в развитии искусственных нейронных сетей.

Суть метода можно записать одной формулой, тривиально следующей из формулы производной сложной функции: если $f(x) = g_m(g_{m-1}(ldots (g_1(x)) ldots))$, то $frac{partial f}{partial x} = frac{partial g_m}{partial g_{m-1}}frac{partial g_{m-1}}{partial g_{m-2}}ldots frac{partial g_2}{partial g_1}frac{partial g_1}{partial x}$. Уже сейчас мы видим, что градиенты можно вычислять последовательно, в ходе одного обратного прохода, начиная с $frac{partial g_m}{partial g_{m-1}}$ и умножая каждый раз на частные производные предыдущего слоя.

Backpropagation в одномерном случае

В одномерном случае всё выглядит особенно просто. Пусть $w_0$ — переменная, по которой мы хотим продифференцировать, причём сложная функция имеет вид

$$f(w_0) = g_m(g_{m-1}(ldots g_1(w_0)ldots)),$$

где все $g_i$ скалярные. Тогда

$$f'(w_0) = g_m'(g_{m-1}(ldots g_1(w_0)ldots))cdot g’_{m-1}(g_{m-2}(ldots g_1(w_0)ldots))cdotldots cdot g’_1(w_0)$$

Суть этой формулы такова. Если мы уже совершили forward pass, то есть уже знаем

$$g_1(w_0), g_2(g_1(w_0)),ldots,g_{m-1}(ldots g_1(w_0)ldots),$$

то мы действуем следующим образом:

берём производную $g_m$ в точке $g_{m-1}(ldots g_1(w_0)ldots)$;
умножаем на производную $g_{m-1}$ в точке $g_{m-2}(ldots g_1(w_0)ldots)$;
и так далее, пока не дойдём до производной $g_1$ в точке $w_0$.

Проиллюстрируем это на картинке, расписав по шагам дифференцирование по весам $w_i$ функции потерь логистической регрессии на одном объекте (то есть для батча размера 1):

Собирая все множители вместе, получаем:

$$frac{partial f}{partial w_0} = (-y)cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}cdotfrac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

$$frac{partial f}{partial w_1} = x_1cdot(-y)cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}cdotfrac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

$$frac{partial f}{partial w_2} = x_2cdot(-y)cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}cdotfrac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

Таким образом, мы видим, что сперва совершается forward pass для вычисления всех промежуточных значений (и да, все промежуточные представления нужно будет хранить в памяти), а потом запускается backward pass, на котором в один проход вычисляются все градиенты.

Почему же нельзя просто пойти и начать везде вычислять производные?

В главе, посвящённой матричным дифференцированиям, мы поднимаем вопрос о том, что вычислять частные производные по отдельности — это зло, лучше пользоваться матричными вычислениями. Но есть и ещё одна причина: даже и с матричной производной в принципе не всегда хочется иметь дело. Рассмотрим простой пример. Допустим, что $X^r$ и $X^{r+1}$ — два последовательных промежуточных представления $Ntimes M$ и $Ntimes K$, связанных функцией $X^{r+1} = f^{r+1}(X^r)$. Предположим, что мы как-то посчитали производную $frac{partialmathcal{L}}{partial X^{r+1}_{ij}}$ функции потерь $mathcal{L}$, тогда

$$frac{partialmathcal{L}}{partial X^{r}_{st}} = sum_{i,j}frac{partial f^{r+1}_{ij}}{partial X^{r}_{st}}frac{partialmathcal{L}}{partial X^{r+1}_{ij}}$$

И мы видим, что, хотя оба градиента $frac{partialmathcal{L}}{partial X_{ij}^{r+1}}$ и $frac{partialmathcal{L}}{partial X_{st}^{r}}$ являются просто матрицами, в ходе вычислений возникает «четырёхмерный кубик» $frac{partial f_{ij}^{r+1}}{partial X_{st}^{r}}$, даже хранить который весьма болезненно: уж больно много памяти он требует ($N^2MK$ по сравнению с безобидными $NM + NK$, требуемыми для хранения градиентов). Поэтому хочется промежуточные производные $frac{partial f^{r+1}}{partial X^{r}}$ рассматривать не как вычисляемые объекты $frac{partial f_{ij}^{r+1}}{partial X_{st}^{r}}$, а как преобразования, которые превращают $frac{partialmathcal{L}}{partial X_{ij}^{r+1}}$ в $frac{partialmathcal{L}}{partial X_{st}^{r}}$. Целью следующих глав будет именно это: понять, как преобразуется градиент в ходе error backpropagation при переходе через тот или иной слой.

Вы спросите себя: надо ли мне сейчас пойти и прочитать главу учебника про матричное дифференцирование?

Встречный вопрос. Найдите производную функции по вектору $x$:

$$f(x) = x^TAx, Ain Mat_{n}{mathbb{R}}text{ — матрица размера }ntimes n$$

А как всё поменяется, если $A$ тоже зависит от $x$? Чему равен градиент функции, если $A$ является скаляром? Если вы готовы прямо сейчас взять ручку и бумагу и посчитать всё, то вам, вероятно, не надо читать про матричные дифференцирования. Но мы советуем всё-таки заглянуть в эту главу, если обозначения, которые мы будем дальше использовать, покажутся вам непонятными: единой нотации для матричных дифференцирований человечество пока, увы, не изобрело, и переводить с одной на другую не всегда легко.

Мы же сразу перейдём к интересующей нас вещи: к вычислению градиентов сложных функций.

Градиент сложной функции

Напомним, что формула производной сложной функции выглядит следующим образом:

$$left[D_{x_0} (color{#5002A7}{u} circ color{#4CB9C0}{v}) right](h) = color{#5002A7}{left[D_{v(x_0)} u right]} left( color{#4CB9C0}{left[D_{x_0} vright]} (h)right)$$

Теперь разберёмся с градиентами. Пусть $f(x) = g(h(x))$ – скалярная функция. Тогда

$$left[D_{x_0} f right] (x-x_0) = langlenabla_{x_0} f, x-x_0rangle.$$

С другой стороны,

$$left[D_{h(x_0)} g right] left(left[D_{x_0}h right] (x-x_0)right) = langlenabla_{h_{x_0}} g, left[D_{x_0} hright] (x-x_0)rangle = langleleft[D_{x_0} hright]^* nabla_{h(x_0)} g, x-x_0rangle.$$

То есть $color{#FFC100}{nabla_{x_0} f} = color{#348FEA}{left[D_{x_0} h right]}^* color{#FFC100}{nabla_{h(x_0)}}g$ — применение сопряжённого к $D_{x_0} h$ линейного отображения к вектору $nabla_{h(x_0)} g$.

Эта формула — сердце механизма обратного распространения ошибки. Она говорит следующее: если мы каким-то образом получили градиент функции потерь по переменным из некоторого промежуточного представления $X^k$ нейронной сети и при этом знаем, как преобразуется градиент при проходе через слой $f^k$ между $X^{k-1}$ и $X^k$ (то есть как выглядит сопряжённое к дифференциалу слоя между ними отображение), то мы сразу же находим градиент и по переменным из $X^{k-1}$:

Таким образом слой за слоем мы посчитаем градиенты по всем $X^i$ вплоть до самых первых слоёв.

Далее мы разберёмся, как именно преобразуются градиенты при переходе через некоторые распространённые слои.

Градиенты для типичных слоёв

Рассмотрим несколько важных примеров.

