Роль закона больших чисел при определении ошибок выборочного наблюдения

К основным этапам
работ при организации выборочного
наблюдения
относятся:

 постановка цели
и определение задач выборочного
наблюдения в соответствии с экономической
задачей исследования;

 разработка
программы наблюдения;

 проектирование
бланков анкет, создание инструкции по
проведению наблюдения и заполнению
статистических
формуляров;

 решение
организационных вопросов наблюдения,
в том числе подготовка квалифицированного
персонала;

 определение
состава единиц генеральной
совокупности;

 выбор способа
формирования выборочной совокупности,
решение вопросов, связанных с определением
доли отбора, объема выборки и размера
допустимой ошибки наблюдения;

 сбор данных
(регистрация исследуемых признаков у
отобранных единиц наблюдения);

 получение
характеристик выборочной совокупности;

 определение
ошибок выборки;

 распространение
результатов выборки на изучаемую
совокупность;

 выводы и
рекомендации на основе полученных
результатов выборочного наблюдения.

Роль
закона больших чисел при определении
ошибок выборочного наблюдения

Центральное место
в теории выборочного наблюдения занимает
задача оценки репрезентативности
выборочной совокупности. Ошибки
репрезентативности представляют собой
отклонения характеристик выборочной
совокупности от характеристик генеральной.

Теория оценивания
ошибок выборки
базируется на ряде предельных теорем
под общим названием «закон больших
чисел». В них доказывается, что ошибки
могут быть сведены к минимальным
значениям. При этом возможно установить
их значения с требуемой точностью.

Так, в приложении
к выборочному методу из теоремы Чебышева
следует, что с вероятностью, сколь угодно
близкой к единице, можно утверждать,
что при достаточно большом объеме
выборки, полученной с соблюдением всех
правил ее формирования, разность между
генеральной и выборочной средними будет
сколь угодно мала. Теорема Ляпунова
позволяет оценить предельную ошибку
выборки для среднего значения признака.
Теорема Бернулли
является частным случаем теоремы
Чебышева применительно к исследованию
доли альтернативного признака.

1.3. Способы отбора единиц в выборочную совокупность. Классификация видов выборочного наблюдения

Различают
индивидуальный, групповой и комбинированный
отбор.

При индивидуальном
отборе в
выборочную
совокупность
отбираются отдельные единицы генеральной
совокупности,
например при обследованиях промышленности

предприятия, при обследованиях населения

конкретные люди и т. д. Индивидуальный
отбор применяется при организации
собственно случайной, механической,
типической выборок.

При групповом
отборе
единицы отбираются группами; ими могут
быть, например, бригады, микрорайоны
(этот вид отбора свойственен для серийной
выборки).

Комбинированный
отбор предполагает
сочетание индивидуального и группового
отбора, например, сначала отбираются
группы единиц (групповой отбор), а затем
из них случайным образом 
конкретные единицы (индивидуальный
отбор). В этом случае выборка также
называется комбинированной.

Кроме того, каждый
из перечисленных способов отбора может
быть бесповторным или повторным.

Бесповторным
является такой отбор, в результате
которого однажды отобранная в выборку
единица
наблюдения
не может быть отобранной из генеральной
совокупности во второй раз. При повторном¹
отборе попавшая в выборку единица
наблюдения вновь возвращается в
совокупность, и ее можно отобрать во
второй, третий раз и т. д.

В статистике
встречаются разнообразные виды выборок:
собственно-случайная выборка, механическая,
типическая, серийная, комбинированная.
Свои особенности имеет малая выборка.

Вид выборки
определяется задачами исследования,
полнотой и особенностями информации,
которой мы располагаем об объекте
наблюдения.

Собственно-случайная
выборка.
Отбор единиц при использовании собственно
случайной выборки производится путем
жеребьевки или с использованием таблицы
случайных чисел. При этом все единицы
совокупности должны иметь равные шансы
попасть в выборочную совокупность.

Для отбора единиц
наблюдения путем жеребьевки подготавливаются
определенные жребии: шары или карточки
(могут применяться и другие виды жребиев),
содержащие ссылки на конкретную единицу
генеральной совокупности 
ее номер, если совокупность пронумерована,
адрес и т. д. Жребии перемешивают и в
случайном порядке отбирают n
штук, ровно
столько, сколько единиц должно быть
отобрано в выборочную совокупность.
Этот способ хорош, если количество
объектов генеральной совокупности
невелико и имеется возможность на каждый
из них завести жребий. Но на практике
чаще всего работают с большими
совокупностями 
порядка десятков или сотен тысяч единиц.
Тогда прибегают к помощи таблиц случайных
чисел.

Таблица случайных
чисел представляет собой набор колонок
случайных цифр. Случайность сочетания
определяется отсутствием закона их
расположения и приблизительно равной
частотой встречаемости каждой из десяти
цифр при образовании случайного числа.

Существует
множество методов составления таблиц
случайных чисел. В наше время они
генерируются с помощью датчика случайных
чисел. Его содержат все современные
статистические пакеты прикладных
программ, а также Excel,
входящий в набор стандартных программ
для Windows.

Пример 1.
Предположим
нужно отобрать 15 студентов из 200,
обучающихся на первом курсе, методом
случайной бесповторной выборки.

Фрагмент таблицы
случайных чисел

Проведем отбор с
помощью таблицы случайных чисел следующим
образом:

1) пронумеруем
единицы изучаемой совокупности, т. е.
присвоим каждому студенту индивидуальный
номер, начиная с 001, 002, и т. д. до 200.

2) из таблицы
случайных чисел выберем любой ее
фрагмент, например первые два столбца;

3) поскольку объем
выборки составляет 15 студентов, нам
нужно отобрать в случайном порядке 15
трехзначных чисел из приведенного
фрагмента. Так как индивидуальные
номера, присвоенные студентам, являются
трехзначными, а в рассматриваемой
таблице содержатся пятизначные комбинации
цифр, мы будет рассматривать только
три, например, последние цифры в каждой
комбинации, начиная с первой из выбранного
фрагмента. При этом трехзначное число
не должно превышать 200 (т. е. индивидуального
номера последнего студента в списке).
Следуя этим правилам, мы должны выписать
число 194, пропускаем числа 240 и 833, поскольку
они больше 200, затем выпишем 111, 189 и т. д.
до 173 (т. е. 15 чисел) (в табл. эти числа
выделены).

