Ошибка вариации это - Исправление ошибок и поиск оптимальных решений проблем

Коэффициент
вариации,
или изменчивости, годового
стока служит мерой оценки колебания
годовых величин стока относительно его
нормы и численно равен относительному
среднему
квадратическому отклонению
.
Он служит также
для сравнения отдельных статистических
рядов, например годовых
величин стока разных рек, в отношении
их изменчивости
или рассеяния точек на кривой.

При
наличии длительных наблюдений Указаниями
СН 371-67 предусматриваются
два метода определения

в зависимости от
изменчивости годового стока.

Если
изменчивость годового стока невелика
и характеризуется коэффициентом вариации

,
рекомендуется следующая
формула

(3.1)

где
k_i
– модульный
коэффициент стока каждого года; n
– число лет
наблюдений (число членов статистического
ряда).

При
n<30
формула (3.1) используется в виде

(3.1′)

Формула
(3.1) представляет собой выражение второго
момента
площади кривой распределения относительно
центральной ординаты,
а метод определения
и

по
формулам (3.1 ) и
(3.6) называется методом моментов.

Относительная
средняя квадратическая ошибка коэффициента
вариации, вычисленная по этим формулам,
равна

(3.2)

Формула
(4.2) предложена Е. Г. Блохиновым и
рекомендована Указаниями СН 371-67.

Для
нормального распределения параметра
или близкого к нему более обоснованной
формулой определения

является:

(3.3)

Значения

в зависимости
от п и

вычисленные по формулам (3.2) и (3.3),
приводятся в таблицах 3.1 и 3.2.

Таблица
3.1

Относительные
средние квадратические ошибки (%)
коэффициента вариации, вычисленные по
формуле (3.2)

	Число лет наблюдений n
10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
0,20	23	16	13	11	10	9,3	8,6	8,1	7,6	7,2
0,30	23	17	14	12	10	9,6	8,8	8,3	7,8	7,4
0,40	24	17	14	12	11	9,8	9,1	8,5	8,0	7,6

Примечание.
При
промежуточных значениях C_v
и
п

определяется
по
интерполяции.

Таблица
3.2

Относительные
средние квадратические ошибки (%)
коэффициента вариации, вычисленные по
формуле (3.3)

n
0,20	0,40	0,60	0,80	1,00
10	23,2	25 7	29,4	33,7	38,6
20	16,5	18,2	20,7	23,9	27,4
30	13,4	14,8	16,9	19,5	22,3
50	10,4	11,5	13,1	15,1	17,3
100	7,4	8,2	9,3	10,7	12,3

Из
этих таблиц видно, что для определения

<0,50
с точ-ностью ±10% необходимо иметь ряд
наблюдений продолжительностью 50—60
лет, а вычисления по формулам (3.2) и (3.3)
дают малую разницу, которая практически
не сказывается на конечных результатах
расчетов.

При
большой изменчивости годового стока
(>0,50),
что характерно для рек засушливых
районов, коэффициент вариации определяется
методом наибольшего правдоподобия. По
этому методу значение C_v
устанавливается
в зависимости от параметра ,
который представляет собой среднее
значение логарифмов модульных
коэффициентов lg
k
и вычисляется по равенству

(3.4)

Имея
значение ,
по таблице 3.3 легко установить величину
C_v.
Относительная
средняя квадратическая ошибка C_v,
установленного
с помощью параметра ,
приближенно
равна

(3.5)

Более
точные значения
,
вычисленные
методом наибольшего
правдоподобия, приводятся в таблице
3.4.

Значения
коэффициентов вариации, определенные
методом моментов
и методом наибольшего правдоподобия
при С_v
>0,5,
различаются
не более чем на 2–3% (таблица 3.4). В то же
время метод
наибольшего правдоподобия отличается
сложностью и громоздкостью
вычислений. Поэтому можно считать, что
метод наибольшего
правдоподобия для определения C_v
не
имеет преимущества перед методом
моментов и при массовых расчетах C_v
лучше пользоваться последним, т.е.
формулой (3.1),
который
оправдал себя при многочисленном
практическом применении.

Коэффициенты
вариации, установленные по формуле
(4.1)
и по
табл. 3.4 с помощью параметра ,
принимаются
в качестве расчетных,
когда их средняя квадратическая ошибка,
вычисленная
по формуле (3.2), не превышает следующие
пределы:

Интервалы
значений C_v
0,2—0,3
0,4—0,8 больше 0,8

Допустимая средняя

квадратическая
ошибка, %
20 10 5

Таблица
3.3

Относительная
средняя квадратическая ошибка (%)
коэффициента изменчивости

C_v	Число лет наблюдений п
10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
0 50	21,5	15,2	12,4	10,8	9,6	8,8	8,1	7,6	7,2	6,8
0,75	20,5	14,5	11,8	10,3	9,2	8,4	7,7	7,2	6,9	6,5
1,00	19,4	13,7	11,2	9,7	8,7	7,9	7,3	6,8	6,5.	6,1
1,25	18,2	12,8	10,5	9,1	8,1	7,5	6,9	6,4	6,1	5,8
1,50	16,9	12,0	9,8	8,5	7,6	6,9	6,4	6,0	5,7	5,4
1,75	15,8	11,2	9,1	7,9	7,0	6,4	6,0	5,6	5,3	5,0
2,00	14,6	10,4	8,4	7,3	6,6	6,0	5,5	5,2	4,9	4,6

Примечание.
При промежуточных значениях
C_v
и п средняя
квадра. тическая
ошибка определяется по интерполяции.

Таблица
3.4

Средние
значения C_v,
определенные
методами моментов и наибольшего
правдоподобия

Истинное
значение C_v

Объем
выборки
и

Значение
C_v

по методу
моментов

по
методу наибольшего
правдоподобия

0,25

0,50

1,00

0,25

0,24

0,49

0,50

0,97

0,98

0,25

0,49

0,50

0,99

1,00

Максимальные
ошибки C_v
значительно
превышают среднее квадратическос
значение. Они возможны тогда, когда в
короткий
ряд наблюдений, по которому определяются
C_v
, входит очень многоводный
или маловодный год, повторяемость
которого значительно
реже чем один раз в п
лет.
Однако вероятность больших
ошибок C_v,
в два-три раза превышающих ее среднюю
квадратическую
величину, очень мала.

Коэффициент
асимметрии
C_s
характеризует
несимметричность ряда
величин стока относительно его среднего
значения.
Это менее устойчивый параметр кривой
распределения
или обеспеченности и для надежного его
определения требуется
ряд наблюдений над стоком более 100—150
лет. По
имеющимся рядам наблюдений можно
установить лишь приближенное
значение коэффициента асимметрии. Для
этой цели используется формула третьего
момента

(3.6)

Относительная
средняя квадратическая ошибка C_s
зависит от
коэффициента вариации С_v
и числа лет наблюдений п.
Ее значение
при C_s
= 2C_v
с учетом
асимметричного распределения годовых
величин стока может быть определена по
формуле С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля.
Так
при обычных значениях C_V=0,20—0,40
средняя квадратичная ошибка

при
n=20—30
составляет около 14—16% от значения
коэффициента, а при n
= 50 уменьшается до 10—12%. Относительная
среднеквадратичная ошибка определения
коэффициента C_s
вычисляется
по формуле

(3.7)

Величины
этих ошибок коэффициентов C_v
и
C_s,
определенных
по формулам (3.2-3.3) и (3.7), даны в таблицах
3.2–3.3 и 3.6.

Для
наиболее распространенных величин
годового стока рек лесной и лесостепной
зон C_v=0,20÷0,50.
Средняя ошибка его определения при
n=20-30
лет находится в пределах 15,5-19,5%.

Для
надежного подсчета коэффициента С_s
необходимо иметь, длительный ряд
(порядка
100
и
более), что практически бывает крайне
редко. Коэффициент обладaeт
более значительной устойчивостью во
времени и для надежного его подсчета
достаточен более короткий ряд наблюдении.
Поэтому обычно величину С_sпринимают
кратно значению С_v т.е.

С_s=а
С_v(3.8)

Таблица
3.5

Относительные
средние квадратические ошибки определения
коэффициента асимметрии
в % приС_s
=2C_v

п	Коэффициент вариации C_v
0,10	0,20	0,40	126	0,80	1,00
10	399	216	140	126	126	134
20	281	153	99	85	89	95
30	234	125	80	72	74	78
40	199	108	70	63	64	67
50	178	96	63	56	57	60
100	125	69	44	39	41	42

Величина
а для
различных гидрологических характеристик
принимается различной. Так, для
биноминальной асимметричной кривой
пределом этой величины могут быть от
а=2 до
;К_мин
– отношение
наинизшего расхода к среднему данного
ряда). Для среднегодового стока равенство
коэффициентов C_S=C_v
справедливо
только при малых величинах C_v.
При больших
величинах
C_vследует
применять
,
что дает, как правило, величинуC_S>2C_V.
Для других
гидрологических величин соотношение
между C_v
и C_S,
будет указано ниже.

При
наличии ряда наблюдений порядка 20 и
более построение кривой обеспеченности
выполняется с помощью таблицы
вспомогательных величин, образец которой
приведен в таблице. 3.6.

В
графе 12 подсчитывается обеспеченность
точек (модульных коэффициентов)
эмпирической кривой р
% определяется
по формуле

(3.9)

где
m
– порядковый номер члена ряда при
расположении их в убывающем порядке; n
– число членов в ряду.

Таблица
3.6

Вспомогательные
величины для построения кривой
обеспеченности

№ пп	Год	Q м³/сек	в убывающ ем порядке		(k -1)	(k -1)²	(k -1)³	р, %
+		+
годы	Q, м³/сек
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1894		1938
2	1895		1941
…			…
…	1941
Сумма

На
график (рис. 3.1) наносят точки ряда
наблюдений (полые кружки) и получают
кривую обеспеченности. Пользуясь табл.
3.6.можно построить на этом же графике
теоретическую кривую обеспеченности.
Для этого из графы 5 надо получить
величину откуда
можно получить

Для
контроля правильности подсчета сумма
модульных коэффициентов должна
удовлетворять равенству
,
а
в графах 7, 8 .Используя
сумму ,
из графы 9 можно получить значение
значение C_vпо
формуле (3.1-3.1′). В первом приближении
применяем C_S=2C_V.

