Ошибка определения площади графическим способом равна

При
решении многих вопросов, связанных с
использованием земельной территории,
необходимо знать площади тех или иных
участков. Площади участков могут быть
определены или по результатам обмера
участка в натуре или по планам и картам.
Существует три
основных способа определения площадей:
г р а ф и ч е с к и й, когда площадь
вычисляется по данным, взятым графически
с плана или карты; а н а л и т и ч е с к и
й, когда площадь вычисляют непосредственно
по результатам полевых измерений или
по их функциям – координатам вершин
участка; м е х а н и ч е с к и й, когда
площадь определяется по плану при помощи
специальных приборов, называемых
планиметрами.

Часто
эти способы применяются комбинированно.
Например, общая площадь участка
определяется аналитическим способом,
а площадь внутренних контуров –
графическим или механическим. Рассмотрим
каждый из вышеуказанных способов более
подробно.

Графический
способ определения площадей.
Сущность этого способа состоит в том,
что данный участок на плане разбивают
прямыми линиями на ряд простейших
геометрических фигур (обычно треугольники,
реже – прямоугольники, квадраты или
трапеции) и с помощью циркуля-измерителя
и масштабной линейки определяют в каждой
фигуре размеры тех элементов, которые
необходимы для вычисления площади
фигуры. Вычислив по известным формулам
геометрии площади фигур и взяв их сумму,
находят общую площадь участка. Ошибка
определения площади графическим способом
равна примерно 1:100 – 1:200 от величины
вычисляемой площади. Для повышения
точности определения площадей этим
способом следует пользоваться планами
наиболее крупного масштаба, а также
использовать, где это возможно, данные
измерений в натуре.

Площади
криволинейных контуров удобно определять
при помощи палеток. Палетка (рисунок
3.13) представляет собой сетку квадратов,
нанесенную на восковке или прозрачной
целлулоидной пластинке. Стороны квадратов
могут быть от 2 до 10 мм. Пользование
палеткой видно из рисунка 3.13. Для
определения площади палетку накладывают
на контур и считают число квадратов,
поместившихся внутри контура. Доли
неполных квадратов при этом оценивают
на глаз. Зная в масштабе плана площадь
одного квадрата, умножением на число
квадратов находят общую площадь контура.
Точность определения площадей палеткой
несколько ниже, описанного выше
графического способа. Главная ошибка
при этом происходит от оценки частей
неполных квадратов на глаз. Более высокую
точность дают палетки с меньшей стороной
квадрата.

Аналитический
способ определения площадей.
Исходными данными для вычисления
площадей данным способом служат
координаты вершин многоугольника.

Пусть
требуется вычислить площадь полигона
1-2-3-4 (рисунок 3.14), координаты вершин
которого известны: 1 (X₁,
Y₁);
2 (Х₂,
Y₂);
3 (Х₃,
Y₃);
4 (Х₄,
Y₄).
Из рисунка 3.14 видно, что площадь Р
данного четырехугольника представляет
собой алгебраическую сумму и разность
площадей трапеции:

Р = 0,5
[(Х₁
+ Х₂)
(Y₂
– Y₁)
+ (X₂
+ X₃)
(Y₃
– Y₂)
–

– (X₃
+ X₄)
(Y₃
– Y₄)
– (X₄
+
X₁)
(Y₄
–
Y₁)].
(3.11)

Раскрыв
скобки, выполнив сокращение и приведение
подобных членов, получим:

2Р
= Х₁(Y₂
– Y₄)
+ X₂(Y₃
– Y₁)
+ X₃(Y₄
– Y₂)
+ X₄(Y₁
– Y₃)

или
в общем виде для n-угольника
можно записать

_n

2Р
= ΣХ_i
(Y_i+1
– Y_i-1).

(3.12)

^{i
= 1}

Подобным
образом из уравнения (3.11) после
преобразований можно получить:

2Р
= Y₁(X₄
– X₂)
+ Y₃(X₁
– X₃)
+ Y₃(X₂
– X₄)
+ Y₄(X₃
– X₁)

или

_n

2Р
= ΣY_i
(Х_i-1
– X_i+1).
(3.13)

^{i
= 1}

Согласно
формулам (3.12) и (3.13) двойная площадь
многоугольника равна сумме произведений
всех абсцисс на разность ординат
последующей и предыдущей вершин, или
сумме произведений всех ординат на
разность абсцисс предыдущей и последующих
вершин.

Следует
иметь ввиду, что сумма всех разностей
абсцисс (или ординат) от первой до
последней точки должна равняться нулю.
Это свойство используется для контроля
вычисления разностей в формулах (3.12) и
(3.13). Погрешность вычисления площадей
аналитическим способом не превышает
1:1000 вычисляемой площади.

Механический
способ определения площадей.
Определение площадей механическим
способом производится при помощи
планиметров. Наибольшее распространение
получил полярный планиметр (рисунок
3.15), состоящий из полюсного и обводного
рычагов.

Полюсный
рычаг на одном конце имеет груз с короткой
иглой (полюсом), а на другом – штифт,
который соединяется с обводным рычагом.
На конце обводного рычага имеется
обводной шпиль (или лупа), которым обводят
измеряемую площадь. На обводном рычаге
расположен счетный механизм (рисунок
3.15), состоящий из счетного колеса,
разделенного на 100 частей. Ось вращения
колеса сопряжена при помощи червячной
передачи с циферблатом, разделенным по
окружности на 10 частей и снабженным
указателем для снятия отсчета.

Червячная
передача устроена так, что одному обороту
колеса соответствует поворот циферблата
на одно деление. Рядом с колесом находится
верньер, по которому отсчитывают десятые
доли делений колеса или тысячные доли
его оборота.

Полный
отсчет, выраженный в тысячных долях
оборота колеса, состоит из четырех цифр,
первая из которых берется по указателю
циферблата, вторая и третья – по нулевому
штриху верньера с ободка колесика.
Четвертая отсчитывается по верньеру.
Например, отсчет на рисунке 3.15 составит
3215.

При
определении площади фигуры устанавливают
планиметр полюсом внутри или вне контура
фигуры, а обводной шпиль ставят над
какой-либо точкой контура и делают
отсчет по счетному механизму U₁.
После этого тщательно обводят шпилем
по ходу часовой стрелки контур фигуры
и делают второй отсчет U₂.
Площадь Р
при полюсе вне фигуры вычисляют по
формуле

Р
= С(U₂
– U₁),
(3.14)

а
при полюсе внутри фигуры –

Р
= С(U₂
– U₁
+ g),

(3.15)

где
С
– цена деления планиметра;

g
– постоянное число планиметра.

Перед
работой планиметр необходимо поверить
и определить его цену деления и постоянное
число. При проверке планиметра должны
быть проверено выполнение следующих
условий:

—
счетное колесо планиметра должно
свободно вращаться на оси без трений и
колебаний. Выполнение этого условия
достигается регулировкой подшипников
оси колеса при помощи исправительных
винтов.

—
плоскость ободка счетного колеса должна
быть перпендикулярна к оси обводного
рычага. Для проверки этого условия
обводят одну и ту же фигуру при двух
положениях планиметра, когда счетный
механизм находится слева и справа от
фигуры. Если расхождение между разностями
отсчетов в обоих случаях не превышает
2-3 делений планиметра, то условие
выполнено. В противном случае площадь
следует определять при двух положениях
планиметра и брать среднее из результатов.