Примеры

$f(x) = u(v(x))$, где $x$ — вектор, а $v(x)$ – поэлементное применение $v$:

$$vbegin{pmatrix}
x_1
vdots
x_N
end{pmatrix}
= begin{pmatrix}
v(x_1)
vdots
v(x_N)
end{pmatrix}$$

Тогда, как мы знаем,

$$left[D_{x_0} fright] (h) = langlenabla_{x_0} f, hrangle = left[nabla_{x_0} fright]^T h.$$

Следовательно,

$$begin{multline*}
left[D_{v(x_0)} uright] left( left[ D_{x_0} vright] (h)right) = left[nabla_{v(x_0)} uright]^T left(v'(x_0) odot hright) =\[0.1cm]
= sumlimits_i left[nabla_{v(x_0)} uright]_i v'(x_{0i})h_i
= langleleft[nabla_{v(x_0)} uright] odot v'(x_0), hrangle.
end{multline*},$$

где $odot$ означает поэлементное перемножение. Окончательно получаем

$$color{#348FEA}{nabla_{x_0} f = left[nabla_{v(x_0)}uright] odot v'(x_0) = v'(x_0) odot left[nabla_{v(x_0)} uright]}$$

Отметим, что если $x$ и $h(x)$ — это просто векторы, то мы могли бы вычислять всё и по формуле $frac{partial f}{partial x_i} = sum_jbig(frac{partial z_j}{partial x_i}big)cdotbig(frac{partial h}{partial z_j}big)$. В этом случае матрица $big(frac{partial z_j}{partial x_i}big)$ была бы диагональной (так как $z_j$ зависит только от $x_j$: ведь $h$ берётся поэлементно), и матричное умножение приводило бы к тому же результату. Однако если $x$ и $h(x)$ — матрицы, то $big(frac{partial z_j}{partial x_i}big)$ представлялась бы уже «четырёхмерным кубиком», и работать с ним было бы ужасно неудобно.
$f(X) = g(XW)$, где $X$ и $W$ — матрицы. Как мы знаем,

$$left[D_{X_0} f right] (X-X_0) = text{tr}, left(left[nabla_{X_0} fright]^T (X-X_0)right).$$

Тогда

$$begin{multline*}
left[ D_{X_0W} g right] left(left[D_{X_0} left( ast Wright)right] (H)right) =
left[ D_{X_0W} g right] left(HWright)=\
= text{tr}, left( left[nabla_{X_0W} g right]^T cdot (H) W right) =\
=
text{tr} , left(W left[nabla_{X_0W} (g) right]^T cdot (H)right) = text{tr} , left( left[left[nabla_{X_0W} gright] W^Tright]^T (H)right)
end{multline*}$$

Здесь через $ast W$ мы обозначили отображение $Y hookrightarrow YW$, а в предпоследнем переходе использовалось следующее свойство следа:

$$
text{tr} , (A B C) = text{tr} , (C A B),
$$

где $A, B, C$ — произвольные матрицы подходящих размеров (то есть допускающие перемножение в обоих приведённых порядках). Следовательно, получаем

$$color{#348FEA}{nabla_{X_0} f = left[nabla_{X_0W} (g) right] cdot W^T}$$
$f(W) = g(XW)$, где $W$ и $X$ — матрицы. Для приращения $H = W — W_0$ имеем

$$
left[D_{W_0} f right] (H) = text{tr} , left( left[nabla_{W_0} f right]^T (H)right)
$$

Тогда

$$ begin{multline*}
left[D_{XW_0} g right] left( left[D_{W_0} left(X astright) right] (H)right) = left[D_{XW_0} g right] left( XH right) =
= text{tr} , left( left[nabla_{XW_0} g right]^T cdot X (H)right) =
text{tr}, left(left[X^T left[nabla_{XW_0} g right] right]^T (H)right)
end{multline*} $$

Здесь через $X ast$ обозначено отображение $Y hookrightarrow XY$. Значит,

$$color{#348FEA}{nabla_{X_0} f = X^T cdot left[nabla_{XW_0} (g)right]}$$
$f(X) = g(softmax(X))$, где $X$ — матрица $Ntimes K$, а $softmax$ — функция, которая вычисляется построчно, причём для каждой строки $x$

$$softmax(x) = left(frac{e^{x_1}}{sum_te^{x_t}},ldots,frac{e^{x_K}}{sum_te^{x_t}}right)$$

В этом примере нам будет удобно воспользоваться формализмом с частными производными. Сначала вычислим $frac{partial s_l}{partial x_j}$ для одной строки $x$, где через $s_l$ мы для краткости обозначим $softmax(x)_l = frac{e^{x_l}} {sum_te^{x_t}}$. Нетрудно проверить, что

$$frac{partial s_l}{partial x_j} = begin{cases}
s_j(1 — s_j), & j = l,
-s_ls_j, & jne l
end{cases}$$

Так как softmax вычисляется независимо от каждой строчки, то

$$frac{partial s_{rl}}{partial x_{ij}} = begin{cases}
s_{ij}(1 — s_{ij}), & r=i, j = l,
-s_{il}s_{ij}, & r = i, jne l,
0, & rne i
end{cases},$$

где через $s_{rl}$ мы обозначили для краткости $softmax(X)_{rl}$.

Теперь пусть $nabla_{rl} = nabla g = frac{partialmathcal{L}}{partial s_{rl}}$ (пришедший со следующего слоя, уже известный градиент). Тогда

$$frac{partialmathcal{L}}{partial x_{ij}} = sum_{r,l}frac{partial s_{rl}}{partial x_{ij}} nabla_{rl}$$

Так как $frac{partial s_{rl}}{partial x_{ij}} = 0$ при $rne i$, мы можем убрать суммирование по $r$:

$$ldots = sum_{l}frac{partial s_{il}}{partial x_{ij}} nabla_{il} = -s_{i1}s_{ij}nabla_{i1} — ldots + s_{ij}(1 — s_{ij})nabla_{ij}-ldots — s_{iK}s_{ij}nabla_{iK} =$$

$$= -s_{ij}sum_t s_{it}nabla_{it} + s_{ij}nabla_{ij}$$

Таким образом, если мы хотим продифференцировать $f$ в какой-то конкретной точке $X_0$, то, смешивая математические обозначения с нотацией Python, мы можем записать:

$$begin{multline*}
color{#348FEA}{nabla_{X_0}f =}\
color{#348FEA}{= -softmax(X_0) odot text{sum}left(
softmax(X_0)odotnabla_{softmax(X_0)}g, text{ axis = 1}
right) +}\
color{#348FEA}{softmax(X_0)odot nabla_{softmax(X_0)}g}
end{multline*}
$$

Backpropagation в общем виде

Подытожим предыдущее обсуждение, описав алгоритм error backpropagation (алгоритм обратного распространения ошибки). Допустим, у нас есть текущие значения весов $W^i_0$ и мы хотим совершить шаг SGD по мини-батчу $X$. Мы должны сделать следующее:

Совершить forward pass, вычислив и запомнив все промежуточные представления $X = X^0, X^1, ldots, X^m = widehat{y}$.
Вычислить все градиенты с помощью backward pass.
С помощью полученных градиентов совершить шаг SGD.

Проиллюстрируем алгоритм на примере двуслойной нейронной сети со скалярным output’ом. Для простоты опустим свободные члены в линейных слоях.

Обучаемые параметры – матрицы $U$ и $W$. Как найти градиенты по ним в точке $U_0, W_0$?

$$nabla_{W_0}mathcal{L} = nabla_{W_0}{left({vphantom{frac12}mathcal{L}circ hcircleft[Wmapsto g(XU_0)Wright]}right)}=$$

$$=g(XU_0)^Tnabla_{g(XU_0)W_0}(mathcal{L}circ h) = underbrace{g(XU_0)^T}_{ktimes N}cdot
left[vphantom{frac12}underbrace{h’left(vphantom{int_0^1}g(XU_0)W_0right)}_{Ntimes 1}odot
underbrace{nabla_{hleft(vphantom{int_0^1}g(XU_0)W_0right)}mathcal{L}}_{Ntimes 1}right]$$

Итого матрица $ktimes 1$, как и $W_0$

$$nabla_{U_0}mathcal{L} = nabla_{U_0}left(vphantom{frac12}
mathcal{L}circ hcircleft[Ymapsto YW_0right]circ gcircleft[ Umapsto XUright]
right)=$$

$$=X^Tcdotnabla_{XU^0}left(vphantom{frac12}mathcal{L}circ hcirc [Ymapsto YW_0]circ gright) =$$

$$=X^Tcdotleft(vphantom{frac12}g'(XU_0)odot
nabla_{g(XU_0)}left[vphantom{in_0^1}mathcal{L}circ hcirc[Ymapsto YW_0right]
right)$$

$$=ldots = underset{Dtimes N}{X^T}cdotleft(vphantom{frac12}
underbrace{g'(XU_0)}_{Ntimes K}odot
underbrace{left[vphantom{int_0^1}left(
underbrace{h’left(vphantom{int_0^1}g(XU_0)W_0right)}_{Ntimes1}odotunderbrace{nabla_{h(vphantom{int_0^1}gleft(XU_0right)W_0)}mathcal{L}}_{Ntimes 1}
right)cdot underbrace{W^T}_{1times K}right]}_{Ntimes K}
right)$$

Итого $Dtimes K$, как и $U_0$

Схематически это можно представить следующим образом:

Backpropagation для двуслойной нейронной сети

Если вы не уследили за вычислениями в предыдущем примере, давайте более подробно разберём его чуть более конкретную версию (для $g = h = sigma$)Рассмотрим двуслойную нейронную сеть для классификации. Мы уже встречали ее ранее при рассмотрении линейно неразделимой выборки. Предсказания получаются следующим образом:

$$
widehat{y} = sigma(X^1 W^2) = sigmaBig(big(sigma(X^0 W^1 )big) W^2 Big).
$$

Пусть $W^1_0$ и $W^2_0$ — текущее приближение матриц весов. Мы хотим совершить шаг по градиенту функции потерь, и для этого мы должны вычислить её градиенты по $W^1$ и $W^2$ в точке $(W^1_0, W^2_0)$.

