Ошибка измерения не должна содержать значащих цифр более

Погрешности измерений

Под погрешностью
измерения будем понимать совокупность
всех ошибок измерения.

Ошибки измерений
можно классифицировать на следующие
виды:

— абсолютные и
относительные,

— положительные и
отрицательные,

— постоянные и
пропорциональные,

— грубые,

— случайные и
систематические,

— прочие.

Абсолютная
ошибкаединичного результата
измерения (А_y)
определяется как разность следующих
величин:

А_y
= y_i
— y_ист.
 y_i
-y,

где: y_i– единичный результат измерения;y_ист.– истинный результат измерения;y– среднее арифметическое значение
результата измерения (далее среднее).

Постоянной
называется абсолютная ошибка,
которая не зависит от значения измеряемой
величины (y y
).

Ошибка пропорциональная,
если названная зависимость существует.
Характер ошибки измерения (постоянная
или пропорциональная) определяется
после проведения специальных исследований.

Относительная
ошибкаединичного результата
измерения (В_y)
рассчитывается как отношение следующих
величин:

.

Из этой формулы
следует, что величина относительной
ошибки зависит не только от величины
абсолютной ошибки, но и от значения
измеряемой величины. При неизменности
измеряемой величины (y)
относительную ошибку измерения можно
уменьшить только за счет снижения
величины абсолютной ошибки (А_y).
При постоянстве абсолютной ошибки
измерения для уменьшения относительной
ошибки измерения можно использовать
прием увеличения значения измеряемой
величины.

Знак ошибки
(положительный или отрицательный)
определяется разницей между единичным
и полученным (средним арифметическим)
результатом измерения:

y_i-y> 0 (ошибка
положительная);

y_i-y< 0 (ошибка
отрицательная).

Грубая ошибкаизмерения (промах) возникает при нарушении
методики измерения. Результат измерения,
содержащий грубую ошибку, обычно
значительно отличается по величине от
других результатов. Наличие грубых
ошибок измерения в выборке устанавливается
только методамиматематической
статистики (при числе повторений
измерения n>2).
С методами обнаружения грубых ошибок
познакомьтесь самостоятельно в [3-6].

К случайным
ошибкамотносят ошибки, которые не
имеют постоянной величины и знака. Такие
ошибки возникают под действием следующих
факторов: не известных исследователю;
известных, но нерегулируемых; постоянно
изменяющихся.

Случайные
ошибки можно оценить только после
проведения измерений.

Количественной
оценкой модуля величины случайной
ошибки измерения могут являться следующие
параметры: выборочная дисперсия
единичных значений и среднего значения;
выборочные абсолютные стандартные
отклонения единичных значений и среднего
значения; выборочные относительные
стандартные отклонения единичных
значений и среднего значения; генеральная
дисперсия единичных значений
),
соответственно, и др.

Случайные ошибки
измерения невозможно исключить, их
можно только уменьшить. Один из основных
способов уменьшения величины случайной
ошибки измерения – это увеличение числа
(объема выборки) единичных измерений
(увеличение величины n).
Объясняется это тем, что величина
случайных ошибок обратно пропорциональна
величинеn, например:

.

Систематические
ошибки– это ошибки с неизменными
величиной и знаком или изменяющиеся по
известному закону. Эти ошибки вызываются
постоянными факторами. Систематические
ошибки можно количественно оценивать,
уменьшать и даже исключать.

Систематические
ошибки классифицируют на ошибки I,IIиIIIтипов.

К систематическим
ошибкам I типаотносят ошибки известного происхождения,
которые могут быть до проведения
измерения оценены путем расчета. Эти
ошибки можно исключить, вводя их в
результат измерения в виде поправок.
Примером ошибки такого типа является
ошибка при титрометрическом определении
объемной концентрации раствора, если
титрант был приготовлен при одной
температуре, а измерение концентрации
проводилось при другой. Зная зависимость
плотности титранта от температуры,
можно до проведения измерения рассчитать
изменение объемной концентрации
титранта, связанное с изменением его
температуры, и эту разницу учесть в виде
поправки в результате измерения.

Систематическиеошибки II типа– это ошибки известного происхождения,
которые можно оценить только в ходе
эксперимента или в результате проведения
специальных исследований. К этому типу
ошибок относят инструментальные
(приборные), реактивные, эталонные и др.
ошибки. Познакомьтесь с особенностями
таких ошибок самостоятельно в [5].

Любой прибор при
его применении в процедуре измерения
вносит в результат измерения свои
приборные ошибки. При этом часть этих
ошибок случайная, а другая часть –
систематическая. Случайные ошибки
приборов отдельно не оценивают, их
оценивают в общей совокупности со всеми
другими случайными ошибками измерения.

Каждый экземпляр
любого прибора имеет свою персональную
систематическую ошибку. Для того чтобы
оценить эту ошибку, необходимо проводить
специальные исследования.

Наиболее надежный
способ оценки приборной систематической
ошибки IIтипа – это сверка
работы приборов по эталонам. Для мерной
посуды (пипетка, бюретка, цилиндры и
др.) проводят специальную процедуру –
калибровку.

На практике наиболее
часто требуется не оценить, а уменьшить
или исключить систематическую ошибку
IIтипа. Самыми распространенными
методами уменьшения систематических
ошибок являютсяметоды релятивизации
и рандомизации. Познакомьтесь с
этими методами самостоятельно в [5].

К ошибкам III
типаотносят ошибки неизвестного
происхождения. Эти ошибки можно обнаружить
только после устранения всех систематических
ошибокIиIIтипов.

К прочим ошибкамотнесем все другие виды ошибок, не
рассмотренные выше (допускаемые,
возможные предельные ошибки и др.).

Понятие возможных предельных ошибок
применяется в случаях использования
средств измерения и предполагает
максимально возможную по величине
инструментальную ошибку измерения
(реальное же значение ошибки может быть
меньше величины возможной предельной
ошибки).

При использовании
средств измерения можно рассчитать
возможную предельную абсолютную ()
или относительную ()
погрешность измерения. Так, например,
возможная предельная абсолютная
погрешность измерения находится как
сумма возможных предельных случайных
()
и неисключенных систематических ()
ошибок:

=
+

При выборках малого
объема (n20)
неизвестной генеральной совокупности,
подчиняющейся нормальному закону
распределения, случайные возможные
предельные ошибки измерений можно
оценить следующим образом:

=
=,

где:
– доверительный интервал для
соответствующей вероятностиР;

–квантиль
распределения Стьюдента для вероятности
Ри выборки объемомn или при
числе степеней свободыf
= n – 1.

Абсолютная возможная
предельная погрешность измерения в
этом случае будет равна:

=
+.

Если результаты
измерений не подчиняются нормальному
закону распределения, то оценка
погрешностей проводится по другим
формулам.

Определение
величины

зависит от наличия у средства
измерения класса точности. Если средство
измерения не имеет класса точности, тоза величину
можно принять минимальную цену
деления шкалы(или ее половину) средства
измерения [5]. Для средства измерения с
известным классом точности за величинуможно принять абсолютнуюдопускаемуюсистематическую ошибку средства
измерения ():

.

Величина
рассчитывается исходя из формул,
приведенных в табл. 2.

Для многих средств
измерения класс точности указывается
в виде чисел а10ⁿ, гдеаравно 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 иnравно 1; 0; -1; -2 и т.д., которые показывают
величину возможной предельной допускаемой
систематической ошибки (Е_y,
доп.) и специальных знаков,
свидетельствующих о ее типе (относительная,
приведенная, постоянная, пропорциональная).

Если известны
составляющие абсолютной систематической
ошибки среднего арифметического
результата измерения (например, приборная
ошибка, ошибка метода и др.), то ее можно
оценить по формуле

,

где: m– число
составляющих систематическую ошибку
среднего результата измерения;

k– коэффициент,
определяемый вероятностьюРи числомm;

–абсолютная
систематическая ошибка отдельной
составляющей.

Отдельными
составляющими погрешности можно
пренебрегать при выполнении соответствующих
условий.

Таблица 2

Примеры обозначения
классов точности средств измерения

Обозначение класса точности	Формула расчета и значение предельной допускаемой систематической ошибки	Характеристика систематической ошибки
в документации	на средстве измерения
1,5	1,5		Приведенная допускаемая систематическая ошибка в процентах от номинального значения измеряемой величины, которое определяется типом шкалы средства измерения
1	1		Приведенная допускаемая систематическая ошибка в процентах от длины использованной шкалы средства измерения (А) при получении единичных значений измеряемой величины
0,5	0,5		Постоянная относительная допускаемая систематическая ошибка в процентах от полученного единичного значения измеряемой величины
0,02/ 0,01	0,02/ 0,01	c = 0,02; d = 0,01	Пропорциональная относительная допускаемая систематическая ошибка в долях от полученного единичного значения измеряемой величины, которая возрастает при увеличении конечного значения диапазона измерения данным средством измерения (yk) или уменьшении единичного значения измеряемой величины (yi)

Систематическими
ошибками можно пренебрегать, если
выполняется неравенство

0,8.

В этом случае
принимают

.

Случайными ошибками
можно пренебречь при условии

8.

Для этого случая


.

Чтобы общая
погрешность измерения определялась
только систематическими ошибками,
увеличивают число повторных измерений.
Минимально необходимое для этого число
повторных измерений (n_min) можно
рассчитать только при известном значении
генеральной совокупности единичных
результатов по формуле

.

Оценка погрешностей
измерения зависит не только от условий
измерения, но и от типа измерения (прямое
или косвенное).

Деление измерений
на прямые и косвенные достаточно условно.
В дальнейшем под прямыми измерениямибудем понимать измерения значения
которых берут непосредственно из опытных
данных, например, считывают
со шкалы прибора (широко известный
пример прямого измерения –измерение
температуры термометром). Ккосвенным
измерениям будем относить
такие, результат которых получают на
основании известной зависимости между
искомой величиной и величинами,
определяемыми в результате прямых
измерений. При этомрезультаткосвенного измеренияполучают расчетным
путемкак значение функции,аргументами которой являются результаты
прямых измерений (x₁,x₂,
…,x_j,.…,x_k).

Необходимо знать,
что ошибки косвенных измерений всегда
больше, чем ошибки отдельных прямых
измерений.

Ошибки косвенных
измеренийоцениваются по
соответствующим законам накопления
ошибок (приk2).

Закон накопления
случайных ошибоккосвенных измерений
выглядит следующим образом:

.

Закон накопления
возможных предельных абсолютных
систематических ошибок косвенных
измерений представляется следующими
зависимостями:

;

.

Закон накопления
возможных предельных относительных
систематических ошибоккосвенных
измерений имеет следующий вид:

;

.

В случаях, когда
искомая величина (y) рассчитывается
как функция результатов нескольких
независимых прямых измерений вида,
закон накопления предельных относительных
систематических ошибок косвенных
измерений принимает более простой вид:

;

.

Ошибки и погрешности
измерений определяют их точность,
воспроизводимость и правильность.

Точностьтем
выше, чем меньше величина погрешности
измерения.

Воспроизводимостьрезультатов измерений улучшается при
уменьшении случайных ошибок измерений.

Правильность
результата измерений увеличивается
с уменьшением остаточных систематических
ошибок измерений.