Для
получения теоретических точек кривой
обеспеченности следует пользоваться
таблицей Фостера – Рыбкина, в которой
приведены отклонения ординат кривой
обеспеченности от середины Ф
при Х_ср
= 1 и C_v=1
(см. табл. 3.9).

Пользуясь
табл. 3.7, можно подсчитать значения
модульных коэффициентов по формуле

(3.10)

Затем
по формуле (4.5) определить значения
расходов разной обеспеченности:

(3.11)

р, %	0,1	1	5	10	25	50	75	80	90	95	97	99	99,9
С_s=0,57
Ф_р
Ф_р C_v
k_p = Ф_р C_v+1
Q_p = Q₀ k_p

k_p
Q_p = Q₀ k_p

Результаты заносятся
в табл. 3.7.

Таблица 3.7

Полученные
значения Q_р– наносят
на график, приведенный на рис. 3.1 (на
рисунке значения Q_р.
обозначены сплошными кружками). Если
проведенная по этим кружкам кривая
обеспеченности (пунктирная) не совпадает
с кривой, построенной по наблюденным
данным, то это обозначает, что принятое
значение C_s
для построения
теоретической кривой не соответствует
значению C_s
соответствующего
фактическим данным. Это значение
необходимо изменять до
тех
пор, пока теоретическая кривая не
совпадет с кривой натурных наблюдений.

Биноминальная
кривая обеспеченности хорошо согласуется
с натурными данными. Однако она имеет
ряд недостатков, одним из которых
является то, что при соотношении C_s
< 2 C_v
встречающемся на практике при расчетах
годового стока рек засушливых районов,
ординаты кривой обеспеченности в нижней
части имеют отрицательные значения.
Для исключения этого недостатка С. Н.
Крицкий и М. Ф. Менкель предложили новые
кривые обеспеченности [35]. По этим кривым
при любом соотношении C_s
и C_v
нулевая
ордината получается только при
обеспеченности в 100%. При C_S=2C_V кривая
обеспеченности совпадает с биномальной
ассиметричной кривой.
Ассиметричные
кривые на
клетчатке вероятности спрямляются не
полностью и имеют выпуклость тем большую
, чем больше коэффициент асимметрии.
При положительной асимметрии выпуклость
обращена вниз, при отрицательной –
вверх.

Характеристика
связи между обеспеченностью и
повторяемостью расходов приведена в
табл. 3.8.

Применение
методов теории вероятности и математической
статистики
в решении гидрологических задач получило
широкое распространение как у нас, так
и за границей. Однако следует отметить
несовершенство
и условность этих методов. Кривые
обеспеченности, построенные теоретическим
путем, необходимо каждый раз анализировать
и проверять, используя фактические
наблюдения.

Рис.
3.1. Кривая обеспеченности средних годовых
расходов на клетчатке вероятности

Дальнейшее
развитие гидрологии должно идти по пути
все большего
развития генетических методов. Под ними
следует подразумевать
исследование закономерностей развития
гидрологических явлений и процессов
на основе обобщения данных наблюдений
и их физического анализа.

Таблица
3.8

Характеристики
лет
разной
обеспеченности

Обеспеченность, %	Повторяется 1 раз в n лет	Характеристика года
0,1	1000	Катастрофически многоводный
1	100	Очень многоводный
5	20	Многоводный
10	10	Средней многоводности
25	4	Средней многоводности
50	2	Медианный
75	4	Средней маловодности
90	10	Средней маловодности
95	20	Маловодный
97	33	Маловодный
99	100	Очень маловодный
99,9	1000	Катастрофически маловодный

Таблица 3.9

Отклонение
ординат биноминальной асимметрической
кривой обеспеченности от середины (от
1,0) при C_v=1

C_S	Обеспеченность р %	C_S
0,01	0,1	1	3	5	10	20	25	30	40	50	60	70	75	80	90	95	97	99	99,9
0,00	3,72	3,09	2,33	1,88	1,64	1,28	0,84	0,67	0,52	0,25	0,00	-0,25	-0,52	-0,67	-0,84	-1,28	-1,64	-1,88	-2,33	-3,09	0,00
0,05	3,83	3,16	2,36	1,90	1,65	1,28	0,84	0,66	0,52	0,24	-0,01	-0,26	-0,52	-0,68	-0,84	-1,28	-1,62	-1,86	-2,29	-3,02	0,05
0,10	3,94	3,23	2,40	1,92	1,67	1,29	0,84	0,66	0,51	0,24	-0,02	-0,27	-0,53	-0,68	-0,85	-1,27	-1,61	-1,81	-2,25	-2,95	0,10
0,15	4,05	3,31	2,44	194	1,68	1,30	0,84	0,66	0,50	0,23	-0,02	-0,28	-0,54	-0,68	-0,85	-1,26	-1,60	-1,82	-2,22	-2,88	0,15
0,20	4,16	3,38	2,47	1,96	1,70	1,30	0,83	0,65	050	0,22	-0,03	-0,28	-0,55	-0,69	-0,85	-1,26	-1,58	-1,79	-2,18	-2,81	0,20
0,25	4,27	3,45	2,50	1,98	1,71	1,30	0,82	0,64	0,49	0,21	-0,04	-0,29	-0,56	-0,70	-0,85	-1,25	-1,56	-1,77	-2,14	-2,74	0,25
0,30	4,38	3,52	2,54	2,00	1,72	1,31	0,82	0,64	0,48	0,20	-0,05	-0,30	-0,56	-0,70	-0,85	-1,24	-1,55	-1,75	-2,10	-2,67	0,30
0,35	4,50	3,59	2,58	2,02	1,73	1,32	0,82	0,64	0,48	0,20	-0,06	-0,30	0,56	-0,70	-0,85	-1,24	-1,53	-1,72	-2,06	-2,60	0,35
0,40	4,61	3,66	2,61	2,04	1,75	1,32	0,82	0,63	0,47	0,19	-0,07	-0,31	-0,57	-0,71	-0,85	-1,23	-1,52	-1,70	-2,03	-2,54	0,40
0,45	4,72	3,74	2,64	2,06	1,76	1,32	0,82	0,62	0,46	0,18	-0,08	-0,32	-0,58	-0,71	-0,85	-1,22	-1,51	-1,68	-2,00	-2,47	0,45
0,50	4,83	3,81	2,68	2,08	1,77	1,32	0,81	0,62	0,46	0,17	-0,08	-0,33	-0,58	-0,71	-0,85	-1,22	-1,49	-1,66	-1,99	-2,40	0,50
0,55	4,94	3,88	2,72	2,10	1,78	1,32	0,80	0,62	0,45	0,16	-0,09	-0,34	-0,58	-0,72	-0,85	-1,21	-1,47	-1,64	-1,92	-2,32	0,55
0,60	5,05	3,96	2,75	2,12	1,80	1,33	0,80	0,61	0,44	0,16	-0,10	-0,34	-0,59	0,72	-0,85	-1,20	-1,45	-1,61	-1,88	-2,27	0,60
0,65	5,16	4,03	2,78	2,14	1,81	1,33	0,80	0,60	0,44	0,15	-0,11	-0,35	-0,60	-0,72	-0,85	-1,44	1,19-	1,59	-1,84	-2,20	0,65
0,70	5,28	4,10	2,82	2,15	1,82	1,33	0,79	0,59	0,43	0,14	-0,12	-0,36	-0,60	-0,72	-0,85	-1,18	-1,42	-1,57	-1,81	-2,14	0,70
0,75	5,39	4,17	2,86	2,16	1,83	1,34	0,78	0,58	0,42	0,13	-0,12	-0,36	-0,60	-0,72	-0,86	-1,18	-1,40	-1,54	-1,78	-2,08	0,75
0,80	5,50	4,24	2,89	2,18	1,84	1,34	0,78	0,58	0,41	0,12	-0,13	-0,37	-0,60	-0,73	-0,86	-1,17	-1,38	-1,52	-1,74	-2,02	0,80
0,85	5,62	4,31	2,92	2,20	1,85	1,34	0,78	0,58	0,40	0,12	-0,14	-0,38	-0,60	-0,73	-0,86	-1,16	-1,35	-,49	-1,70	-1,96	0,85
0,90	5,73	4,38	2,96	2,22	1,86	1,34	0,77	0,57	0,40	0,11	-0,15	-0,38	-0,61	-0,73	-0,85	-1,15	-1,35	-1,47	-1,66	-1,90	0,90
0,95	5,84	4,46	2,99	2,24	1,87	1,34	0,76	0,56	0,39	0,10	-0,16	-0,38	-0,62	-0,73	-0,85	-1,14	-1,34	-1,44	-1,62	-1,84	0,95
1,00	5,96	4,53	3,02	2,25	1,88	1,34	0,76	0,55	0,38	0,09	-0,16	-0,39	-0,62	-0,73	-0,85	-1,13	-1,32	-1,42	-1,59	-1,79	1,00
1,05	6,07	4,60	3,06	2,26	1,88	1,84	0,75	0,54	0,37	0,08	-0,17	-0,40	-0,62	-0,74	-0,85	-1,12	-1,30	-1,40	-1,56	-1,74	1,05
1,10	6,18	4,67	3,09	2,28	1,89	1,34	0,74	0,54	0,36	0,07	-0,18	-0,41	-0,62	-0,74	-0,85	-1,10	-1,28	-1,38	-1,52	-1,68	1,10
1,15	6,30	4,74	3,12	2,30	1,90	1,34	0,74	0,53	0,36	0,06	-0,18	-0,42	-0,62	-0,74	-0,84	-1,09	-1,26	-1,36	-1,48	-1,63	1,15
1,20	6,41	4,81	3,15	2,31	1,91	1,34	0,73	0,52	0,35	0,05	-0,19	-0,42	-0,63	-0,74	-0,84	-1,08	-1,24	-1,33	-1,45	-1,58	1,20
1,25	6,52	4,88	3,18	2,32	1,92	1,34	0,72	0,52	0,34	0,04	-0,20	-0,42	-0,63	-0,74	-0,84	-1,07	-1,22	-1,30	-1,42	-1,53	1,25
1,30	6,64	4,95	3,21	2,34	1,92	1,34	0,72	0,51	0,33	0,04	-0,21	-0,43	-0,63	-0,74	-0,84	-1,06	-1,20	-1,28	-1,38	-1,48	1,30
1,35	6,76	5,02	3,24	2,36	1,93	1,34	0,72	0,50	0,32	0,03	-0,22	-0,44	-0,64	-0,74	-0,84	-1,05	-1,18	-1,26	-1,35	-1,44	1,35
1,40	6,87	5,09	3,27	2,37	1,94	1,34	0,71	0,49	0,31	0,02	-0,22	-0,44	-0,64	-0,73	-0,83	-1,04	-1,17	-1,23	-1,32	-1,39	1,40
1,45	6,98	5,16	3,30	2,38	1,94	1,34	0,70	0,48	0,30	0,01	-0,23	-0,44	-0,64	-0,73	-0,82	-1,03	-1,15	-1,21	-1,29	-1,35	1,45
1,50	7,09	5,23	3,33	2,39	1,95	1,33	0,69	0,47	0,30	0,00	-0,24	-0,45	-0,64	-0,73	-0,82	-1,02	-1,13	-1,19	-1,26	-1,31	1,50
1,60	7,31	5,37	3,39	2,42	1,96	1,33	0,68	1,46	0,28	-0,02	-0,25	-0,46	-0,64	-0,73	-0,81	-0,99	-1,10	-1,14	-1,20	-1,24	1,60