Цену
деления планиметра определяют
многократными обводами двух-трех
квадратов координатной сетки плана или
карты при двух положениях планиметра,
помещая полюс вне фигуры. Тогда цена
деления будет равна известной площади
обводимой фигуры Р,
деленной на среднюю разность отсчетов:

С
= Р/
(U₂
– U₁)_ср.
(3.16)

После
определения цены деления планиметра
находят его постоянное число. Для этого
обводят планиметром большой квадрат
координатной сетки с известной площадью
при полюсе внутри фигуры. Постоянное
число планиметра

g
= P/C
– (U₂
– U₁).
(3.17)

При
передвижении счетного механизма вдоль
обводного рычага изменяется его длина
и соответственно изменяется цена деления
и постоянное число планиметра. Длина
обводного рычага точно фиксируется по
шкале с делениями, нанесенными на рычаге.

При
определении площадей планиметром
необходимо соблюдать следующие правила:

—
план или карта, по которому определяют
площади, должен быть хорошо разглажен
и натянут на ровном гладком столе;

—
положение полюса планиметра выбирают
так, чтобы при обводе данной фигуры не
образовывались весьма острые или тупые
углы между рычагами
планиметра и чтобы счетное колесо при
этом не сходило с листа бумаги;

—
обводной шпиль следует вести по контуру
плавно, выбирая все изгибы контура.
Начальную точку выбирают в таком месте,
в котором при обводе счетное колесо
почти не вращается;

— для контроля и уточнения результатов
каждый контур обводят два раза в прямом
и обратном направлениях и берут среднее
из результатов.

Точность
определения площадей планиметром
зависит от формы и размера обводимой
фигуры, состояния плана и других причин.
Для фигур средней величины (10–30 см²)
ошибка определения площади планиметром
не превышает 1:200 величины площади.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Тема 2.3. Определение площадей

1.
Методы определения  площадей

1.1.
Аналитический метод определения площадей.

1.2.
Графический метод определения площадей.

1.3.
Способ палетки.

1.4.
Механический метод определения площадей.

ПЛОЩАДЬ
ЛЮБОЙ ФИГУРЫ ЛЮБЫМ СПОСОБОМ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ НЕ МЕНЕЕ ДВУХ РАЗ

Определение
площадей в землеустроительном производстве имеет большое практическое значение.
Размеры площадей надо знать с большой точностью при составлении 
землеустроительных проектов, при выделении участков в пользование, а так же для
учета и использования земель в различных отраслях с/х и промышленного
производства. В зависимости от способа получения данных, с помощью которых
вычисляются площади, существует несколько методов определения площадей.

1.1.
Аналитический метод определения площадей.

Аналитический
метод состоит в определении площади участка по результатам непосредственных
измерений линий и углов в натуре или по координатам вершин (граничных точек). Точность
величины площади участка при этом зависит только от ошибок измерения длин и
углов на местности и характеризуется относительной ошибкой 1/500 – 1/1000.
Однако в условиях большой контурности и вкрапливаний одних контуров в другие,
площади которых определяются менее точными способами, аналитический метод становится
нецелесообразен.

А)
Определение площади участка по результатам измерения в натуре.

Площади
небольших участков, имеющих форму элементарных геометрических фигур, вычисляют
математически по формулам геометрии.

            
а                  S = a²

     
в

                     а       
S = a*в

 

                               
2 S = a*h; или S
= a*h/2

        
a

           
 a

                                          

                                      
S = ((a+в)/2)*h 
или  S = m*h

         
в

Б)
Вычисление площади полигона по координатам его вершин.

Площадь
любой фигуры ограниченной прямыми линиями можно вычислить по двум формулам.

Удвоенная
площадь полигона равна сумме произведений абсциссы каждой точки на разность
ординат последующей и предыдущей точек.

Она
же (удвоенная площадь) равна сумме произведений каждой ординаты на разность абсцисс
предыдущей и последующей точек.

2S
= x₁(y₂-y₃)+x₂(y₃-y₁)+x₃(y₁-y₂)

2S
= y₁(x₃-x₂)+y₂(x₁-x₃)+y₃(x₂-x₁)

                                               
2 (x₂,
y₂)

               
1(x₁,
y₁)                                            
3 (x₃,
y₃)

1.2.
Графический метод определения площадей.

Графический
метод заключается в том, что данные для вычисления площадей берутся с плана,
графически, и площади отдельных геометрических фигур вычисляются с помощью
геометрических формул.

Если
участок представляет собой многоугольник, то его делят на треугольники,
прямоугольники или трапеции. С помощью измерителя и масштабной линейки
определяют те величины, которые нужны для получения площадей отдельных фигур.
Сумма площадей элементарных геометрических фигур даст общую площадь участка.

Точность
определения площади графическим способом зависит от графической ошибки
измерения отрезка на плане. Отрезок на плане циркулем — измерителем
определяется с ошибкой +0,1мм, которая не зависит от длины линии. Из этого
следует, что относительная ошибка короткой линии больше, а длинной – меньше.

Правила
для определения площади графическим способом:

1.      Площади
определяются дважды (либо участок разбивается на другие элементарные фигуры,
либо в треугольниках изменяются основания и высота).

2.      План
берется в наиболее крупном масштабе.

3.      Фигуры
должны быть как можно крупнее и не очень вытянуты, то есть основание и высота
должны быть примерно равны.

4.      Если
в геометрических фигурах есть линии, величины которых известны из
непосредственных измерений, то их надо использовать для вычисления площадей.

5.      Предельное
расхождение двукратных определений не должно превышать1:200 величины площади
участка.

При
работе по этому способу применяют специальные палетки для проведения высот.

Графически
вычисляют площади контуров  имеющих вытянутую форму (дорога, канал, ручей и
т.д.), ширина которых не всегда выражается в масштабе плана, но она должна быть
известна или подписана на плане.

1.3.
Определение площади палеткой

Квадратная
палетка. Квадратная палетка представляет собой
прозрачный лист целлулоида, стекла или восковки, на котором нанесена сеть
квадратов со сторонами от 1 до 10 мм (рис. 180). Зная сторону квадрата, легко
подсчитать площадь его применительно к любому масштабу плана. Для определения
площади палетку накладывают на контур ABCD, имеющийся на плане. Вначале
подсчитывают число полных квадратов. На рис. 180 их оказалось 22, а затем
неполные квадраты объединяют и глазомерно заменяют некоторым числом полных.
Пусть таких квадратов девять. Общее число полных квадратов на площади ABCD
будет 31. Произведение площади одного квадрата на число их даст площадь
определяемого участка. Точность определения площади квадратной палеткой не
превышает 1:100.