Прежде всего мы совершаем forward pass, в ходе которого мы должны запомнить все промежуточные представления: $X^1 = X^0 W^1_0$, $X^2 = sigma(X^0 W^1_0)$, $X^3 = sigma(X^0 W^1_0) W^2_0$, $X^4 = sigma(sigma(X^0 W^1_0) W^2_0) = widehat{y}$. Они понадобятся нам дальше.

Для полученных предсказаний вычисляется значение функции потерь:

$$
l = mathcal{L}(y, widehat{y}) = y log(widehat{y}) + (1-y) log(1-widehat{y}).
$$

Дальше мы шаг за шагом будем находить производные по переменным из всё более глубоких слоёв.

Градиент $mathcal{L}$ по предсказаниям имеет вид

$$
nabla_{widehat{y}}l = frac{y}{widehat{y}} — frac{1 — y}{1 — widehat{y}} = frac{y — widehat{y}}{widehat{y} (1 — widehat{y})},
$$

где, напомним, $ widehat{y} = sigma(X^3) = sigmaBig(big(sigma(X^0 W^1_0 )big) W^2_0 Big)$ (обратите внимание на то, что $W^1_0$ и $W^2_0$ тут именно те, из которых мы делаем градиентный шаг).
Следующий слой — поэлементное взятие $sigma$. Как мы помним, при переходе через него градиент поэлементно умножается на производную $sigma$, в которую подставлено предыдущее промежуточное представление:

$$
nabla_{X^3}l = sigma'(X^3)odotnabla_{widehat{y}}l = sigma(X^3)left( 1 — sigma(X^3) right) odot frac{y — widehat{y}}{widehat{y} (1 — widehat{y})} =
$$

$$
= sigma(X^3)left( 1 — sigma(X^3) right) odot frac{y — sigma(X^3)}{sigma(X^3) (1 — sigma(X^3))} =
y — sigma(X^3)
$$
Следующий слой — умножение на $W^2_0$. В этот момент мы найдём градиент как по $W^2$, так и по $X^2$. При переходе через умножение на матрицу градиент, как мы помним, умножается с той же стороны на транспонированную матрицу, а значит:

$$
color{blue}{nabla_{W^2_0}l} = (X^2)^Tcdot nabla_{X^3}l = (X^2)^Tcdot(y — sigma(X^3)) =
$$

$$
= color{blue}{left( sigma(X^0W^1_0) right)^T cdot (y — sigma(sigma(X^0W^1_0)W^2_0))}
$$

Аналогичным образом

$$
nabla_{X^2}l = nabla_{X^3}lcdot (W^2_0)^T = (y — sigma(X^3))cdot (W^2_0)^T =
$$

$$
= (y — sigma(X^2W_0^2))cdot (W^2_0)^T
$$
Следующий слой — снова взятие $sigma$.

$$
nabla_{X^1}l = sigma'(X^1)odotnabla_{X^2}l = sigma(X^1)left( 1 — sigma(X^1) right) odot left( (y — sigma(X^2W_0^2))cdot (W^2_0)^T right) =
$$

$$
= sigma(X^1)left( 1 — sigma(X^1) right) odotleft( (y — sigma(sigma(X^1)W_0^2))cdot (W^2_0)^T right)
$$
Наконец, последний слой — это умножение $X^0$ на $W^1_0$. Тут мы дифференцируем только по $W^1$:

$$
color{blue}{nabla_{W^1_0}l} = (X^0)^Tcdot nabla_{X^1}l = (X^0)^Tcdot big( sigma(X^1) left( 1 — sigma(X^1) right) odot (y — sigma(sigma(X^1)W_0^2))cdot (W^2_0)^Tbig) =
$$

$$
= color{blue}{(X^0)^Tcdotbig(sigma(X^0W^1_0)left( 1 — sigma(X^0W^1_0) right) odot (y — sigma(sigma(X^0W^1_0)W_0^2))cdot (W^2_0)^Tbig) }
$$

Итоговые формулы для градиентов получились страшноватыми, но они были получены друг из друга итеративно с помощью очень простых операций: матричного и поэлементного умножения, в которые порой подставлялись значения заранее вычисленных промежуточных представлений.

Автоматизация и autograd

Итак, чтобы нейросеть обучалась, достаточно для любого слоя $f^k: X^{k-1}mapsto X^k$ с параметрами $W^k$ уметь:

превращать $nabla_{X^k_0}mathcal{L}$ в $nabla_{X^{k-1}_0}mathcal{L}$ (градиент по выходу в градиент по входу);
считать градиент по его параметрам $nabla_{W^k_0}mathcal{L}$.

При этом слою совершенно не надо знать, что происходит вокруг. То есть слой действительно может быть запрограммирован как отдельная сущность, умеющая внутри себя делать forward pass и backward pass, после чего слои механически, как кубики в конструкторе, собираются в большую сеть, которая сможет работать как одно целое.

Более того, во многих случаях авторы библиотек для глубинного обучения уже о вас позаботились и создали средства для автоматического дифференцирования выражений (autograd). Поэтому, программируя нейросеть, вы почти всегда можете думать только о forward-проходе, прямом преобразовании данных, предоставив библиотеке дифференцировать всё самостоятельно. Это делает код нейросетей весьма понятным и выразительным (да, в реальности он тоже бывает большим и страшным, но сравните на досуге код какой-нибудь разухабистой нейросети и код градиентного бустинга на решающих деревьях и почувствуйте разницу).

Но это лишь начало

Метод обратного распространения ошибки позволяет удобно посчитать градиенты, но дальше с ними что-то надо делать, и старый добрый SGD едва ли справится с обучением современной сетки. Так что же делать? О некоторых приёмах мы расскажем в следующей главе.

Источник

Применение алгоритма обратного распространения ошибки — один из известных методов, используемых для глубокого обучения нейронных сетей прямого распространения (такие сети ещё называют многослойными персептронами). Этот метод относят к методу обучения с учителем, поэтому требуется задавать в обучающих примерах целевые значения. В этой статье мы рассмотрим, что собой представляет метод обратного распространения ошибки, как он реализуется, каковы его плюсы и минусы.

Сегодня нейронные сети прямого распространения используются для решения множества сложных задач. Если говорить об обучении нейронных сетей методом обратного распространения, то тут пользуются двумя проходами по всем слоям нейросети: прямым и обратным. При выполнении прямого прохода осуществляется подача входного вектора на входной слой сети, после чего происходит распространение по нейронной сети от слоя к слою. В итоге должна осуществляться генерация набора выходных сигналов — именно он, по сути, является реакцией нейронной сети на этот входной образ. При прямом проходе все синаптические веса нейросети фиксированы. При обратном проходе все синаптические веса настраиваются согласно правил коррекции ошибок, когда фактический выход нейронной сети вычитается из желаемого, что приводит к формированию сигнала ошибки. Такой сигнал в дальнейшем распространяется по сети, причём направление распространения обратно направлению синаптических связей. Именно поэтому соответствующий метод и называют алгоритмом с обратно распространённой ошибкой. Синаптические веса настраивают с целью наибольшего приближения выходного сигнала нейронной сети к желаемому.

Общее описание алгоритма обратного распространения ошибки

К примеру, нам надо обучить нейронную сеть по аналогии с той, что представлена на картинке ниже. Естественно, задачу следует выполнить, применяя алгоритм обратного распространения ошибки:

В многослойных персептронах в роли активационной функции обычно применяют сигмоидальную активационную функция, в нашем случае — логистическую. Формула:

Причём «альфа» здесь означает параметр наклона сигмоидальной функции. Меняя его, мы получаем возможность строить функции с разной крутизной.

Сигмоид может сужать диапазон изменения таким образом, чтобы значение OUT лежало между нулем и единицей. Нейронные многослойные сети характеризуются более высокой представляющей мощностью, если сравнивать их с однослойными, но это утверждение справедливо лишь в случае нелинейности. Нужную нелинейность и обеспечивает сжимающая функция. Но на практике существует много функций, которые можно использовать. Говоря о работе алгоритма обратного распространения ошибки, скажем, что для этого нужно лишь, чтобы функция была везде дифференцируема, а данному требованию как раз и удовлетворяет сигмоид. У него есть и дополнительное преимущество — автоматический контроль усиления. Если речь идёт о слабых сигналах (OUT близко к нулю), то кривая «вход-выход» характеризуется сильным наклоном, дающим большое усиление. При увеличении сигнала усиление падает. В результате большие сигналы будут восприниматься сетью без насыщения, а слабые сигналы будут проходить по сети без чрезмерного ослабления.