Более
подробно с теорией ошибок измерений и
их особенностями познакомьтесь
самостоятельно [4,5]. Обращаю ваше внимание
на то, что современные формы представления
конечных результатов измерений
обязательно требуют приведения ошибок
или погрешностей измерения (вторичных
данных). При этом погрешности и ошибки
измерений должны представляться числами,
которые содержат не более двух
значащих цифр
[3].

Соседние файлы в папке Литература

• #
• #
• #

Результат измерений должен отвечать требованиям обеспечения единства измерений, следовательно, в описании результата должны быть использованы узаконенные единицы физических величин и представлена оценка его погрешности.

Стандартное определение единства измерений требует, чтобы погрешности были известны с заданной вероятностью, из чего следует:

• в описание результата входят только стохастически представляемые погрешности, значит систематические составляющие по возможности должны быть исключены;
• неисключенные остатки систематической составляющей погрешности измерения могут входить в описание результата измерений как рандомизированные величины, значения которых соизмеримы со случайной составляющей погрешности измерения;
• если неисключенные остатки систематической составляющей погрешности измерения существенно меньше случайной составляющей, ими пренебрегают, но возможна (хотя и нежелательна) обратная ситуация, когда собственно случайная составляющая оказывается пренебрежимо малой по сравнению с неисключенной систематической составляющей.

Описание результата измерений должно осуществляться в одной из стандартных форм по МИ 1317–86 «Методические указания. ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров». МИ 1317–86 требует включения либо «характеристик погрешности измерений», либо их статистических оценок. В соответствии с МИ 1317–86 под «характеристикой погрешности измерений» понимают все те же статистические оценки, но при этом используют данные, заимствованные из аттестованной или стандартизованной МВИ, для получения которых нет необходимости непосредственно проводить измерения с многократными наблюдениями одной и той же физической величины с последующей статистической обработкой массива результатов.

Формы представления результатов измерений

Общая форма представления результата измерения в соответствии с требованиями МИ 1317–86 включает:

—          точечную оценку результата измерения;

—          характеристики погрешности результата измерения (или их статистические оценки);

—          указание условий измерений, для которых действительны приведенные оценки результата и погрешностей. Условия указываются непосредственно или путем ссылки на документ, удостоверяющий приведенные характеристики погрешностей.

В качестве точечной оценки результата измерения при измерении с многократными наблюдениями принимают среднее арифметическое значение результатов рассматриваемой серии.

Характеристики погрешности измерений можно указывать в единицах измеряемой величины (абсолютные погрешности) или в относительных единицах (относительные погрешности).

Характеристики погрешностей измерений или статистические оценки по НД:

—          среднее квадратическое отклонение погрешности;

—          среднее квадратическое отклонение случайной погрешности;

—          среднее квадратическое отклонение систематической погрешности;

—          нижняя граница интервала погрешности измерений;

—          верхняя граница интервала погрешности измерений;

—          нижняя граница интервала систематической погрешности измерений;

—          верхняя граница интервала систематической погрешности измерений;

—          вероятность попадания погрешности в указанный интервал.

Рекомендуемое значение вероятности Р = 0,95.

Возможные характеристики погрешностей включают аппроксимации функции плотностей распределения вероятностей или статистические описания этих распределений. Функцию плотностей распределения вероятностей погрешности измерений считают соответствующей усеченному нормальному распределению, если есть основания полагать, что реальное распределение симметрично, одномодально, отлично от нуля на конечном интервале значений аргумента, и другая информация о плотности распределения отсутствует.

Если есть основания полагать, что реальное распределение погрешностей отлично от нормального, следует принимать какую-либо другую аппроксимацию функции плотностей распределения вероятностей. В таком случае принятая аппроксимация функции указывается в описании результата измерений, например: «трап.» (при трапециевидном распределении) или «равн.» (при равновероятном).

В состав условий измерений могут входить: диапазон значений измеряемой величины, частотные спектры измеряемой величины или диапазон скоростей ее изменений; диапазоны значений всех величин, существенно влияющих на погрешность измерений, а также, при необходимости, и другие факторы.

Требования к оформлению результата измерений:

—          наименьшие разряды должны быть одинаковы у точечной оценки результата и у характеристик погрешностей;

—          характеристики погрешностей (или их статистические оценки) выражают числом, содержащим не более двух значащих цифр, при этом к оставляемой цифре второго разряда добавляется единица, если последующая (отбрасываемая) цифра неуказываемого младшего разряда больше нуля;

—          допускается характеристики погрешностей (или их статистические оценки) выражать числом, содержащим одну значащую цифру, при этом к цифре первого разряда добавляется единица (округление в большую сторону) если цифра неуказываемого младшего разряда равна или больше 5, а при цифре меньше 5 округление осуществляется в меньшую сторону.

Примеры форм представления результатов измерений:

1. (8,334 ± 0,012) г; Р = 0,95.
2. 32,014 мм. Характеристики погрешностей и условия измерений по РД 50-98 – 86, вариант 7к.
3. (32,010…32,018) мм Р = 0,95. Измерение индикатором ИЧ 10 кл. точности 0 на стандартной стойке с настройкой по концевым мерам длины 3 кл. точности. Измерительное перемещение не более 0,1 мм; температурный режим измерений ± 2 ^оС.
4. 72,6360 мм; Δ_н= – 0,0012 мм, Δ_в= + 0,0018 мм, Релей; Р = 0,95.

          _о

1. 10,75 м³/с; σ (Δ) = 0,11 м³/с, σ (Δ_с) = 0,18 м³/с, равн. Условия измерений: температура среды 20 ^оС, кинематическая вязкость измеряемого объекта 1,5·10 ^–6 м²/с.

В пятом примере не указано значение доверительной вероятности, что можно рассматривать как формальное несоответствие требованиям обеспечения единства измерений. Противоречие снимается, как только от оценок средних квадратических отклонений мы перейдем к оценкам границ интервала погрешности измерений. Для установления границ областей рассеяния случайной и неисключенной систематической составляющих погрешности измерений берут коэффициент Стьюдента t. Значение t зависит от числа степеней свободы и от выбранной доверительной вероятности, которая должна быть одинакова для обеих составляющих. В качестве комментария следует сказать, что такая полная форма годится только для экзотических исследовательских ситуаций и непрактична в производственном употреблении, для которого желательна комплексная оценка погрешности измерения, например, полученная в результате компонирования двух описывающих составляющие погрешности функций.

Можно предложить графическую интерпретацию результата измерений на числовой оси физической величины. Тогда для первого из приведенных примеров (8,334 ± 0,012) г; Р = 0,95 сам результат выглядит как показано на рис. 1. Для указания доверительной вероятности проводим ось ординат (плотности вероятности р) из точки, соответствующей точечной оценке результата измерений и строим в полученной системе координат кривую нормального распределения результатов или погрешностей измерений. Из рисунка видно, что для увеличения доверительной вероятности (заштрихованной площади) Р необходимо расширить зону между границами погрешности измерений ± Δ. При фиксированном значении σ этого можно добиться только за счет увеличения коэффициента Стьюдента t.

Зона между зафиксированными предельными значениями Х – Δ и Х + Δ с выбранной доверительной вероятностью Р накрывает истинное значение измеряемой физической величины, но поскольку фактически результат измерений представлен не в виде единичного значения, а как числовой интервал, принято говорить о «неопределенности результата измерений». В этом термине под неопределенностью результата фактически подразумевают не только то, что результат измерений фиксируется интервалом значений, а не конкретной точкой на оси, но и то, что неизвестной (неопределенной) остается координата истинного значения. В более широком смысле можно говорить также и о неопределенности «закона распределения» результатов многократных наблюдений при измерении конкретной физической величины.

   Исследование (качественное и количественное) неопределенности результатов измерений обычно осуществляется в ходе математической обработки результатов многократных наблюдений, полученных при измерении одной физической величины. В исследование обычно входят:

• нахождение и сравнение значений сопоставимых оценок случайной погрешности и неисключенных остатков систематической погрешности;
• проверка по критериям согласия гипотез о «законах распределения» случайной погрешности и неисключенных остатков систематической погрешности;
• статистическая проверка и при положительном результате отбраковывание отдельных наблюдений, содержащих грубые погрешности.

Неопределенность результатов, полученных при измерении конкретной физической величины с многократными наблюдениями, зависит от множества объективных и субъективных причин. Основные источники и причины неопределенности:

• использованные технические ресурсы (средства измерений, организация среды в зоне измерений и др.);
• число наблюдений в серии;
• выбор гипотез о «законах распределения», критериев согласия, уровней значимости при проверке гипотез по критериям согласия;
• выбор метода отбраковывания наблюдений с грубыми погрешностями, «подозрительных» наблюдений, критериев статистического отбраковывания, уровней значимости при проверке гипотез по этим критериям;
• выбор значения доверительной вероятности для описания результата измерений.

Последний фактор можно признать несущественным, поскольку формы представления результатов измерений фактически позволяют пользователю перейти от зафиксированного в описании значения доверительной вероятности к любому выбранному.

Итак, неопределенность результатов измерений есть комплексное явление, обусловленное техническими возможностями и квалификацией метрологов, организующих измерения. В узкой трактовке неопределенность результатов измерений связывают только с оценками погрешностей измерений, а более конкретно – с усеченной областью их распределения, полученной в результате статистической обработки данных многократных наблюдений при измерениях.

В 1993 году в метрологическом комитете ИСО было разработано «Руководство по выражению неопределенности измерений». «Руководство» разрабатывалось при участии Международного комитета мер и весов (МКМВ), Международной электротехнической комиссии (МЭК), Международной организации по законодательной метрологии (МОЗМ), Международного союза по чистой и прикладной физике (МС ЧПФ), Международного союза по чистой и прикладной химии (МС ЧПХ) и Международной федерации клинической химии (МФКХ).

Декларируемые цели «Руководства»:

• Предоставление универсального метода выражения и оценивания неопределенности результатов измерений, применимого ко всем видам измерений и пригодного для представления всех типов данных, описывающих результаты измерений.
• Обеспечение полной информации о том, как составлять отчеты о неопределенности измерений.
• Обеспечение возможности международного сопоставления результатов измерений.

Очевидно, что «Руководство» предназначено для поддержания единства измерений в международном масштабе, и такой шаг является полезным. Однако с появлением первых переводов этого документа и выдержек из него у некоторых метрологов сложилось представление, что речь идет о принципиально новом подходе к оценке и представлению результатов измерений. Это мнение, которое уже породило множество публикаций и заблуждений, включая призывы «переучиваться» и «переходить на более прогрессивные формы представления результатов измерений».

Анализ фактического положения подтверждает, что ничего принципиально нового для классической метрологии и стандартной системы обеспечения единства измерений «Руководство» не содержит. Различия состоят в применяемом понятийном аппарате (несовпадение ряда терминов и определений), а также в неполном совпадении некоторых алгоритмов расчета и коэффициентов при использовании одинаковых базовых подходов.

ВНИИМ им. Д.И.Менделеева в 1999 году разработал нормативный документ «Рекомендация. (ГСИ. МИ 2552-99. Применение «Руководства по выражению неопределенности измерений»)», цель которого ясна из названия. Задачами документа являются изложение основных положений «Руководства» и рекомендаций по их применению, сравнительный анализ двух подходов к описанию результатов измерений и показ соответствия между формами представления результатов измерений, принятыми в ГСИ и предлагаемыми в «Руководстве».