Среди выписанных
чисел число 111 встречается дважды, а по
условию отбор должен быть случайным
бесповторным.
Поэтому одно из этих чисел пропустим и
запишем следующее после 173 подходящее
по условию число 
это число 061.

В итоге получим
следующие числа:

194, 111, 189, 185, 121, 141,
047, 195, 135, 152, 091, 155, 029, 173, 061.

В выборочную
совокупность должны быть включены
студенты, индивидуальные номера которых
в исходном списке соответствуют
отобранным числам. Таким образом, в
выборку попали студенты, имеющие
следующие номера в списке:

029, 047, 061, 091, 111, 121,
135, 141, 152, 155, 173, 185, 189, 194, 195.

Механическая
выборка.
Наряду со случайным отбором в практике
выборочного
наблюдения
применяется механический отбор. При
этом все единицы генеральной
совокупности
нумеруются числами от 1 до N,
после чего отбирается каждая (N/n)-я
единица для обследования. Величина N/n
называется шагом,
или интервалом, отбора.

Если список единиц
в генеральной совокупности составлен
в порядке возрастания изучаемого
признака, указанный подход может привести
к систематической ошибке: начиная отбор
с первой единицы из этого интервала
получим заниженную оценку генеральной
средней, если начать с последней 
завышенную. Поэтому целесообразно
выбрать начальную точку отсчета (отбора)
случайным образом, а затем производить
отбор в соответствии с рассчитанным
шагом отбора.

Допустим, надо
отобрать 50 студентов из 200, обучающихся
на первом курсе, методом механической
выборки. Для этого необходимо сделать
следующее:

^{1. Определим
шаг отбора:}

^{(следовательно,
необходимо отбирать одного студента
из каждых четырех). Порядковый номер, с
которого должен начаться отбор, может
быть таким: или 1-й, или 2-й, или 3-й или 4-й
студент.}

2. Определим точку
начала отбора по выбранному фрагменту
из таблицы случайных чисел. Для этого
выберем любой столбец цифр, соответствующий
разряду шага отбора (в нашем случае 
первому разряду), например последнюю
колонку во втором столбце: 6, 5, 0, 3, 1, 6…
Следовательно, порядковый номер, с
которого должен начаться отбор, равен
3 (это первое число из выписанных, которое
нам подходит).

3. Теперь будем
отбирать студентов по списку, начиная
с 3-го, с шагом, равным 4: 3-го, 7-го, 11-го,
15-го студента и т. д.

Типическая
выборка. В
случае использования типической выборки
совокупность
предварительно разбивается на однородные
типы или группы, а затем производится
случайный (или механический) отбор
единиц наблюдения внутри полученных
групп. Извлеченная подобным образом
выборка будет типической (в литературе
она также называется расслоенной,
стратифицированной, районированной).

Типическая выборка
в статистической практике применяется
гораздо чаще, чем остальные виды
выборочного наблюдения. Так, при
обследованиях населения в зависимости
от целей исследования генеральную
совокупность расслаивают по возрастному
или социальному признаку, типу проживания
(городское, сельское населения и т. д.);
при обследованиях малых
предприятий
типизация осуществляется по четырем
признакам: территориальному, отраслевому,
виду собственности и размеру выручки.
Этим достигается однородность единиц
внутри групп. Типическая выборка дает
более точные результаты.

Серийная
(гнездовая) выборка.
Если генеральную совокупность можно
разделить на одинаковые по объему и
однородные группы, то целесообразно
осуществлять отбор не единиц, а их серий.
После такого отбора внутри серий
проводится сплошное обследование.

Например, при
оценке качества продукции можно отбирать
партии товара, а затем обследовать все
входящие в них изделия; при некоторых
обследованиях населения отбираются в
порядке серий жилые дома, в которых
опрашиваются жильцы всех квартир;
обследования школьников проводятся
путем отбора однотипных школ или
конкретных классов, ученики которых
подвергаются сплошному опросу, и т. д.

Комбинированные
выборки. Комбинированный
отбор широко применяется на практике
и представляет собой сочетание разных
методов отбора (их комбинацию), например
типического с механическим. В этом
случае генеральная совокупность
разбивается на типические группы на
основе ранее выбранного группировочного
признака, внутри этих групп единицы
наблюдения упорядочиваются, устанавливается
шаг отбора, соответствующий необходимой
численности выборки, после чего происходит
извлечение единиц наблюдения из
типических групп на основе механического
отбора. Подобная комбинация методов
обеспечивает представительство в
выборке всех типов единиц наблюдения
(за счет применения типического отбора)
и сохраняет структуру типических групп
по группировочным признакам, обеспечиваемую
механическим отбором.

Малая выборка.
Выборка
считается
малой, если количество объектов,
отобранных для выборочного наблюдения,
не превышает 20 единиц.

Малые выборки
используются в тех ситуациях, когда
распределение признака в генеральной
совокупности является нормальным или
приближается к нему. Только в этих
случаях построенные доверительные
интервалы или рассчитанные доверительные
вероятности будут иметь реальное
практическое значение.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

11.1. Основные положения теории выборочного метода наблюдения

Суть выборочного метода заключается в отборе отдельных единиц обследуемой совокупности по специальным правилам, гарантирующим реализацию принципа случайности отбора, с целью получения обобщающих статистических характеристик изучаемой совокупности.

Выборочный метод позволяет получать достоверные результаты лишь тогда, когда соблюдается принцип равновозможности каждой единицы быть отобранной. При этом только случай, а не какой-либо иной фактор, влияет на решение включить рассматриваемую единицу в выборочную совокупность или нет. Из всех методов несплошного наблюдения выборочный считается наиболее теоретически разработанным. Положенный в его основу принцип случайности позволяет математически обосновать дальнейшее распространение выборочных характеристик на всю совокупность.

