Производится измерение диаметра вала случайная ошибка измерения - Исправление ошибок и поиск оптимальных решений проблем

На рисунке ниже показан нормальный закон распределения случайной величины X в виде гистограммы.

Рисунок 1 — Пример нормального закона распределения

Случайная непрерывная величина X имеет нормальный закон распределения, если ее плотность распределения вероятности имеет выражение:

где m, σ — параметры распределения СВ;
m_xили m — математическое ожидание случайной величины,
— среднеквадратичное отклонение от величины a;
σ² — дисперсия.
Формула функции распределения СВ нормального закона определяется по формуле:

Рисунок 2 — График плотности нормального закона распределения X при m=0 и σ=1, m=0 и σ=0,4, m=0 и σ=3, m=2 и σ=0,5.

На рисунке 2 показана функция плотности нормального закона распределения при m=0 и σ=1;

при m=0 и σ=0,4 (функция плотности расширяется);
при m=0 и σ=3 (функция плотности сжимается);
при m=2 и σ=0,5 (функция плотности смещается вправо на 2 единицы относительно вершины).

Рисунок 3 — График функции нормального закона распределения X при m=0 и σ=1, m=0 и σ=0,4, m=0 и σ=3, m=2 и σ=0,5.

При m=0 и σ=1 на рисунке 2 нормальное распределение СВ называется стандартным нормальным распределением СВ (таблица плотности вероятности нормальной случайной величины), плотность которого равна

а функция распределения или функция Лапласа (таблица функции Лапласа)

Вероятность попадания в заданный интервал (α; β) распределенной случайной величины по нормальному закону с параметрами a, σ вычисляется по формуле:

с использованием интеграла вероятности

Из этих соотношений легко получить вероятность отклонения распределения случайной величины X от своего математического ожидания m:

,где δ — величина отклонения.

Полагая в этой формуле δ=3σ, получаем

P(|X-m_x|<δ)=2·Ф(3)=2⋅0.49865=0.9973

Рисунок 4

Этот правило носит название «правило трех сигм». Таким образом, см. рисунок 4 выше в 2,15+2,15+13,6+13,6+34,1+34,1=99,7% случаях все значения нормального закона распределения случайной величины сосредоточены в интервале (-3σ+m; 3σ+m). Распределение, заданное на бесконечном интервале, может быть рассмотрено на конечном интервале и погрешность при такой замене равна ,примерно, 0,3%.

Замечание
Нормальный закон распределения СВ является основным (базовым), часто встречается на практике и его также называют законом Гаусса.

Используется для построения доверительных интервалов, применяется для моделирования разброса при стрельбе, измерения ошибок и т.д.

При n→∞ биномиальное распределение быстро начинает приближаться к нормальному закону распределения СВ.

Пример 1

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15, 25).
Решение

$Pleft( {15 < x < 25} right) =$

$={text{Φ }}left( {frac{{25 — 20}}{{5}}} right) — {text{Φ }}left( {frac{{15 — 20}}{{5}}} right) = {text{Φ }}left( 1 right) — {text{Φ}}left( { — 1} right)$

Так как функция Ф(х) нечётна:

P(15<x<25)=Ф(1)+Ф(1)=2Ф(1)

По таблице функции Лапласа находим значение Ф(1) =0,3413

Р(15<х<25)=2Ф(1) = 0,6826

Пример 2
Случайная величина X распределена нормально с дисперсией 2 и средним квадратическим отклонением 4. Найти вероятность того, что она примет значение в интервале (2, 6).
Решение
D=2 ⇒ σ=$sqrt 2 $
m_x=4

$Pleft( {2 < x < 6} right) = {text{Φ }}left( {frac{{6 — 4}}{{sqrt 2 }}} right) — {text{Φ }}left( {frac{{2 — 4}}{{sqrt 2 }}} right)$

$Pleft( {2 < x < 6} right) = {text{Φ }}left( {1.41} right) — {text{Φ }}left( { — 1.41} right)$