Палетки
с параллельными линиями. Палетка с параллельными
линиями отличается от квадратной тем, что вместо квадратов на ней наносятся
параллельные линии. Она также делается из прозрачного целлулоида, на котором
нанесены параллельные линии с интервалом в 2 мм. Система таких линий с нужными
интервалами может быть нанесена на восковку. Это будет тоже палетка (рис. 181).
Для определения площади участка палетку накладывают на контур плана так, чтобы наиболее
удаленные друг от друга точки, например MN, приходились на середину расстояния
между какими-либо параллельными линиями. В результате этого площадь
определяемого контура будет разбита на трапеции, у которых сплошные линии а₁
в₁; а₂ в₂; а₃ в₃  и
т. д. будут средними линиями трапеций, а пунктирные (на палетке отсутствуют) —
основаниями трапеций.

Так
как высоты трапеций одинаковы и заранее известны, то для получения площади
контура надо измерить циркулем средние линии трапеций а₁ в₁;
а₂ в₂; а₃ в₃ т. д. Произведение
суммы средних линий на расстояние между нитями даст общую площадь контура.
Конечно, при этом надо учитывать масштаб плана.

Чтобы
не производить вычислений, ниже палетки наносят шкалу в виде простого линейного
масштаба. Ее строят с учетом следующих соображений. При масштабе плана 1:10 000
расстоянию между нитями на палетке в 2 мм соответствует 20 м на местности,
следовательно, каждому сантиметру длины полосы на плане будет в натуре
соответствовать площадь в 0,2 га. Если на прямой отложить несколько отрезков по
1 см, сделать соответствующие подписи и один отрезок разделить на мелкие
части        (см. рис. 181), то достаточно к такой шкале приложить раствор
циркуля, соответствующий сумме средних линий трапеций. Прочитанный отсчет по
шкале даст площадь в гектарах.

Аналогично
этому может быть построена шкала и для другого масштаба. Так, для масштаба 1 :
25 000 целесообразно за основание шкалы взять отрезок в 0,8 см, что будет
соответствовать 1 га.

Для
квадратной палетки пример:

Палетка
2х2мм,

Масштаб
плана 1:1000 – в 1мм – 1м, значит:

1квадрат
= 2м * 2м = 4м²,

Если
занято контуром 60 квадратов, то 60 *4 м² = 240 м²

1.4.
Механический метод.

Механический
способ заключается в измерении площадей плоских произвольных фигур на плане
(карте) с помощью специаль­ных приборов — планиметров,
относящихся к семейству механико-­математических интеграторов. Они бывают самых
разнообразных систем: от очень простых до очень сложных. Примером простейшего
планиметра может служить планиметр А. Амслера (1854г.). В это же время нашим
соотечественником Зарубиным П.А. был изобретен такой же по идее планиметр, но
более сложной конструкции. Подобные планиметры в настоящее время не применяют.

По
конструктивным
особенностям современные планиметры различают: полярные и роликовые (линейные).
 К полярным отно­сят планиметры, у которых одна точка (полюс) во
время обвода фи­гуры неподвижна, а к роликовым (линейным) — у
которых все точки прибора во время обвода фигуры подвижны.

По
способу фиксации результатов измерений на счетных уст­ройствах различают механические
и электронные устройства и в связи с этим появились термины:
механические планиметры и электронные (цифровые) планиметры.

1.4.1.
Полярный планиметр.

Планиметрами
называются приборы, при помощи которых можно получать площади криволинейных и
прямолинейных фигур по плану или топографической карте механически. Наиболее
часто

пользуются
полярным, или круговым, планиметром, представляющим собой соединение двух
рычагов R и
R₁
(рис. 71). Рычаг R₁
называется полюсным. Он имеет на одном
конце достаточно тяжелую гирьку  Г, имеющую форму цилиндра. В нижнем основании
цилиндра имеет­ся острая иголочка (полюс), при помо­щи которой планиметр
закрепляется на бумаге плана (иголочка вонзается в бумагу, и вокруг нее
вращается вся система планиметра). На другом конце рычага есть отросток с
шариком, кото­рый вкладывается в соответствующее углубление в раме М со
счетным меха­низмом (рис. 72) и служит вертикальной осью вращения рычагов.

В
указанной раме с одной стороны в двух выступах имеются отверстия,
в которые  вставляется   одним  концом о б водный рычаг R,
имеющий на другом конце обводный шпиль S.
Рычаг можно в раме передвигать и тем изменять  его
длину. В выступах рамы с другой стороны расположен счет­ный механизм, состоящий
из счетного ролика (колеса) к, вращающегося в на горизонтальной оси,
параллельной обводному рычагу. Эта ось посредством бесконечного (червячного)
винта сопряжена с шестеренкой циферблата  z, который разделен по окружности на
10 равных частей.

Цилиндрическая
поверхность счетного ролика разделена на 100 равных частей. На несколько
выступающем над цилиндрической поверхностью ободке счетного ролика нанесены
мелкие рубчики — рифельные  штрихи, параллельные оси вращения ролика, а
следовательно, и обводному рычагу. Благодаря этому движение по бумаге обводного
рычага, опирающе­гося на обводный шпиль и ролик, передается вследствие силы
трения (как говорят — по принципу фрикционного сцепления) ролику. При движении
обводного рычага перпендикулярно к своей оси ролик будет только вращать­ся
(предполагается, что плоскость ободка ролика перпендикулярна к оси его
вращения), а при движении по направлению вдоль оси рычага ролик будет только
скользить; при движении по любому иному направлению ролик час­тично будет
скользить, частично вращаться. По длине дуги, на которую ролик повернется при
обводе шпилем по всему контуру, и определяют пло­щадь контура. Длина дуги
выражается числом делений ролика. Таким образом, при работе планиметром дело
сводится к определению числа делений ролика, на которое оно повернется при
обводе контура шпилем. Для этого по ролику производятся отсчеты перед началом
движения и по его окончании. Разность этих отсчетов и выразит искомое число
делений. Отсчеты произво­дятся: тысячи делений по индексу циферблата, сотни и
десятки — на цилин­дрической поверхности ролика по нулевому штриху (индексу)
верньера и единицы — по верньеру.

Таким
образом планиметр имеет три основные части:

1.Полюсный
рычаг.

2.Обводной
рычаг.

3.Счетный
механизм, который состоит из:

a)     Счетчик
оборотов счетного ролика.

b)    Счетный
ролик с червяком.

c)     Верньер.

1.4.2.  Верньер (нониус).

Верньер,
называемый также иногда нониусом, представляет собой построение, позволяющее
более или менее точно отсчиты­вать доли делений, нанесенных на инструменте. На
ролике планиметра нанесены штрихи через интервалы, которые считаются за 10
делений плани­метра. Чтобы увереннее отсчитывать десятые доли этих интервалов,
т. е число единичных делений, и устраивается верньер.

Верньер
строится на небольшой части поверхности такого же цилиндра, как и  ролик, и плотно
прилегает к нему по линии .4-5 (рис. 73, деления изображены в увеличенном
виде), но так, чтобы при вращении ролика между ними не возникало трения. Для
построения верньера берется расстояние в 9 интервалов ролика и делится на 10
частей. Значит один интервал верньера составляет 0,9 интервала ролика, т. е.
меньше последнего на 0,1 его величины, что является одним делением планиметра.
Если нулевой штрих (индекс) верньера совместить с каким-либо штрихом ролика (т.
е. установить их так, чтобы они образовали одну прямую линяю), то первый штрих
верньера не дойдет до следующего штриха ролика на 1 деление, второй — на 2
деления и т. д. Если, наоборот, первый штрих верньера совпадает с каким-либо
штрихом ролика, то индекс верньера прошел за предыдущий штрих ролика на 1
деление: если совпадает второй штрих верньера с каким-либо штрихом ролика, то
индекс верньера прошел за предыдущий штрих ролика на 2 деле­ния, и  т. д.