Окончание
3.9

C_S	Обеспеченность р %	C_S
0,01	0,1	1	3	5	10	20	25	30	40	50	60	70	75	80	90	95	97	99	99,9
1,70	7,54	5,50	3,44	2,44	1,97	1,32	0,66	0,44	0,26	-0,03	-0,27	-0,47	-0,64	-0,72	-0,81	-0,97	-1,06	-1,10	-1,14	-1,17	1,70
1,80	7,76	5,64	3,50	2,46	1,98	1,32	0,64	0,42	0,24	-0,05	-0,28	-0,48	-0,64	-0,72	-0,80	-0,94	-1,02	-1,06	-1,09	-1,11	1,80
1,90	7,98	5,77	3,55	2,49	1,99	1,31	0,63	0,40	0,22	-0,07	-0,29	-0,48	-0,64	-0,72	-0,79	-0,92	-0,98	-1,01	-1,04	-1,05	1,90
2,0	8,21	5,91	3,60	2,51	2,00	1,30	0,61	0,39	0,20	-0,08	-0,31	-0,49	-0,64	-0,71	-0,78	-0,90	-,095	-0,97	-0,99	-1,00	2,0
2,10	—	6,06	3,65	2,53	2,00	1,29	0,60	0,38	0,19	-0,01	-0,32	-0,49	-0,64	-0,70	-0,77	-0,87	-0,92	-0,94	-0,95	-0,95	2,10
2,20	—	6,20	3,70	2,55	2,01	1,28	0,58	0,37	017	-0,11	-0,33	-0,49	-0,63	-0,69	-0,75	-0,85	-0,89	-0,90	-0,90	-0,91	2,20
2,30	—	6,34	3,75	2,56	2,01	1,27	0,56	0,35	0,15	-0,12	-0,34	-0,49	-0,62	-0,68	-0,73	-0,82	-0,85	-0,86	-0,87	-0,87	2,30
2,40	—	6,47	3,79	2,57	2,01	1,25	0,54	0,33	0,13	-0,14	-0,35	-0,50	-0,62	-0,66	-0,72	-0,79	-0,82	-0,83	-0,83	-0,83	2,40
2,50	—	6,60	3,83	2,58	2,01	1,24	0,53	0,32	0,12	-0,15	-0,36	-0,50	-0,61	-0,65	-0,70	-0,77	-0,79	-0,80	-0,80	-0,80	2,50
2,60	—	6,73	3,87	2,59	2,01	1,23	0,51	0,30	0,10	-0,17	-0,37	-0,50	-0,60	-0,64	-0,68	-0,74	-0,76	-0,76	-0,77	-0,77	2,60
2,70	—	6,86	3,91	2,60	2,01	1,21	0,49	0,28	0,08	-0,18	-0,38	-0,50	-0,60	-0,63	-0,67	-0,72	-0,73	-0,74	-0,74	-0,74	2,70
2,80	—	6,99	3,95	2,61	2,02	1,20	0,47	0,27	0,06	-0,20	-0,38	-0,50	-0,59	-0,62	-0,65	-0,70	-0,71	-0,71	-0,71	-0,71	2,80
2,90	—	7,12	3,99	2,62	2,02	1,19	0,45	0,26	0,04	-0,21	-0,39	-0,50	-0,58	-0,61	-0,64	-0,67	-0,68	-0,69	-0,69	-0,69	2,90
3,00	—	7,25	4,02	2,63	2,02	1,18	0,42	0,25	0,03	-0,23	-0,40	-0,50	-0,57	-0,61	-0,62	-0,65	-0,66	-0,66	-0,67	-0,67	3,00
3,10	—	7,23	4,09	2,66	1,97	1,11	0,37	0,17	0,010	-0,23	-0,40	-0,51	-0,58	-0,60	-0,62	-0641	-0,645	-0,646	-0,646	-0,646	3,10
3,20	—	7,35	4,11	2,66	1,96	1,09	0,35	0,15	-0,0006	-0,25	-0,41	-0,51	-0,57	-0,59	-0,61	-0,621	-0,625	-0,625	-0,625	-0,625	3,20
3,30	—	7,44	4,15	2,66	1,95	1,08	0,33	0,13	-0,022	-0,26	-0,41	-0,50	-0,56	-0,58	-0,59	-0,605	-0,606	-0,606	-0,606	-0,606	3,30
3,40	—	7,54	4,18	2,66	1,94	1,06	0,31	0,11	-0,036	-0,27	-0,41	-0,50	-0,55	-0,57	-0,58	-0,586	-0,587	-0,589	-0,589	-0,589	3,40
3,50	—	7,64	4,21	2,66	1,93	1,04	0,29	0,085	-0,049	-0,28	-0,41	-0,50	-0,54	-0,55	-0,56	-0,57	-0,571	-0,571	-0,571	-0,571	3,50
3,60	—	7,72	4,24	2,65	1,93	1,03	0,28	0,064	-0,072	-0,28	-0,42	-0,49	-0,54	-0,54	-0,55	-0,555	-0,556	-0,566	-0,556	0,552	3,60
3,70	—	7,86	4,26	2,66	1,91	1,01	0,26	0,048	-0,084	-0,29	-0,42	-0,48	-0,52	-0,53	-0,54	-0,541	-0,541	-0,541	-0541	-0,541	3,70
3,80	—	7,97	4,29	2,65	1,90	1,00	0,24	0,032	-0,095	-0,30	-0,42	-0,48	-0,51	-0,52	-0,52	-0,526	-0,526	-0,526	-0,526	-0,526	3,80
3,90	—	8,08	4,32	2,65	1,90	0,98	0,23	0,020	-0,11	-0,30	-0,41	-0,47	-0,50	-0,51	-0,51	-0,513	-0,513	-0,513	-0,513	-0,513	3,90
4,00	—	8,17	4,34	2,65	1,90	0,96	0,21	0,010	-0,12	-0,31	-0,41	-0,46	-0,49	-0,49	-0,50	-0,50	-0,50	-0,50	-0,50	-0,50	4,00
4,10	—	8,29	4,36	2,65	1,89	0,95	0,20	0,000	-0,13	-0,31	-0,41	-0,46	-0,48	-0,484	-0,486	-0,487	-0,487	-0,487	-0,487	-0,487	4,10
4,20	—	8,38	4,39	2,64	1,88	0,93	0,19	0,010	-0,13	-0,31	-0,41	-0,45	-0,47	-0,473	-0,476	-0,476	-0,476	-0,476	-0,476	-0,476	4,20
4,30	—	8,49	4,40	2,64	1,87	0,92	0,17	0,021	-0,14	-0,32	-0,40	-0,44	-0,46	-0,462	-0,465	-0,465	-0,465	-0,465	-0,465	-0,465	4,30
4,40	—	8,60	4,42	2,63	1,86	0,91	0,15	0,032	-0,15	-0,32	-0,40	-0,44	-0,451	-0,454	-0,455	-0,455	-0,455	-0,455	-0,455	-0,455	4,40
4,50	—	8,69	4,44	2,62	1,85	0,89	0,14	0,042	-0,16	-0,32	-0,40	-0,43	-0,441	-0,444	-0,445	-0,445	-0,445	-0,445	-0,445	-0,445	4,50
4,60	—	8,79	4,46	2,62	1,84	0,87	0,13	0,052	-0,17	-0,32	-0,40	-0,42	-0,432	-0,434	-0,435	-0,435	-0,435	-0,435	-0,435	-0,435	4,60
4,70	—	8,89	4,49	2,61	1,83	0,85	0,11	0,064	-0,18	-0,32	-0,40	-0,42	-0,424	-0,425	-0,426	-0,426	-0,426	-0,426	-0,426	-0,426	4,70
4,80	—	8,96	4,50	2,60	1,81	0,82	0,10	0,075	-0,19	-0,32	-0,39	-0,41	-0,416	-0,416	-0,416	-0,416	-0,416	-0,416	-0,416	-0,416	4,80
4,90	—	9,04	4,51	2,60	1,80	0,80	0,084	0,087	-0,19	-0,33	-0,386	-0,401	-0,407	-0,408	-0,409	-0,409	-0,409	-0,409	-0,409	-0,409	4,90
5,00	—	9,12	4,54	2,60	1,78	0,78	0,068	0,099	-0,20	-0,33	-0,380	-0,395	-0,399	-0,400	-0,400	-0,400	-0,400	-0,400	-0,400	-0,400	5,00
5,10	—	9,20	4,57	2,60	1,76	0,76	0,051	0,11	-0,21	-0,33	-0,376	-0,388	-0,391	-0,392	-0,392	-0,392	-0,392	-0,392	-0,392	-0,392	5,10
5,20	—	9,27	4,59	2,60	1,74	0,73	0,035	0,12	-0,21	-0,33	-0,370	-0,382	-0,384	-0,385	-0,385	-0,385	-0,385	-0,385	-0,385	-0,385	5,20