Цель обучения сети

Цель обучения нейросети при использовании алгоритма обратного распространения ошибки — это такая подстройка весов нейросети, которая позволит при приложении некоторого множества входов получить требуемое множество выходов нейронов (выходных нейронов). Можно назвать эти множества входов и выходов векторами. В процессе обучения предполагается, что для любого входного вектора существует целевой вектор, парный входному и задающий требуемый выход. Эту пару называют обучающей. Работая с нейросетями, мы обучаем их на многих парах.

Также можно сказать, что алгоритм использует стохастический градиентный спуск и продвигается в многомерном пространстве весов в направлении антиградиента, причём цель — это достижение минимума функции ошибки.

При практическом применении метода обучение продолжают не до максимально точной настройки нейросети на минимум функции ошибки, а пока не будет достигнуто довольно точное его приближение. С одной стороны, это даёт возможность уменьшить количество итераций обучения, с другой — избежать переобучения нейронной сети.

Пошаговая реализация метода обратного распространения ошибки

Необходимо выполнить следующие действия:
1. Инициализировать синаптические веса случайными маленькими значениями.
2. Выбрать из обучающего множества очередную обучающую пару; подать на вход сети входной вектор.
3. Выполнить вычисление выходных значений нейронной сети.
4. Посчитать разность между выходом нейросети и требуемым выходом (речь идёт о целевом векторе обучающей пары).
5. Скорректировать веса сети в целях минимизации ошибки.
6. Повторять для каждого вектора обучающего множества шаги 2-5, пока ошибка обучения нейронной сети на всём множестве не достигнет уровня, который является приемлемым.

Виды обучения сети по методу обратного распространения

Сегодня существует много модификаций алгоритма обратного распространения ошибки. Возможно обучение не «по шагам» (выходная ошибка вычисляется, веса корректируются на каждом примере), а «по эпохам» в offline-режиме (изменения весовых коэффициентов происходит после подачи на вход нейросети всех примеров обучающего множества, а ошибка обучения neural сети усредняется по всем примерам).

Обучение «по эпохам» более устойчиво к выбросам и аномальным значениям целевой переменной благодаря усреднению ошибки по многим примерам. Зато в данном случае увеличивается вероятность «застревания» в локальных минимумах. При обучении «по шагам» такая вероятность меньше, ведь применение отдельных примеров создаёт «шум», «выталкивающий» алгоритм обратного распространения из ям градиентного рельефа.

Преимущества и недостатки метода

К плюсам можно отнести простоту в реализации и устойчивость к выбросам и аномалиям в данных, и это основные преимущества. Но есть и минусы:
• неопределенно долгий процесс обучения;
• вероятность «паралича сети» (при больших значениях рабочая точка функции активации попадает в область насыщения сигмоиды, а производная величина приближается к 0, в результате чего коррекции весов почти не происходят, а процесс обучения «замирает»;
• алгоритм уязвим к попаданию в локальные минимумы функции ошибки.

Значение метода обратного распространения

Появление алгоритма стало знаковым событием и положительно отразилось на развитии нейросетей, ведь он реализует эффективный с точки зрения вычислительных процессов способ обучения многослойного персептрона. В то же самое время, было бы неправильным сказать, что алгоритм предлагает наиболее оптимальное решение всех потенциальных проблем. Зато он действительно развеял пессимизм относительно машинного обучения многослойных машин, который воцарился после публикации в 1969 году работы американского учёного с фамилией Минский.

Источники:
— «Алгоритм обратного распространения ошибки»;
— «Back propagation algorithm».

Источник

This article is about the computer algorithm. For the biological process, see neural backpropagation.

Backpropagation can also refer to the way the result of a playout is propagated up the search tree in Monte Carlo tree search.

In machine learning, backpropagation (backprop,^[1] BP) is a widely used algorithm for training feedforward artificial neural networks. Generalizations of backpropagation exist for other artificial neural networks (ANNs), and for functions generally. These classes of algorithms are all referred to generically as «backpropagation».^[2] In fitting a neural network, backpropagation computes the gradient of the loss function with respect to the weights of the network for a single input–output example, and does so efficiently, unlike a naive direct computation of the gradient with respect to each weight individually. This efficiency makes it feasible to use gradient methods for training multilayer networks, updating weights to minimize loss; gradient descent, or variants such as stochastic gradient descent, are commonly used. The backpropagation algorithm works by computing the gradient of the loss function with respect to each weight by the chain rule, computing the gradient one layer at a time, iterating backward from the last layer to avoid redundant calculations of intermediate terms in the chain rule; this is an example of dynamic programming.^[3]

The term backpropagation strictly refers only to the algorithm for computing the gradient, not how the gradient is used; however, the term is often used loosely to refer to the entire learning algorithm, including how the gradient is used, such as by stochastic gradient descent.^[4] Backpropagation generalizes the gradient computation in the delta rule, which is the single-layer version of backpropagation, and is in turn generalized by automatic differentiation, where backpropagation is a special case of reverse accumulation (or «reverse mode»).^[5] The term backpropagation and its general use in neural networks was announced in Rumelhart, Hinton & Williams (1986a), then elaborated and popularized in Rumelhart, Hinton & Williams (1986b), but the technique was independently rediscovered many times, and had many predecessors dating to the 1960s; see § History.^[6] A modern overview is given in the deep learning textbook by Goodfellow, Bengio & Courville (2016).^[7]

Overview[edit]

Backpropagation computes the gradient in weight space of a feedforward neural network, with respect to a loss function. Denote:

: input (vector of features)
: target output

For classification, output will be a vector of class probabilities (e.g., , and target output is a specific class, encoded by the one-hot/dummy variable (e.g., ).
: loss function or «cost function»^[a]

For classification, this is usually cross entropy (XC, log loss), while for regression it is usually squared error loss (SEL).
: the number of layers
${displaystyle W^{l}=(w_{jk}^{l})}$ : the weights between layer and , where ${displaystyle w_{jk}^{l}}$ is the weight between the -th node in layer and the -th node in layer ^[b]
${displaystyle f^{l}}$ : activation functions at layer

For classification the last layer is usually the logistic function for binary classification, and softmax (softargmax) for multi-class classification, while for the hidden layers this was traditionally a sigmoid function (logistic function or others) on each node (coordinate), but today is more varied, with rectifier (ramp, ReLU) being common.

In the derivation of backpropagation, other intermediate quantities are used; they are introduced as needed below. Bias terms are not treated specially, as they correspond to a weight with a fixed input of 1. For the purpose of backpropagation, the specific loss function and activation functions do not matter, as long as they and their derivatives can be evaluated efficiently. Traditional activation functions include but are not limited to sigmoid, tanh, and ReLU. Since, swish,^[8] mish,^[9] and other activation functions were proposed as well.

The overall network is a combination of function composition and matrix multiplication:

${displaystyle g(x):=f^{L}(W^{L}f^{L-1}(W^{L-1}cdots f^{1}(W^{1}x)cdots ))}$

For a training set there will be a set of input–output pairs, ${displaystyle left{(x_{i},y_{i})right}}$ . For each input–output pair $(x_{i},y_{i})$ in the training set, the loss of the model on that pair is the cost of the difference between the predicted output ${displaystyle g(x_{i})}$ and the target output $y_{i}$ :

${displaystyle C(y_{i},g(x_{i}))}$

Note the distinction: during model evaluation, the weights are fixed, while the inputs vary (and the target output may be unknown), and the network ends with the output layer (it does not include the loss function). During model training, the input–output pair is fixed, while the weights vary, and the network ends with the loss function.

Backpropagation computes the gradient for a fixed input–output pair $(x_{i},y_{i})$ , where the weights ${displaystyle w_{jk}^{l}}$ can vary. Each individual component of the gradient, ${displaystyle partial C/partial w_{jk}^{l},}$ can be computed by the chain rule; however, doing this separately for each weight is inefficient. Backpropagation efficiently computes the gradient by avoiding duplicate calculations and not computing unnecessary intermediate values, by computing the gradient of each layer – specifically, the gradient of the weighted input of each layer, denoted by ${displaystyle delta ^{l}}$ – from back to front.

Informally, the key point is that since the only way a weight in ${displaystyle W^{l}}$ affects the loss is through its effect on the next layer, and it does so linearly, ${displaystyle delta ^{l}}$ are the only data you need to compute the gradients of the weights at layer , and then you can compute the previous layer ${displaystyle delta ^{l-1}}$ and repeat recursively. This avoids inefficiency in two ways. Firstly, it avoids duplication because when computing the gradient at layer , you do not need to recompute all the derivatives on later layers each time. Secondly, it avoids unnecessary intermediate calculations because at each stage it directly computes the gradient of the weights with respect to the ultimate output (the loss), rather than unnecessarily computing the derivatives of the values of hidden layers with respect to changes in weights ${displaystyle partial a_{j'}^{l'}/partial w_{jk}^{l}}$ .