Пусть
с каким-то (безразлично с каким) штрихом ролика совпал четвер­тый штрих
верьньера (рис. 74). Это значит, что индекс верньера прошел за предыдущий штрих
ролика на 4 деления. Цифры 4 и 5, написанные против штрихов ролика, означают
сотни его делений. Следовательно, отсчет по ролику на рисунке будет
400+10+4=414 делений. Если при этом еще было отсчи­тано по циферблату 3, то
общий отсчет составит 3414 делений.

                                        

Точностью
верньера называется величина (t),
которая выражает собой ту наименьшую долю делений
инструмента, которую можно отсчитать при помощи данного верньера. Для
определения точности данного вернье­ра практически нужно сосчитать число
делений на верньере и разделить на него цену деления инструмента.

При
отсчете по верньеру следует номер совпадающего штриха его умно­жать на
точность. В действительности, однако, штрихи верньера подписы­ваются
числами, выражающими произведения номеров штрихов на точность, так что
отсчеты читаются непосредственно.

Отсчет
по планиметру состоит из четырех цифр:

1.     1-я
цифра записывается со счетчика оборотов, (как меньшая по стрелке).

2.     2-я
цифра записывается со счетного ролика, (подписанная на нем ниже нуля верньера).

3.     3-я
цифра записывается со счетного ролика по количеству неподписанных делений ниже
нуля верньера.

4.     4-я
цифра представляет собой десятую часть неподписанного деления ниже нуля
верньера, берется по номеру совпадающего на верньере штриха.

1.4.3. 
Цена деления планиметра, ее определение и изменение.

 Обвод
контуров планиметром можно выполнять двумя способами, устанавливая полюс
планиметра вне контура или (для слишком больших контуров) внутри него.
На практике обычно применяют первый способ, предпочитая его даже и при
больших контурах, для чего последние расчленяют карандашными линиями на мелкие
части и площадь контура находят как сумму площадей таких частей.

Обозначим
отсчет по верньеру в начале обвода буквой а и в конце обвода буквой в.
Если обвод производится по ходу часовой стрелки, то последний отсчет будет
больше первого и, следовательно, число всех делений, на кото­рое повертывается
ролик, составит в—а  

Разность
отсчетов по верньеру выражает площадь контура в делениях планиметра;

Площадь,
соответствующая одному делению планиметра называется ценой деления планиметра

Цена
деления планиметра определяется в следующей последовательности:

1.     Вычисляют
теоретически площадь правильной геометрической фигуры (квадрата, прямоугольника
или круга). Можно воспользоваться сеткой координат.

М 1:2 000   

В
1см – 20м

Сторона
квадрата 10см с учетом масштаба 200м

Площадь
квадрата Sкв=а² =200²=40 000м²=4га

Площадь
фигуры =4га*3кв=12га

2.     Устанавливают
планиметр на план (на лист). Выбирают место полюсу так. Чтобы при обводке
фигуры угол между рычагами был в пределах 30-150^о, а при установке
иглы над начальной точкой – 90^о. При обводке фигуры счетному
механизму не должно быть помех.

3.     Ставят
иглу на начальную точку и записывают отсчет а равный показаниям на
счетчике.

4.     Обводят
фигуру по часовой стрелке не отклоняясь от ее границ и возвращаются в начальную
точку.

5.     Записывают
конечный отсчет, который увеличится (в-а)  (если
обводить контур по часовой стрелке) или уменьшиться (а-в) (если
обводить контур против часовой стрелки).

6.     Изменив
отсчет, обводят контур еще раз и вычисляют разность отсчетов (в₁-а₁).
Можно не менять отсчет, а принять за начальный отсчет второй обводки  конечный
отсчет первой обводки.

7.     Расхождение
между результатами первой и второй обводки зависит от величины обводимой
площади, но не должно превышать 5 делений планиметра.

8.     Вычисляют
цену деления планиметра:

                      
   Спл = S фигуры/
(в — а)среднее = цена деления планиметра

1.4.4.
 Поверки планиметра.

 Теория
полярного планиметра основана на том, что при движении обводного рычага в
направлении, перпендикуляр­ном к плоскости ободка ролика, последний только
скользит по бумаге, не вращаясь и, следовательно, не изменяя отсчета на
верньере, а при движении обводного рычага в направлении, совпадающем или
параллельном с плоско­стью ободка, он только вращается. Все это выполняется при
условии, если,

во-первых,
на движение ролика не влияют никакие другие причины, кроме трения его ободка о
бумагу плана,

во-вторых,
если плоскость ободка пер­пендикулярна к оси его вращения, а последняя
параллельна оси обводного рычага.

Таким
образом, к планиметру должны предъявляться следующие требо­вания.

1.Счетное
колесо должно вращаться свободно, без трения, не иметь коле­баний по оси и
близко прилегать к верньеру, но без соприкосновения с ним.

2.Плоскость
ободка ролика должна быть перпендикулярна к его оси, а последняя параллельна
оси обводного рычага.

При
вращении колеса происходит трение в концах его оси о подшипники. Поэтому, прежде
всего, следует добиться, чтобы ось не была сильно зажа­та в подшипниках. Это
достигается удалением подшипников от концов оси при помощи вывинчивания
регулирующих винтиков (причем не следует забы­вать, предварительно откреплять
зажимные винты последних). Однако чрез­мерное удаление подшипников может
привести к тому, что концы оси будут колебаться в них — появятся так называемые
боковые колебания оси ролика, чего не должно быть (ось ролика во время работы
должна занимать одно определенное положение, параллельное оси обводного
рычага). Соответствующей осторожной регулировкой следует добиться, чтобы ролик
вращался совершенно свободно, но без боковых колебаний. Эта регулировка
производится на глаз и на ощупь. Удерживая рычаг в воздухе, сообщают ролику
легким ударом пальца вращательное движение. При правильной установке это
движение должно быть быстрым и довольно продолжи­тельным.

Кроме
трения в подшипниках, возможно еще трение ролика о верньер, если плоскости не
будут соприкасаться. С другой стороны, для уверенных и более точных отсчетов по
верньеру необходимо, чтобы плоскости эти были расположены, возможно, ближе одна
от другой (чтобы совпадающие штрихи колеса и верньера казались одной
неразрывной линией). Таким образом, здесь выявляется необходимость выполнения
двух противоречащих друг другу условий. Это достигается также действием
регулирующих винтиков, при­чем одному из них сообщается положительное, а
другому отрицательное вращение.

Что
касается перпендикулярности плоскости ободка ролика к его оси вращения, то это
достаточно точно выполняется на заводах, где изготовляются планиметры. На
роликах планиметров, выпускаемых нашими заво­дами, уклонение конца радиуса
ободка от перпендикулярного к оси положе­ния не превышает 0,01 мм. Это при
длине радиуса 10 мм дает угол 3′,4, что па обводе контура отражается незаметно.