Выборочная совокупность репрезентативна (представительна) в том случае, если она верно отражает закономерности, структуру генеральной совокупности.

Широкое применение выборочного метода в статистической практике объясняется рядом его преимуществ по сравнению со сплошным наблюдением. Основными являются:

• быстрота получения результатов обследования. Существенное уменьшение объема наблюдения за счет отбора лишь части единиц совокупности позволяет быстрее собрать информацию и оперативнее получить сводные результаты обследования;
• значительное снижение затрат, непосредственно связанных с проведением наблюдения. При использовании выборки затраты уменьшаются за счет сокращения количества обследуемых единиц наблюдения;
• возможность расширения программы наблюдения. Уменьшение количества наблюдаемых единиц позволяет изучить их детальнее, используя более широкий перечень вопросов;
• возможность использования в тех случаях, когда проведение сплошного наблюдения методологически невозможно. Например, при статистических исследованиях качества продукции либо когда генеральная совокупность объектов бесконечно велика и нет возможности обследовать каждую единицу (при маркетинговых обследованиях покупателей, изучении пассажиропотоков и т.д.).

Вместе с тем выборочный метод имеет ряд недостатков. Важнейший из них связан с наличием ошибок репрезентативности, которые обусловлены тем, что наблюдаются не все единицы изучаемой совокупности. Кроме того, его проведение требует привлечения высококвалифицированного персонала, что в свою очередь ведет к увеличению стоимости обследования.

11.1.1. Основные определения и обозначения

В теории выборочного наблюдения используются специфические понятия, определения и обозначения.

Под термином генеральная совокупность понимается изучаемая статистическая совокупность, из которой проводится отбор единиц для непосредственного наблюдения (количество единиц генеральной совокупности обозначается через N).

Отобранная по определенным правилам часть единиц генеральной совокупности образует выборочную совокупность (n — количество единиц выборочной совокупности).

Доля выборочной совокупности в общем объеме генеральной совокупности, выраженная в процентах, называется долей отбора (процентом выборки, процентом отбора):

Например, при объеме генеральной совокупности в 200 единиц и выборочной — в 50 единиц говорят о 25%-ной выборке (доля отбора — 25%).

Если исследуется количественный признак, то непосредственная задача выборочного наблюдения — это оценка среднего и суммарного значения признака. Среднее значение признака в генеральной совокупности принято обозначать через x. По данным генеральной совокупности оно может быть определено как

Среднее значение признака в выборочной совокупности обозначается через x. Оно исчисляется как

Дисперсия единиц количественного признака определяется следующим образом:

• генеральная дисперсия

  

Так как генеральная дисперсия по большей части в ходе исследования остается неизвестной, то условно принимают ее равной дисперсии, рассчитываемой по выборочным данным;

• выборочная дисперсия

  

Наряду с нахождением характеристик количественных признаков могут оцениваться характеристики альтернативных показателей.

Обозначая численность единиц, обладающих изучаемым признаком, в генеральной совокупности через М, а в выборочной — через m, получим долю единиц, обладающих исследуемым признаком в генеральной совокупности: p = M/N и в выборочной: w = m/n.

Дисперсия альтернативного признака рассчитывается следующим образом:

• генеральная дисперсия доли

  

  где q — доля единиц, не обладающих исследуемым признаком (q = 1 — p);

• выборочная дисперсия доли

  

Основной целью статистического наблюдения является получение достоверной статистической информации. Но при любом способе наблюдения могут возникнуть погрешности, которые приведут к снижению качества получаемой информации. Эти погрешности называются ошибками наблюдения. При сплошном наблюдении возможны только ошибки регистрации (случайные и систематические). При выборочном наблюдении возможны как ошибки регистрации, так и ошибки репрезентативности. Те и другие могут носить как случайный, так и систематический характер.

Задача выборочного наблюдения состоит в измерении случайной ошибки репрезентативности, которая возникает вследствие несплошного характера наблюдения при любом способе отбора.

11.1.2. Основные этапы работ при организации выборочного наблюдения

К основным этапам работ при организации выборочного наблюдения относятся:

• постановка цели и определение задач выборочного наблюдения в соответствии с экономической задачей исследования;
• разработка программы наблюдения;
• проектирование бланков анкет, создание инструкции по проведению наблюдения и заполнению статистических формуляров;
• решение организационных вопросов наблюдения, в том числе подготовка квалифицированного персонала;
• определение состава единиц генеральной совокупности;
• выбор способа формирования выборочной совокупности, решение вопросов, связанных с определением доли отбора, объема выборки и размера допустимой ошибки наблюдения;
• сбор данных (регистрация исследуемых признаков у отобранных единиц наблюдения);
• получение характеристик выборочной совокупности;
• определение ошибок выборки;
• распространение результатов выборки на изучаемую cовокупность;
• выводы и рекомендации на основе полученных результатов выборочного наблюдения.

11.1.3. Роль закона больших чисел при определении ошибок выборочного наблюдения

Центральное место в теории выборочного наблюдения занимает задача оценки репрезентативности выборочной совокупности. Ошибки репрезентативности представляют собой отклонения характеристик выборочной совокупности от характеристик генеральной.

Теория оценивания ошибок выборки базируется на ряде предельных теорем под общим названием «закон больших чисел». В них доказывается, что ошибки могут быть сведены к минимальным значениям. При этом возможно установить их значения с требуемой точностью.

Так, в приложении к выборочному методу из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки, полученной с соблюдением всех правил ее формирования, разность между генеральной и выборочной средними будет сколь угодно мала. Теорема Ляпунова позволяет оценить предельную ошибку выборки для среднего значения признака. Теорема Бернулли является частным случаем теоремы Чебышева применительно к исследованию доли альтернативного признака.