МИ 2552-99 предлагает применять для сопоставления оценок характеристик неопределенностей и погрешностей результатов измерений следующую схему соответствия (рис. 2)

Проведенные в этом же нормативном документе расчеты подтверждают, что различия оценок из-за неполного соответствия некоторых алгоритмов расчета и коэффициентов не превышают 11 %, что для рядовых измерений можно считать пренебрежимо малым расхождением.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ

ВСЕРОССИЙСКИЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТРОЛОГИЧЕСКОЙ СЛУЖБЫ (ВНИИМС)

РЕКОМЕНДАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННАЯ СИСТЕМА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЕДИНСТВА ИЗМЕРЕНИЙ.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ.

ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. СПОСОБЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИ ИСПЫТАНИЯХ ОБРАЗЦОВ ПРОДУКЦИИ И КОНТРОЛЕ ИХ ПАРАМЕТРОВ

МИ 1317-2004

Разработана Федеральным государственным унитарным предприятием Всероссийский научно-исследовательский институт метрологической службы (ФГУП ВНИИМС)

Исполнители

М.А. Земельман, канд. техн. наук (руководитель темы); В.Г. Цейтлин, канд. техн. наук; В.М. Кашлаков, канд. техн. наук; В.П. Кузнецов, канд. техн. наук; Н.П. Миф, канд. техн. наук; В.А. Брюханов, канд. техн. наук; В.И. Гронский, канд. техн. наук; И.М. Тронова

Утверждена ФГУП ВНИИМС 20 декабря 2004 г.

Зарегистрирована ФГУП ВНИИМС 28 декабря 2004 г.

Взамен МИ 1317-86

Настоящая рекомендация распространяется на нормативные, методические и технические документы (проектно-конструкторскую и технологическую документацию, стандарты, технические условия, технические задания, отчеты, протоколы, программы, документы на методики испытаний и контроля образцов продукции, руководящие документы, руководящие технические материалы, документы на методики выполнения измерений), техническую литературу, в которых указывают требования к измерениям или описывают измерения, проводимые в научных исследованиях; при разработке, производстве, эксплуатации продукции; при охране окружающей природной среды; в здравоохранении и др.

Рекомендация устанавливает формы представления результатов измерений, характеристики погрешности измерений и формы их представления для всех возможных случаев применения, а также способы использования характеристик погрешности измерений для определения характеристик погрешности таких испытаний и достоверности такого контроля параметров образцов (проб) продукции, которые проводят с помощью измерений.

В рекомендации использованы ссылки на следующие нормативные документы:

ГОСТ 8.009-84 Государственная система обеспечения единства измерений. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений;

ГОСТ Р 8.563-96 Государственная система обеспечения единства измерений. Методики выполнения измерений;

В связи с утратой силы ГОСТ Р 8.563-96, следует руководствоваться принятым взамен ГОСТ Р 8.563-2009

РД 50-453-84 Государственная система обеспечения единства измерений. Характеристики погрешности средств измерений в реальных условиях эксплуатации. Методы расчета;

РМГ 29-99 Государственная система обеспечения единства измерений. Метрология. Основные термины и определения.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1 Непосредственной целью измерений является определение истинных значений постоянной или изменяющейся измеряемой величины. Результат измерений является реализацией случайной величины, равной сумме истинного значения измеряемой величины и погрешности измерений.

Примечание — В качестве измеряемых величин принимают параметры модели объекта измерений. Общие рекомендации по выбору измеряемых величин даны в приложении А.

1.2 Термины «результат измерений» и «погрешность измерений» — в соответствии с РМГ 29.

1.3 Наименьшие разряды числовых значений результатов измерений принимают такими же, как и наименьшие разряды числовых значений среднего квадратического отклонения абсолютной погрешности измерений или числовых значений границ, в которых находится абсолютная погрешность измерений (или статистических оценок этих характеристик погрешности).

близкий к нормальному усеченному, если имеются основания предполагать, что реальная функция плотности распределения функция симметричная, одномодальная, отличная от нуля на конечном интервале значений аргумента, и другая информация о плотности распределения отсутствует.

1.4.1 Если имеется информация о том, что хотя бы одно из указанных в 1.4 условий не выполнено, принимают другую аппроксимацию функции плотности распределения вероятностей погрешности измерений, более соответствующую решаемой измерительной задаче.

1.4.2 В качестве функции плотности распределения вероятностей составляющих погрешности измерений, для которых известны только пределы допускаемых значений, т.е. границы интервала, в пределах которых находится соответствующая составляющая погрешности измерений с вероятностью 1, при расчетах характеристик погрешности измерений принимают закон равномерной плотности, если отсутствует информация об ином виде распределения.

1.5 Для расчета характеристик погрешности измерений при проектировании или аттестации методик выполнения измерений (далее — МВИ) по ГОСТ Р 8.563 в общем случае используют:

— метрологические характеристики средств измерений, нормированные по ГОСТ 8.009;

— характеристики влияющих величин, определяющие условия измерений, в частности, условия применения средств измерений;

— характеристики объекта измерений, влияющие на погрешность измерений.

1.6 Наряду с указанными в настоящей рекомендации можно использовать характеристики погрешности измерений, которые являются функциями характеристик, приведенных в разделе 2.

2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

1.7 Основные обозначения, принятые в настоящей рекомендации, приведены в приложении В.

2.1 Настоящая рекомендация устанавливает следующие группы характеристик погрешности измерений:

выполняемых по одной и той же аттестованной МВИ — приписанные характеристики погрешности измерений.

2.1.3 Отражающие близость отдельного, экспериментально полученного результата измерений к истинному значению измеряемой величины статистические оценки характеристик погрешности измерений (статистические оценки погрешности измерений).

2.2 При массовых технических измерениях, выполняемых при технологической подготовке производства, в процессах разработки, испытаний, производства, контроля и эксплуатации (потребления) продукции, при товарообмене, торговле и др., преимущественно применяют нормы погрешности измерений, а также приписанные характеристики погрешности измерений (по 2.1.1 и 2.1.2). Они представляют собой вероятностные характеристики (характеристики генеральной совокупности) случайной величины — погрешности измерений.

2.3 При измерениях, выполняемых при проведении научных исследований и метрологических работ (определение физических констант, свойств и состава стандартных образцов, индивидуальном исследовании средств измерений и т. п.), преимущественно применяют статистические оценки погрешности измерений (по 2.1.3.). Они представляют собой статистические (выборочные) характеристики случайной величины — погрешности измерений.

2.4 Рекомендация устанавливает следующие альтернативные вероятностные и статистические характеристики погрешности измерений:

среднее квадратическое отклонение погрешности измерений;

границы, в пределах которых погрешность измерений находится с заданной вероятностью;

характеристики случайной и систематической составляющих погрешности измерений.

Примечание:

1. Возможны случаи, когда границам погрешности измерений приписывают вероятность, равную единице.

2. Математическое ожидание погрешности измерений не рассматривают в качестве характеристики погрешности измерений, так как оно представляет собой систематическую погрешность, и если ее значение известно, то на нее в результат измерений вводят поправку.

2.4.1 В качестве характеристик случайной составляющей погрешности измерений используют: среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности измерений и (при необходимости) нормализованную автокорреляционную функцию случайной составляющей погрешности измерений или характеристики этой функции.

2.4.2 В качестве характеристик систематической составляющей погрешности измерений используют: среднее квадратическое отклонение неисключенной систематической составляющей погрешности измерений или границы, в которых неисключенная систематическая составляющая погрешности измерений находится с заданной вероятностью (в частности, с вероятностью, равной единице).

2.5 Характеристики погрешности измерений по 2.1.1, 2.1.2,2.1.3. приведены в таблице 1.

2.6 При необходимости средние квадратические отклонения случайной и (или) неисключенной систематической составляющих погрешности измерений сопровождают указанием принятой аппроксимации закона распределения вероятностей погрешности или его качественным описанием (например, симметричный, одномодальный и т.п.).

2.7 В случаях, когда результаты измерений (испытаний) используют (могут быть использованы) совместно с другими результатами измерений, а также при расчетах погрешностей величин, функционально связанных с результатами измерений (например, критериев эффективности, функций потерь, результатов косвенных измерений и др.), в качестве характеристик погрешности измерений применяют, в основном, точечные характеристики погрешности — средние квадратические отклонения погрешности.

В случаях, когда результаты измерений являются окончательными, пригодными для решения определенной технической задачи и не предназначены для совместного использования с другими результатами измерений и для расчетов, применяют, в основном, интервальные характеристики погрешности — границы, в пределах которых погрешность находится с известной (заданной) вероятностью.

Примеры к 2.7:

Пример 1 — Требования к погрешности измерений задают с целью ограничения потерь, вызываемых этой погрешностью. Функция потерь, вызванных погрешностью измерений, имеет квадратичный или V-образный вид. В этом случае погрешность измерений целесообразно задавать допускаемым значением среднего квадратического отклонения, т. к. именно эта характеристика однозначно связана с потерями (с математическим ожиданием потерь) независимо от вида распределения погрешности измерений.

Пример 2 — Оцениваемую погрешность измерений текущих (мгновенных) значений изменяющейся измеряемой величины используют для расчета погрешности средних величин или технико-экономических показателей за различные интервалы времени. В этом случае целесообразно оценивать следующие характеристики погрешности измерений текущих значений: среднее квадратическое отклонение случайной составляющей и интервал корреляции автокорреляционной функции этой составляющей, а также среднее квадратическое отклонение неисключенной систематической составляющей. Оценки таких характеристик дают возможность учесть влияние интервала времени усреднения и числа наблюдений на случайную составляющую погрешности средних значений.

Таблица 1

Примечания к таблице 1

1. При одинаковых числовых значениях (без учета знаков) нижних и верхних границ характеристик погрешности указывают одно числовое значение, ставя перед ним знаки ±. В противном случае границы указывают отдельно каждую со своим знаком.

2. В таблице приведены обозначения для характеристик абсолютной погрешности измерений. Для обозначения характеристик относительной погрешности измерений букву заменяют на (в том числе в индексах).

3. Рекомендуемое значение вероятности (доверительной вероятности) Р=0,95.

4. Пределы допускаемых значений характеристик погрешности определяют интервал, в котором находится данная характеристика, т.е. они соответствуют вероятности нахождения характеристики в данном интервале, равной единице.

5. Если вероятность, для которой нормированы границы допускаемого интервала погрешности измерений (графа 2), равна единице (Р=1), т.е. ни одна из реализаций погрешности измерений не должна выходить за эти границы, то их можно называть пределами допускаемых значений и при этом вероятность Р=1 не указывать.

Пример 3 — Определяют уставки технологической защиты, срабатывающей, когда результат однократного измерения превышает значение уставки. В этом случае для представления о возможности неблагоприятных последствий ограниченной точности измерений (ложного срабатывания или несрабатывания в аварийной ситуации) учитывают границы погрешности измерений. Для подобного учета погрешность измерений целесообразно задавать границами допускаемых значений с заданной вероятностью.

2.8. При условиях, приведенных в 1.4, расчет интервальных характеристик погрешности измерений для заданных вероятностей, меньших единицы, по среднему квадратическому отклонению погрешности может быть проведен в соответствии с приложением Б.

Методика, изложенная в приложении Б, основана на использовании вместо неизвестного реального закона распределения вероятностей погрешности (удовлетворяющего условиям 1.4) такого закона, который дает средние (для класса симметричных одномодальных усеченных законов распределений) значения определяемых характеристик. При этом погрешности получаемых характеристик — наименьшие среди получаемых для всех других возможных видов симметричных одномодальных усеченных распределений. Эти погрешности также приведены в приложении Б.