По таблице функции Лапласа находим значение Ф(1.41) =0,3413

$Pleft( {2 < x < 6} right) = 2{text{Φ }}left( {1.41} right) = 2 cdot 0.4207 = 0.8414$

Пример 3

На станке изготавливается некоторая деталь. Ее длина представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 20 см и среднее квадратическое отклонение равную 0,2 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 см и 20.3 см

Решение

$Pleft( {19.7 < x < 20.3} right) =$

$={text{Φ }}left( {frac{{20.3 — 20}}{{0.2}}} right) — {text{Φ }}left( {frac{{19.7 — 20}}{{0.2}}} right) = {text{Φ }}left( 1 right) — {text{Φ}}left( { — 1} right)$

P(19.6<x<20.4)=Ф(1)+Ф(1)=2Ф(1)

По таблице функции Лапласа находим значение Ф(1) =0,3413

Р(19,7<х<20,3)=2Ф(1) = 0,6826

Пример 4
Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ=10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

Решение

P(|X-m_x|<δ)=2·Ф( δ/σ )

Математическое ожидание равно нулю, δ=15, σ=10, тогда

P(|X|<15)=2·Ф(15/10)=2Ф(1.5)

По таблице функции Лапласа находим значение Ф(1.5) =0,43319

P(|X|<15)=2·Ф(1.5)=0,86638

Источник

Функция лапласа. Ее свойства

^{2.1.

Функция (интеграл вероятностей) Лапласа}^{имеет вид:}

_{График функции

Лапласа приведен на рис.5.}

_{Функция}_Ф₍_х_{)

табулирована (см. табл. 1 приложений).

Для применения этой таблицы нужно знать}_{свойства

функции Лапласа:}

_{1)

Функция Ф(}_х_{)

нечетная:}_Ф_(-_х_)=

—_Ф₍_х_).

_{2)

Функция}_Ф₍_х_{)

монотонно возрастающая.}

₃₎_Ф_(0)=0.

₄₎_Ф₍₊__)=0,5;_Ф₍_—__{)=-0,5.

На практике можно считать, что при х}__{5

функция}_Ф₍_х_{)=0,5;

при х}__{-5

функция}_Ф₍_х_)=-0,5.

_2.2._{Существует другие формы функции Лапласа:}

^и

_{В отличие от

этих форм функция}_Ф₍_х_{)

называется стандартной или нормированной

функцией Лапласа. Она связана с другими

формами соотношениями:}

^{ПРИМЕР 2.}^{Непрерывная случайная величина}^Х^{имеет нормальный закон распределения

с параметрами:}^m^=3,^^{=4.

Найти вероятность того, что в результате

испытания случайная величина}^Х^{:

а) примет значение, заключенное в

интервале (2; 6); б) примет значение, меньше

2; в) примет значение, больше 10; г) отклонится

от математического ожидания на величину,

не превышающую 2. Проиллюстрировать

решение задачи графически.}

^{Решение.}^{а)

Вероятность того, что нормальная

случайная величина}^Х^{попадет в заданный интервал (}^^,^^),

где^^=2

и^^{=6,

равна:}

_{Значения функции

Лапласа}_Ф(х)_{определяют по таблице, приведенной в

приложении, учитывая, что}_Ф_(–_х_)=

–_Ф₍_х_).

^{б) Вероятность

того, что нормальная случайная величина}^Х^{примет значение меньше 2, равна:}

^{в) Вероятность

того, что нормальная случайная величина}^Х^{примет значение больше 10, равна:}

^{г) Вероятность

того, что нормальная случайная величина}^Х^{отклонится от математического ожидания

на величину, меньшую}^^{=2,

равна:}

^{С

геометрической точки зрения, вычисленные

вероятности численно равны заштрихованным

площадям под нормальной кривой (см.