Поверка
параллельности оси вращения колеса с осью рычага может быть произведена методом
обвода одного и того же контура при двух различ­ных положениях рычагов
планиметра (или, как иногда выражаются, счет­ного механизма) относительно
линии, соединяющей полюс и конец обводного шпиля, один раз — вправо от нее
(если, например, смотреть от полюса шпиль), другой раз — влево.

Этот
метод будем называться  полным приемом; обвод же при одном только положении
рычагов будет называться п о л у п р и е м о м. При обведении контура полным
приемом, с одинаковой установ­кой полюса относительно контура в полуприем а х,
ошибка будет иметь в полуприемах разные знаки с одинаковой абсо­лютной
величиной, что и скажется на результатах обвода. Если расхождение между
площадями, выраженными в делениях планиметра, в полуприемах не превышает 2—3
делений, то условие считается выполненным. В противном случае условие не
выполнено, но среднее арифметическое из обоих полуприемов даст правильную
величину площади контура: при работе полным прие­мом ошибки компенсируются, что
и послужило причиной названия таких планиметров  компенсационными.

Если
полюс планиметра установить так, чтобы при обводе одной поло­вины контура углы
между рычагами все время были тупые, а в другой поло­вине — острые, то ошибка
от не параллельности оси колеса с осью рычага более или менее компенсируется и
при работе одним полуприемом.

В
планиметрах для урегулирования параллельности оси колеса с осью обводного рычага
имеется приспособление в виде исправи­тельного винта, упирающегося концом в
одну из плоскостей обводного рыча­га, к противоположной плоскости которого
прилегает пружина. Регулиро­вание обычно производится многократным повторением
поверки (методом последовательных приближений).

Заметим,
что при обводах для проверки параллельности оси колеса с осью обводного рычага
лучше использовать контрольную линеечку, которая прилагается к планиметру и
представляет собой металлическую линейку с иглой-полюсом вблизи одного конца и
с индексом на другом конце. На линейке на определенных расстояниях от иглы
расположены углубления для обводного шпиля. Воткнув иглу в бумагу и поместив в
одно из углубле­ний шпиль, обводят полную окружность (с радиусом, равным
расстоянию от иглы до углубления), для чего в начале обвода отмечают против
индекса точ­ку, на которой и заканчивают обвод. При таком обводе на колесе не
отража­ются сотрясения руки и площадь обведенного круга в делениях получается
точнее.

1.4.5.
 Правила работы планиметром.

Наиболее
благоприятные условия для обвода площади планиметром будут в случае, когда
бумага наклеена на ровную фанеру или на мензульную доску, которые располагаются
на гори­зонтальной поверхности стола.

Обводный
шпиль следует поместить для начала обвода в конце примерной линии симметрии А
В данного контура (рис. 75), а полюс — на перпен­дикуляре, восстановленном
из середины М этой линии и притом так, чтобы рычаги образовали между
собой прямой угол. Тогда при прохождении шпиля в верхней половине фигуры угол
между рычагами все время будет тупой, а при прохождении в нижней половине— все
время ост­рый, благодаря чему ошибки  будут более или менее компенсироваться.

Перед
окончательной установкой полюса следует сделать примерный быстрый обвод всего
контура, чтобы убедиться, что при обводе не образуется слишком острых и тупых
углов между рычагами планиметра и что ролик все время вращается свободно и не

сходит
с бумаги. Сам обвод должен производиться равномерно, не быстро, но и не слишком
медленно, причем глаз должен быть расположен по направлению движения шпиля
(впереди или сзади него), что необходимо для удержания острия шпиля на контуре.
В планиметрах МШ13 шпиль обводного рычага заменен стеклом, на нижней
сферической поверхности которого отмечена точка, которой и ведут по кон­туру,
глядя сверху. Совмещение такой точки с контуром выполняется легче и точнее.

Рукоятку
шпиля следует держать свободно, без напряжения, чтобы рычаг давил на бумагу
только своей тяжестью, потому что иначе под дей­ствием прилагаемой силы
возможно ослабление давления колеса на бумагу и даже его поднятие, т. е.
проскоки в его вращении, приводящие к грубым ошибкам в числе делений.

Для
контроля обвода и уточнения результата каждый контур должен обводиться не менее
двух раз. При этом второй обвод лучше производить в направлении,
противоположном первому, чтобы по возможности компен­сировать ошибки, зависящие
от напряжений планиметра, которые при таком методе будут иметь различные знаки.
Полезно также между обводами несколько перемещать полюс планиметра на новое
место, чтобы дать возмож­ность ролику катиться по другому пути и тем избавиться
от накопления оди­наковых ошибок, зависящих от шероховатости бумаги, а также,
чтобы избе­жать влияния изношенности гнезда полюса.

После
двух обводов вычисляют разности отсчетов, которые не должны превышать:

При
допустимой разности берут среднее арифметическое из обоих отсче­тов. В
противном случае обводы повторяют.

Если
нуль циферблата при обводе пройдет мимо индекса (указателя), то последующий
отсчет получится меньше предыдущего. В этом случае для образования разности
нужно к последующему отсчету прибавить 10 000.

Отсчеты,
разности и вычисленные площади следует аккуратно записы­вать в особую
ведомость, форма которой может иметь вид, приведенный в таблице 13.

Площадь
контура вычисляют по формуле:       

Sконтура= Спл (в-а)ср

1.4.6.
Постоянное число планиметра.

 Если
контур, площадь которого подлежит определению, большой, то полюс планиметра
можно устанавли­вать внутри контура. В этом случае к разности отсчетов f_l прибавляется
постоянное число q,
так что формула планиметра принимает вид

Для
определения постоянного числа одну и ту же фигуру со значитель­ной площадью
тщательно обводят планиметром как с полюсом вне фигуры, так и с полюсом внутри
нее.

Обозначим
разность отсчетов при полюсе вне фигуры через f, и при полю­се внутри нее через
f₁,. Тогда

Число
q определяется
многократными обводами при разных положениях планиметра.

1.4.7.
 Точность измерения площадей полярными планиметрами.

 Точ­ность
определения площадей полярными планиметрами зависит от многих причин: от
величины площади, конфигурации участка, длины обводного рычага (или величины
зависящей от него цены деления), от методов работы, качества бумаги плана и т.
д.

При
двойных обводах съемочных контуров величиной в среднем 50 см² и
средней вытянутостью  примерно 1:4, планиметром с абсолютной ценой деления
около 0,1 см², средняя относительная ошибка получается примерно ¹/₄₀₀.
Большие контуры обводятся точнее, меньшие — менее точно.

Особенно
низкая точность получается при обводе малых контуров, величиной менее 10 см².
Это происходит главным образом потому, что ошибка отсчета по верньеру, не
зависящая от величины контуров, на малых конту­рах отражается значительно
сильнее. Для повышения точности определения площадей малых контуров их следует
обводить методом повторений, т. е. обводить каждый контур несколько раз, причем
отсчет брать только в нача­ле первого и в конце последнего обводов, благодаря
чему обводка отсчета уменьшается в число раз, равное количеству обводов.
Полезно также при этом устанавливать и меньшую цену деленной, т. е. увеличивать
обводный рычаг примерно в два раза. При двух обводах с двумя повторениями в каж­дом
обводе и при укороченном в два раза рычаге (т. е. с ценой деления око­ло 0,05
см²) относительная ошибка малых контуров получается не грубее ¹/₁₀₀.