2.9. При оформлении результатов измерений, связанных с международными работами (международные сличения эталонов, поверка или калибровка средств измерений для зарубежных стран), а также с исследованиями первичных государственных эталонов, вместо характеристик погрешности измерений может быть использована неопределенность измерений (приложение Г) в соответствии с международной рекомендацией «Guide to the expression of uncertainty in measurement». В этом случае среднее квадратическое отклонение погрешности измерений (п.2.4) эквивалентно стандартной неопределенности (standard uncertainty 2.3.1 «Guide») или суммарной стандартной неопределенности (combined standard uncertainty 2.3.4 «Guide»); границы, в которых погрешность измерений находится с заданной вероятностью (п.2.4) эквивалентны расширенной неопределенности (expanded uncertainty 2.3.5 «Guide»).

3. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИИ

3.1. Погрешность измерений по 2.1.1 и 2.1.2 представляют характеристиками из числа приведенных в графах 2, 3 таблицы 1 с указанием совокупности условий, для которых принятые характеристики действительны. В состав этих условий могут входить: диапазон значений измеряемой величины; частотные спектры измеряемой величины, или диапазон скоростей ее изменений, или частотные спектры, диапазоны скоростей изменений параметров, функционалом которых является измеряемая величина; диапазоны значений всех величин, существенно влияющих на погрешность измерений (средств измерений), а также при необходимости и другие факторы.

3.1.1 Характеристики погрешности измерений указывают в единицах измеряемой величины (абсолютные) или процентах (долях) от результатов измерений (относительные).

Примеры к 3.1:

Пример 1 — Запись в техническом задании на разработку МВИ расхода жидкости (норма).

Норма на абсолютную погрешность измерений расхода жидкости: Условия, при которых погрешность измерений должна находиться в заданных границах: диапазон значений измеряемого расхода температура жидкости от 15 до 30°С, кинематическая вязкость жидкости от

Пример 2 — Запись в аттестате МВИ добротности катушки индуктивности (приписанная погрешность).

Наибольшее возможное значение среднего квадратического отклонения случайной составляющей абсолютной погрешности измерений наибольшее возможное значение среднего квадратического отклонения неисключенной систематической составляющей абсолютной погрешности измерений Условия, для которых определены характеристики погрешности измерений: диапазон значений измеряемой добротности от 50 до 80; диапазон частот тока, протекающего через катушку, от 50 до 300 Гц; диапазон температур среды, окружающей катушку и применяемые средства измерений, от 15 до 25 °С; коэффициент нелинейных искажений тока не более 1 %.

Примечание

При практических записях характеристик погрешностей измерений необязательно каждый раз записывать словами название характеристики и условия, которым они соответствуют. Целесообразно записывать их условными обозначениями, приложив отдельный список обозначений.

При регистрации характеристик погрешности измерений с помощью автоматических устройств рекомендуется обозначать характеристики словами и не использовать условные обозначения.

3.2. Статистические оценки характеристик погрешности измерений по 2.1.3. представляют одной или при необходимости несколькими характеристиками из числа приведенных в графе 4 таблицы 1. Дополнительно могут быть указаны частотный спектр или скорость изменения измеряемой величины, или частотный спектр, скорость изменения параметров, функционалом которых является измеряемая величина; значения или диапазоны значений существенно влияющих величин, а также при необходимости и другие факторы, характеризующие проведенные измерения.

Примечание

Каждую статистическую оценку характеристики погрешности измерений относят к определенному результату измерений.

3.2.1. Статистические оценки характеристик погрешности измерений указывают в единицах измеряемой (абсолютные) или в процентах (долях) от результата измерений (относительные).

3.3. Характеристики погрешности измерений и их статистические оценки могут быть указаны в виде постоянных величин или как функции времени, измеряемой или другой величины в виде формулы, таблицы, графика.

3.4. Характеристики погрешности и их статистические оценки выражают числом, содержащим не более двух значащих цифр. При этом для статистических оценок характеристик третий разряд (неуказываемый младший) округляют в большую сторону. Допускается характеристики погрешности и их статистические оценки выражать числом, содержащим одну значащую цифру. В этом случае для статистических оценок характеристик число получают округлением в большую сторону, если цифра последующего неуказываемого младшего разряда равна или больше пяти, или в меньшую сторону, если эта цифра меньше пяти.

3.5. Характеристики погрешности измерений и условия, для которых они действительны, указывают совместно с результатом измерений, к которому их относят, или совместно с группой результатов измерений, к которым их относят, или в свидетельстве о аттестации МВИ, по которой получены данные результаты измерений.

4. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

4.1. Результат измерений представляют именованным или неименованным числом.

4.2. Совместно с результатом измерений представляют характеристики его погрешности или их статистические оценки. Если результат измерений или определенная группа результатов измерений получены по аттестованной МВИ, то их можно сопровождать вместо характеристик погрешности измерений ссылкой на свидетельство об аттестации МВИ, удостоверяющее характеристики погрешности получаемых при использовании данной МВИ результатов измерений и условия ее применимости.

4.2.1. Если результат измерений получен по такой МВИ, когда характеристики погрешности измерений оценены в процессе самих измерений или непосредственно после или перед ними, результат сопровождают статистическими оценками характеристик погрешности измерений.

4.3. Допускается представление результата измерений доверительным интервалом, покрывающим с известной (указываемой) доверительной вероятностью истинное значение измеряемой величины. В этом случае статистические оценки характеристик погрешности измерений отдельно не указывают.

Примечание — Такая форма представления результатов измерений допускается в случаях, когда характеристики погрешности измерений заранее не установлены и погрешность измерений оценивают в процессе самих измерений или непосредственно после или перед ними.

4.4. Совместно с результатом измерений при необходимости приводят дополнительные к указанным в 3.1 данные.

4.4.1. Представление результатов измерений изменяющейся во времени измеряемой величины при необходимости сопровождают указаниями моментов времени, соответствующих каждому из представленных результатов измерений. При этом началом шкалы времени может служить любой момент времени, принятый для данного эксперимента в качестве начального.

4.4.2. Представление результатов измерений, полученных как среднее арифметическое значение результатов многократных наблюдений, сопровождают указанием числа наблюдений и интервала времени, в течение которого они проведены. Если измерения, при которых получены данные результаты, проводят по МВИ, установленной в каком-либо документе, вместо указания числа наблюдений и интервала, допускается ссылка на этот документ.

4.4.3 При необходимости для правильной интерпретации результатов и погрешности измерений указывают, для данной МВИ модель объекта измерений и ее параметры, принятые в качестве измеряемых величин. Если измеряемую величину выражают функционалом, последний также указывают.

4.4.4 При необходимости результат измерений и характеристики погрешности измерений сопровождают указанием соответствия (или несоответствия) характеристик погрешности нормам точности измерений, если они заданы.

Примеры к 4.4:

Пример 1 — Запись в протоколе результата измерений расхода жидкости, полученного по аттестованной МВИ:

а) Результат измерений Условия измерений: температура жидкости 20 °С, кинематическая вязкость

б) Результат измерений Характеристики погрешности и условия измерений — в соответствии со свидетельством об аттестации МВИ N 17 от 05.07.2003 г.

Пример 2 — Запись в протоколе результата измерений расхода жидкости, полученного по неаттестованной МВИ. Статистические оценки характеристик погрешности измерений определены в процессе измерений:

а) Результат измерений Условия измерений: температура жидкости 20°С, кинематическая вязкость

б)Значение измеряемого расхода — в интервале с доверительной вероятностью 0,95. Условия измерений: температура жидкости 20°С, кинематическая вязкость

Пример 3 — Запись в протоколе результатов измерений изменяющегося электрического напряжения u(t), полученных по аттестованной МВИ:

Характеристики погрешности и условия измерений — в соответствии со свидетельством об аттестации МВИ N 5 от 17.01.2003 г.

Пример 4 — Запись в протоколе результата измерений, полученного как среднее арифметическое результатов наблюдений температуры по аттестованной МВИ:

Результат измерений 263,7 °С. Число наблюдений — 50, в течение 49 мин. Характеристики погрешности и условия измерений — в соответствии со свидетельством об аттестации МВИ N 13 от 23.01.2003 г.

5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ И ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ИСПЫТАНИЯХ И КОНТРОЛЕ ПАРАМЕТРОВ ОБРАЗЦОВ (ПРОБ) ПРОДУКЦИИ

5.1 В настоящей рекомендации рассматриваются следующие области использования измерений.

далее — параметров условий испытаний); данную экспериментальную операцию в настоящей рекомендации называют испытаниями образца объекта (далее — образца).

5.1.2 Контроль параметра образца (пробы) на соответствие требованию, заданному в виде где х — истинное значение контролируемого параметра образца;xh, и xl- верхняя и нижняя границы допускаемых значений параметра х, соответственно; — параметры условий контроля; — номинальные значения параметров условий контроля; m — количество существенно влияющих и, следовательно, учитываемых условий контроля.

Примечание — Рассматриваются только однопараметровые испытания и контроль.

5.2 За результат испытаний образца принимают результат измерений параметра, определяемого при испытаниях, при фактически установленных значениях параметров условий испытаний. Результат испытаний сопровождают указанием характеристик погрешности испытаний (или статистических оценок характеристик), а также номинальных значений параметров условий испытаний и действительных или допускаемых характеристик погрешности задания этих параметров (или статистических оценок характеристик) или ссылкой на документ, где они указаны.

5.3 За погрешность испытаний образца принимают разность между результатом измерений параметра, определяемого при испытаниях образца продукции, полученным при фактических условиях испытаний, и истинным значением определяемого параметра, которое он имеет при параметрах условий испытаний, точно равных своим номинальным значениям или тем значениям, при которых требуется определять параметр образца. Определенная таким образом погрешность испытаний характеризует степень достижения цели испытаний по 5.1.1.

5.4 Результатом контроля параметра образца (или контроля образца) является суждение о том, находится или не находится значение контролируемого параметра образца в заданных границах. Результат контроля сопровождают указанием показателей достоверности контроля, а также номинальных значений параметров условий контроля и характеристик погрешности задания этих параметров (или статистических оценок характеристик), или ссылкой на документ, где они указаны.

5.5 В качестве характеристик погрешности испытаний образцов используют характеристики, аналогичные приведенным в таблице 1 для погрешности измерений.

5.6 Математическое определение погрешности испытаний образцов продукции приведено в приложении Д.

5.7 В настоящей рекомендации рассматриваются две группы показателей достоверности контроля образцов:

или наибольшая для отдельного образца) вероятность ошибочного отнесения к дефектным в действительности годных образцов; наибольшее отклонение контролируемого параметра от номинального значения у образцов, ошибочно признанных годными.

5.7.2 Вероятность неправильности суждения о годности образца, признанного по результатам контроля годным; вероятность неправильности суждения о дефектности образца, признанного по результатам контроля дефектным.

Примечание — Показатели по 5.7.1 относят к методикам измерительного контроля, предусматривающим фиксацию только результата контроля («годен» — «не годен»), и к устройствам допускового контроля. Показатели по 5.7.2 относят к методикам измерительного контроля, предусматривающим фиксацию результата измерений контролируемого параметра образца.