Таблица 3.10

Ординаты
биноминальной асимметрической кривой
обеспеченности k_pпри C_S
=2C_v

C_v	Обеспеченность р %	C_v
0,01	0,1	1	3	5	10	20	25	30	40	50	60	70	75	80	90	95	97	99	99,9
0,05	1,197	1,162	1,120	1,096	1,084	1,064	1,042	1,033	1,026	1,012	0,999	0,986	0,974	0,966	0,958	0,936	0,920	0,908	0,888	0,852	0,05
0,06	1,241	1,197	1,145	1,116	1,101	1,077	1,050	1,039	1,031	1,014	0,999	0,983	0,968	0,959	0,949	0,924	0,904	0,890	0,867	0,825	0,06
0,07	1,285	1,232	1,171	1,135	1,118	1,090	1,058	1,046	1,036	1,016	0,998	0,980	0,962	0,952	0,941	0,911	0,889	0,873	0,846	0,779	0,07
0,08	1,328	1,268	1,196	1,155	1,136	1,104	1,067	1,052	1,040	1,018	0,998	0,978	0,956	0,945	0,932	0,899	0,873	0,856	0,824	0,772	0,08
0,09	1,372	1,303	1,221	1,176	1,153	1,117	1,074	1,058	1,045	1,020	0,997	0,975	0,951	0,938	0,924	0,886	0,858	0,838	0,803	0,746	0,09
0,10	1,416	1,338	1,247	1,196	1,170	1,130	1,083	1,065	1,050	1,022	0,997	0,972	0,945	0,931	0,915	0,874	0,842	0,821	0,782	0,719	0,10
0,11	1,467	1,377	1,274	1,217	1,188	1,143	1,091	1,071	1,054	1,024	0,996	0,969	0,939	0,924	0,906	0,862	0,827	0,805	0,763	0,696	0,11
0,12	1,517	1,417	1,302	1,238	1,206	1,157	1,090	1,077	1,059	1,025	0,995	0,965	0,933	0,916	0,898	0,850	0,813	0,789	0,744	0,674	0,12
0,13	1,568	1,456	1,330	1,260	1,224	1,170	1,107	1,083	1,063	1,027	0,994	0,962	0,927	0,909	0,890	0,838	0,798	0,783	0,726	0,651	0,13
0,14	1,618	1,496	1,357	1,281	1,242	1,184	1,115	1,089	1,068	1,028	0,993	0,958	0,921	0,902	0,881	0,826	0,784	0,757	0,707	0,628	0,14
0,15	1,669	1,535	1,384	1,302	1,260	1,197	1,124	1,096	1,072	1,030	0,992	0,955	0,916	0,894	0,872	0,814	0,769	0,740	0,688	0,606	0,15
0,16	1,720	1,574	1,412	1,323	1,278	1,210	1,132	1,101	1,076	1,032	0,990	0,952	0,910	0,887	0,864	0,802	0,754	0,724	0,669	0,583	0,16
0,17	1,770	1,614	1,440	1,344	1,296	1,224	1,140	1,108	1,081	1,033	0,989	0,948	0,904	0,880	0,856	0,790	0,740	0,708	0,650	0,560	0,17
0,18	1,821	1,653	1,467	1,366	1,314	1,237	1,148	1,114	1,085	1,035	0,988	0,945	0,898	0,873	0,847	0,778	0,725	0,692	0,632	0,537	0,18
0,19	1,871	1,693	1,494	1,387	1,332	1,251	1,156	1,120	1,090	1,036	0,987	0,941	0,892	0,865	0,838	0,766	0,711	0,676	0,613	0,515	0,19
0,20	1,922	1,732	1,522	1,408	1,350	1,264	1,164	1,126	1,094	1,038	0,986	0,938	0,886	0,858	0,830	0,754	0,696	0,660	0,594	0,492	0,20
0,21	1,981	1,778	1,552	1,431	1,369	1,278	1,172	1,132	1,098	1,039	0,984	0,934	0,880	0,851	0,822	0,743	0,683	0,646	0,578	0,475	0,21
0,22	2,041	1,823	1,582	1,454	1,388	1,291	1,179	1,137	1,102	1,040	0,983	0,930	0,873	0,843	0,813	0,731	0,670	0,631	0,562	1,457	0,22
0,23	2,100	1,869	1,613	1,476	1,407	1,304	1,187	1,142	1,105	1,041	0,981	0,926	0,867	0,836	0,804	0,720	0,657	0,617	0,547	0,440	0,23
0,24	2,159	1,914	1,643	1,499	1,426	1,318	1,194	1,149	1,109	1,042	0,980	0,922	0,861	0828	0,796	0,708	0,644	0,603	0,531	0,423	0,24
0,25	2,218	1,960	1,674	1,522	1,445	1,332	1,202	1,154	1,113	1,043	0,978	0,918	0,854	0,821	0,788	0,697	0,630	0,588	0,515	0,406	0,25
0,26	2,278	2,006	1,704	1,545	1,464	1,345	1,210	1,160	1,117	1,044	0,976	0,914	0,848	0,814	0,779	0,686	0,617	0,574	0,499	0,388	0,26
0,27	2,337	2,051	1,734	1,568	1,483	1,358	1,217	1,166	1,121	1,045	0,975	0,910	0,842	0,806	0,770	0,674	0,604	0,560	0,483	0,371	0,27
0,28	2,396	2,097	1,764	1,590	1,502	1,372	1,225	1,172	1,124	1,046	0,973	0,906	0,836	0,799	0,762	0,663	0,591	0,546	0,468	0,354	0,28
0,29	2,456	2,142	1,795	1,613	1,521	1,386	1,232	1,177	1,128	1,047	0,972	0,902	0,829	0,791	0,754	0,651	0,578	0,531	0,452	0,336	0,29
0,30	2,515	2,188	1,825	1,636	1,540	1,399	1,240	1,183	1,132	1,048	0,970	0,898	0,823	0,784	0,745	0,640	0,564	0,517	0,436	0,319	0,30
0,31	2,584	2,239	1,858	1,660	1,560	1,413	1,247	1,188	1,135	1,048	0,968	0,893	0,817	0,776	0,736	0,629	0,553	0,504	0,423	0,306	0,31
0,32	2,662	2,290	1,891	1,683	1,579	1,426	1,254	1,193	1,138	1,048	0,966	0,889	0,810	0,769	0,727	0,618	0,542	0,492	0,410	0,294	0,32
0,33	2,721	2,340	1,924	1,707	1,599	1,440	1,262	1,198	1,142	1,048	0,963	0,884	0,804	0,761	0,718	0,608	0,530	0,480	0,396	0,281	0,33
0,34	2,789	2,391	1,957	1,730	1,618	1,454	1,269	1,203	1,145	1,048	0,961	0,880	0,798	0,754	0,709	0,597	0,518	0,467	0,383	0,268	0,34
0,35	2,858	2,442	1,990	1,754	1,638	1,468	1,276	1,208	1,148	1,048	0,959	0,875	0,792	0,746	0,700	0,586	0,506	0,454	0,370	0,256	0,35
0,36	2,926	2,493	2,024	1,778	1,658	1,481	1,283	1,212	1,151	1,048	0,957	0,870	0,785	0,738	0,692	0,575	0,495	0,442	0,357	0,243	0,36