рис.6).}

2
6

1
5

^{Рис. 6. Нормальная кривая для случайной

величины}^Х^~^N^(3;4)

^{ПРИМЕР 3.}^{Производится

измерение диаметра вала без систематических

(одного знака) ошибок. Случайные ошибки

измерения подчинены нормальному закону

распределения со средним квадратическим

отклонением 10 мм. Найти вероятность

того, что измерение будет произведено

с ошибкой, не превышающей по абсолютной

величине 15 мм.}

^{Решение.}^{Математическое

ожидание случайных ошибок равно нулю}^m^{=0.

Тогда вероятность того, что нормальная

случайная величина}^Х^{отклонится от математического ожидания

на величину, меньшую}^^{=15,

равна:}

^{ПРИМЕР 4}^{.

Автомат изготовляет шарики. Шарик

считается годным, если отклонение}^Х^{диаметра шарика от проектного размера

по абсолютной величине меньше 0,7 мм.

Считая, что случайная величина}^Х^{распределена нормально со средним

квадратическим отклонением 0,4 мм, найти,

сколько в среднем будет годных шариков

среди 100 изготовленных.}

^{Решение.}^{Случайная величина}^Х^{— отклонение диаметра шарика от проектного

размера. Математическое ожидание

отклонения равно нулю, т.е.}^М⁽^Х⁾⁼^m^{=0.

Тогда вероятность того, что нормальная

случайная величина}^Х^{отклонится от математического ожидания

на величину, меньшую}^^{=0,7,

равна:}

^{Отсюда

следует, что примерно 92 шарика из 100

окажутся годными.}

^{ПРИМЕР 5.}^{Доказать правило «3}^^».

^{Решение.}^{Вероятность того, что нормальная

случайная величина}^Х^{отклонится от математического ожидания

на величину, меньшую}^⁼³^^{,

равна:}

^{ПРИМЕР 6.}^{Случайная величина}^Х^{распределена нормально с математическим

ожиданием}^m^{=10.

Вероятность попадания}^Х^{в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна

вероятность попадания}^Х^{в интервал (0, 10)?}

^{Решение.}^{Нормальная кривая симметрична относительно

прямой}^х⁼^m^{=10,

поэтому площади, ограниченные сверху

нормальной кривой и снизу интервалами

(0, 10) и (10, 20), равны между собой. Так как

площади численно равны вероятностям

попадания}^Х^{в соответствующий интервал, то:}

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины

, плотность которого имеет вид:

где

–
математическое ожидание,

–
среднее квадратическое отклонение

Вероятность того, что

примет
значение, принадлежащее интервалу

где

– функция Лапласа:

Вероятность того, что абсолютная
величина отклонения меньше положительного числа

В частности, при

справедливо
равенство:

Асимметрия, эксцесс,
мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

, где

Правило трех сигм

Преобразуем формулу:

Положив

. В итоге получим

если

, и, следовательно,

, то

то есть вероятность того, что
отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонение, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того,
что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна
0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие
события исходя из принципа невозможности маловероятных
событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит
сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то
абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит
утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм
применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но
условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание
предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае
она не распределена нормально.

Смежные темы решебника:

Таблица значений функции Лапласа
Непрерывная случайная величина
Показательный закон распределения случайной величины
Равномерный закон распределения случайной величины

Пример 2

Ошибка
высотометра распределена нормально с математическим ожиданием 20 мм и средним
квадратичным отклонением 10 мм.

а) Найти
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего ее значения не превзойдет 5
мм по абсолютной величине.

б) Какова
вероятность, что из 4 измерений два попадут в указанный интервал, а 2 – не
превысят 15 мм?