5.8 Математические определения показателей достоверности измерительного контроля образцов продукции приведены в приложении Д.

5.9 Функциональные взаимосвязи показателей достоверности контроля параметра образца продукции с погрешностью измерений при контроле приведены в приложении Е.

5.10 Инженерные способы расчета характеристик погрешности испытаний образца продукции по известным характеристикам погрешности измерений параметра, определяемого при испытаниях, характеристикам функций влияния условий испытаний на определяемый параметр, характеристикам погрешностей воспроизведения номинальных условий испытаний приведены в приложении Ж.

5.11 Инженерные способы определения основных показателей достоверности методик контроля образцов продукции по известным характеристикам погрешности измерений при контроле и параметрам методик контроля приведены в приложении И.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

КОНЕЧНЫЕ ЦЕЛИ ИЗМЕРЕНИЙ И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫБОРУ ИЗМЕРЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН

А.1 Измерения не являются самоцелью, а имеют определенную область использования, т.е. их проводят для достижения некоторого конечного результата. Конечный результат не обязательно представляет собой оценку истинного значения измеряемой величины. В зависимости от назначения измерений (для контроля параметров продукции, для испытаний образцов продукции с целью установления ее технического уровня, для учета материальных и энергетических ресурсов, для диагностики технического состояния машин и др.) конечный результат в том или ином виде отражает требуемую информацию о количественных свойствах явлений, процессов (в том числе, технологических), материальных объектов (материалов, полуфабрикатов, изделий и т.п.). В данном случае речь идет только о той информации, которая может быть получена путем измерений. Вследствие этого результат измерений следует рассматривать как промежуточный результат, и номенклатуру характеристик погрешности измерений выбирают, исходя из требуемого конечного результата (результат испытаний или контроля, результат оценки эффективности управления технологическим процессом и др.), методики его расчета, формы представления показателей достоверности конечного результата.

Для этого устанавливают функциональную взаимосвязь результата измерений и характеристик погрешности измерений с требуемым конечным результатом и характеристиками (показателями) его погрешности (достоверности). Например, для планирования процессов испытаний и измерительного контроля параметров продукции, проводимых путем измерений, устанавливают функциональную взаимосвязь результатов и характеристик погрешности измерений с результатами испытаний и измерительного контроля параметров образца продукции, а также с характеристиками погрешности испытаний и показателями достоверности измерительного контроля.

А.2 Для обоснованного планирования измерений и правильной интерпретации результатов и погрешности измерений на начальном этапе решения задачи измерений (например, при разработке МВИ) принимают определенную модель объекта измерений, достаточно адекватную (для решения данной технической задачи) свойствам объекта измерений. В качестве измеряемой величины выбирают такой параметр модели, который также наиболее близко соответствует данной цели измерений. Значение параметра модели, т.е. значение измеряемой величины, может быть выражено числом, функцией или функционалом. Это учитывают при разработке МВИ и при выборе средств измерений.

Пример А.1 — Объект измерений — вал. В соответствии с конечной задачей, решаемой путем измерений, и с априорной информацией о свойствах объекта в качестве модели вала принимают прямой круговой цилиндр. Параметр модели — измеряемая величина — диаметр окружности цилиндра в любом его поперечном сечении; его значение выражают числом.

Пример А.2 — Объект измерений — поршень грузопоршневого манометра. Цель измерений — определение эффективной площади поршня. В соответствии с априорной информацией о том, что поперечное сечение поршня может незначительно отличаться от круга, в качестве модели поршня принимают прямой цилиндр, поперечное сечение которого близко к кругу. Эффективную площадь поршня в некоторых случаях определяют по среднему диаметру его поперечного сечения. Соответственно цели измерений в качестве параметра модели — измеряемой величины — принимают средний диаметр поперечного сечения поршня. Значение измеряемой величины в данном случае можно выразить, например, функционалом вида , где — диаметр имеющий угловую координату т.е. функция аргумента a1 в угловых градусах.

Пример А.3 — Объект измерений — изменяющееся электрическое напряжение. Цель измерений — оценка мощности, которая может быть выделена в нагрузку. В соответствии с априорной информацией о том, что форма кривой напряжения близка к синусоидальной, в качестве модели напряжения принимают синусоидальное напряжение. Соответственно цели измерений в качестве параметра модели — измеряемой величины — принимают эффективное (действующее) значение напряжения.

Значение измеряемой величины выражают функционалом

где — амплитуда и круговая частота синусоидального напряжения. Если информация о форме кривой напряжения отсутствует, то в качестве модели напряжения, например, может быть принято случайно изменяющееся электрическое напряжение. Тогда значение измеряемой величины может быть выражено функционалом

где:

T — время интегрирования;

u(t) — реализация случайного процесса — функция времени t.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ГРАНИЦ ИНТЕРВАЛА, В КОТОРОМ НАХОДИТСЯ ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ С ЗАДАННОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ, МЕНЬШЕЙ ЕДИНИЦЫ, ПО СРЕДНЕМУ КВАДРАТИЧЕСКОМУ ОТКЛОНЕНИЮ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Нижняя и верхняя границы интервала, в котором погрешность измерений находится с заданной вероятностью Р, могут быть определены по формуле

(Б.1)

где:

К(Р) — коэффициент, зависящий от вероятности Р;

— среднее квадратическое отклонение погрешности измерений.

Если границы интервала рассчитывают по нормированному среднему квадратическому отклонению, то в формулу подставляют значение предела допускаемого среднего квадратического отклонения; при этом в результате расчета по формуле получают оценку сверху границ интервала.

При соблюдении условий 1.4 коэффициент К(Р) может быть определен по графику (рисунок Б.1)

Рисунок Б.1

При этом модуль наибольшей возможной относительной погрешности || коэффициента К(Р) также определяют по соответствующему графику(рисунок Б.1).

Графики дают результаты, идентичные получаемым по графику РД 50-453.

Если функция плотности распределения вероятностей погрешности измерений не удовлетворяет хотя бы одному из условий 1.4настоящей рекомендации, то границы интервала, в котором погрешность измерений находится с заданной вероятностью Р, могут быть рассчитаны по формуле (Б.1) (предварительно определяют функцию К(Р), соответствующую действительной функции плотности).

Для приближенных расчетов границ интервала в качестве оценок сверху коэффициента К(Р) в диапазоне значений вероятности Р от 0,9 до 0,98 может быть использована формула

(Б.2)

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

— абсолютная погрешность измерений;

— относительная погрешность измерений;

s — абсолютная систематическая составляющая погрешности измерений;

— абсолютная случайная составляющая погрешности измерений;

Р — вероятность;

— среднее квадратическое отклонение абсолютной погрешности измерений (ее составляющих);

х — контролируемый параметр

— отклонение контролируемого параметра от номинального значения;

— номинальное значение параметра;

— нижняя и верхняя границы допускаемых значений параметра х;

— оперативная характеристика;

— наибольшая вероятность ошибочного признания (при реализации данной методики контроля) годным любого в действительности дефектного образца (для отдельного образца);

— наибольшее по абсолютному значению возможное отклонение контролируемого параметра любого образца, который при реализации данной методики контроля может быть ошибочно признан годным;

— наибольшая средняя по совокупности годных образцов вероятность ошибочного признания (при реализации данной методики контроля) дефектным в действительности годных образцов;

— средняя на совокупности всех контролируемых образцов вероятность ошибочного признания (при реализации данной методики контроля) дефектными в действительности годных образцов;

— наибольшая вероятность ошибочного признания (при реализации данной методики контроля) дефектным любого в действительности годного образца (для отдельного образца);

— вероятность ошибочности суждения о годности данного образца, признанного по результатам контроля годным (при уже полученном результате контроля);

— вероятность ошибочности суждения о дефектности данного образца, признанного по результатам контроля дефектным (при уже полученном результате контроля);

G — граница поля допуска для отклонения ;

— граница поля контрольного допуска, с которой сравнивают оценку с целью принятия решения о годности или дефектности образца;

— граница такой области значений для которой отрицательные результаты контроля (образец признают дефектным) принято считать ошибочным;

— вероятность того, что при полученной в результате измерений (при контроле) оценке отклонения контролируемого параметра образца истинное значение отклонения параметра находится в границах поля допуска;

— наибольшая возможная погрешность вероятности обусловленная отличием реального вида функции плотности распределения вероятностей погрешности измерений от того вида функции плотности , которому соответствует график на рисунке И 1;

— то же для графика Рbam на рисунке И.2;

— наибольшая возможная погрешность вероятности обусловленная отличием реального вида функции плотности распределения вероятностей погрешности измерений от того вида функции плотности, которому соответствует график на рисунке И.3;

— то же для графика на рисунке И.4;

— плотность распределения вероятностей отклонения на совокупности контролируемых образцов;

— плотность распределения вероятностей погрешности измерений при контроле.

Индексы

1 — нижняя (low),

h — верхняя (high),

g — годный (good),

b — дефектный (bad),

a — признанный годным (accepted),

г — признанный дефектным (rejected),

I — контролируемый (inspected),

ex — испытание (examination),

N — номинальное (nomina).

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ

В 2.2.3 «Guide to the expression of uncertainty in measurement» (Первое издание ISO 1993, русский перевод «Руководство по выражению неопределенности измерений», С.-Петербург, ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, 1993, далее Руководство) неопределенность измерений определена как «параметр, связанный с результатом измерения, который характеризует рассеяние значений, которые могли быть обоснованно приписаны измеряемой величине». В Руководстве рассматриваются измеряемые величины, характеризуемые единственным значением (1.2 Руководства).

Различие между погрешностью и неопределенностью измерений сводится к различию систем координат, относительно которых рассматривают истинное значение измеряемой величины и результат измерений. При рассмотрении погрешности измерений систему координат привязывают к истинному значению измеряемой величины, наблюдая рассеяние результата измерений (рисунок Г.1); при рассмотрении неопределенности измерений — к результату измерений, что и создает эффект рассеяния единственного значения измеряемой величины (рисунок Г.2)

Рисунок Г. 1

Рисунок Г.2

Обозначения на рисунках:

— результат измерений ( — реализации результата измерений — по 1.1 настоящей рекомендации);

— истинное значение измеряемой величины ( — реализация истинного значения измеряемой величины в системе координат, привязанной к результату измерений);

— погрешность измерений;

— плотность распределения вероятности результата измерений;

— плотность распределения вероятностей погрешности измерений;

— плотность распределения вероятностей единственного истинного значения измеряемой величины, наблюдаемая в системе координат, привязанной к результату измерений.

Таким образом, неопределенность измерений в соответствии с 2.2.3 Руководства может быть определена как параметр центрированной случайной величины, представляющей собой разность между истинным значением измеряемой величины и результатом измерений, т.е. величины, совпадающей по модулю с погрешностью измерений, но противоположной ей по знаку. Закон распределения вероятностей этой случайной величины представляет собой зеркальное отражение закона распределения вероятностей погрешности измерений. Количественно характеристики погрешности измерений и соответствующие виды неопределенности измерений совпадают (п.п. Е.5.3 и Е.5.4 Руководства).

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТИ ИСПЫТАНИЙ И ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДОСТОВЕРНОСТИ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО КОНТРОЛЯ ОБРАЗЦОВ ПРОДУКЦИИ

Д.1 Погрешность испытаний образца определяют по формуле

(Д.1)

где

— погрешность измерений параметра, определяемого при испытаниях;

i — погрешность воспроизведения или измерений i-гo параметра условий испытаний;

— производная функции зависимости параметра, определяемого при испытаниях, от параметра в точке

— номинальное значение параметра ;

* — символ объединения (суммирования) случайных величин (процессов);

m — количество учитываемых условий испытаний.