Backpropagation can be expressed for simple feedforward networks in terms of matrix multiplication, or more generally in terms of the adjoint graph.

Matrix multiplication[edit]

For the basic case of a feedforward network, where nodes in each layer are connected only to nodes in the immediate next layer (without skipping any layers), and there is a loss function that computes a scalar loss for the final output, backpropagation can be understood simply by matrix multiplication.^[c] Essentially, backpropagation evaluates the expression for the derivative of the cost function as a product of derivatives between each layer from right to left – «backwards» – with the gradient of the weights between each layer being a simple modification of the partial products (the «backwards propagated error»).

Given an input–output pair (x,y) , the loss is:

${displaystyle C(y,f^{L}(W^{L}f^{L-1}(W^{L-1}cdots f^{2}(W^{2}f^{1}(W^{1}x))cdots )))}$

To compute this, one starts with the input and works forward; denote the weighted input of each hidden layer as ${displaystyle z^{l}}$ and the output of hidden layer as the activation ${displaystyle a^{l}}$ . For backpropagation, the activation ${displaystyle a^{l}}$ as well as the derivatives ${displaystyle (f^{l})'}$ (evaluated at ${displaystyle z^{l}}$ ) must be cached for use during the backwards pass.

The derivative of the loss in terms of the inputs is given by the chain rule; note that each term is a total derivative, evaluated at the value of the network (at each node) on the input :

${displaystyle {frac {dC}{da^{L}}}circ {frac {da^{L}}{dz^{L}}}cdot {frac {dz^{L}}{da^{L-1}}}circ {frac {da^{L-1}}{dz^{L-1}}}cdot {frac {dz^{L-1}}{da^{L-2}}}circ ldots circ {frac {da^{1}}{dz^{1}}}cdot {frac {partial z^{1}}{partial x}},}$

where circ is a Hadamard product, that is an element-wise product.

These terms are: the derivative of the loss function;^[d] the derivatives of the activation functions;^[e] and the matrices of weights:^[f]

${displaystyle {frac {dC}{da^{L}}}circ (f^{L})'cdot W^{L}circ (f^{L-1})'cdot W^{L-1}circ cdots circ (f^{1})'cdot W^{1}.}$

The gradient nabla is the transpose of the derivative of the output in terms of the input, so the matrices are transposed and the order of multiplication is reversed, but the entries are the same:

${displaystyle nabla _{x}C=(W^{1})^{T}cdot (f^{1})'circ ldots circ (W^{L-1})^{T}cdot (f^{L-1})'circ (W^{L})^{T}cdot (f^{L})'circ nabla _{a^{L}}C.}$

Backpropagation then consists essentially of evaluating this expression from right to left (equivalently, multiplying the previous expression for the derivative from left to right), computing the gradient at each layer on the way; there is an added step, because the gradient of the weights isn’t just a subexpression: there’s an extra multiplication.

Introducing the auxiliary quantity ${displaystyle delta ^{l}}$ for the partial products (multiplying from right to left), interpreted as the «error at level » and defined as the gradient of the input values at level :

${displaystyle delta ^{l}:=(f^{l})'circ (W^{l+1})^{T}circ cdots circ (W^{L-1})^{T}cdot (f^{L-1})'circ (W^{L})^{T}cdot (f^{L})'circ nabla _{a^{L}}C.}$

Note that ${displaystyle delta ^{l}}$ is a vector, of length equal to the number of nodes in level ; each component is interpreted as the «cost attributable to (the value of) that node».

The gradient of the weights in layer is then:

${displaystyle nabla _{W^{l}}C=delta ^{l}(a^{l-1})^{T}.}$

The factor of ${displaystyle a^{l-1}}$ is because the weights ${displaystyle W^{l}}$ between level and affect level proportionally to the inputs (activations): the inputs are fixed, the weights vary.

The ${displaystyle delta ^{l}}$ can easily be computed recursively, going from right to left, as:

${displaystyle delta ^{l-1}:=(f^{l-1})'circ (W^{l})^{T}cdot delta ^{l}.}$

The gradients of the weights can thus be computed using a few matrix multiplications for each level; this is backpropagation.

Compared with naively computing forwards (using the ${displaystyle delta ^{l}}$ for illustration):

${displaystyle {begin{aligned}delta ^{1}&=(f^{1})'circ (W^{2})^{T}cdot (f^{2})'circ cdots circ (W^{L-1})^{T}cdot (f^{L-1})'circ (W^{L})^{T}cdot (f^{L})'circ nabla _{a^{L}}C\delta ^{2}&=(f^{2})'circ cdots circ (W^{L-1})^{T}cdot (f^{L-1})'circ (W^{L})^{T}cdot (f^{L})'circ nabla _{a^{L}}C\&vdots \delta ^{L-1}&=(f^{L-1})'circ (W^{L})^{T}cdot (f^{L})'circ nabla _{a^{L}}C\delta ^{L}&=(f^{L})'circ nabla _{a^{L}}C,end{aligned}}}$

there are two key differences with backpropagation:

Computing ${displaystyle delta ^{l-1}}$ in terms of ${displaystyle delta ^{l}}$ avoids the obvious duplicate multiplication of layers and beyond.
Multiplying starting from ${displaystyle nabla _{a^{L}}C}$ – propagating the error backwards – means that each step simply multiplies a vector ( ${displaystyle delta ^{l}}$ ) by the matrices of weights ${displaystyle (W^{l})^{T}}$ and derivatives of activations ${displaystyle (f^{l-1})'}$ . By contrast, multiplying forwards, starting from the changes at an earlier layer, means that each multiplication multiplies a matrix by a matrix. This is much more expensive, and corresponds to tracking every possible path of a change in one layer forward to changes in the layer (for multiplying ${displaystyle W^{l+1}}$ by ${displaystyle W^{l+2}}$ , with additional multiplications for the derivatives of the activations), which unnecessarily computes the intermediate quantities of how weight changes affect the values of hidden nodes.

Adjoint graph[edit]

This section needs expansion. You can help by adding to it. (November 2019)

For more general graphs, and other advanced variations, backpropagation can be understood in terms of automatic differentiation, where backpropagation is a special case of reverse accumulation (or «reverse mode»).^[5]

Intuition[edit]

Motivation[edit]

The goal of any supervised learning algorithm is to find a function that best maps a set of inputs to their correct output. The motivation for backpropagation is to train a multi-layered neural network such that it can learn the appropriate internal representations to allow it to learn any arbitrary mapping of input to output.^[10]

Learning as an optimization problem[edit]

To understand the mathematical derivation of the backpropagation algorithm, it helps to first develop some intuition about the relationship between the actual output of a neuron and the correct output for a particular training example. Consider a simple neural network with two input units, one output unit and no hidden units, and in which each neuron uses a linear output (unlike most work on neural networks, in which mapping from inputs to outputs is non-linear)^[g] that is the weighted sum of its input.

A simple neural network with two input units (each with a single input) and one output unit (with two inputs)

Initially, before training, the weights will be set randomly. Then the neuron learns from training examples, which in this case consist of a set of tuples ${displaystyle (x_{1},x_{2},t)}$ where $x_{1}$ and $x_{2}$ are the inputs to the network and t is the correct output (the output the network should produce given those inputs, when it has been trained). The initial network, given $x_{1}$ and $x_{2}$ , will compute an output y that likely differs from t (given random weights). A loss function is used for measuring the discrepancy between the target output t and the computed output y. For regression analysis problems the squared error can be used as a loss function, for classification the categorical crossentropy can be used.

As an example consider a regression problem using the square error as a loss:

${displaystyle L(t,y)=(t-y)^{2}=E,}$

where E is the discrepancy or error.

Consider the network on a single training case: . Thus, the input $x_{1}$ and $x_{2}$ are 1 and 1 respectively and the correct output, t is 0. Now if the relation is plotted between the network’s output y on the horizontal axis and the error E on the vertical axis, the result is a parabola. The minimum of the parabola corresponds to the output y which minimizes the error E. For a single training case, the minimum also touches the horizontal axis, which means the error will be zero and the network can produce an output y that exactly matches the target output t. Therefore, the problem of mapping inputs to outputs can be reduced to an optimization problem of finding a function that will produce the minimal error.

Error surface of a linear neuron for a single training case

However, the output of a neuron depends on the weighted sum of all its inputs:

${displaystyle y=x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2},}$

where $w_{1}$ and $w_{2}$ are the weights on the connection from the input units to the output unit. Therefore, the error also depends on the incoming weights to the neuron, which is ultimately what needs to be changed in the network to enable learning.