11.1.4. Способы отбора единиц в выборочную совокупность. Классификация видов выборочного наблюдения

Различают индивидуальный, групповой и комбинированный отбор.

При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности, например при обследованиях промышленности — предприятия, при обследованиях населения — конкретные люди и т.д. Индивидуальный отбор применяется при организации собственно случайной, механической, типической выборок.

При групповом отборе единицы отбираются группами; ими могут быть, например, бригады, микрорайоны (этот вид отбора свойственен для серийной выборки).

Комбинированный отбор предполагает сочетание индивидуального и группового отбора, например, сначала отбираются группы единиц (групповой отбор), а затем из них случайным образом — конкретные единицы (индивидуальный отбор). В этом случае выборка также называется комбинированной.

Кроме того, каждый из перечисленных способов отбора может быть бесповторным или повторным.

Бесповторным является такой отбор, в результате которого однажды отобранная в выборку единица наблюдения не может быть отобранной из генеральной совокупности во второй раз. При повторном отборе попавшая в выборку единица наблюдения вновь возвращается в совокупность, и ее можно отобрать во второй, третий раз и т.д.

В статистике встречаются разнообразные виды выборок: собственно-случайная выборка, механическая, типическая, серийная, комбинированная. Свои особенности имеет малая выборка.

Вид выборки определяется задачами исследования, полнотой и особенностями информации, которой мы располагаем об объекте наблюдения.

Собственно-случайная выборка. Отбор единиц при использовании собственно случайной выборки производится путем жеребьевки или с использованием таблицы случайных чисел. При этом все единицы совокупности должны иметь равные шансы попасть в выборочную совокупность.

Для отбора единиц наблюдения путем жеребьевки подготавливаются определенные жребии: шары или карточки (могут применяться и другие виды жребиев), содержащие ссылки на конкретную единицу генеральной совокупности — ее номер, если совокупность пронумерована, адрес и т.д. Жребии перемешивают и в случайном порядке отбирают n штук, ровно столько, сколько единиц должно быть отобрано в выборочную совокупность. Этот способ хорош, если количество объектов генеральной совокупности невелико и имеется возможность на каждый из них завести жребий. Но на практике чаще всего работают с большими совокупностями — порядка десятков или сотен тысяч единиц. Тогда прибегают к помощи таблиц случайных чисел.

Таблица случайных чисел представляет собой набор колонок случайных цифр. Случайность сочетания определяется отсутствием закона их расположения и приблизительно равной частотой встречаемости каждой из десяти цифр при образовании случайного числа.

Существует множество методов составления таблиц случайных чисел. В наше время они генерируются с помощью датчика случайных чисел. Его содержат все современные статистические пакеты прикладных программ, а также Excel, входящий в набор стандартных программ для Windows.

Пример 11.1. Предположим нужно отобрать 15 студентов из 200, обучающихся на первом курсе, методом случайной бесповторной выборки.

Проведем отбор с помощью таблицы случайных чисел следующим образом:

1. пронумеруем единицы изучаемой совокупности, т.д. присвоим каждому студенту индивидуальный номер, начиная с 001, 002, и т.д. до 200.
2. из таблицы случайных чисел выберем любой ее фрагмент, например первые два столбца;
3. поскольку объем выборки составляет 15 студентов, нам нужно отобрать в случайном порядке 15 трехзначных чисел из приведенного фрагмента. Так как индивидуальные номера, присвоенные студентам, являются трехзначными, а в рассматриваемой таблице содержатся пятизначные комбинации цифр, мы будет рассматривать только три, например, последние цифры в каждой комбинации, начиная с первой из выбранного фрагмента. При этом трехзначное число не должно превышать 200 (т.е. индивидуального номера последнего студента в списке). Следуя этим правилам, мы должны выписать число 194, пропускаем числа 240 и 833, поскольку они больше 200, затем выпишем 111, 189 и т.д. до 173 (т.е. 15 чисел) (в табл. эти числа выделены).

Среди выписанных чисел число 111 встречается дважды, а по условию отбор должен быть случайным бесповторным. Поэтому одно из этих чисел пропустим и запишем следующее после 173 подходящее по условию число — это число 061.

В итоге получим следующие числа:

194, 111, 189, 185, 121, 141, 047,

195, 135, 152, 091, 155, 029, 173, 061.

В выборочную совокупность должны быть включены студенты, индивидуальные номера которых в исходном списке соответствуют отобранным числам. Таким образом, в выборку попали студенты, имеющие следующие номера в списке:

029, 047, 061, 091, 111, 121, 135,

141, 152, 155, 173, 185, 189, 194, 195.

Механическая выборка. Наряду со случайным отбором в практике выборочного наблюдения применяется механический отбор. При этом все единицы генеральной совокупности нумеруются числами от 1 до N, после чего отбирается каждая (N/n)-я единица для обследования. Величина N/n называется шагом, или интервалом, отбора.

Если список единиц в генеральной совокупности составлен в порядке возрастания изучаемого признака, указанный подход может привести к систематической ошибке: начиная отбор с первой единицы из этого интервала получим заниженную оценку генеральной средней, если начать с последней — завышенную. Поэтому целесообразно выбрать начальную точку отсчета (отбора) случайным образом, а затем производить отбор в соответствии с рассчитанным шагом отбора.

Допустим, надо отобрать 50 студентов из 200, обучающихся на первом курсе, методом механической выборки. Для этого необходимо сделать следующее:

1. Определим шаг отбора: N/n = 200/50 = 4 (следовательно, необходимо отбирать одного студента из каждых четырех). Порядковый номер, с которого должен начаться отбор, может быть таким: или 1-й, или 2-й, или 3-й или 4-й студент.
2. Определим точку начала отбора по выбранному фрагменту из таблицы случайных чисел. Для этого выберем любой столбец цифр, соответствующий разряду шага отбора (в нашем случае — первому разряду), например последнюю колонку во втором столбце: 6, 5, 0, 3, 1, 6… Следовательно, порядковый номер, с которого должен начаться отбор, равен 3 (это первое число из выписанных, которое нам подходит).
3. Теперь будем отбирать студентов по списку, начиная с 3-го, с шагом, равным 4: 3-го, 7-го, 11-го, 15-го студента и т.д.