Д.2 Наибольшую вероятность ошибочного признания (при реализации данной методики измерительного контроля) годным любого в действительности дефектного образца определяют по формуле

(Д.2)

где — отклонение контролируемого параметра х образца от номинального значения хм, выраженное в единицах контролируемого параметра;

G — граница поля допуска для отклонения , определяющая годность или дефектность образца продукции по контролируемому параметру;

— оперативная характеристика — зависимость вероятности признания годным образца при его контроле от значения

Д.2.1 Отклонение определяют путем вычитания номинального значения параметра контролируемого образца из действительного значения х параметра; нижнюю и верхнюю границы поля допуска (G1, Gh) для отклонений определяют путем вычитания номинального значения из границ (x1,xh) поля допускаемых значений параметра. Принято: следовательно, Gh = -Gi = G.

Д.2.2 Вероятность Рbam — наибольшая из тех, которые могут иметь место при

Д.2.3 Оперативная характеристика ( отражает свойства методики контроля.

Д.3 Наибольшее по абсолютному значению возможное отклонение контролируемого параметра образца, который (при реализации данной методики измерительного контроля) может быть ошибочно признан годным, определяют по формуле

(Д.3)

где — условная (при условии, что плотность распределения вероятностей оценки отклонения получаемой путем измерений при измерительном контроле;

Gr — граница поля контрольного допуска, с которой сравнивают оценку с целью принятия решения о годности или дефектности образца

Д.4 Наибольшая средняя для совокупности годных образцов вероятность ошибочного признания (при реализации данной методики измерительного контроля) дефектными в действительности годных образцов определяют по формуле

(Д.4)

где — граница такой области значений для которой отрицательные результаты измерительного контроля (образец признают дефектным) рекомендуется считать ошибочными

Д.4.1 Вероятность характеризует долю неверно забракованных в области с границами образцов в общем количестве (Ng) годных образцов:

(Д.4а)

Д.4.2 Формула (Д-4)»>Д.4) справедлива при равномерном законе распределения вероятностей отклонений по совокупности годных образцов и может быть использована для расчетов — в тех случаях, когда закон распределения вероятностей отклонений по всем контролируемым образцам неизвестен. В случаях, когда закон распределения вероятностей отклонений по всем контролируемым образцам задан (известен), более предпочтительным (по сравнению с показателем достоверности контроля является средняя по совокупности всех контролируемых образцов вероятность (Pgr) ошибочного признания дефектными в действительности годных образцов, определяемая формулой

(Д.5)

где — плотность распределения вероятностей отклонений по совокупности контролируемых образцов.

Д.4.3 Вероятность характеризует долю неверно забракованных в области с границами образцов в общем количестве (NI) контролируемых образцов:

(Д.5а)

Д. 4.4 Выделение области т.е. введение в расчеты границы имеет смысл в тех случаях, когда контролируемый параметр образца может после контроля измениться настолько, что вскоре после осуществления контроля возможен его выход за границы поля допуска. Ведение учитывает заинтересованность заказчика в признании дефектными таких образцов, параметры которых, хотя и находятся в границах поля допуска, но близки к этим границам, и, следовательно, образцы вскоре могут потребовать ремонта. Если границу не вводят, то в формуле (Д-4)»>Д.4) принимают и формула (Д.4) принимает вид

(Д.6)

Д.4.5 Для отдельного образца наибольшую вероятность ошибочного признания (при реализации данной методики измерительного контроля) дефектным любого в действительности годного образца определяют по формуле

(Д.7)

при если вводится граница

если граница не вводится

и считают наибольшей из тех, которые могут иметь место при

Д.5 Вероятность неправильности суждения о годности данного образца, признанного по результатам измерительного контроля годным, определяют по формуле

(Д.8)

а вероятность неправильности суждения о дефектности данного образца, признанного по результатам измерительного контроля дефектным, — по формуле

(Д.9)

где — вероятность того, что при полученной в результате измерений (при контроле) оценке отклонения контролируемого параметра образца истинное значение отклонения параметра находится в границах поля допуска, т.е. Характеристика отражает свойства методики измерительного контроля. Вероятности могут быть использованы при оценке правильности уже полученного результата контроля параметра образца продукции.

ПРИЛОЖЕНИЕ Е

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВЯЗИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДОСТОВЕРНОСТИ КОНТРОЛЯ ПАРАМЕТРА ОБРАЗЦА ПРОДУКЦИИ С ПОГРЕШНОСТЬЮ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ КОНТРОЛЕ

Е.1 Функциональная связь наибольшей вероятности Рbam ошибочного признания (при реализации данной методики контроля) годным любого в действительности дефектного образца (по Д.2) с погрешностью измерений при контроле определяется формулой

или

где — плотность распределения вероятностей погрешности измерений при контроле.

Е.2.Функциональная связь наибольшего возможного отклонения контролируемого параметра образца, который (при реализации данной методики измерительного контроля) может быть ошибочно признан годным, с погрешностью измерений при контроле (по Д.3) определяется формулой

Е.3 Функциональная связь наибольшей средней для совокупности годных образцов вероятности ошибочного признания (при реализации данной методики измерительного контроля) дефектными в действительности годных образцов (по Д.4) с погрешностью измерений при контроле определяется формулой

Если известен закон распределения вероятностей отклонений контролируемого параметра образца по всей совокупности контролируемых образцов, то целесообразно усреднить вероятность ошибочного признания дефектными в действительности годных образцов не по совокупности годных образцов, а по совокупности всех контролируемых образцов. Связь такой средней вероятности с погрешностью измерений при контроле определяется формулой

Если область не выделяют и границу не вводят, то в формулах (Е.3) и (Е.4) заменяют на G. При этом (Е.3) принимает вид

Связь наибольшей вероятности ошибочного признания (при реализации данной методики измерительного контроля) дефектным любого отдельного в действительности годного образца с погрешностью измерений при контроле определяют формулой

Е.4 Функциональную связь вероятности ошибочности суждения о годности данного образца, признанного по результатам измерительного контроля годным (при известной оценке отклонения контролируемого параметра) (по Д.5), с погрешностью измерений при контроле определяется формулой

Связь вероятности ошибочности суждения о дефектности данного образца, признанного по результатам измерительного контроля дефектным (при известной оценке отклонения контролируемого параметра), с погрешностью измерений при контроле определяется формулой

Е.5 В случаях, когда контроль проводят при одностороннем ограничении контролируемого параметра образца (xh — верхняя граница допускаемых значений параметра х; xl — нижняя граница значения параметра х) связь показателей достоверности контроля с погрешностью измерений определяется следующими формулами:

Е.5.1 Наибольшая вероятность PbaM ошибочного признания (при реализации данной методики измерительного контроля) годным любого в действительности дефектного образца:

а) при заданной области годности образцов х<= xh:

(E.9)

б) при заданной области годности образцов х >= хl:

(Е.10)

где — заданные границы результатов измерений параметра х при контроле, при которых образец признают годным: для а) образец признают годным, если для б) образец признают годным, если

Е.5.2 Наибольшее (хmax)ba или наименьшее (хmin)ba значения контролируемого параметра образца, который (при реализации данной методики измерительного контроля) может быть ошибочно признан годным:

а) при заданной области годности образцов х <= хh:

(Е.11)

б) при заданной области годности образцов х >= хl:

(Е.12)

Е.5.3 Средняя для совокупности контролируемых образцов вероятность ошибочного признания (при реализации данной методики измерительного контроля) дефектными в действительности годных образцов:

а) при заданной области годности образцов х <= хh:

(Е.13)

б) при заданной области годности образцов х >= xl:

Здесь — заданные границы областей таких значений параметров контролируемых образцов, для которых отрицательные результаты контроля (образец признают дефектным) принято считать ошибочными: для а) отрицательный результат контроля признают ошибочным, если х < хbh; для б) отрицательный результат контроля признают ошибочным, если х > xbl

когда при контроле не проводят измерений контролируемого параметра, т.е. результат и погрешность измерений контролируемого параметра отсутствуют, показатели достоверности контроля, характеризующие устройства допускового контроля, определяют приведенными выше формулами при замене в них погрешности k измерений при контроле на эквивалентную погрешность устройства допускового контроля, определяемую формулой

(Е.15)

где — погрешность задания (индикации) границ поля контрольного допуска Gy (или, если контрольный допуск не вводят, то границ допуска G) на отклонение контролируемого параметра;

_c — погрешность сравнения контролируемого параметра (или его отклонения) с границами поля контрольного допуска (или допуска G).

Е.7 Для определения показателей достоверности уже полученного результата допускового контроля применяют формулы (Е.7) и (Е.8). При подстановке в них и вместо _k результаты расчета представляют собой наибольшие возможные вероятности ошибочности отдельного полученного результата допускового контроля.

Е.8 Формулы, определяющие связь других показателей достоверности контроля при одностороннем ограничении контролируемого параметра с погрешностью измерений, могут быть получены аналогично формулам (Е.3) — (Е.8) с учетом при необходимости условия по Е.6.

ПРИЛОЖЕНИЕ Ж

ИНЖЕНЕРНЫЕ СПОСОБЫ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРЕШНОСТИ ИСПЫТАНИЙ ОБРАЗЦА ПРОДУКЦИИ ПО ИЗВЕСТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ПАРАМЕТРА, ОПРЕДЕЛЯЕМОГО ПРИ ИСПЫТАНИЯХ, ХАРАКТЕРИСТИКАМ ФУНКЦИЙ ВЛИЯНИЯ УСЛОВИЙ ИСПЫТАНИЙ НА ОПРЕДЕЛЯЕМЫЙ ПАРАМЕТР, ХАРАКТЕРИСТИКАМ ПОГРЕШНОСТИ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ НОМИНАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ИСПЫТАНИЙ

Ж.1 К определяемым характеристикам погрешности испытаний (по 5.1.1 настоящей рекомендации) отнесены:

наибольшее по абсолютной величине возможное значение , равное половине интервала, в котором погрешность испытаний находится с вероятностью, равной единице;

наибольшее возможное среднее квадратическое отклонение погрешности испытаний.

Ж.2 В соответствии с определением погрешности испытаний по Д.1 для расчета характеристик погрешности испытания могут быть применены следующие формулы:

Ж.2.1 Если в качестве исходных данных известны:

предел допускаемой погрешности измерений параметра, определяемого при испытаниях;

пределы допускаемой погрешности воспроизведения условий испытаний;

линейные аппроксимации функций влияния условий испытаний на параметр, определяемый при испытаниях, в точках номинальных значений условий испытаний,

то наибольшее по абсолютной величине возможное значение погрешности испытаний равно

(Ж.1)

где m — число учитываемых условий испытаний;

— малое отклонение 1-го условия испытания от номинального значения

— малое изменение параметрах, определяемого при испытаниях, вызванное отклонением

Ж.2.2 Если в качестве исходных данных известны: предел допускаемого среднего квадратического отклонения погрешности измерений параметра, определяемого при испытаниях;

наибольшие возможные средние квадратические отклонения (или пределы допускаемых средних квадратических отклонений ) погрешности воспроизведения условий испытаний;

линейные аппроксимации функций вляния условий испытаний на параметр, определяемый при испытании, в точках номинальных значений условий испытаний,

то квадрат среднего квадратического отклонения погрешности испытаний равен

(Ж.2)

Примечание — Если погрешность испытаний, определение которой дано в Д.1, удовлетворяет условиям 1.4 настоящей рекомендации, то границы интервала, в котором погрешность испытаний находится с любой вероятностью, меньшей единицы, могут быть рассчитаны по известному в соответствии с приложением Б.