Продолжение
табл.3.10

C_v	Обеспеченность р %	C_v
0,01	0,1	1	3	5	10	20	25	30	40	50	60	70	75	80	90	95	97	99	99,9
0,37	2,994	2,544	2,057	1,801	1,677	1,495	1,290	1,217	1,154	1,048	0,955	0,866	0,779	0,731	0,683	0,564	0,483	0,430	0,344	0,230	0,37
0,38	30,063	2,594	2,090	1,825	1,697	1,509	1,298	1,222	1,158	1,048	0,952	0,861	0,773	0,723	0,674	0,554	0,471	0,417	0,330	0,217	0,38
0,39	3,132	2,645	2,123	1,848	1,716	1,522	1,305	1,227	1,161	1,048	0,950	0,857	0,769	0,716	0,665	0,543	0,460	0,404	0,317	0,205	0,39
0,40	3,200	2,696	2,156	1,872	1,736	1,536	1,312	1,232	1,164	1,048	0,948	0,852	0,766	0,708	0,656	0,533	0,448	0,392	0,304	0,192	0,40
0,41	3,278	2,753	2,192	1,897	1,756	1,549	1,319	1,236	1,167	1,048	0,945	0,847	0,753	0,701	0,648	0,522	0,437	0,382	0,294	0,184	0,41
0,42	3,356	2,810	2,227	1,923	1,776	1,563	1,325	1,241	1,169	1,047	0,942	0,842	0,746	0,693	0,640	0,513	0,427	0,371	0,284	0,175	0,42
0,43	3,433	2,867	2,262	1,948	1,797	1,576	1,332	1,246	1,172	1,047	0,939	0,837	0,739	0,686	0,631	0,503	0,416	0,361	0,275	0,166	0,43
0,44	3,511	2,924	2,298	1,974	1,817	1,590	1,338	1,250	1,174	1,046	0,936	0,832	0,732	0,678	0,623	0,494	0,406	0,350	0,265	0,158	0,44
0,45	3,589	2,981	2,334	1,999	1,837	1,603	1,345	1,254	1,177	1,046	0,933	0,828	0,726	0,671	0,615	0,484	0,395	0,340	0,255	0,150	0,45
0,46	3,667	3,038	2,369	2,024	1,857	1,616	1,352	1,259	1,180	1,046	0,930	0,823	0,719	0,664	0,607	0,474	0,384	0,330	0,245	0,141	0,46
0,47	3,745	3,095	2,404	2,050	1,877	1,630	1,358	1,264	1,182	1,045	0,927	0,818	0,712	0,656	0,599	0,465	0,374	0,319	0,236	0,132	0,47
0,48	3,822	3,152	2,440	2,075	1,898	1,643	1,365	1,268	1,185	1,045	0,924	0,813	0,705	0,649	0,590	0,455	0,363	0,309	0,226	0,126	0,48
0,49	3,900	3,209	2,476	2,101	1,918	1,657	1,371	1,272	1,187	1,044	0,921	0,808	0,698	0,641	0,582	0,446	0,353	0,298	0,216	0,116	0,49
0,50	3,978	3,226	2,511	2,126	1,938	1,670	1,378	1,277	1,190	1,044	0,918	0,803	0,691	0,634	0,574	0,436	0,342	0,288	0,206	0,107	0,50
0,51	4,065	3,328	2,549	2,152	1,959	1,683	1,384	1,280	1,192	1,043	0,915	0,798	0,684	0,626	0,566	0,428	0,333	0,279	0,198	0,102	0,51
0,52	4,152	3,390	2,587	2,178	1,980	1,697	1,390	1,284	1,191	1,041	0,912	0,792	0,677	0,618	0,558	0,419	0,325	0,271	0,191	0,096	0,52
0,53	4,238	3,452	2,625	2,204	2,000	1,710	1,396	1,288	1,196	1,040	0,908	0,786	0,670	0,611	0,551	0,411	0,316	0,262	0,0183	0,090	0,53
0,54	4,325	3,514	2,663	2,230	2,0021	1,724	1,402	1,291	1,198	1,038	0,905	0,781	0,663	0,603	0,543	0,402	0,308	0,254	0,176	0,085	0,54
0,55	4,412	3,576	2,700	2,256	2,042	1,737	1,408	1,294	1,200	1,037	0,902	0,776	0,656	0,595	0,535	0,394	0,299	0,245	0,168	0,080	0,55
0,56	4,499	3,638	2,738	2,282	2,063	1,750	1,414	1,298	1,202	1,036	0,899	0,770	0,650	0,587	0,527	0,386	0,290	0,236	0,160	0,074	0,56
0,57	4,586	3,700	2,776	2,308	2,084	1,764	1,420	1,302	1,204	1,034	0,896	0,765	0,643	0,579	0,519	0,377	0,282	0,228	0,153	0,068	0,57
0,58	4,672	3,762	2,814	2,334	2,104	1,777	1,426	1,305	1,206	1,033	0,892	0,759	0,636	0,572	0,512	0,369	0,273	0,219	0,145	0,063	0,58
0,59	4,759	3,824	2,852	2,360	2,125	1,791	1,432	1,308	1,208	1,031	0,889	0,754	0,629	0,564	0,504	0,360	0,265	0,211	0,0138	0,058	0,59
0,60	4,846	3,886	2,890	2,386	2,146	1,804	1,438	1,312	1,210	1,030	0,886	0,748	0,622	0,556	0,496	0,352	0,256	0,202	0,130	0,052	0,60
0,61	4,942	3,954	2,930	2,413	2,167	1,817	1,444	1,315	1,211	1,028	0,882	0,742	0,615	0,549	0,488	0,344	0,248	0,196	0,125	0,050	0,61
0,62	5,039	4,021	2,970	2,441	2,188	1,831	1,450	1,318	1,211	1,027	0,878	0,737	0,608	0,543	0,481	0,336	0,241	0,189	0,119	0,047	0,62
0,63	5,135	4,089	3,010	2,468	2,210	1,844	1,456	1,321	1,212	10,25	0,874	0,731	0,601	0,536	0,473	0,328	0,234	0,183	0,114	0,044	0,63
0,64	5,231	4,157	3,050	2,495	2,231	1,858	1,462	1,324	1,213	1,024	0,870	0,726	0,594	0,529	0,465	0,320	0,226	0,177	0,108	0,042	0,64
0,65	5,328	4,224	3,090	2,522	2,252	1,871	1,468	1,328	1,214	1,022	0,866	0,720	0,587	0,522	0,458	0,312	0,218	0,170	0,103	0,040	0,65
0,66	5,424	4,292	3,129	2,550	2,273	1,884	1,473	1,331	1,214	1,020	0,862	0,714	0,580	0,516	0,450	0,304	0,211	0,164	0,098	0,037	0,66
0,67	5,520	4,360	3,169	2,577	2,294	1,898	1,479	1,334	1,215	1,019	0,858	0,709	0,573	0,509	0,442	0,296	0,204	0,158	0,092	0,034	0,67
0,68	5,616	4,428	30,209	2,604	2,316	1,911	1,485	1,337	1,216	1,017	0,854	0,703	0,566	0,502	0,434	0,288	0,196	0,152	0,087	0,032	0,68
0,69	5,713	4,495	3,249	2,632	2,337	1,925	1,491	1,339	1,216	1,016	0,850	0,698	0,559	0,496	0,427	0,280	0,188	0,145	0,081	0,030	0,69
0,70	5,809	4,563	3,289	2,659	2,358	1,938	1,497	1,343	1,217	1,014	0,846	0,692	0,552	0,489	0,419	0,272	0,181	0,139	0,076	0,027	0,70
0,71	5,913	4,636	3,331	2,687	2,379	1,951	1,502	1,346	1,218	1,011	0,841	0,686	0,546	0,482	0,412	0,266	0,175	0,134	0,072	0,025	0,71

Продолжение
табл.3.10

C_v	Обеспеченность р %	C_v
0,01	0,1	1	3	5	10	20	25	30	40	50	60	70	75	80	90	95	97	99	99,9
0,72	6,017	4,710	3,374	2,714	2,400	1,963	1,506	1,348	1,218	1,008	0,837	0,680	0,539	0,474	0,406	0,259	0,168	0,129	0,069	0,023	0,72
0,73	6,121	4,783	3,416	2,742	2,421	1,976	1,511	1,350	1,219	1,005	0,832	0,674	0,533	0,467	0,399	0,253	0,163	0,124	0,065	0,021	0,73
0,74	6,225	4,856	3,458	2,770	2,442	1,988	1,516	1,353	1,220	1,002	0,828	0,668	0,526	0,460	0,392	0,246	0,157	0,119	0,062	0,019	0,74
0,75	6,328	4,930	3,500	2,798	2,463	2,001	1,520	1,356	1,220	0,999	0,823	0,662	0,520	0,452	0,386	0,240	0,150	0,113	0,058	0,018	0,75
0,76	6,432	5,003	3,543	2,825	2,484	2,014	1,525	1,358	1,221	0,996	0,818	0,656	0,514	0,445	0,379	0,234	0,144	0,108	0,054	0,016	0,76
0,77	6,536	5,076	3,585	2,853	2,505	2,026	1,530	1,360	1,222	0,993	0,814	0,650	0,507	0,438	0,372	0,227	0,138	0,103	0,051	0,014	0,77
0,78	6,640	5,149	3,627	2,881	2,526	2,039	1,535	1,363	1,223	0,990	0,809	0,644	0,501	0,431	0,365	0,221	0,132	0,098	0,047	0,012	0,78
0,79	6,744	5,223	3,670	2,908	2,547	2,051	1,539	1,366	1,223	0,987	0,805	0,638	0,494	0,423	0,359	0,214	0,126	0,093	0,044	0,010	0,79
0,80	6,848	5,296	3,712	2,936	2,568	2,064	1,544	1,368	1,224	0,984	0,800	0,632	0,488	0,416	0,352	0,208	0,120	0,088	0,040	0,008	0,80
0,81	6,962	5,374	3,756	2,964	2,589	2,076	1,547	1,369	1,223	0,981	0,795	0,626	0,482	0,410	0,345	0,203	0,116	0,084	0,038	0,007	0,81
0,82	7,075	5,452	3,800	2,992	2,611	2,089	1,550	1,370	1,222	0,978	0,790	0,619	0,475	0,403	0,338	0,197	0,112	0,080	0,036	0,007	0,82
0,83	0,189	5,530	3,843	3,019	2,632	2,101	1,554	1,371	1,222	0,975	0,784	0,613	0,469	0,397	0,330	0,192	0,109	0,075	0,034	0,006	0,83
0,84	7,302	5,608	3,887	2,047	2,654	2,114	1,557	1,372	1,221	0,972	0,779	0,606	0,462	0,390	0,323	0,186	0,105	0,071	0,032	0,006	0,84
0,85	7,416	5,686	3,931	3,075	2,675	2,126	1,546	1,373	1,220	0,970	0,774	0,600	0,456	0,384	0,316	0,181	0,0101	0,067	0,030	0,005	0,85
0,86	7,530	5,764	3,975	3,103	2,696	2,138	1,563	1,374	1,219	0,967	0,769	0,594	0,450	0,378	0,309	0,176	0,097	0,063	0,027	0,004	0,86
0,87	7,643	5,542	4,019	3,131	2,718	2,151	1,566	1,375	1,218	0,964	0,764	0,587	0,443	0,371	0,302	0,170	0,093	0,058	0,025	0,004	0,87
0,88	7,757	5,920	4,062	3,158	2,739	2,163	1,570	1,376	1,218	0,961	0,758	0,581	0,437	0,365	0,294	0,165	0,090	0,054	0,023	0,003	0,88
0,89	7,870	5,998	4,106	3,186	2,761	2,176	1,573	1,377	1,217	0,958	0,753	0,574	0,430	0,358	0,287	0,0,159	0,086	0,050	0,021	0,003	0,89
0,90	7,984	6,076	4,150	3,214	2,782	2,188	1,576	1,378	1,216	0,955	0,748	0,568	0,424	0,352	0,280	0,154	0,082	0,046	0,019	0,002	0,90
0,91	8,107	6,159	4,196	3,243	2,803	2,200	1,579	1,379	1,215	0,951	0,742	0,562	0,417	0,346	0,274	0,149	0,079	0,044	0,018	0,002	0,91
0,92	8,229	6,242	4,241	3,273	2,825	2,211	1,583	1,380	1,214	0,947	0,737	0,557	0,411	0,339	0,269	0,144	0,076	0,043	0,017	0,002	0,92
0,93	8,352	6,326	4,286	3,302	2,846	2,222	1,586	1,380	1,212	0,943	0,732	0,551	0,404	0,333	0,263	0,139	0,073	0,041	0,016	0,002	0,93
0,94	8,474	6,409	4,332	3,331	2,868	2,234	1,590	1,381	1,211	0,939	0,726	0,545	0,397	0,326	0,257	0,134	0,070	0,040	0,015	0,002	0,94
0,95	8,597	6,492	4,378	3,360	2,889	2,246	1,593	1,382	1,210	0,936	0,720	0,540	0,390	0,320	0,252	0,129	0,066	0,038	0,014	0,001	0,95
0,96	8,720	6,575	4,423	3,390	2,910	2,257	1,596	1,383	1,209	0,932	0,715	0,534	0,384	0,314	0,246	0,125	0,063	0,036	0,014	0,001	0,96
0,97	8,842	6,658	7,468	3,419	2,932	2,268	1,600	1,384	1,208	0,928	0,710	0,528	0,377	0,307	0,240	0,120	0,060	0,035	0,013	0,001	0,97
0,98	8,965	6,742	4,514	3,448	2,953	2,280	1,603	1,384	1,206	0,924	0,704	0,522	0,370	0,301	0,234	0,115	0,057	0,033	0,012	0,001	0,98
0,99	9,087	6,825	4,560	3,478	2,975	2,292	1,607	1,385	1,205	0,920	0,698	0,517	0,364	0,294	0,229	0,110	0,054	0,032	0,011	0,001	0,99
1,00	9,210	6,908	4,605	3,507	2,996	2,303	1,610	1,386	1,204	0,916	0,693	0,511	0,357	0,288	0,223	0,105	0,051	0,030	0,010	0,001	1,00
1,05		7,329	4,828	3,654	3,108	2,352	1,618	1,388	1,190	0,893	0,666	0,480	0,328	0,264	0,190	0,090	0,040	0,023	0,0074	0,000	1,05
1,10		7,750	5,050	3,800	3,220	2,400	1,625	1,380	1,175	0,870	0,640	0,450	0,300	0,241	0,175	0,074	0,030	0,016	0,0047	0,000	1,10
1,15		8,200	5,290	3,960	3,310	2,450	1,628	1,370	1,160	0,850	0,610	0,420	0,275	0,217	0,152	0,062	0,023	0,012	0,0031	0,000	1,15
1,20		8,650	5,530	4,120	3,400	2,500	1,630	1,350	1,145	0,830	0,580	0,390	0,250	0,198	0,130	0,049	0,016	0,008	0,0015	0,000	1,20
1,25		9,125	5,775	4,270	3,500	2,535	1,626	1340	1,128	0,805	0,550	0,362	0,226	0,170	0,112	0,040	0,012	0,0059	0,0010	0,000	1,25
1,30		9,600	6,020	4,420	3,600	2,570	1,621	1,330	1,110	0,780	0,520	0,334	0,203	0,146	0,094	0,030	0,0086	0,0038	0,0005	0,000	1,30