In this example, upon injecting the training data , the loss function becomes

${displaystyle E=(t-y)^{2}=y^{2}=(x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2})^{2}=(w_{1}+w_{2})^{2}.}$

Then, the loss function takes the form of a parabolic cylinder with its base directed along ${displaystyle w_{1}=-w_{2}}$ . Since all sets of weights that satisfy ${displaystyle w_{1}=-w_{2}}$ minimize the loss function, in this case additional constraints are required to converge to a unique solution. Additional constraints could either be generated by setting specific conditions to the weights, or by injecting additional training data.

One commonly used algorithm to find the set of weights that minimizes the error is gradient descent. By backpropagation, the steepest descent direction is calculated of the loss function versus the present synaptic weights. Then, the weights can be modified along the steepest descent direction, and the error is minimized in an efficient way.

Derivation[edit]

The gradient descent method involves calculating the derivative of the loss function with respect to the weights of the network. This is normally done using backpropagation. Assuming one output neuron,^[h] the squared error function is

where

is the loss for the output

and target value

is the target output for a training sample, and

is the actual output of the output neuron.

For each neuron , its output o_j is defined as

${displaystyle o_{j}=varphi ({text{net}}_{j})=varphi left(sum _{k=1}^{n}w_{kj}o_{k}right),}$

where the activation function varphi is non-linear and differentiable over the activation region (the ReLU is not differentiable at one point). A historically used activation function is the logistic function:

${displaystyle varphi (z)={frac {1}{1+e^{-z}}}}$

which has a convenient derivative of:

${displaystyle {frac {dvarphi (z)}{dz}}=varphi (z)(1-varphi (z))}$

The input ${displaystyle {text{net}}_{j}}$ to a neuron is the weighted sum of outputs o_k of previous neurons. If the neuron is in the first layer after the input layer, the o_k of the input layer are simply the inputs $x_{k}$ to the network. The number of input units to the neuron is . The variable ${displaystyle w_{kj}}$ denotes the weight between neuron of the previous layer and neuron of the current layer.

Finding the derivative of the error[edit]

Diagram of an artificial neural network to illustrate the notation used here

Calculating the partial derivative of the error with respect to a weight $w_{ij}$ is done using the chain rule twice:

${displaystyle {frac {partial E}{partial w_{ij}}}={frac {partial E}{partial o_{j}}}{frac {partial o_{j}}{partial w_{ij}}}={frac {partial E}{partial o_{j}}}{frac {partial o_{j}}{partial {text{net}}_{j}}}{frac {partial {text{net}}_{j}}{partial w_{ij}}}}$

(Eq. 1)

In the last factor of the right-hand side of the above, only one term in the sum ${displaystyle {text{net}}_{j}}$ depends on $w_{ij}$ , so that

${displaystyle {frac {partial {text{net}}_{j}}{partial w_{ij}}}={frac {partial }{partial w_{ij}}}left(sum _{k=1}^{n}w_{kj}o_{k}right)={frac {partial }{partial w_{ij}}}w_{ij}o_{i}=o_{i}.}$

(Eq. 2)

If the neuron is in the first layer after the input layer, o_i is just $x_{i}$ .

The derivative of the output of neuron with respect to its input is simply the partial derivative of the activation function:

${displaystyle {frac {partial o_{j}}{partial {text{net}}_{j}}}={frac {partial varphi ({text{net}}_{j})}{partial {text{net}}_{j}}}}$

(Eq. 3)

which for the logistic activation function

${displaystyle {frac {partial o_{j}}{partial {text{net}}_{j}}}={frac {partial }{partial {text{net}}_{j}}}varphi ({text{net}}_{j})=varphi ({text{net}}_{j})(1-varphi ({text{net}}_{j}))=o_{j}(1-o_{j})}$

This is the reason why backpropagation requires the activation function to be differentiable. (Nevertheless, the ReLU activation function, which is non-differentiable at 0, has become quite popular, e.g. in AlexNet)

The first factor is straightforward to evaluate if the neuron is in the output layer, because then o_j = y and

${displaystyle {frac {partial E}{partial o_{j}}}={frac {partial E}{partial y}}}$

(Eq. 4)

If half of the square error is used as loss function we can rewrite it as

$frac{partial E}{partial o_j} = frac{partial E}{partial y} = frac{partial}{partial y} frac{1}{2}(t - y)^2 = y - t$

However, if is in an arbitrary inner layer of the network, finding the derivative with respect to o_j is less obvious.

Considering as a function with the inputs being all neurons receiving input from neuron ,

${displaystyle {frac {partial E(o_{j})}{partial o_{j}}}={frac {partial E(mathrm {net} _{u},{text{net}}_{v},dots ,mathrm {net} _{w})}{partial o_{j}}}}$

and taking the total derivative with respect to o_j , a recursive expression for the derivative is obtained:

${displaystyle {frac {partial E}{partial o_{j}}}=sum _{ell in L}left({frac {partial E}{partial {text{net}}_{ell }}}{frac {partial {text{net}}_{ell }}{partial o_{j}}}right)=sum _{ell in L}left({frac {partial E}{partial o_{ell }}}{frac {partial o_{ell }}{partial {text{net}}_{ell }}}{frac {partial {text{net}}_{ell }}{partial o_{j}}}right)=sum _{ell in L}left({frac {partial E}{partial o_{ell }}}{frac {partial o_{ell }}{partial {text{net}}_{ell }}}w_{jell }right)}$

(Eq. 5)

Therefore, the derivative with respect to o_j can be calculated if all the derivatives with respect to the outputs ${displaystyle o_{ell }}$ of the next layer – the ones closer to the output neuron – are known. [Note, if any of the neurons in set were not connected to neuron , they would be independent of $w_{ij}$ and the corresponding partial derivative under the summation would vanish to 0.]

Substituting Eq. 2, Eq. 3 Eq.4 and Eq. 5 in Eq. 1 we obtain:

${displaystyle {frac {partial E}{partial w_{ij}}}={frac {partial E}{partial o_{j}}}{frac {partial o_{j}}{partial {text{net}}_{j}}}{frac {partial {text{net}}_{j}}{partial w_{ij}}}={frac {partial E}{partial o_{j}}}{frac {partial o_{j}}{partial {text{net}}_{j}}}o_{i}}$

${displaystyle {frac {partial E}{partial w_{ij}}}=o_{i}delta _{j}}$

with

${displaystyle delta _{j}={frac {partial E}{partial o_{j}}}{frac {partial o_{j}}{partial {text{net}}_{j}}}={begin{cases}{frac {partial L(o_{j},t)}{partial o_{j}}}{frac {dvarphi ({text{net}}_{j})}{d{text{net}}_{j}}}&{text{if }}j{text{ is an output neuron,}}\(sum _{ell in L}w_{jell }delta _{ell }){frac {dvarphi ({text{net}}_{j})}{d{text{net}}_{j}}}&{text{if }}j{text{ is an inner neuron.}}end{cases}}}$

if varphi is the logistic function, and the error is the square error:

${displaystyle delta _{j}={frac {partial E}{partial o_{j}}}{frac {partial o_{j}}{partial {text{net}}_{j}}}={begin{cases}(o_{j}-t_{j})o_{j}(1-o_{j})&{text{if }}j{text{ is an output neuron,}}\(sum _{ell in L}w_{jell }delta _{ell })o_{j}(1-o_{j})&{text{if }}j{text{ is an inner neuron.}}end{cases}}}$

To update the weight $w_{ij}$ using gradient descent, one must choose a learning rate, . The change in weight needs to reflect the impact on of an increase or decrease in $w_{ij}$ . If ${displaystyle {frac {partial E}{partial w_{ij}}}>0}$ , an increase in $w_{ij}$ increases ; conversely, if ${displaystyle {frac {partial E}{partial w_{ij}}}<0}$ , an increase in $w_{ij}$ decreases . The new ${displaystyle Delta w_{ij}}$ is added to the old weight, and the product of the learning rate and the gradient, multiplied by guarantees that $w_{ij}$ changes in a way that always decreases . In other words, in the equation immediately below, ${displaystyle -eta {frac {partial E}{partial w_{ij}}}}$ always changes $w_{ij}$ in such a way that is decreased:

${displaystyle Delta w_{ij}=-eta {frac {partial E}{partial w_{ij}}}=-eta o_{i}delta _{j}}$

Second-order gradient descent[edit]

Using a Hessian matrix of second-order derivatives of the error function, the Levenberg-Marquardt algorithm often converges faster than first-order gradient descent, especially when the topology of the error function is complicated.^[11]^[12] It may also find solutions in smaller node counts for which other methods might not converge.^[12] The Hessian can be approximated by the Fisher information matrix.^[13]

Loss function[edit]

The loss function is a function that maps values of one or more variables onto a real number intuitively representing some «cost» associated with those values. For backpropagation, the loss function calculates the difference between the network output and its expected output, after a training example has propagated through the network.