в)
Сформулируйте правило трех сигм для данной случайной величины и изобразите
схематично функции плотности вероятностей и распределения.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

а) Вероятность того, что случайная величина, распределенная по
нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину

В нашем
случае получаем:

б) Найдем
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего значения не превзойдет 15
мм:

Пусть событие

– ошибки 2
измерений не превзойдут 5 мм и ошибки 2 измерений не превзойдут 0,8664 мм

– ошибка не
превзошла 5 мм;

– ошибка не
превзошла 15 мм

в)
Для заданной нормальной величины получаем следующее правило трех сигм:

Ошибка высотометра будет лежать в интервале:

Функция плотности вероятностей:

График плотности распределения нормально распределенной случайной величины

Функция распределения:

График функции
распределения нормально распределенной случайной величины

Задача 1

Среднее
количество осадков за июнь 19 см. Среднеквадратическое отклонение количества
осадков 5 см. Предполагая, что количество осадков нормально-распределенная
случайная величина найти вероятность того, что будет не менее 13 см осадков.
Какой уровень превзойдет количество осадков с вероятностью 0,95?

Задача 2

Найти
закон распределения среднего арифметического девяти измерений нормальной
случайной величины с параметрами m=1.0 σ=3.0. Чему равна вероятность того, что
модуль разности между средним арифметическим и математическим ожиданием
превысит 0,5?

Указание:
воспользоваться таблицами нормального распределения (функции Лапласа).

Задача 3

Отклонение
напряжения в сети переменного тока описывается нормальным законом
распределения. Дисперсия составляет 20 В. Какова вероятность при изменении
выйти за пределы требуемых 10% (22 В).

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 4

Автомат
штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально
с математическим ожиданием (проектная длинна), равная 50 мм. Фактическая длина
изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что
длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

Задача 5

Случайная
величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10и средним
квадратическим отклонением σ=5. Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с
вероятностью 0,9973 попадает величина Х в результате испытания.

Задача 6

Заданы
математическое ожидание a_x=19 и среднее квадратическое отклонение σ=4
нормально распределенной случайной величины X. Найти: 1) вероятность
того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α=15;
β=19); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения значения
величины от математического ожидания окажется меньше δ=18.

Задача 7

Диаметр
выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с
математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 10 см и 0,16 см².
Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от
математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.

Задача 8

Ошибка
прогноза температуры воздуха есть случайная величина с m=0,σ=2℃. Найти вероятность
того, что в течение недели ошибка прогноза трижды превысит по абсолютной
величине 4℃.

Задача 9

Непрерывная
случайная величина X распределена по нормальному
закону: X∈N(a,σ).

а) Написать
плотность распределения вероятностей и функцию распределения.

б) Найти
вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение
из интервала (α,β).

в) Определить
приближенно минимальное и максимальное значения случайной величины X.

г) Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания a, в котором с
вероятностью 0,98 будут заключены значения X.

a=5; σ=1.3;
α=4; β=6

Задача 10

Производится измерение вала без
систематических ошибок. Случайные ошибки измерения X
подчинены нормальному закону с σ_x=10. Найти вероятность того, что измерение будет
произведено с ошибкой, превышающей по абсолютной величине 15 мм.

Задача 11

Высота
стебля озимой пшеницы — случайная величина, распределенная по нормальному закону
с параметрами a = 75 см, σ = 1 см. Найти вероятность того, что высота стебля:
а) окажется от 72 до 80 см; б) отклонится от среднего не более чем на 0,5 см.

Задача 12

Деталь,
изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого
размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей
характеризуется средним квадратическим отклонением, при данной технологии
равным 5 мм.

а)
Считая, что отклонение размера детали от номинала есть нормально распределенная
случайная величина, найти долю годных деталей, изготовляемых автоматом.

б) Какой
должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до
98?

в)
Написать выражение для функции плотности вероятности и распределения случайной
величины.

Задача 13

Диаметр
детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по
нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001 см, а математическое ожидание –
2,5 см. Найдите границы, симметричные относительно математического ожидания, в
которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали. Какова
вероятность того, что в серии из 1000 испытаний размер диаметра двух деталей
выйдет за найденные границы?