Типическая выборка. В случае использования типической выборки cовокупность предварительно разбивается на однородные типы или группы, а затем производится случайный (или механический) отбор единиц наблюдения внутри полученных групп. Извлеченная подобным образом выборка будет типической (в литературе она также называется расслоенной, стратифицированной, районированной).

Типическая выборка в статистической практике применяется гораздо чаще, чем остальные виды выборочного наблюдения. Так, при обследованиях населения в зависимости от целей исследования генеральную совокупность расслаивают по возрастному или социальному признаку, типу проживания (городское, сельское населения и т.д.); при обследованиях малых предприятий типизация осуществляется по четырем признакам: территориальному, отраслевому, виду собственности и размеру выручки. Этим достигается однородность единиц внутри групп. Типическая выборка дает более точные результаты.

Серийная (гнездовая) выборка. Если генеральную совокупность можно разделить на одинаковые по объему и однородные группы, то целесообразно осуществлять отбор не единиц, а их серий. После такого отбора внутри серий проводится сплошное обследование.

Например, при оценке качества продукции можно отбирать партии товара, а затем обследовать все входящие в них изделия; при некоторых обследованиях населения отбираются в порядке серий жилые дома, в которых опрашиваются жильцы всех квартир; обследования школьников проводятся путем отбора однотипных школ или конкретных классов, ученики которых подвергаются сплошному опросу, и т.д.

Комбинированные выборки. Комбинированный отбор широко применяется на практике и представляет собой сочетание разных методов отбора (их комбинацию), например типического с механическим. В этом случае генеральная совокупность разбивается на типические группы на основе ранее выбранного группировочного признака, внутри этих групп единицы наблюдения упорядочиваются, устанавливается шаг отбора, соответствующий необходимой численности выборки, после чего происходит извлечение единиц наблюдения из типических групп на основе механического отбора. Подобная комбинация методов обеспечивает представительство в выборке всех типов единиц наблюдения (за счет применения типического отбора) и сохраняет структуру типических групп по группировочным признакам, обеспечиваемую механическим отбором.

Малая выборка. Выборка считается малой, если количество объектов, отобранных для выборочного наблюдения, не превышает 20 единиц.

Малые выборки используются в тех ситуациях, когда распределение признака в генеральной совокупности является нормальным или приближается к нему. Только в этих случаях построенные доверительные интервалы или рассчитанные доверительные вероятности будут иметь реальное практическое значение.

Содержание курса лекций “Статистика”

---

Выборочное наблюдение как источник статистической информации в изучении социально-экономических явлений и процессов

Статистическая методология исследования массовых явлений различает, как известно, два способа наблюдения в зависимости от полноты охвата объекта: сплошное и несплошное. Разновидностью несплошного наблюдения является выборочное, которое в условиях рыночных отношений в России находит все более широкое применение. Переход статистики РФ на международные стандарты системы национального счетоводства требует более широкого применения выборки для получения и анализа показателей СНС не только в промышленности, но и в других секторах экономики.

Под выборочным наблюдением понимается несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию (наблюдению) подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным способом. Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу ‑ по обследуемой части дать характеристику всей совокупности единиц при условии соблюдения всех правил и принципов проведения статистического наблюдения и науч­но организованной работы по отбору единиц.

---

---

К выборочному наблюдению статистика прибегает по различным причинам. На современном этапе появилось множество субъектов хозяйствен­ной деятельности, которые характерны для рыночной экономики. Речь идет об акционерных обществах, малых и совместных предприятиях, фермерских хозяйствах и т.д. Сплошное обследование этих статистических совокупностей, состоящих из десятков и сотен тысяч единиц, потребовало бы огромных материальных, финансовых и иных затрат. Использование же выборочного обследования позволяет значительно сэкономить силы и средства, что имеет немаловажное значение.

---

Наряду с экономией ресурсов одной из причин превращения выборочного наблюдения в важнейший источник статистической информации является возможность значительно ускорить получение необходимых данных. Ведь при обследовании, скажем, 10% единиц совокупности будет затрачено гораздо меньше времени, а результаты могут быть представлены быстрее, и будут более актуальными. Фактор времени важен для статисти­ческого исследования особенно в условиях изменяющейся социально-экономической ситуации.

---

Реализация выборочного метода базируется на понятиях генеральной и выборочной совокупностей.

Генеральной совокупностью называется вся исходная изучаемая статистическая совокупность, из которой на основе отбора единиц или групп единиц формируется совокупность выборочная. Поэтому генеральную совокупность также называют основой выборки.

Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повторным или беспо­вторным.

При повторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию, т.е. регистрации значений ее признаков, возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. Таким образом, некоторые единицы могут попадать в выборку дважды, трижды или даже большее число раз. И при изучении выборочной совокупности они будут рассматриваться как отдельные независимые наблюдения.

Отметим, что число единиц генеральной совокупности, участвующих в отборе, при таком подходе остается постоянным. Поэтому вероятность попадания в выборку для всех единиц совокупности на протяжении всего процесса отбора также не меняется.

---

На практике методология повторного отбора обычно используется в тех случаях, когда объем генеральной совокупности не известен и теоретически возможно повторение единиц с уже встречавшимися значениями всех регистрируемых признаков.

Например, при проведении маркетинговых исследований мы не можем сколько-нибудь точно оценить, какое число потребителей предпочитают стиральный порошок конкретной торговой марки, сколько покупателей предпочитают делать покупки именно в данном супермаркете и т.д. Поэтому возможно повторение совершенно идентичных единиц как по причине практически неограниченных объемов совокупности, так и вследствие возможной повторной регистрации. Предположим, при проведении обследования один и тот же покупатель может дважды прийти в магазин и дважды подвергнуться обследованию.