1.4.8.
Применение современной вычислительной техники для определения площадей.

Определение
площадей землепользований, земельных участков и сельскохозяйственных угодий
является одним из трудоемких видов работ в комплексе топографо-геодезических
изысканий для землеустройства и кадастра недвижимости.

Последние
десятилетия прошлого века ознаменовались тем, что в мировой и отечественной
практике наметились частичная и полная автоматизация определения площадей.

Частичная
автоматизация — применение различных видов электронных приборов: цифровых
планиметров, дигитайзеров, позволяющих автоматизировать процесс измерений и
вычислений. В этом случае обвод контуров осуществляется оператором, но  нет
необходимости производить отсчеты до и после обвода, т. к. значение площади
сразу после обвода выводится на жидко-кристаллическом дисплее счетного
механизма.

Электронные
планиметры имеются двух видов: полярные компенсационные (рис. 4.17) и линейные
(роликовые) (рис. 4.18).

Существуют
различные модификации электронных планиметров, например, полярные планиметры
моделей: КР-82Ы, РЬАМХ-5.6 (Япония) и др.

 Планиметры
позволяют выполнять измерения в делениях планиметра; устанавливать единицы
измерений; накапливать результаты измерений нескольких контуров. Площадь,
измеренная повторно (не более 9 раз), может быть осреднена для получения более
точного результата. При обводе вкрапленных контуров против хода часовой стрелки
их площадь автоматически вычитается из площади основного контура.

Следует
отметить, что линейные планиметры типа Х-РLAN
360 d
(рис. 4.19) позволяют быстро измерять площади участков, длины линий и контуров
по планам (картам). Длины прямых линий определяются путем фиксации двух точек —
начала и конца прямой, криволинейные контуры определяются путем их
отслеживания. Имеется встроенный калькулятор, позволяющий производить различные
операции над результатами измерений. При наличии программного обеспечения можно
дополнительно определять координаты точек на плане. Режимы измерений: точечный
— измерение только поворотных точек контура при прямолинейных границах между
ними; непрерывный — измерение криволинейных контуров путем их отслеживания.

При
обводе контура обводным индексом (курсором) прибора по ходу часовой стрелки
координаты могут регистрироваться только при нажатии клавиши на поворотных
точках или по всей границе через выбранный интервал времени, например через 1
с, либо через шаг расстояния, например через 1 мм.

В
алгоритме планиметра типа Х-РLAN
360d
может быть предусмотрено уравнивание площадей с учетом деформации бумаги,
обобщения контура в пределах шага регистрации координат, погрешностей
вторичного измерения координат на линии смежных участков (контуров).

Продолжительность
непрерывной работы разных моделей от 15 до 30 часов, а продолжительность
перезарядки аккумуляторной батареи — от 8 до 15 часов.

Точность
работы электронных планиметров в % при различных значениях площади на плане
приведена в табл. 4.1.

Таблица
4.1

Полная
автоматизация — автоматическое отслеживание контура, процесса измерения и
вычисления площадей, которые реализуется в различных ГИС-технологиях. В этом
случае предполагается, что оператор работает с электронным планом (картой). При
этом точность определения площади участков по плану будет зависеть оттого,
какой точностью обладала исходная геодезическая информация в базе данных. Если
она получена в результате полевых работ, то точность определения площади будет
соответствовать точности измерений на местности (аналитическому способу). Когда
база данных формировалась путем сканирования (дигитализации) планово-картографического
материала, то точность площади будет соответствовать графическому способу.

При проведении землеустроительных работ используются различные способы вычисления площадей участков земли. Применение этих способов зависит от ценности этих участков, их величины, формы границ, наличия и точности данных измерений на местности, наличия карт необходимой точности и планов участков.

Основные способы

Существует три основных способа определения площадей:

• аналитический;
• графический;
• механический.

При использовании аналитического способа определение площади производится по результатам полевых угловых и линейных измерений (или координат) характерных точек.

Для графического способа используются данные измерений на плане и карте.

Такой способ чаще всего используется при отсутствии информации полевых измерений.

При механическом способе площадь определяется по плану с помощью специального устройства — планиметра.

Иногда используется комбинированный способ определения площади. Например, общая площадь участка определяется по координатам характерных точек аналитическим способом, а площади внутренних участков определяются по плану с помощью графического или механического методов.

Эти три метода имеют различные показатели точности.

Точности других методов, использующих топографическую информацию с планов, зависят еще и от погрешностей приборов, качества плана, масштаба, деформации бумаги.

Аналитический способ

Аналитический способ позволяет по координатам характерных точек границ участка определить его площадь. При этом используются формулы аналитической геометрии.

В соответствии с ними площадь многоугольника S может быть определена по формуле:

S= 0,5*∑(Xi*(Yi+1-Yi-1), где:

• Xi и Yi — координаты i-той характерной точки участка, имеющего вид многоугольника;
• i — порядковый номер характерной точки ЗУ. Этот параметр меняется от 1 до n;
• n — число характерных точек.

Если участок имеет четырехугольную форму, то, в общем случае, для него расчет площади производится по приведенной выше формуле с учетом того, что n=4.

Если участок имеет форму трапеции и известны его стороны, то площадь такого участка можно определить по формуле:

Sт=0,5*(a+b)*h, где:

• a и b — основания фигуры;
• h – высота трапеции.

При расчете четырехугольника неправильной формы, когда известны размеры его сторон, вначале определяют величину полупериметра p:

р=0,5(а+B+c+d), где:

a,b,c,d — величины сторон.

Тогда площадь участка Sу будет равна:

Sy=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).

При этом по контуру границ участка производится замер азимута каждой характерной точки. Также определяется расстояние от одной характерной точки до следующей за ней точки. Вся эта информация в дальнейшем вводится в ЭВМ, которая по специальной программе производит расчет площади ЗУ.

Графический метод

При расчете площади участка графическим методом чаще всего изображенный на плане участок сложной формы делят на участки элементарного вида (треугольники, прямоугольники, трапеции), затем вычисляют и суммируют площади этих фигур.

Точность графического метода зависит от точности графического измерения на плане. Известно, что точность измерения с помощью циркуля постоянна и равна 0,1 мм. Поэтому относительная ошибка при измерении коротких линий больше, чем при измерении длинных линий. В связи с этим желательно, чтобы простые фигуры были больших размеров и с близкими по размерам основаниями и высотами.

Такой метод удобен в случае, когда имеется небольшое количество характерных точек. В противном случае целесообразнее определять площадь участка по координатам точек, измеренных на плане.

Палетка представляет собой прозрачный лист, на который нанесены деления. Этот лист накладывается на план участка. Сосчитав количество делений, входящих в контур участка, и определив площадь одного деления с учетом масштаба, можно оценить площадь участка.

Недостаток такого графического метода состоит в том, что количество неполных квадратов приходится оценивать на глаз. В результате этого ухудшается точность данного метода.

Механический способ

Механический способ используется в тех случаях, когда по плану необходимо оценить площадь большого участка со сложными границами. Для осуществления этого метода используются планиметры.