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 14

Предприятие
производит детали, размер которых распределен по нормальному закону с
математическим ожиданием 20 см и стандартным отклонением 2 см. Деталь будет
забракована, если ее размер отклонится от среднего (математического ожидания)
более, чем на 2 стандартных отклонения. Наугад выбрали две детали. Какова вероятность
того, что хотя бы одна из них будет забракована?

Задача 15

Диаметры
деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение диаметра равно d=14 мм
, среднее квадратическое
отклонение σ=2 мм
. Найти вероятность того,
что диаметр наудачу взятой детали будет больше α=15 мм и не меньше β=19 мм; вероятность того, что диаметр детали
отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ=1,5 мм.

Задача 16

В
электропечи установлена термопара, показывающая температуру с некоторой
ошибкой, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим
ожиданием и средним квадратическим отклонением σ=10℃. В момент когда термопара
покажет температуру не ниже 600℃, печь автоматически отключается. Найти
вероятность того, что печь отключается при температуре не превышающей 540℃ (то
есть ошибка будет не меньше 30℃).

Задача 17

Длина
детали представляет собой нормальную случайную величину с математическим
ожиданием 40 мм и среднеквадратическим отклонением 3 мм. Найти:

а)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали будет больше 34 мм и меньше 43
мм;

б)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали отклонится от ее
математического ожидания не более, чем на 1,5 мм.

Задача 18

Случайное
отклонение размера детали от номинала распределены нормально. Математическое
ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно
0,25 мм, стандартами считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и
200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась
и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько
повысился процент бракованных деталей?

Задача 19

Случайная
величина X~N(1,2²). Найти P{2

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 20

Заряд пороха для охотничьего ружья
должен составлять 2,3 г. Заряд отвешивается на весах, имеющих ошибку
взвешивания, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим
отклонением, равным 0,2 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально
допустимый вес заряда составляет 2,8 г.

Задача 21

Заряд
охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднеквадратическую ошибку
взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить
вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового
заряда 2,5 г.

Задача 21

Найти
вероятность попадания снарядов в интервал (α₁=10.7; α₂=11.2).
Если случайная величина X распределена по
нормальному закону с параметрами m=11;
σ=0.2.

Задача 22

Плотность
вероятности распределения случайной величины имеет вид

Найти
вероятность того, что из 3 независимых случайных величин, распределенных по
данному закону, 3 окажутся на интервале (-∞;5).

Задача 23

Непрерывная
случайная величина имеет нормальное распределение. Её математическое ожидание
равно 12, среднее квадратичное отклонение равно 2. Найти вероятность того, что
в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (8,14)

Задача 24

Вероятность
попадания нормально распределенной случайной величины с математическим
ожиданием m=4 в интервал (3;5) равна 0,6. Найти дисперсию данной случайной
величины.

Задача 25

В
нормально распределенной совокупности 17% значений случайной величины X
меньше 13% и 47% значений случайной величины X
больше 19%. Найти параметры этой совокупности.

Задача 26

Студенты
мужского пола образовательного учреждения были обследованы на предмет
физических характеристик и обнаружили, что средний рост составляет 182 см, со
стандартным отклонением 6 см. Предполагая нормальное распределение для роста,
найдите вероятность того, что конкретный студент-мужчина имеет рост более 185
см.

Источник

Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ=10мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15мм.

Скачать решение бесплатно

Купить решение

* Оплата через сервис ЮMoney.

Другие задачи по теории вероятности

Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ=20г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10г.

Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ=20мм и математическим ожиданием а=0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4мм.

Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со среднеквадратическим отклонением σ=0,4мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ=5мм и математическим ожиданием a=0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30м и ширина 8м, сбросил бомбы. Случайные величины X и Y (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и, распределены нормально со среднеквадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.

Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10 и среднеквадратическим отклонением σ=5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет величина X в результате испытания.

Случайная величина X распределена нормально со среднеквадратическим отклонением σ=5мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания.

Источник

Функция лапласа. Ее свойства

Правило трех сигм

Пример 2

Другие задачи по теории вероятности