Окончание
табл. 3.10

C_v	Обеспеченность р %	C_v
0,01	0,1	1	3	5	10	20	25	30	40	50	60	70	75	80	90	95	97	99	99,9
1,35		10,10	6,285	4,565	3,700	2,605	1,616	1,320	1,095	0,752	0,490	0,308	0,179	0,126	0,080	0,023	0,0063	0,0025	0,0002	0,000	1,35
1,40		10,60	6,550	4,710	3,800	2,640	1,610	1,310	1,080	0,725	0,460	0,283	0,155	0,106	0,065	0,016	0,0040	0,0012	0,000	0,000	1,40
1,45		11,12	6,815	4,845	3,880	2,670	1,600	1,295	1,060	0,698	0,432	0,258	0,138	0,092	0,056	0,012	0,0030	0,0006	0,000	0,000	1,45
1,50		11,65	7,080	4,980	3,960	2,700	590	1,280	1,040	0,670	0,405	0,234	0,120	0,077	0,046	0,009	0,0020	0,000	0,000	0,000	1,50
1,55		12,20	7,330	5,115	4,045	2,725	1,575	1,260	1,015	0,638	0,378	0,212	0,105	0,066	0,038	0,007	0,001	0,000	0,000	0,000	1,55
1,60		12,75	7,580	5,250	4,130	2,750	1,560	1,240	0990	0,605	0,350	0,190	0,090	0,056	0,030	0,005	0,000	0,000	0,000	0,000	1,60
1,65		13,28	7,840	5,385	4,215	2,775	1,545	1,210	0964	0,575	0,325	0,170	0,078	0,048	0,024	0,0035	0,000	0,000	0,000	0,000	1,65
1,70		13,80	8,100	5,520	4,300	2,800	1,530	1,180	0938	0,545	0,300	0,150	0,067	0,039	0,019	0,002	0,000	0,000	0,000	0,000	1,70
1,75		14,35	8,360	5,650	4,385	2,825	1,512	1,148	0,904	0,518	0,275	0,134	0,058	0,033	0,016	0,0012	0,000	0,000	0,000	0,000	1,75
1,80		14,90	8,620	5,780	4,470	8,850	1,495	1,115	0,870	0,490	0,250	0,117	0,048	0,027	0,012	0,0005	0,000	0,000	0,000	0,000	1,80
1,85		15,52	8,885	5,905	4,540	8,875	1,478	1,088	0,845	0,462	0,231	0,104	0,040	0,022	0,0094	0,0002	0,000	0,000	0,000	0,000	1,85
1,90		16,15	9,150	6,030	4,620	8,900	1,460	1,060	0,820	0,435	0,212	0,090	0,033	0,017	0,0068	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	1,90
1,95		16,75	9,415	6,165	4,705	8,915	1,441	1,040	0,791	0,408	0,194	0,080	0,028	0,014	0,0053	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	1,95
2,00		17,35	9,680	6,300	4,790	8,930	1,422	1,020	0,762	0,380	0,175	0,070	0,022	0,011	0,0038	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	2,00
2,05		17,98	9,940	6,425	7,870	2,940	1,404	1,000	0,740	0,360	0,158	0,062	0,018	0,009	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	2,05
2,10		18,60	10,200	6,550	4,950	2,950	1,385	0,979	0,719	0,340	0,140	0,053	0,014	0,007	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	2,10
2,15		19,25	10,465	6,665	5,025	2,975	1,362	0,954	0,690	0,318	0,124	0,045	0,012	0,0054	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	2,15
2,20		19,90	10,730	6,780	5,100	3,000	1,340	0,930	0,660	0,295	0,108	0,037	0,009	0,0038	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	2,20
2,25		20,55	11,00	6,900	5,165	3,000	1,318	0,905	0,635	0,278	0,095	0,032	0,0072	0,0029	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	2,25
2,30		21,20	11,28	7,020	5,230	3,000	1,295	0,880	0,610	0,260	0,082	0,027	0,0055	0,0020	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	2,30
2,35		21,85	11,54	7,135	5,290	2,990	1,286	0,850	0,582	0,240	0,071	0,023	0,0043	0,0015	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	2,35
2,40		22,50	11,80	7,250	5,350	2,980	1,240	0,820	0,555	0,220	0,060	0,019	0,0031	0,0010	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	2,40
2,45		23,15	12,08	7,375	5,400	2,965	1,205	0,786	0,528	0,200	0,055	0,016	0,0026	0,0006	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	2,45
2,50		23,80	12,36	7,500	5,450	2,950	1,170	0,752	0,500	0,180	0,050	0,012	0,0020	0,0002	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	2,50
2,55		24,45	12,64	7,625	5,485	2,925	1,130	0,716	0,475	0,165	0,040	0,010	0,0015	0,0001	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	2,55
2,60		25,10	12,92	7,750	5,520	2,900	1,090	0,680	0,450	0,150	0,040	0,008	0,0010	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	2,60

Пример 3.1.

Определить
расходы воды р. Енисея у г. Енисейска
заданных обеспеченностей:
р = 5, 10, 25, 50, 75, 95, 97 и 99%. Для
решения поставленной задачи необходимо:

вычислить
параметры кривой обеспеченности Q₀,
C_v
и
C_s;
построить кривые
обеспеченности — эмпирическую и
теоретическую;

по
принятой теоретической кривой
обеспеченности вычислить расходы воды
заданной обеспеченности.

Продолжительность
наблюдений над стоком Енисея у г.
Енисейска 60
лет — с 1903 по 1966 г. за исключением 1906,
1922, 1923 и 1924 гг., когда имелись
перерывы в наблюдениях. Вычисления Qo,
C_v
и
C_s
сводятся в стандартную
таблицу (табл. 3.11);
C_v
и
С_а
вычисляются
методом моментов.

В
графе 1 таблицы выписывается порядковый
номер, который используется
в формуле при определении эмпирической
обеспеченности, в графах
2 — 3 — годы и средние годовые расходы
или модули в хронологическом порядке.
В графе 4 годовые расходы расположены
в убывающем порядке от наибольшего,
который имеет первый номер убывающего
ряда, до наименьшего с
порядковым номером 60.

Затем
определяются
,
модульные коэффициенты расходов
убывающего ряда(гр. 5) и значения (k
-1), (k -1)²,
(k -1)³(гр. 6 —
9). Вычисления выполняются с точностьюk – два знака после
запятой,

(k
-1)², (k -1)³– четыре знака после запятой.

Контроль
вычислений
(числу членов ряда);.Погрешности
за счет округления k
при
вычислении его с помощью логарифмической
линейки обычно не велики, и если невязка
не превышает 0,2—0,4, то она разбрасывается
в ряд k.
Грубые
ошибки вычисления k
и
(k—1)²
скажутся на
точности C_v
и
кривой обеспеченности, и поэтому значения
k
должны
быть исправлены.

Значения
C_v
и
С_я
вычисляются по алгебраическим суммам

и
.