Assumptions[edit]

The mathematical expression of the loss function must fulfill two conditions in order for it to be possibly used in backpropagation.^[14] The first is that it can be written as an average ${textstyle E={frac {1}{n}}sum _{x}E_{x}}$ over error functions ${textstyle E_{x}}$ , for individual training examples, . The reason for this assumption is that the backpropagation algorithm calculates the gradient of the error function for a single training example, which needs to be generalized to the overall error function. The second assumption is that it can be written as a function of the outputs from the neural network.

Example loss function[edit]

Let be vectors in $mathbb {R} ^{n}$ .

Select an error function measuring the difference between two outputs. The standard choice is the square of the Euclidean distance between the vectors and :

${displaystyle E(y,y')={tfrac {1}{2}}lVert y-y'rVert ^{2}}$

The error function over training examples can then be written as an average of losses over individual examples:

${displaystyle E={frac {1}{2n}}sum _{x}lVert (y(x)-y'(x))rVert ^{2}}$

Limitations[edit]

Gradient descent may find a local minimum instead of the global minimum.

Gradient descent with backpropagation is not guaranteed to find the global minimum of the error function, but only a local minimum; also, it has trouble crossing plateaus in the error function landscape. This issue, caused by the non-convexity of error functions in neural networks, was long thought to be a major drawback, but Yann LeCun et al. argue that in many practical problems, it is not.^[15]
Backpropagation learning does not require normalization of input vectors; however, normalization could improve performance.^[16]
Backpropagation requires the derivatives of activation functions to be known at network design time.

History[edit]

The term backpropagation and its general use in neural networks was announced in Rumelhart, Hinton & Williams (1986a), then elaborated and popularized in Rumelhart, Hinton & Williams (1986b), but the technique was independently rediscovered many times, and had many predecessors dating to the 1960s.^[6]^[17]

The basics of continuous backpropagation were derived in the context of control theory by Henry J. Kelley in 1960,^[18] and by Arthur E. Bryson in 1961.^[19]^[20]^[21]^[22]^[23] They used principles of dynamic programming. In 1962, Stuart Dreyfus published a simpler derivation based only on the chain rule.^[24] Bryson and Ho described it as a multi-stage dynamic system optimization method in 1969.^[25]^[26] Backpropagation was derived by multiple researchers in the early 60’s^[22] and implemented to run on computers as early as 1970 by Seppo Linnainmaa.^[27]^[28]^[29] Paul Werbos was first in the US to propose that it could be used for neural nets after analyzing it in depth in his 1974 dissertation.^[30] While not applied to neural networks, in 1970 Linnainmaa published the general method for automatic differentiation (AD).^[28]^[29] Although very controversial, some scientists believe this was actually the first step toward developing a back-propagation algorithm.^[22]^[23]^[27]^[31] In 1973 Dreyfus adapts parameters of controllers in proportion to error gradients.^[32] In 1974 Werbos mentioned the possibility of applying this principle to artificial neural networks,^[30] and in 1982 he applied Linnainmaa’s AD method to non-linear functions.^[23]^[33]

Later the Werbos method was rediscovered and described in 1985 by Parker,^[34]^[35] and in 1986 by Rumelhart, Hinton and Williams.^[17]^[35]^[36] Rumelhart, Hinton and Williams showed experimentally that this method can generate useful internal representations of incoming data in hidden layers of neural networks.^[10]^[37]^[38] Yann LeCun proposed the modern form of the back-propagation learning algorithm for neural networks in his PhD thesis in 1987. In 1993, Eric Wan won an international pattern recognition contest through backpropagation.^[22]^[39]

During the 2000s it fell out of favour^{[citation needed]}, but returned in the 2010s, benefitting from cheap, powerful GPU-based computing systems. This has been especially so in speech recognition, machine vision, natural language processing, and language structure learning research (in which it has been used to explain a variety of phenomena related to first^[40] and second language learning.^[41]).

Error backpropagation has been suggested to explain human brain ERP components like the N400 and P600.^[42]

Notes[edit]

^ Use for the loss function to allow to be used for the number of layers
^ This follows Nielsen (2015), and means (left) multiplication by the matrix ${displaystyle W^{l}}$ corresponds to converting output values of layer to input values of layer : columns correspond to input coordinates, rows correspond to output coordinates.
^ This section largely follows and summarizes Nielsen (2015).
^ The derivative of the loss function is a covector, since the loss function is a scalar-valued function of several variables.
^ The activation function is applied to each node separately, so the derivative is just the diagonal matrix of the derivative on each node. This is often represented as the Hadamard product with the vector of derivatives, denoted by ${displaystyle (f^{l})'odot }$ , which is mathematically identical but better matches the internal representation of the derivatives as a vector, rather than a diagonal matrix.
^ Since matrix multiplication is linear, the derivative of multiplying by a matrix is just the matrix: .
^ One may notice that multi-layer neural networks use non-linear activation functions, so an example with linear neurons seems obscure. However, even though the error surface of multi-layer networks are much more complicated, locally they can be approximated by a paraboloid. Therefore, linear neurons are used for simplicity and easier understanding.
^ There can be multiple output neurons, in which case the error is the squared norm of the difference vector.

References[edit]