---

---

При выборочном контроле качества продукции объем генеральной совокупности также часто не определен, так как процесс производства может осуществляться постоянно, каждый день дополняя генеральную совокупность новыми единицами-изделиями. Поэтому в выборочную совокупность могут попасть два и более изделий с абсолютно одинаковыми характеристиками. Следовательно, и в этом случае при обработке результатов выборки необходимо ориентироваться на методологию, используемую при повторном отборе.

---

При бесповоротном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследова­нию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует. Такой отбор целесообразен и практически возможен в тех случаях, когда объем генеральной совокупности четко определен. Получаемые при этом результаты, как правило, являются более точными по сравнению с результатами, основанными на повторной выборке.

Как уже отмечалось выше, выборочное наблюдение всегда связано с определенны­ми ошибками получаемых характеристик. Эти ошибки называются ошибками репрезента­тивности (представительности).

---

---

Ошибки репрезентативности обусловлены тем обстоятельством, что выборочная совокупность не может по всем параметрам в точности воспроизвести совокупность генеральную. Получаемые расхождения или ошибки репрезентативности позволяют заключить, в какой степени попавшие в выборку единицы могут представлять всю генеральную совокупность. При этом следует различать систематические и случайные ошибки репре­зентативности.

---

Систематические ошибки репрезентативности связаны с нарушением принципов формирования выборочной совокупности. Например, вследствие каких-либо причин, связанных с организацией отбора, в выборку попали единицы, характеризующиеся несколько большими или, наоборот, несколько меньшими по сравнению с другими единицами значениями наблюдаемых признаков. В этом случае и рассчитанные выборочные характеристики будут завышенными или заниженными.

---

Случайные ошибки репрезентативности обусловлены действием случайных факторов, не содержащих каких-либо элементов системности в направлении воздействия на рассчитываемые выборочные характеристики. Но даже при строгом соблюдении всех принципов формирования выборочной совокупности выборочные и генеральные характе­ристики будут несколько различаться. Получаемые случайные ошибки могут быть стати­стически оценены и учтены при распространении результатов выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность. Оценка ошибок выборочного наблюдения основана на теоремах теории вероятностей.

---

При дальнейшем рассмотрении теории и методов выборочного наблюдения используются следующие общепринятые условные обозначения:

    N ‑ объем (число единиц) генеральной совокупности;

    n ‑ объем (число единиц) выборочной совокупности;

 ‑ генеральная средняя, т.е. среднее значение изучаемого признака по генераль­ной совокупности (средняя прибыль, средняя величина активов, средняя численность ра­ботников предприятия и т.п.);

‑ выборочная средняя,
т.е. среднее значение изучаемого признака по выборочной совокупности;
 

     М ‑ численность единиц генеральной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака (численность городского населения, численность сельского населения, количество бракованных изделий, число нерентабельных предприятий и т.п.);

     р ‑ генеральная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, во всей генеральной совокупности (доля городского населения в общей численности населения, доля бракованной продукции в общем выпуске, доля нерентабельных предприятий в общей численности предприятий и т.п.); определяетcя как

     m ‑ численность единиц выборочной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака;

     w ‑ выборочная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, в выборочной совокупности,

определяется как ;

‑ средняя ошибка выборки;

‑ предельная ошибка выборки;

‑ коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности.

---

---

Ошибка выборки или отклонение выборочной средней от средней генеральной находится в прямой зависимости от дисперсии изучаемого признака в генеральной совокуп­ности, и в обратной зависимости ‑ от объема выборки.

Таким образом среднюю ошибку выборки можно представить как

(10.1)

---

При проведении выборочного наблюдения дисперсия изучаемого признака в генеральной совокупности, как правило, не известна. В то же время, между генеральной дисперсией и средней из всех возможных выборочных дисперсий существует следующее соотношение:

(10.2)

---

В связи с тем, что на практике в большинстве случаев из генеральной совокупности в определенный момент времени производится только одна выборка, дисперсия изучаемого признака по этой выборке и используется при расчете ошибки.

Учитывая, что при достаточно большом объеме выборки отношение  близко к 1, формула средней ошибки повторной выборки принимает следующий вид:

(10.3)

---

Где  ‑ дисперсия изучаемого признака по выборочной совокупности.

---

При определении возможных границ значений характеристик генеральной сово­купности рассчитывается предельная ошибка выборки, которая зависит от величины ее средней ошибки и уровня вероятности, с которым гарантируется, что генеральная средняя не выйдет за указанные границы.

Согласно теореме А.М. Ляпунова, вероятность той или иной величины предельной ошибки, при достаточно большом объеме выборочной сово­купности, подчиняется нормальному закону распределения и может быть определена на основе интеграла Лапласа.

Значения интеграла Лапласа при различных величинах t табулированы и представ­лены в статистических справочниках.

---

При обобщении результатов выборочного наблюдения наиболее часто используются следующие уровни вероятности и соответствующие им значения t:

Таблица 10.1 ‑ !!!Некоторые значения t

Вероятность, рi.	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

Например, если при расчете предельной ошибки выборки мы используем значение t=2, то с вероятностью 0,954 можно утверждать, что расхождение между выборочной средней и генеральной средней не превысит двукратной величины средней ошибки вы­борки.

---

---

Теоретической основой для определения границ генеральной доли, т.е. доли еди­ниц, обладающих тем или иным вариантом признака, является теорема Вернули. Согласно данной теореме вероятность получения сколь угодно малого расхождения между выборочной долей и генеральной долей при достаточно большом объеме выборки будет стремиться к единице. С учетом того, что вероятность расхождения между выборочной и генеральной долями подчиняется нормальному закону распределения, эта вероятность также определяется по функции F(t) при заданном значении t.

---

---

Процесс подготовки и проведения выборочного наблюдения включает ряд после­довательных этапов:

1. Определение цели обследования.
2. Установление границ генеральной совокупности.
3. Составление программы наблюдения и программы разработки данных
4. Определение вида выборки, процента отбора и метода отбора
5. Отбор и регистрация наблюдаемых признаков у отобранных единиц.
6. Насчет выборочных характеристик и их ошибок.
7. Распространение полученных результатов на генеральную совокупность.
   