Таблица
3.11.

Подсчет коэффициента
вариации и асимметрии годового стока
р. Енисея

у г. Енисейска

F=
1420 000 км²

№ пп	Год	Q м³/сек	Q, м³/сек в убывающем порядке	k	(k -1)	(k -1)²	(k-1)³	р, %
+		+
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	1903	6560	10200	1,34	0,34		0,1156	0,0393		1,64
2	1904	8100	9350	1,22	0,22		0,0484	0,0106		3,28
3	1905	7350	9260	1,21	0,21		0,0441	0,0093		4,92
…
56	1962	6680	6610	0,86		0,14	0,0196		0,0027	91,8
57	1963	6950	6660	0,86		0,14	0,0196		0,0027	93,5
58	1964	6400	6420	0,84		0,16	0,0256		0,0041	95,1
59	1965	7360	6400	0,84		0,16	0,0256		0,0041	96,9
60	1966	8480	6180	0,81		0,19	0,0361		0,0069	98,5
Сумма			59,96	0	0,6944	0,0458

Q₀=7640
м³/сек

;
%

Параметры кривой
обеспеченности годового стока р. Енисея
у г. Енисейска, вычисленные по 60-летнему
ряду наблюдений, и их средние квадратические
ошибки , Q₀= 7640 м³/сек,%,C_v
= 0,11,%,С_s=0,57,%.

Ошибки определения
Q₀
и C_v
незначительны, и вычисленные значения
Qo
и Си могут быть приняты
для дальнейших расчетов. Ошибка C_s
при n
= 60 годам получилась
большой. Поэтому расчетную кривую
обеспеченности выбираем из двух
теоретических кривых, построенных при
C_s
вычисленном и C_s
= 2 C_v.
Кривые обеспеченности построим для
расходов.

Сначала
строим эмпирическую кривую обеспеченности.
Для этого пользуемся графами 5 и 11 табл.
3.11.
Построение выполняем на специальной
клетчатке (см. рис. 3.1).
Затем вычисляем ординаты теоретических
кривых обеспеченности. Так как C_v
=0,11, то для построения теоретических
кривых обеспеченности пользуемся
таблицами биномиальной кривой (приложение
6 и 7). Вычисления ординат кривой при C_s
= 0,57 сводятся в табл. 3.12.
Значения Ф_Рвыписываем из строчки
приложения 6, соответствующей C_s=0,57.
Значения kp
и Qp.

При
C_S=2C_V
пользуемся таблицей ординат кривой
обеспеченности (приложение 7), где
приводятся значения k_p,
соответствующие C_v
(значения k_pвыписываем из строки
C_v
= 0,11). По вычисленным Q_P
построены две теоретические кривые
обеспеченности, совмещенные с эмпирической
кривой (рис. 1).

Сопоставление
совмещенных кривых позволяет сделать
вывод, что теоретическая кривая
обеспеченности, построенная при C_s=0,57,
лучше соответствует эмпирической кривой
(наблюденным точкам) во всем диапазоне
и поэтому она принимается в качестве
расчетной (табл. 3.13).

Таблица
3.12.

Вычисление
ординат кривой обеспеченности годовых
расходов воды р. Енисея у г. Енисейска

N= 60,Q₀= 7640 м³/сек,C_v
= 0,11

р, %	0,1	1	5	10	25	50	75	80	90	95	97	99	99,9
С_s=0,57
Ф_р	3,92	2,73	1,79	1,32	0,62	-0,1	-0,72	-1,85	-1,2	-1,46	-1,63	-1,9	-2,3
Ф_р C_v	0,43	0,3	0,2	0,14	0,07	-0,01	-0,08	-0,09	-0,13	-0,16	-0,18	-0,21	-0,25
k_p = Ф_р C_v+1	1,43	1,3	1,2	1,14	1,07	0,99	0,92	0,91	0,87	0,84	0,82	0,79	0,75
Q_p = Q₀ k_p	10900	9940	9140	8640	8170	7560	7020	6950	6630	6420	6250	6020	5720
С_s = 2 C_v
k_p	1,37	1,27	1,19	1,14	1,07	1,0	0,92	0,91	0,86	0,83	0,80	0,76	0,70
Q_p = Q₀ k_p	10530	9700	9090	8700	8170	7640	7020	6950	6560	6340	6100	5800	5340

Таблица
3.13.

Годовые расходы
воды р. Енисея у г. Енисейска заданных
обеспеченностей

Qo
= 7640 м³/сек,
и C_v
= 0,11, C_s=0,57.

Обеспеченность р,%	5	10	50	75	90	95	97	99
Q_p м³/сек	9140	8640	7560	7020	6630	6420	6250	6020

Рис.3.1.
Кривые обеспеченности средних годовых
расходов воды р. Енисея у г. Енисейска,
n
=60, Q₀=7640
м*/сек, C_v
= 0,11, C_s=0,57.

Пример
3.2.

Определить
параметры кривой обеспеченностей
и значения годового стока разной
обеспеченности р. Илека (F=
11 000 км²)
р=5, 10, 25, 50, 75, 95, 97 и 99%.

Для решения
поставленной задачи необходимо:

вычислить
параметры кривой обеспеченности Q₀,
C_v
и
C_s;
построить кривые
обеспеченности – эмпирическую и
теоретическую;

по
принятой теоретической кривой
обеспеченности вычислить расходы воды
заданной обеспеченности.

C_v
и
С_а
вычисляются
методом моментов.

№	Год	М_ср, л/сек с 1 км²
1	1940	0,72
2	1941	3,39
3	1942	5,19
4	1944	0,43
5	1946	4,04
6	1947	1,23
7	1948	3,75
8	1949	2,54
9	1950	0,70
10	1951	0,68
11	1952	2,74
12	1953	0,95
13	1954	1,25
14	1955	0,78
15	1956	1,16
16	1957	3,74
17	1958	1,64
18	1959	1,50
19	1960	1,79
20	1961	0,82
21	1962	1,06

Источник

Содержание

Расчет ошибки средней арифметической
- Способ 1: расчет с помощью комбинации функций
- Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»
Вопросы и ответы

Стандартная ошибка или, как часто называют, ошибка средней арифметической, является одним из важных статистических показателей. С помощью данного показателя можно определить неоднородность выборки. Он также довольно важен при прогнозировании. Давайте узнаем, какими способами можно рассчитать величину стандартной ошибки с помощью инструментов Microsoft Excel.

Расчет ошибки средней арифметической

Одним из показателей, которые характеризуют цельность и однородность выборки, является стандартная ошибка. Эта величина представляет собой корень квадратный из дисперсии. Сама дисперсия является средним квадратном от средней арифметической. Средняя арифметическая вычисляется делением суммарной величины объектов выборки на их общее количество.

В Экселе существуют два способа вычисления стандартной ошибки: используя набор функций и при помощи инструментов Пакета анализа. Давайте подробно рассмотрим каждый из этих вариантов.

Способ 1: расчет с помощью комбинации функций

Прежде всего, давайте составим алгоритм действий на конкретном примере по расчету ошибки средней арифметической, используя для этих целей комбинацию функций. Для выполнения задачи нам понадобятся операторы СТАНДОТКЛОН.В, КОРЕНЬ и СЧЁТ.

Для примера нами будет использована выборка из двенадцати чисел, представленных в таблице.

Выделяем ячейку, в которой будет выводиться итоговое значение стандартной ошибки, и клацаем по иконке «Вставить функцию».

Открывается Мастер функций. Производим перемещение в блок «Статистические». В представленном перечне наименований выбираем название «СТАНДОТКЛОН.В».

Запускается окно аргументов вышеуказанного оператора. СТАНДОТКЛОН.В предназначен для оценивания стандартного отклонения при выборке. Данный оператор имеет следующий синтаксис:
=СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…)

«Число1» и последующие аргументы являются числовыми значениями или ссылками на ячейки и диапазоны листа, в которых они расположены. Всего может насчитываться до 255 аргументов этого типа. Обязательным является только первый аргумент.

Итак, устанавливаем курсор в поле «Число1». Далее, обязательно произведя зажим левой кнопки мыши, выделяем курсором весь диапазон выборки на листе. Координаты данного массива тут же отображаются в поле окна. После этого клацаем по кнопке «OK».

В ячейку на листе выводится результат расчета оператора СТАНДОТКЛОН.В. Но это ещё не ошибка средней арифметической. Для того, чтобы получить искомое значение, нужно стандартное отклонение разделить на квадратный корень от количества элементов выборки. Для того, чтобы продолжить вычисления, выделяем ячейку, содержащую функцию СТАНДОТКЛОН.В. После этого устанавливаем курсор в строку формул и дописываем после уже существующего выражения знак деления (/). Вслед за этим клацаем по пиктограмме перевернутого вниз углом треугольника, которая располагается слева от строки формул. Открывается список недавно использованных функций. Если вы в нем найдете наименование оператора «КОРЕНЬ», то переходите по данному наименованию. В обратном случае жмите по пункту «Другие функции…».

Снова происходит запуск Мастера функций. На этот раз нам следует посетить категорию «Математические». В представленном перечне выделяем название «КОРЕНЬ» и жмем на кнопку «OK».

Открывается окно аргументов функции КОРЕНЬ. Единственной задачей данного оператора является вычисление квадратного корня из заданного числа. Его синтаксис предельно простой:
=КОРЕНЬ(число)

Как видим, функция имеет всего один аргумент «Число». Он может быть представлен числовым значением, ссылкой на ячейку, в которой оно содержится или другой функцией, вычисляющей это число. Последний вариант как раз и будет представлен в нашем примере.

Устанавливаем курсор в поле «Число» и кликаем по знакомому нам треугольнику, который вызывает список последних использованных функций. Ищем в нем наименование «СЧЁТ». Если находим, то кликаем по нему. В обратном случае, опять же, переходим по наименованию «Другие функции…».

В раскрывшемся окне Мастера функций производим перемещение в группу «Статистические». Там выделяем наименование «СЧЁТ» и выполняем клик по кнопке «OK».