^ Goodfellow, Bengio & Courville 2016, p. 200, «The back-propagation algorithm (Rumelhart et al., 1986a), often simply called backprop, …»
^ Goodfellow, Bengio & Courville 2016, p. 200, «Furthermore, back-propagation is often misunderstood as being specific to multi-layer neural networks, but in principle it can compute derivatives of any function»
^ Goodfellow, Bengio & Courville 2016, p. 214, «This table-filling strategy is sometimes called dynamic programming.»
^ Goodfellow, Bengio & Courville 2016, p. 200, «The term back-propagation is often misunderstood as meaning the whole learning algorithm for multilayer neural networks. Backpropagation refers only to the method for computing the gradient, while other algorithms, such as stochastic gradient descent, is used to perform learning using this gradient.»
^ ^a ^b Goodfellow, Bengio & Courville (2016, p. 217–218), «The back-propagation algorithm described here is only one approach to automatic differentiation. It is a special case of a broader class of techniques called reverse mode accumulation.»
^ ^a ^b Goodfellow, Bengio & Courville (2016, p. 221), «Efficient applications of the chain rule based on dynamic programming began to appear in the 1960s and 1970s, mostly for control applications (Kelley, 1960; Bryson and Denham, 1961; Dreyfus, 1962; Bryson and Ho, 1969; Dreyfus, 1973) but also for sensitivity analysis (Linnainmaa, 1976). … The idea was finally developed in practice after being independently rediscovered in different ways (LeCun, 1985; Parker, 1985; Rumelhart et al., 1986a). The book Parallel Distributed Processing presented the results of some of the first successful experiments with back-propagation in a chapter (Rumelhart et al., 1986b) that contributed greatly to the popularization of back-propagation and initiated a very active period of research in multilayer neural networks.»
^ Goodfellow, Bengio & Courville (2016, 6.5 Back-Propagation and Other Differentiation Algorithms, pp. 200–220)
^ Ramachandran, Prajit; Zoph, Barret; Le, Quoc V. (2017-10-27). «Searching for Activation Functions». arXiv:1710.05941 [cs.NE].
^ Misra, Diganta (2019-08-23). «Mish: A Self Regularized Non-Monotonic Activation Function». arXiv:1908.08681 [cs.LG].
^ ^a ^b Rumelhart, David E.; Hinton, Geoffrey E.; Williams, Ronald J. (1986a). «Learning representations by back-propagating errors». Nature. 323 (6088): 533–536. Bibcode:1986Natur.323..533R. doi:10.1038/323533a0. S2CID 205001834.
^ Tan, Hong Hui; Lim, King Han (2019). «Review of second-order optimization techniques in artificial neural networks backpropagation». IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 495 (1): 012003. Bibcode:2019MS&E..495a2003T. doi:10.1088/1757-899X/495/1/012003. S2CID 208124487.
^ ^a ^b Wiliamowski, Bogdan; Yu, Hao (June 2010). «Improved Computation for Levenberg–Marquardt Training» (PDF). IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems. 21 (6).
^ Martens, James (August 2020). «New Insights and Perspectives on the Natural Gradient Method» (PDF). Journal of Machine Learning Research (21). arXiv:1412.1193.
^ Nielsen (2015), «[W]hat assumptions do we need to make about our cost function … in order that backpropagation can be applied? The first assumption we need is that the cost function can be written as an average … over cost functions … for individual training examples … The second assumption we make about the cost is that it can be written as a function of the outputs from the neural network …»
^ LeCun, Yann; Bengio, Yoshua; Hinton, Geoffrey (2015). «Deep learning». Nature. 521 (7553): 436–444. Bibcode:2015Natur.521..436L. doi:10.1038/nature14539. PMID 26017442. S2CID 3074096.
^ Buckland, Matt; Collins, Mark (2002). AI Techniques for Game Programming. Boston: Premier Press. ISBN 1-931841-08-X.
^ ^a ^b Rumelhart; Hinton; Williams (1986). «Learning representations by back-propagating errors» (PDF). Nature. 323 (6088): 533–536. Bibcode:1986Natur.323..533R. doi:10.1038/323533a0. S2CID 205001834.
^ Kelley, Henry J. (1960). «Gradient theory of optimal flight paths». ARS Journal. 30 (10): 947–954. doi:10.2514/8.5282.
^ Bryson, Arthur E. (1962). «A gradient method for optimizing multi-stage allocation processes». Proceedings of the Harvard Univ. Symposium on digital computers and their applications, 3–6 April 1961. Cambridge: Harvard University Press. OCLC 498866871.
^ Dreyfus, Stuart E. (1990). «Artificial Neural Networks, Back Propagation, and the Kelley-Bryson Gradient Procedure». Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 13 (5): 926–928. Bibcode:1990JGCD…13..926D. doi:10.2514/3.25422.
^ Mizutani, Eiji; Dreyfus, Stuart; Nishio, Kenichi (July 2000). «On derivation of MLP backpropagation from the Kelley-Bryson optimal-control gradient formula and its application» (PDF). Proceedings of the IEEE International Joint Conference on Neural Networks.
^ ^a ^b ^c ^d Schmidhuber, Jürgen (2015). «Deep learning in neural networks: An overview». Neural Networks. 61: 85–117. arXiv:1404.7828. doi:10.1016/j.neunet.2014.09.003. PMID 25462637. S2CID 11715509.
^ ^a ^b ^c Schmidhuber, Jürgen (2015). «Deep Learning». Scholarpedia. 10 (11): 32832. Bibcode:2015SchpJ..1032832S. doi:10.4249/scholarpedia.32832.
^ Dreyfus, Stuart (1962). «The numerical solution of variational problems». Journal of Mathematical Analysis and Applications. 5 (1): 30–45. doi:10.1016/0022-247x(62)90004-5.
^ Russell, Stuart; Norvig, Peter (1995). Artificial Intelligence : A Modern Approach. Englewood Cliffs: Prentice Hall. p. 578. ISBN 0-13-103805-2. The most popular method for learning in multilayer networks is called Back-propagation. It was first invented in 1969 by Bryson and Ho, but was more or less ignored until the mid-1980s.
^ Bryson, Arthur Earl; Ho, Yu-Chi (1969). Applied optimal control: optimization, estimation, and control. Waltham: Blaisdell. OCLC 3801.
^ ^a ^b Griewank, Andreas (2012). «Who Invented the Reverse Mode of Differentiation?». Optimization Stories. Documenta Matematica, Extra Volume ISMP. pp. 389–400. S2CID 15568746.
^ ^a ^b Seppo Linnainmaa (1970). The representation of the cumulative rounding error of an algorithm as a Taylor expansion of the local rounding errors. Master’s Thesis (in Finnish), Univ. Helsinki, 6–7.
^ ^a ^b Linnainmaa, Seppo (1976). «Taylor expansion of the accumulated rounding error». BIT Numerical Mathematics. 16 (2): 146–160. doi:10.1007/bf01931367. S2CID 122357351.
^ ^a ^b The thesis, and some supplementary information, can be found in his book, Werbos, Paul J. (1994). The Roots of Backpropagation : From Ordered Derivatives to Neural Networks and Political Forecasting. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-59897-6.
^ Griewank, Andreas; Walther, Andrea (2008). Evaluating Derivatives: Principles and Techniques of Algorithmic Differentiation, Second Edition. SIAM. ISBN 978-0-89871-776-1.
^ Dreyfus, Stuart (1973). «The computational solution of optimal control problems with time lag». IEEE Transactions on Automatic Control. 18 (4): 383–385. doi:10.1109/tac.1973.1100330.
^ Werbos, Paul (1982). «Applications of advances in nonlinear sensitivity analysis» (PDF). System modeling and optimization. Springer. pp. 762–770.
^ Parker, D.B. (1985). «Learning Logic». Center for Computational Research in Economics and Management Science. Cambridge MA: Massachusetts Institute of Technology.
^ ^a ^b Hertz, John (1991). Introduction to the theory of neural computation. Krogh, Anders., Palmer, Richard G. Redwood City, Calif.: Addison-Wesley. p. 8. ISBN 0-201-50395-6. OCLC 21522159.
^ Anderson, James Arthur; Rosenfeld, Edward, eds. (1988). Neurocomputing Foundations of research. MIT Press. ISBN 0-262-01097-6. OCLC 489622044.
^ Rumelhart, David E.; Hinton, Geoffrey E.; Williams, Ronald J. (1986b). «8. Learning Internal Representations by Error Propagation». In Rumelhart, David E.; McClelland, James L. (eds.). Parallel Distributed Processing : Explorations in the Microstructure of Cognition. Vol. 1 : Foundations. Cambridge: MIT Press. ISBN 0-262-18120-7.
^ Alpaydin, Ethem (2010). Introduction to Machine Learning. MIT Press. ISBN 978-0-262-01243-0.
^ Wan, Eric A. (1994). «Time Series Prediction by Using a Connectionist Network with Internal Delay Lines». In Weigend, Andreas S.; Gershenfeld, Neil A. (eds.). Time Series Prediction : Forecasting the Future and Understanding the Past. Proceedings of the NATO Advanced Research Workshop on Comparative Time Series Analysis. Vol. 15. Reading: Addison-Wesley. pp. 195–217. ISBN 0-201-62601-2. S2CID 12652643.
^ Chang, Franklin; Dell, Gary S.; Bock, Kathryn (2006). «Becoming syntactic». Psychological Review. 113 (2): 234–272. doi:10.1037/0033-295x.113.2.234. PMID 16637761.
^ Janciauskas, Marius; Chang, Franklin (2018). «Input and Age-Dependent Variation in Second Language Learning: A Connectionist Account». Cognitive Science. 42: 519–554. doi:10.1111/cogs.12519. PMC 6001481. PMID 28744901.
^ Fitz, Hartmut; Chang, Franklin (2019). «Language ERPs reflect learning through prediction error propagation». Cognitive Psychology. 111: 15–52. doi:10.1016/j.cogpsych.2019.03.002. hdl:21.11116/0000-0003-474D-8. PMID 30921626. S2CID 85501792.

External links[edit]

Backpropagation neural network tutorial at the Wikiversity
Bernacki, Mariusz; Włodarczyk, Przemysław (2004). «Principles of training multi-layer neural network using backpropagation».
Karpathy, Andrej (2016). «Lecture 4: Backpropagation, Neural Networks 1». CS231n. Stanford University. Archived from the original on 2021-12-12 – via YouTube.
«What is Backpropagation Really Doing?». 3Blue1Brown. November 3, 2017. Archived from the original on 2021-12-12 – via YouTube.
Putta, Sudeep Raja (2022). «Yet Another Derivation of Backpropagation in Matrix Form».

Источник

This article is about the computer algorithm. For the biological process, see neural backpropagation.

Backpropagation can also refer to the way the result of a playout is propagated up the search tree in Monte Carlo tree search.

Overview[edit]

Backpropagation computes the gradient in weight space of a feedforward neural network, with respect to a loss function. Denote:

: input (vector of features)
: target output

For classification, output will be a vector of class probabilities (e.g., , and target output is a specific class, encoded by the one-hot/dummy variable (e.g., ).
: loss function or «cost function»^[a]

For classification, this is usually cross entropy (XC, log loss), while for regression it is usually squared error loss (SEL).
: the number of layers
${displaystyle W^{l}=(w_{jk}^{l})}$ : the weights between layer and , where ${displaystyle w_{jk}^{l}}$ is the weight between the -th node in layer and the -th node in layer ^[b]
${displaystyle f^{l}}$ : activation functions at layer

For classification the last layer is usually the logistic function for binary classification, and softmax (softargmax) for multi-class classification, while for the hidden layers this was traditionally a sigmoid function (logistic function or others) on each node (coordinate), but today is more varied, with rectifier (ramp, ReLU) being common.