Планиметр представляет собой прибор, который позволяет определить площадь плоской фигуры путем обвода ее контура. Он состоит из двух рычагов и каретки со счетным механизмом. На полюсном рычаге имеется игла, которая втыкается в план и является полюсом. Вокруг полюса по контуру участка движется обводной шпиль.
Точность метода зависит от размеров участка и свойств плана.

Погрешность определения площади

При определении площадей участков возникают неточности, которые характеризуются погрешностями. Погрешность — это разность между вычисленной величиной площади участка и ее истинной величиной.

Для различных методов определения площади такие погрешности могут быть различными.

Для аналитического метода точность расчета площади зависит исключительно от погрешностей, связанных с измерением координат поворотных точек. При этом, средняя квадратическая погрешность (СКП) аналитического метода расчета (mp) определяется формулой:

mp= mt*√ P, где:

• mt — СКП расположения поворотных точек;
• P — площадь участка.

Для примера можно взять допустимые при межевании точности mt, которые определены соответствующими нормативными актами (например, Приложением к приказу МЭР № 518). Эти точности зависят от типа земель.

Так, для населенных пунктов этот показатель равен 10 см, а для дачных участков и садоводств-20 см. Таким образом, для садового участка в 600 кв. м точность определения площади аналитическим методом может составить:

mpс= 0,2*√600=4,89 м.

При реализации графического метода на его точность влияют погрешности измерений, погрешности составления плана, деформация бумаги. Относительная погрешность такого метода составляет от 1:500 до 1:1000.

Точность механического метода также зависит от погрешностей составления плана (или карты), состояния бумаги, на которой нанесен план участка. Кроме того, на точность этого метода влияет размер участка. Этот метод не рекомендуется применять для участков размером менее 10-12 см2.

В благоприятных условиях относительная погрешность измерений площади планиметром может достигать 1:400.

Определение площади участка на ПКК

Публичная кадастровая карта (ПКК) — это онлайн-сервис, с помощью которого любой гражданин может узнать основные характеристики любого земельного участка, помещенные в кадастр недвижимости (ЕГКН).

Для того, чтобы узнать величину площади с помощью ПКК, надо зайти на страницу http://pkk5.rosreestr.ru и найти участок на карте. Для этого используется специальное меню, которое позволяет определить участок по кадастровому номеру, адресу.

Так, введя в поисковую систему ПКК адрес участка, можно получить его расположение на карте и некоторые данные.

Необходимо отметить, что не все участки земли можно таким образом найти по адресу. Например, при нахождении участка c кадастровым номером 50:38:0050302:130 в таблице его параметров указан адрес: «обл. Московская, р-н Зарайский, снт «Изобретатель», уч-к 116″.

Однако при обращении к ПКК с использованием этого адреса система дает сбой. Подобный результат получается и при обращении к ПКК на других страницах.

Это говорит о том, что система поиска земельного участка на ПКК по адресу не до конца отработана Росреестром.

Чтобы определить площадь участка по координатам, вначале необходимо узнать эти координаты. Если участок уже найден на карте, то приблизительные координаты характерных точек можно определить, подводя к ним курсор. По этим координатам, в дальнейшем, можно определить площадь участка по формуле для аналитического метода.

Более точно координаты характерных точек участка можно узнать только при платном заказе выписки из ЕГРН для этого участка.

По новому закону в связи с объединением баз данных ЕГРП и ЕГРН такая выписка с 1.01 2017 года заменяет собой свидетельство на объект недвижимости, кадастровый паспорт, кадастровую выписку и выписку из ЕГРП. То есть, выписка из ЕГРН является основным документом на недвижимость.

1.

Московский Государственный Университет Геодезии и
Картографии
(МИИГАиК)
ЛЕКЦИЯ ПО ТЕМЕ № 3:
«Определение площадей»
Лектор: доц.
Максимова М.В.
Москва, 2018 г.

2. При решении многих вопросов, связанных с использованием земельной территории, необходимо знать площади тех или иных участков.

Измерение площадей
При решении многих вопросов, связанных с использованием земельной
территории, необходимо знать площади тех или иных участков. Площади
участков могут быть определены или по результатам обмера участка в натуре
или по планам и картам.
Существует три основных способа
определения площадей по карте (плану):
г р а ф и ч е с к и й, когда площадь вычисляется по данным,
взятым графически с плана или карты;
а н а л и т и ч е с к и й, когда площадь вычисляют
непосредственно по результатам полевых измерений или по их
функциям – координатам вершин участка;
м е х а н и ч е с к и й, когда площадь определяется по плану
при помощи специальных приборов, называемых
планиметрами.
2

3. Графический способ

Площадь участка разбивают на
простейшие геометрические
фигуры: треугольники,
прямоугольники, трапеции,
измеряют соответствующие
элементы этих фигур (длины
оснований и высоты) и по
геометрическим формулам
вычисляют площади этих фигур.
Площадь всего участка
определяется как сумма
площадей отдельных фигур.
Для малых участков (2-З см2) с резко
выраженными криволинейными
границами определение площади
целесообразно производить с помощью
квадратной палетки. Палетку можно
изготовить на кальке, расчертив ее сеткой
квадратов со сторонами 1-5 мм.
3

4.

Вычислив по известным формулам
геометрии площади фигур:
S1, S2, S3, S4
И взяв их сумму, находят
общую площадь участка:
S = S1+S2+S3+S4
S2
S3
S4
S1
Для контроля, площади вычисляют
дважды, меняя измеряемые элементы.
Например, в треугольнике 1–2–3 в
одном случае измеряют основание 1–2 и
высоту 3–5, в другом – основание 1–3 и
высоту 2–4.
Ошибка определения площади графическим способом равна примерно 1:100 – 1:200 от величины
вычисляемой площади. Для повышения точности определения площадей этим способом следует
пользоваться планами наиболее крупного масштаба, а также использовать, где это возможно, данные
измерений в натуре.
4

5.

Палетки изготавливают на прозрачном материале,
расстояние между линиями 1–5 мм.
Квадратная палетка применяется для малых участков,
имеющих площадь на плане до 2 см2.
Подсчитывают число полных клеток. В нашем случае на
рисунке их 17.
Доли неполных клеток учитывают на глаз — 9.
Для контроля палетку разворачивают примерно на 45
градусов и производят повторное определение площади.
Пусть площадь квадрата палетки — Sп (мм), тогда
площадь фигуры:
S = Sп (17+9) мм2
Точность измерения примерно 1/50 от вычисляемой площади.
5

6. Аналитический способ

Этот способ предполагает использование
формул геометрии и тригонометрии при
расчете площадей участков.
Расчетная
формула
для
определения
площади многоугольника (в простейшем
случае треугольника):
Использование его наиболее целесообразно
при наличии результатов непосредственных
измерений на местности углов и линий или
их функций — приращений координат, а
также координат вершин полигона.
Использование непосредственно измеренных
величин обеспечивает аналитическому
способу возможности достижения наиболее
высокой точности среди всех известных
способов.
6

7.