ПРИЛОЖЕНИЕ И

ИНЖЕНЕРНЫЕ СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДОСТОВЕРНОСТИ МЕТОДИК КОНТРОЛЯ ОБРАЗЦОВ ПРОДУКЦИИ ПО ИЗВЕСТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ КОНТРОЛЕ И ПАРАМЕТРАМ МЕТОДИК КОНТРОЛЯ

И.1 Инженерные способы, рассматриваемые в данном приложении, применимы при соблюдении условий по 1.4 настоящей рекомендации.

И.2 К основным показателям достоверности контроля (по 5.7.1 настоящей рекомендации) образцов продукции отнесены:

И.2.1 Наибольшая вероятность РbaM ошибочного признания (при реализации данной методики контроля) годным любого в действительности дефектного образца (по Е.1).

И.2.2 Наибольшее по абсолютному значению возможное отклонение контролируемого параметра любого образца продукции, который (при реализации данной методики контроля) может быть ошибочно признан годным (по Е.2).

И.2.3 Наибольшая средняя для совокупности годных образцов вероятность ошибочного признания (при реализации данной методики контроля) дефектными в действительности годных образцов (по Е.3).

И.3 К параметрам методик контроля образцов продукции отнесены:

И.3.1 Граница G поля допуска для отклонения контролируемого параметра х от номинального значения хN.

И.3.2 Граница поля контрольного допуска для отклонения

И.3.3 Граница такой области отклонений , для которой отрицательные результаты контроля (образец признают дефектным) принято считать ошибочными.

Примечание — Взаимосвязь параметров методик контроля с показателями достоверности контроля определена в Д.3 и Д.4.

И.4 В качестве известных характеристик погрешности измерений принимают:

а) среднее квадратическое отклонение (его наибольшее возможное значение или предел допускаемого значения ),

б)интервал, в котором с вероятностью, равной единице, находится погрешность измерений, или пределы допускаемых погрешностей измерений

И.5 Наибольшую вероятность РbaM ошибочного признания (при реализации данной методики контроля) годным любого в действительности дефектного образца определяют с помощью графика (рисунок И.1 или рисунок И.2 в зависимости от того, какая характеристика погрешности измерений задана или p).

И.6 Наибольшую возможную погрешность вероятности РbaM обусловленную тем, что вид реальной функции плотности распределения вероятностей погрешности измерений неизвестен, определяют по графику (рисунок И.1) или графику (рисунок И.2).

И.7 Наибольшее по абсолютному значению возможное отклонение контролируемого параметра любого образца, который (при реализации данной методики контроля) может быть ошибочно признан годным, определяют по формуле

(И.1)

или

(И.2)

в зависимости от того, какая характеристика погрешности измерений задана

Принимают К=3,5; тогда формула (И.1) дает при принятых условиях наибольшее возможное значение данного показателя.

Примечание — Если предполагают, что функция плотности распределения вероятностей погрешности измерений при контроле не только удовлетворяет условиям по 1.4 настоящей рекомендации, но отнесена к достаточно «тупым» функциям, лежащим в области между функцией плотности равномерного распределения и косинусоидальной функцией плотности распределения, то принимают К=2,5.

Рисунок И.1

Рисунок И.2

И.8 Наибольшую среднюю для совокупности годных образцов вероятность ошибочного признания (при реализации данной методики контроля) дефектными в действительности годных образцов определяют графо-аналитическим способом с помощью графика (рисунок И.3) или графика (рисунок И.4) в зависимости от того, какая характеристика погрешности измерений задана

Рисунок И.3

Рисунок И.4

Наибольшую возможную погрешность вероятности обусловленную тем, что вид реальной функции плотности распределения вероятностей погрешности измерений неизвестен, определяют графо-аналитическим способом по графику (рисунок И.3) или по графику (рисунок И.4).

И.10 Данные инженерные способы могут быть применены при допусковом контроле (результаты измерений и погрешности измерений отсутствуют). При этом, вместо характеристик погрешности измерений используют соответствующую характеристику величины (по Е.6), которую предварительно рассчитывают по техническим характеристикам средства контроля.

И.11 Показатели достоверности контроля образцов продукции, приведенные в приложении Е (кроме рассмотренных в данном приложении) могут быть определены по формулам приложения Е при известной функции (или принятой аппроксимации) плотности распределения вероятностей погрешности измерений при контроле (или величины ) и известных параметрах методики контроля. Также поступают, если погрешности определения показателей достоверности методик контроля образцов продукции по данному приложению для каких-либо случаев недопустимо велики.

И.12 Используя графики и формулы данного приложения, возможно подбирать необходимые параметры методик контроля и метрологические характеристики средств измерений и МВИ для контроля образцов продукции, а также необходимые параметры методик и технические характеристики средств допускового контроля образцов продукция по заданным наибольшим допускаемым показателям если соблюдены условия по 1.4 настоящей рекомендации.

Пример 1 — Заданы следующие параметры методики измерительного контроля и характеристики погрешности измерений: Требуется определить:

а) наибольшую вероятность РbaM ошибочного признания (при реализации данной методики контроля) годным любого в действительности дефектного образца;

б) наибольшее по абсолютному значению возможное отклонение контролируемого параметра любого образца, который (при реализации данной методики контроля) может быть ошибочно признан годным

в) наибольшую среднюю для совокупности годных образцов вероятность ошибочного признания (при реализации данной методики контроля) дефектными в действительности годных образцов

Решение

Вероятность РbaM и погрешность ее определения находят по графикам (рисунок И.1). Параметр равен 1,33. По графику РbaM находят, что приближенно Для того же значения аргумента по другому графику находят, что погрешность определения данной вероятности приближенно находится в интервале ± 0,02. Следовательно,

По формуле (И.1) находят

Вероятность и погрешность ее определения находят по графикам (рисунок И.3). Параметр равен минус 0,67. По графику находят, что приближенно эта величина равна 0,9.

Тогда = 0,14. Для того же значения аргумента по другому графику на том же рисунке находят, что приближенно величина равна 0,01. Тогда погрешность, обусловленная отличием реальной функции плотности распределения от принятой средней, лежит в пределах т.е. считают пренебрежимо мала.

Пример 2 — Заданы следующие параметры методики измерительного контроля и характеристики погрешности измерений: Требуется определить те же показатели достоверности контроля, что и в примере 1.

Решение

Вероятность РbaM и погрешность ее определения находят по рисунку И.2. Параметрравен 0,4. По графику РbaM приближенно находят РbaM = 0,13. Для того же значения аргумента по другому графику на том же рисунке находят, что погрешность (Р)22 определения данной вероятности находится в интервале от — 0,13 до + 0,17 (так как вероятность отрицательной быть не может). Следовательно, 0<= РbaM .= 0,3.

По формуле (И.2) находят

Вероятность — и погрешность ее определения находят на основании графиков (рисунок И.4). Параметр равен минус 0,2. По графику находят, что приближенно эта величина равна 0,26. Тогда =0,13. Для того же значения аргумента по другому графику на том же рисунке находят, что приближенно величина

Тогда погрешность определения находится в интервале ± 0,05, а сама вероятность лежит в интервале 0,08<=>= 0,18.

“Значащими цифрами числа называют все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой, отличной от нуля, цифры, и нулей, стоящих в конце числа, если они стоят взамен неизвестных или отброшенных цифр” (Определение Брадиса Б.М.).

Можно сформулировать иначе: “Значащими цифрами называют все цифры, кроме левых нулей”.

Заметим, что нуль, стоящий в конце десятичной дроби, — всегда значащая цифра (иначе бы этот нуль просто не писали).

Рассмотрим целое приближенное число с нулями справа. Эти нули могут быть значащими или незначащими. Незначащие нули в конце целого приближенного числа можно отмечать каким-либо знаком, например, чертой или другими обозначениями. Лучше вообще не записывать незначащих нулей. Для этого существует два способа:

1. Переход к кратным единицам.

2. Запись результата вычислений или измерений в нормализованной форме (при этом незначащие нули не пишутся).

Если абсолютная погрешность приближенного числа не превышает половины единицы последнего разряда, то все цифры приближенного числа называют верными. Если в приближенном числе все значащие цифры, кроме последней, являются верными, но абсолютная погрешность числа превышает половину единицы последнего разряда, то цифра этого разряда называется сомнительной.

Правило записи приближенного числа (принцип А.Н. Крылова): “Писать число необходимо так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра была бы сомнительной и при этом не более как на одну единицу”.

По принципу Брадиса-Крылова сомнительную цифру сохраняют и в том случае, когда погрешность числа превосходит единицу последнего разряда, но при этом малые значения погрешности более вероятны, чем большие.

Все цифры приближенного числа, следующие за верными и одной сомнительной цифрой, называют неверными.

По принципу Крылова-Брадиса неверные цифры не пишутся.

Число значащих цифр абсолютной погрешности определяется величиной относительной погрешности средней квадратичной ошибки, соизмеримой с абсолютной погрешностью, по следующей формуле [1, 2, 3]:

, (1)

где ε — относительная погрешность определения средней квадратичной ошибки, примерно равной величине абсолютной погрешности;

N — число измерений.

Например: при N = 25, , т.е. относительная погрешность определения квадратичной ошибки (абсолютной погрешности) вычисляется с точностью примерно равной 15 %. Таким образом, если в абсолютной погрешности первая значащая цифра равна или больше 7, то в окончательном результате следует записывать одну значащую цифру, а если меньше 7 — то две значащие цифры.

Так, если ΔА = 0,7512, то в окончательной форме приводим одну значащую цифру, т.е. ΔА = 0,8 (с учетом округления погрешности с избытком). Если для этого случая ( ), ΔА = 0,3671, то в окончательном виде приводим уже две значащие цифры, т.е. ΔА = 0,37 (также с учетом округления с избытком).

При N = 9 погрешность определения абсолютной ошибки, вычисляемая по формуле (1) . Следовательно, в окончательной форме необходимо привести одну значащую цифру, если первая значащая цифра абсолютной погрешности равна или больше 4 и две значащие цифры, если первая значащая цифра меньше 4.

Например, если ΔА = 0,523, то абсолютную погрешность записываем с точностью до одной цифры ΔА = 0,6. Если ΔА = 0,124, то в окончательной записи следует привести две значащие цифры, т.е. ΔА = 0,13.

Практически при числе измерений N ≤ 15 погрешность округляют до одной значащей цифры, если она больше или равна двум и сохраняют две значащие цифры в остальных случаях. Как видно, такие рекомендации не совсем точны и носят рекомендательный характер. В любом случае видно, что абсолютная погрешность записывается с точностью до одной или двух значащих цифр.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9516 — | 7342 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Погрешность результата измерений позволяет определить те цифры результата, которые являются достоверными. При расчете величины погрешности, особенно с помощью калькуляторов, значение погрешности получается с большим числом знаков. Это создает впечатление о высокой точности измерений, что не соответствует действительности, так как исходными данными для расчета чаще всего являются нормируемые значения погрешности используемого СИ, которые указываются всего с одной или двумя значащими цифрами. Вследствие этого и в окончательном значении рассчитанной погрешности не следует удерживать более двух значащих цифр. В метрологии существуют следующие правила:

1. Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них 3 или меньше, и одной — если первая цифра есть 4 и более.