   ---

   ---

В зависимости от состава и структуры генеральной совокупности выбирается вид выборки или способ отбора.

К наиболее распространенным на практике видам относятся:

• собственно-случайная (простая случайная) выборка;
• механическая (систематическая) выборка;
• типическая (стратифицированная, расслоенная) выборка;
• серийная (гнездовая) выборка.
  

  ---

  ---

Отбор единиц из генеральной совокупности может быть комбинированным, много­ступенчатым и многофазным.

Комбинированный отбор предполагает объединение нескольких видов выборки. Так, например, можно комбинировать типическую и серийную, серийную и собственно-случайную выборки. Ошибка такой выборки определяется ступенчатостью отбора.

---

Многоступенчатым называется отбор, при котором из генеральной совокупности сначала извлекаются укрупненные группы, потом ‑ более мелкие и так до тех пор, пока не будут отобраны те единицы, которые подвергаются обследованию.

---

Многофазная выборка, в отличие от многоступенчатой, предполагает сохранение одной и той же единицы отбора на всех этапах его проведения; при этом отобранные на каждой стадии единицы подвергаются обследованию, каждый раз – по более расширенной программе.

---

Собственно-случайная (простая случайная) выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад или наудачу без каких-либо элементов системности.

Однако прежде чем производить собственно-случайный отбор, необходимо убедиться, что все без исключения единицы генеральной совокупности имеют абсолютно равные шансы попадания в выборку, в списках или перечне отсутствуют пропуски, игнорирования отдельных единиц и т.п. Следует также установить четкие границы генеральной сово­купности таким образом, чтобы включение или не включение в нее отдельных единиц не вызывало сомнений. Так, например, при обследовании студентов необходимо указать, будут ли приниматься во внимание лица, находящиеся в академическом отпуске, студенты негосударственных вузов, военных училищ и т.п.; при обследовании торговых предприятий важно определиться, включит ли генеральная совокупность торговые павильоны, коммерческие палатки и прочие подобные объекты.

---

Технически собственно-случайный отбор проводят методом жеребьевки или по таблице случайных чисел.

---

Расчет ошибок позволяет решить одну из главных проблем организации выборочного наблюдения – оценить репрезентативность (представительность) выборочной совокупности.

Различают среднюю и предельную ошибки выборки. Эти два вида связаны следующим соотношением:

(10.4)

---

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференциро­ванно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки.

Так, при собственно-случайном повторном отборе средняя ошибка определяется по формуле:

(10.5)

---

а при расчете средней ошибки  собственно-случайной бесповторной выборки:

(10.6)

---

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности.

Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:

(10.7)

---

где  и ‑ генеральная и выборочная средняя соответственно;

‑ предельная ошибка выборочной средней.

---

---

Пример.

При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30 г. при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделия в генеральной совокупности.

---

Решение. Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Так как при р = 0,997, t = 3, она равна:

Определим пределы генеральной средней:

или

Вывод: Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний вес изделий в генеральной совокупности находится в пределах от 29,16 г. до 30,84 г.

---

---

Пример 2.

В городе проживает 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распре­деление семей по числу детей:

Таблица 10.2 ‑ Распределение семей по числу детей в городе N

Число детей в семье	0	1	2	3	4	5
Количество семей	1000	2000	1200	400	200	200

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находить­ся среднее число детей в генеральной совокупности.

---

Решение. В начале на основе имеющегося распределения семей определим выборочные среднюю и дисперсию:

Таблица 10.3 ‑ Вспомогательная таблица для расчета среднего числа детей

Число детей в семье, х;	Количество семей,     f
0 1 2 3 4 5	1000 2000 1200 400 200 200	0 2000 2400 1200 800 1000	-1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5	2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 12,25	2250 500 300 900 1250 2450
Итого	5000	7400	–	–	7650

Вычислим теперь предельную ошибку выборки (с учетом того, что при р = 0,954 t = 2).

---

Следовательно, пределы генеральной средней:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее число детей в семьях города практически не отличается от 1,5, т.е. в среднем на каждые две семьи приходится три ребенка.

---

---

Наряду с определением ошибок выборки и пределов для генеральной средней эти же показатели могут быть определены для доли признака.

В этом случае особенности расчета связаны с определением дисперсии доли, которая вычисляется так:

(10.8)

---

где  ‑ доля единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности, определяемая как отношение количества соответствующих единиц к объему выборки.

---

Тогда, например, при собственно-случайном повторном отборе для определения предельной ошибки выборки используется следующая формула:

(10.9)

---

Соответственно, при бесповторном отборе:

(10.10)

---

Пределы доли признака в генеральной совокупности p выглядят следующим образом:

(10.11)

---

Рассмотрим пример.

С целью определения средней фактической продолжитель­ности рабочего дня в государственном учреждении с численностью слу­жащих 480 человек, в январе 2009 г. было проведена 25%-ная случайная бесповторная выборка. По результатам наблюдения оказалось, что у 10% обследованных потери времени достигали более 45 мин. в день. С вероят­ностью 0,683 установите пределы, в которых находится генеральная доля служащих с потерями рабочего времени более 45 мин. в день.

Решение. Определим объем выборочной совокупности:

n= 480 х 0,25 = 120 чел.

Выборочная доля w равна по условию 10%.

Учитывая, что при р = 0,683   t=1, вычислим предельную ошибку выборочной доли:

---

Пределы доли признака в генеральной совокупности:

---

Таким образом, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля ра­ботников учреждения с потерями рабочего времени более 45 мин. в день находится в пределах от 7,6% до 12,4%.

---

Мы рассмотрели определение границ генеральной средней и генеральной доли по результатам уже проведенного выборочного наблюдения, при известном объеме выборки или проценте отбора. На этапе же проектирования выборочного наблюдения именно объ­ем выборочной совокупности и требует определения.