Запускается окно аргументов функции СЧЁТ. Указанный оператор предназначен для вычисления количества ячеек, которые заполнены числовыми значениями. В нашем случае он будет подсчитывать количество элементов выборки и сообщать результат «материнскому» оператору КОРЕНЬ. Синтаксис функции следующий:
=СЧЁТ(значение1;значение2;…)

В качестве аргументов «Значение», которых может насчитываться до 255 штук, выступают ссылки на диапазоны ячеек. Ставим курсор в поле «Значение1», зажимаем левую кнопку мыши и выделяем весь диапазон выборки. После того, как его координаты отобразились в поле, жмем на кнопку «OK».

После выполнения последнего действия будет не только рассчитано количество ячеек заполненных числами, но и вычислена ошибка средней арифметической, так как это был последний штрих в работе над данной формулой. Величина стандартной ошибки выведена в ту ячейку, где размещена сложная формула, общий вид которой в нашем случае следующий:
=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13))

Результат вычисления ошибки средней арифметической составил 0,505793. Запомним это число и сравним с тем, которое получим при решении поставленной задачи следующим способом.

Но дело в том, что для малых выборок (до 30 единиц) для большей точности лучше применять немного измененную формулу. В ней величина стандартного отклонения делится не на квадратный корень от количества элементов выборки, а на квадратный корень от количества элементов выборки минус один. Таким образом, с учетом нюансов малой выборки наша формула приобретет следующий вид:

=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13)-1)

Урок: Статистические функции в Экселе

Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»

Вторым вариантом, с помощью которого можно вычислить стандартную ошибку в Экселе, является применение инструмента «Описательная статистика», входящего в набор инструментов «Анализ данных» («Пакет анализа»). «Описательная статистика» проводит комплексный анализ выборки по различным критериям. Одним из них как раз и является нахождение ошибки средней арифметической.

Но чтобы воспользоваться данной возможностью, нужно сразу активировать «Пакет анализа», так как по умолчанию в Экселе он отключен.

После того, как открыт документ с выборкой, переходим во вкладку «Файл».

Далее, воспользовавшись левым вертикальным меню, перемещаемся через его пункт в раздел «Параметры».

Запускается окно параметров Эксель. В левой части данного окна размещено меню, через которое перемещаемся в подраздел «Надстройки».

В самой нижней части появившегося окна расположено поле «Управление». Выставляем в нем параметр «Надстройки Excel» и жмем на кнопку «Перейти…» справа от него.

Запускается окно надстроек с перечнем доступных скриптов. Отмечаем галочкой наименование «Пакет анализа» и щелкаем по кнопке «OK» в правой части окошка.

После выполнения последнего действия на ленте появится новая группа инструментов, которая имеет наименование «Анализ». Чтобы перейти к ней, щелкаем по названию вкладки «Данные».

После перехода жмем на кнопку «Анализ данных» в блоке инструментов «Анализ», который расположен в самом конце ленты.

Запускается окошко выбора инструмента анализа. Выделяем наименование «Описательная статистика» и жмем на кнопку «OK» справа.

Запускается окно настроек инструмента комплексного статистического анализа «Описательная статистика».
В поле «Входной интервал» необходимо указать диапазон ячеек таблицы, в которых находится анализируемая выборка. Вручную это делать неудобно, хотя и можно, поэтому ставим курсор в указанное поле и при зажатой левой кнопке мыши выделяем соответствующий массив данных на листе. Его координаты тут же отобразятся в поле окна.

В блоке «Группирование» оставляем настройки по умолчанию. То есть, переключатель должен стоять около пункта «По столбцам». Если это не так, то его следует переставить.

Галочку «Метки в первой строке» можно не устанавливать. Для решения нашего вопроса это не важно.

Далее переходим к блоку настроек «Параметры вывода». Здесь следует указать, куда именно будет выводиться результат расчета инструмента «Описательная статистика»:
- На новый лист;
- В новую книгу (другой файл);
- В указанный диапазон текущего листа.
Давайте выберем последний из этих вариантов. Для этого переставляем переключатель в позицию «Выходной интервал» и устанавливаем курсор в поле напротив данного параметра. После этого клацаем на листе по ячейке, которая станет верхним левым элементом массива вывода данных. Её координаты должны отобразиться в поле, в котором мы до этого устанавливали курсор.

Далее следует блок настроек определяющий, какие именно данные нужно вводить:
- Итоговая статистика;
- К-ый наибольший;
- К-ый наименьший;
- Уровень надежности.
Для определения стандартной ошибки обязательно нужно установить галочку около параметра «Итоговая статистика». Напротив остальных пунктов выставляем галочки на свое усмотрение. На решение нашей основной задачи это никак не повлияет.

После того, как все настройки в окне «Описательная статистика» установлены, щелкаем по кнопке «OK» в его правой части.

После этого инструмент «Описательная статистика» выводит результаты обработки выборки на текущий лист. Как видим, это довольно много разноплановых статистических показателей, но среди них есть и нужный нам – «Стандартная ошибка». Он равен числу 0,505793. Это в точности тот же результат, который мы достигли путем применения сложной формулы при описании предыдущего способа.

Урок: Описательная статистика в Экселе

Как видим, в Экселе можно произвести расчет стандартной ошибки двумя способами: применив набор функций и воспользовавшись инструментом пакета анализа «Описательная статистика». Итоговый результат будет абсолютно одинаковый. Поэтому выбор метода зависит от удобства пользователя и поставленной конкретной задачи. Например, если ошибка средней арифметической является только одним из многих статистических показателей выборки, которые нужно рассчитать, то удобнее воспользоваться инструментом «Описательная статистика». Но если вам нужно вычислить исключительно этот показатель, то во избежание нагромождения лишних данных лучше прибегнуть к сложной формуле. В этом случае результат расчета уместится в одной ячейке листа.

Источник

Из предыдущей статьи мы узнали о таких показателях, как размах вариации, межквартильный размах и среднее линейное отклонение. В этой статье изучим дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия

Дисперсия случайной величины – это один из основных показателей в статистике. Он отражает меру разброса данных вокруг средней арифметической.

Сейчас небольшой экскурс в теорию вероятностей, которая лежит в основе математической статистики. Как и матожидание, дисперсия является важной характеристикой случайной величины. Если матожидание отражает центр случайной величины, то дисперсия дает характеристику разброса данных вокруг центра.

Формула дисперсии в теории вероятностей имеет вид:

То есть дисперсия — это математическое ожидание отклонений от математического ожидания.

На практике при анализе выборок математическое ожидание, как правило, не известно. Поэтому вместо него используют оценку – среднее арифметическое. Расчет дисперсии производят по формуле:

где

s² – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,

X – отдельные значения,

X̅– среднее арифметическое по выборке.

Стоит отметить, что у такого расчета дисперсии есть недостаток – она получается смещенной, т.е. ее математическое ожидание не равно истинному значению дисперсии. Подробней об этом здесь. Однако при увеличении объема выборки она все-таки приближается к своему теоретическому аналогу, т.е. является асимптотически не смещенной.

Простыми словами дисперсия – это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности. Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения. В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений. Отклонения возводятся в квадрат, и считается средняя. Теперь вы знаете, как найти дисперсию.

Генеральную и выборочную дисперсии легко рассчитать в Excel. Есть специальные функции: ДИСП.Г и ДИСП.В соответственно.

В чистом виде дисперсия не используется. Это вспомогательный показатель, который нужен в других расчетах. Например, в проверке статистических гипотез или расчете коэффициентов корреляции. Отсюда неплохо бы знать математические свойства дисперсии.

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины A равна 0 (нулю).

D(A) = 0

Свойство 2. Если случайную величину умножить на постоянную А, то дисперсия этой случайной величины увеличится в А² раз. Другими словами, постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

D(AX) = А² D(X)

Свойство 3. Если к случайной величине добавить (или отнять) постоянную А, то дисперсия останется неизменной.

D(A + X) = D(X)

Свойство 4. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

D(X+Y) = D(X) + D(Y)

Свойство 5. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их разницы также равна сумме дисперсий.

D(X-Y) = D(X) + D(Y)

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение

Если из дисперсии извлечь квадратный корень, получится среднеквадратичное (стандартное) отклонение (сокращенно СКО). Встречается название среднее квадратичное отклонение и сигма (от названия греческой буквы). Общая формула стандартного отклонения в математике следующая:

На практике формула стандартного отклонения следующая:

Как и с дисперсией, есть и немного другой вариант расчета. Но с ростом выборки разница исчезает.

Расчет cреднеквадратичного (стандартного) отклонения в Excel

Для расчета стандартного отклонения достаточно из дисперсии извлечь квадратный корень. Но в Excel есть и готовые функции: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В (по генеральной и выборочной совокупности соответственно).

Среднеквадратичное отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными.

Коэффициент вариации

Значение стандартного отклонения зависит от масштаба самих данных, что не позволяет сравнивать вариабельность разных выборках. Чтобы устранить влияние масштаба, необходимо рассчитать коэффициент вариации по формуле:

По нему можно сравнивать однородность явлений даже с разным масштабом данных. В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной. В реальности, если коэффициент вариации превышает 33%, то специально ничего делать по этому поводу не нужно. Это информация для общего представления. В общем коэффициент вариации используют для оценки относительного разброса данных в выборке.

Расчет коэффициента вариации в Excel

Расчет коэффициента вариации в Excel также производится делением стандартного отклонения на среднее арифметическое:

=СТАНДОТКЛОН.В()/СРЗНАЧ()

Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейке с формулой можно присвоить процентный формат:

Коэффициент осцилляции

Еще один показатель разброса данных на сегодня – коэффициент осцилляции. Это соотношение размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) к средней. Готовой формулы Excel нет, поэтому придется скомпоновать три функции: МАКС, МИН, СРЗНАЧ.

Коэффициент осцилляции показывает степень размаха вариации относительно средней, что также можно использовать для сравнения различных наборов данных.

Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих разброс или однородность данных.

Ниже видео о том, как посчитать коэффициент вариации, дисперсию, стандартное (среднеквадратичное) отклонение и другие показатели вариации в Excel.

Поделиться в социальных сетях:

Источник