С
появлением
цифровых
моделей
карт
появились
специальные сайты, например
www.mapsdirections.info,
где не составляет труда
измерить площадь любого
объекта, изображенного на
карте.
Используя аналитический
метод, программа
считывает координаты с карты
и автоматически считает
площадь.
7

8. Механический метод

При механическом способе применяют планиметры различных конструкций.
Планиметр – специальный прибор, для определения
площадей достаточно больших участков на планах или
картах.
Полярный планиметр:
Полярный планиметр состоит из трех частей: полюсного 1 и обводного 2 рычагов и каретки счетного
механизма. Полюсный рычаг с одной стороны имеет груз с иглой 3, которая является полюсом планиметра;
перед началом измерений иглу вдавливают в бумагу. С другой стороны полюсный рычаг заканчивается
шарниром 6, с помощью которого он соединяется с кареткой счетного механизма. На конце обводного рычага
имеется обводный шпиль 7, которым обводят контур участка, удерживая рычаг за ручку 8. Для того чтобы
шпиль не царапал карту, существует штифт 9, длину которого можно регулировать с помощью гайки. В более
поздней конструкции планиметра шпиль заменен увеличительным стеклом с точкой в центре. На обводном
рычаге расположена каретка со счетным механизмом. Он состоит из счетного колеса 12, счетчика целых
оборотов счетного колеса и верньера 14. При измерении площади участка ободок счетного колеса и ролик
должны находиться в пределах листа карты.
8

9.

Счетное колесо разделено на 100
делений, каждые 10 делений
оцифрованы. Десятые доли делений
счетного колеса определяются по
верньеру. Делением планиметра
называется одна тысячная часть
окружности счетного колеса.
Отсчет по планиметру всегда
состоит из четырех цифр. Первая
цифра – ближайшая к указателю
меньшая цифра счетчика оборотов
13, вторая и третья цифры – сотни и
десятки делений на счетном колесе,
предшествующих указателю
верньера 14 (начальному штриху
шкалы верньера, т.е. 0); четвертая
цифра – номер штриха верньера,
совпадающего с каким-либо
штрихом счетного колеса (единицы
делений). На рисунке отсчет по
счетному механизму составляет
3578.
9

10.

Прежде чем приступать к измерению площади, необходимо
убедиться в исправности планиметра. Он должен удовлетворять
двум условиям.
1. Счетное колесо должно вращаться свободно и без колебаний. Если
ось колеса слишком зажата в удерживающих ее центрах или колесо
касается примыкающего к нему верньера, то вращение его будет
задерживаться и могут возникнуть ошибки при измерениях.
Поверка выполняется путем вращения счетного колеса рукой. Оно
должно вращаться по инерции 3–5 с. Между краем счетного колеса и
верньером должен быть зазор не более толщины листа бумаги.
Вращение оси счетного колеса регулируется винтами 21 и 22.
Следует учесть, что при слишком слабом закреплении оси счетного
колеса возможно его колебание. Положение верньера относительно
края счетного колеса регулируется винтом 25.
2. Плоскость ободка счетного механизма должна быть перпендикулярна оси счетного колеса. Данная поверка выполняется
путем обвода контура некоторого участка на бумаге при двух положениях полюса относительно обводного рычага – справа и
слева.
Если результаты разнятся между собой не более, чем на 1/250 среднего значения разностей отсчетов, то считается, что
планиметр удовлетворяет установленным требованиям. При больших разностях следует производить измерение площадей
при двух положениях полюса относительно обводного рычага и счетного механизма. Среднее значение из двух измерений
свободно от погрешностей, вызванных нарушением данного условия.
10

11.

Измерение площадей планиметром
Цена деления планиметра – это площадь, соответствующая изменению отсчета на одно деление.
Геометрически ее можно представить как площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна
длине обводного рычага, а другая – делению планиметра.
Для определения цены деления планиметра берется участок, площадь которого заранее
известна, затем производится измерение указанной площади планиметром.
Обводный шпиль сначала устанавливают в центре квадрата, а полюс закрепляют в такой точке, чтобы угол
между обводным и полюсным рычагом был равен примерно 90° и чтобы при обводе квадрата ни одна из опорных
точек планиметра не выходила за пределы листа карты. Обводный шпиль подводят к одному из углов
квадрата и снимают отсчет u1. Далее шпилем обводят стороны квадрата по ходу часовой стрелки.
Возвратившись в исходную точку, снимают второй отсчет u2.
Сместив несколько обводное колесо, вторично производят обвод квадрата против часовой стрелки. При
движении по ходу часовой стрелки отсчеты будут возрастать, против часовой стрелки – уменьшаться.
Вычитая из большего значения меньшее, находят разности отсчетов, которые не должны отличаться более
чем на 5 делений. Проведенные измерения составляют один полуприем. Второй полуприем выполняют в
положении полюса с другой стороны обводного рычага и каретки счетного механизма. Расхождение в средних
разностях отсчетов при двух полуприемах не должно превышать 5 делений. При наличии сходимости за
окончательное значение разности отсчетов принимается среднее из двух результатов.
Цена деления планиметра вычисляется по формуле:
,где П – площадь измеренного участка;
11

12.

Измерение площадей относительно небольших участков производится с полюсом вне контура.
Так же, как и при определении с (цены деления) , шпиль располагают примерно в центре участка, а для
полюса выбирают такое место, чтобы рычаги планиметра составляли прямой угол (рис. a). Затем
производится беглый обвод контура. Угол между рычагами (рис. б,в)должен составлять не менее 30° и
не более 150°. Если это условие не выполняется, то подбирается другое, более благоприятное
положение полюса. Возможны случаи, когда это не удается, и угол между рычагами выходит за пределы
допуска при любом положении полюса. Тогда измерение площадей следует выполнять с полюсом
внутри контура (рис. г)или по частям.
12

13.

Площадь участка, измеренная при полюсе вне контура, вычисляется по формуле:
Значение q планиметра, необходимое при работе с полюсом внутри контура, определяется так же, как и цена деления
с,путем обвода контура участка, площадь которого известна. Участок выбирается значительно больших размеров
(квадрат 40 ´ 40 см или круг радиусом 30 см). Значение q находится с учетом ранее установленной цены деления с
Площадь с полюсом внутри контура определяется одним приемом и к разности отсчетов добавляется q:
Ошибка определения площади находится приближенно по формуле:
Точность определения площади планиметром — 1/300.
13

14.

В настоящее время имеются и электронные планиметры с индикацией результата измерений на
экране дисплея.
Планиметр роликового типа PLANIX 7 имеет ролики, обеспечивающие значительное горизонтальное
перемещение. Цифровая клавиатура позволяет вводить пользовательский масштаб, в котором
вычисляется площадь плана или рисунка.
ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ:
Питание
Время работы, ч
Дисплей
Точность,%
Диапазон измерений,см
Вес, г
14
Размер, мм
NiCd-аккумулятор/блок
питания
15
1-строчный 8-ми разрядный
ЖК
0,2
300 х 30
650
150 х 240 х 5

15.

ВЫВОДЫ
Графический и аналитический способы достаточно просты, главное — правильно применять
формулы и следить за ходом вычисления площадей.
Что касается механического способа, здесь главное — понять принцип работы с прибором и
следовать порядку измерения площади. С появлением электронных планиметров сделать
это становится гораздо легче и быстрее.
15