Значащими цифрами числа считаются все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней справа цифры, при этом нули, записанные в виде множителя 10 n , не учитываются.

2. Результат измерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. (Например, результат 85.6342, погрешность 0.01. Результат округляют до 85.63. Тот же результат при погрешности в пределах 0.012 следует округлить до 85.634).

3. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним — двумя лишними знаками.

4. Округление следует выполнять сразу до желаемого числа значащих цифр, поэтапное округление приводит к ошибкам.

При округлении числовых значений погрешности и результата измерений необходимо руководствоваться следующими общими правилами округления.

Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются. (Например, число 165245 при сохранении четырех значащих цифр округляется до 165200, а число 165.245 — до 165.2).

Если десятичная дробь оканчивается нулями, они отбрасываются только до разряда, который соответствует разряду погрешности. (Например, результат измерений 235.200, погрешность 0.05. Результат округляют до 235.20. Тот же результат при погрешности в пределах 0.015 следует округлить до 235.200).

Если первая (считая слева направо) из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр меньше 5, остающиеся цифры не изменяются.

Если первая из этих цифр равна 5, а за ней не следует никаких цифр, или идут нули, то, если последняя цифра в округляемом числе четная или нуль, она остается без изменения, если нечетная — увеличивается на единицу. (Например, число 1234.50 округляют до 1234, а число 8765.50 — до 8766).

Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр больше 5 или равна 5, но за ней следует значащая цифра, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу. (Например, число 6783.6 при сохранении четырех значащих цифр, округляют до 6784, а число 12.34520 — до 12.35).

Особенно внимательно следует относиться к записи результата измерения без указания погрешности, так как записи результата 2.4 10 3 В и 2400В не являются тождественными. Первая запись означает, что верны цифры тысяч и сотен вольт и истинное значение может находиться в интервале от 2.351кВ до 2.449кВ. Запись 2400 означает, что верны и единицы вольт, следовательно истинное значение напряжения может находиться в интервале от 2399.51В до 2400.49В.

Поэтому запись результата без указания погрешности крайне нежелательна.

Окончательно правила записи результата измерений можно сформулировать следующим образом.

1) При промежуточных вычислениях значения погрешности сохраняют три -четыре значащие цифры.

2) Окончательное значение погрешности и значение результата округляются в соответствии с изложенными выше правилами.

3) При однократных технических измерениях когда учитывается только основная погрешность СИ (СИ используются в нормальных условиях эксплуатации), результат записывается в виде:

или

.

(Например, результат измерения напряжения В, погрешность В. Результат может быть записан в виде:)

4) При однократных технических измерениях в рабочих условиях, когда по нормативным данным на СИ учитывают основную и дополнительные погрешности и результирующую погрешность определяют по формуле (1.35), результат записывают в виде:

5) При статистических измерениях, когда определяется только величина случайной погрешности нормально распределенных данных в виде доверительного интервала, результат записывается в соответствии с (1.31):

Если границы доверительного интервала несимметрична, то они указываются по отдельности.

6) При статистических измерениях, когда оцениваются границы неисключенных систематических погрешностей результата (НСП) и доверительный интервал случайной погрешности нормально распределенных данных, но результат используется как промежуточный для нахождения других величин (например, при статистических косвенных измерениях) или предполагается сопоставление его с другими результатами аналогичного измерительного эксперимента, результат записывается в соответствии с (1.39):

если , то это указывается дополнительно, как в п. 5.

Если границы НСП или границы доверительного интервала несимметричны, то они указываются по отдельности:

7) Если при измерении получены оценки погрешности при условиях, оговоренных в п. 6, но результат является окончательным и не предполагается в дальнейшем анализ его и сопоставление с другими результатами, то он записывается в соответствии с (1.41):

где определяется по формуле (1.40),

если же , это указывается дополнительно, как в п. 5.

При статистических измерениях, когда оцениваются границы НСП и доверительный интервал случайной погрешности, но при обработке результатов идентифицирован закон распределения, отличный от нормального, оценки значения результата измерения и доверительный интервал случайной погрешности находятся по соответствующим формулам [5], результат представляется в виде аналогичном представлению результата в п. 6, но дополнительно приводится информация о виде закона распределения опытных данных.

9) Если как в п. 8 обрабатываются результаты статических измерений и заранее известно, что закон распределения опытных данных отличается от нормального, но действий по идентификации вида реального закона по какой-либо причине не предпринимается, то результат может быть представлен в виде, аналогичном представлению результата в п. 6, но доверительный интервал случайной погрешности определяется в соответствии с рекомендациями ГОСТ 11.001-73 как при доверительной вероятности .

Запись результата может выглядеть, например, так:

(при ); ; ; .

Доверительная вероятность, при которой определяется суммарный НСП — , в этом случае может отличаться от .

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ

Незначащими цифрами числа называются нули в начале десятичных дробей, меньших 1, и нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после округления. Остальные цифры называются значащими.

Сомнительной цифрой результата измерения называется цифра, стоящая в разряде, соответствующем старшему разряду со значащей цифрой в значении погрешности. Цифры, стоящие слева от сомнительной называются верными, а справа – неверными.

Пример. Числа 586 ± 6; 0,00234 ± 0,00002; 1,00 ± 0,03; 2000 ± 30 содержат по три значащие цифры. При округлении числа 299793 ± 1 до значения 3 × 105 допущена погрешность 207, поэтому в полученном числе сотни являются сомнительной цифрой и, следовательно, последние два нуля – незначащие.

Погрешность обычно выражается одной значащей цифрой и лишь при особо ответственных измерениях – двумя.

4.1.Округление погрешности действительного значения

Погрешность округляется до одной значащей цифры. Эта цифра является сомнительной т. к. значение погрешности не имеет верных цифр.

Действительное значение округляется до цифры, разряд которой равен разряду значений цифры погрешности. Последняя цифра действительного значения – сомнительная, остальные цифры – верные.

При особо точных измерениях погрешность округляется до двух значащих цифр, если первая из них меньше 4-х и до одной цифры, если первая цифра больше 3-х. Иногда в качестве второй цифры оставляют или 5.

4.2. Запись чисел, считанных со шкалы прибора

В числовом значении измеряемой величины, считанном со шкалы прибора, записываются только верные цифры и сомнительная цифра, разряд которой определяется по значению инструментальной погрешности прибора.

4.3. Округление чисел

Лишние цифры у целых чисел заменяются нулями, а у десятичных дробей отбрасываются. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра старшего разряда меньше 5, то оставшиеся цифры не изменяются. Если указанная цифра больше 5, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на 1. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра равна 5, то округление производится следующим образом: последняя цифра в округленном числе остается без изменения, если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная.

4.4. Округление при вычислениях

При записи результатов промежуточных вычислений сохраняется одна запасная цифра – цифра, стоящая справа от сомнительной. При сложении, вычитании приближенных чисел разряд сомнительной цифры результата совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр слагаемых. Результат умножения и деления содержит столько значащих цифр, сколько их в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр. При возведении в степень (извлечении корня) приближенного числа результат должен иметь столько цифр, сколько их в основании (подкоренном выражении). При логарифмировании в мантиссе сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном числе. Если один из операндов – точное число, то количество его цифр не влияет на округление результата операции. Если при вычислениях используются табличные данные, то все их цифры верные.

Приведем примеры округления результатов измерения.

В первой части рассматривались правила округления, принятые в законодательной метрологии.
Теперь хотелось бы описать более специфические случаи, основанные на математике и личных убеждениях
ГОСТ Р 8.736-2011 Е.2 Погрешность оценки измеряемой величины следует выражать не более чем двумя значащими цифрами.
Две значащие цифры в погрешности оценки измеряемой величины сохраняют:
— при точных измерениях;
— если первая значащая цифра не более трех.

1. Обоснования для записи в погрешности более чем две цифры.
При денежной оценке ущерба (например, при оценке штрафа за вред нанесённый окружающей среде), при оценке ущерба здоровью людей, для ответственных измерений (запуск спутника на марс) дабы не потерять значащую цифру в результате измерения, погрешность необходимо выражать тремя значащими цифрами.
При межлабораторных сличительных испытаниях, Ваши результаты получаются промежуточные, так как провайдер выводит статистику и границы несоответствий. Чтобы не потерять значащую цифру в результате измерения, погрешность необходимо выражать тремя значащими цифрами. (здесь я переосмыслил своё виденье, провайдеру мы должны выдавать результат такой же как и при ежедневной работе, так как погрешность вносимая округлением входит в выдаваемые лабораторией результаты)
При проведении ВЛК, Ваши результаты будут промежуточные, так как впоследствии Вы считаете статистику и границы несоответствия, дабы не потерять значащую цифру в результате измерения, погрешность необходимо выражать тремя значащими цифрами.
В рабочем журнале по возможности необходимо указывать все значащие цифры результата измерений.

2. Исключение влияния округления на оценку соответствия.
Для исключения влияния округления необходимо погрешность (неопределённость) округлять в большую сторону.
32,1округляют до 33
0,121 округляют до 0,13
0,129 округляют до 0,13
Пример: измерение освещённости (норма не менее 300 Лк)
Вариант 1 измерено 310,1±8,3 Лк
Округляем 310±9, вывод- однозначно соответствует.
Вариант 2 измерено 308,5±8,4 Лк
При стандартном округлении- округляем 309±8, вывод- однозначно соответствует.
При округлении неопределённости в большую сторону 309±9 Лк вывод- необходимо применить более точный метод.
В первом варианте Вы получаете больше уверенности при интерпретации измерений (учитываете влияние округления на результат). Во втором варианте перестраховываете себя и других от неправильной оценки, выполнив повторное измерение.

3. Значения числа без указания погрешности (неопределенности).
Чтобы оценить насколько точно указано то или иное значение, я как правило, пользуюсь простым правилом — представляю из какого значения в результате округления могло получится указанное значение.
Пример:
Запись, масса гири- 30 гр, вероятно находится в диапазоне от 29,5 до 30,49 гр.
Запись, масса гири- 30,0 гр, вероятно находится в диапазоне от 29,95 до 30,49 гр.
Показания прибора- 10.7 м/сек вероятно находятся в диапазоне от 10,65 до 10,749 м/сек.

Таблицы
Очень часто в протоколах мы используем таблицы, есть совершенно законное основание добавить немного эстетики и дописать пару знаков
ГОСТ 2.105-95 Единая система конструкторской документации ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ТЕКСТОВЫМ ДОКУМЕНТАМ п. 4.4.22 Цифры в графах таблиц должны проставляться так, чтобы разряды чисел во всей графе были расположены один под другим, если они относятся к одному показателю. В одной графе должно быть соблюдено, как правило, одинаковое количество десятичных знаков для всех значений величин.
то есть ряд толщины шурупов будет выглядеть так
0,010
0,100
1,000

p.s.
Вообще вариантов округления и записи существует очень много. Например, бухгалтерское округление, округление до указанной точности, использование всевозможных рядов. В данной статье я лишь хотел показать, что понимание законов математики и статистики позволит Вам более осмысленно отражать результаты измерений.