---

---

Для определения необходимого объема собственно-случайной повторной выборки применяют следующую формулу:

(10.12)

---

Полученный на основе использования данной формулы результат всегда округляется в большую сторону. Например, если мы получили, что необходимый объем выборки составляет 493,1 единицы, то обследовав 493 единицы мы не достигнем требуемой точности. Поэтому, для достижения желаемого результата обследованием должны быть охвачены 494 единицы.

С другой стороны, рассчитанное значение необходимого объема выборки свободно может быть увеличено в большую сторону на несколько единиц. Если мы располагаем необходимыми ресурсами, если по причинам организационного порядка (компактность расположения единиц, фиксированная нагрузка на каждого регистратора и т.п.) мы вполне можем охватить больший объем, то включение в выборочную совокуп­ность 500 или, например, 550 единиц только уменьшит значения полученных случайной и предельной ошибок.

---

При определении необходимого объема выборки для определения границ генеральной доли задача оценки вариации решается значительно проще. Если дисперсия изучаемого альтернативного признака неизвестна, то можно использовать ее максимальное возможное значение:

---

Например, предприятию связи с вероятностью 0,954 необходимо определить удельный вес телефонный разговоров продолжительностью менее 1 минуты с предельной ошибкой 2%. Сколько разговоров нужно обследовать в порядке собственно-случайного повторного отбора для решения этой задачи?

Для получения ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой (10.12) и будем ориентироваться на максимальную возможную дисперсию доли телефонных разговоров такой продолжительности. Расчет приводит к следующему результату:

Таким образом, обследованием должны быть охвачены не менее 2500 разговоров на предмет их продолжительности.

---

---

Необходимый объем собственно-случайной бесповторной выборки может быть определен по следующей формуле:

(10.13)

---

Укажем на одну особенность формулы (10.13). При проведении вычислений объем генеральной совокупности должен быть выражен только в единицах, а не в тысячах или в миллионах единиц.

Например, подставив в данную формулу общую численность населения региона, выраженную в тысячах человек, мы не получим правильное значение необходимой численности выборки, также выраженное в тысячах человек, как это иногда бывает в других расчетах. Результат вычислений будет неверен.

---

Механическая выборка может быть применена в тех случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т.е. имеется определенная последова­тельность в расположении единиц (табельные номера работников, списки избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т.п.). Для проведения отбора желательно, чтобы все единицы также имели порядковые номера от 1 до N.

Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объемов выборочной и генеральной совокупностей.

Так, если из совокупности в 500000 единиц предполагается отобрать 10000 единиц, то пропорция отбора составит

Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией через равные интервалы.

Например, при пропорции 1:50 (2%-ная выборка) отбирается каждая 50-я единица, при пропорции 1:20 (5%-ная выборка) – каждая 20-я единица и т.д.

---

---

Интервал отбора также можно определить как частное от деления 100% на уста­новленный процент отбора.

Так, например  при 2%-ном отборе интервал составит 50 (100%:2%), при 4%-ном отборе ‑ 25 (100%:4%). В тех случаях, когда результат деления получается дробным, сформировать выборку механическим способом при строгом соблюдении процента отбора не представляется возможным.

Например, по этой причине нельзя сформировать 3%-ную или 6%-ную выборки.

---

---

Генеральную совокупность при механическом отборе можно ранжировать или упорядочить по величине изучаемого или коррелирующего с ним признака, что позволит повысить репрезентативность выборки. Однако в этом случае возрастает опасность систе­матической ошибки, связанной с занижением значений изучаемого признака (если из каждого интервала регистрируется первое значение) или его завышением (если из каждого интервала регистрируется последнее значение). Поэтому целесообразно из каждого интервала отбирать центральную или одну из двух центральных единиц.

---

Например, при 5%-ной выборке интервал отбора составит 20 единиц, тогда отбор целесообразно начинать с 10-й или с 11-й единицы. В первом случае в выборку попадут 10, 30, 50, 70 и с таким же интервалом последующие единицы; во втором случае – единицы с номерами 11,31,51,71 и т.д.

При механической выборке также может появиться опасность систематической ошибки, обусловленной случайным совпадением выбранного интервала и циклических закономерностей в расположении единиц генеральной совокупности. Так, при переписи населения 1989 г. в ходе 25%-го выборочного обследования семей имела место опасность попадания в выборку квартир только одного типа (например, только однокомнатных или только трехкомнатных), так как на лестничных площадках многих типовых домов распо­лагаются именно по 4 квартиры. Чтобы избежать систематической ошибки, в каждом новом подъезде счетчик менял начало отбора.

---

Для определения средней ошибки механической выборки, а также необходимой ее численности, используются соответствующие формулы, применяемые при собственно-случайном бесповторном отборе(10.6 и 10.13). При этом, определив необходимую численность выборки и сопоставив ее с объемом генеральной совокупности, как правило, приходится производить соответствующее округление для получения целочисленного интервала отбора.

---

Например, в области зарегистрировано 12000 фермерских хозяйств. Определим, сколько из них нужно отобрать в порядке механического отбора для определения средней площади сельхозугодий с ошибкой ± 2 га. (Р=0,997). По результатам ранее проведенного обследования известно, что среднее квадратическое отклонение площади сельхозугодий составляет 8 га. Произведем расчет, воспользовавшись формулой (10.13).

---

С учетом полученного необходимого объема выборки (143 фермерских хозяйства) определим интервал отбора: 12000:143=83,9.

Определенный таким способом интервал всегда округляется в меньшую сторону, так как при округлении в большую сторону про­изведенная выборка не достигнет рассчитанного по формуле необходимого объема.

Сле­довательно, в нашем примере, из общего списка фермерских хозяйств необходимо отобрать для обследования каждое 83-е хозяйство. При этом процент отбора составит 1,2% (100% : 83).

---

---

Типический отбор целесообразно использовать в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности объединены в несколько крупных типических групп.. Такие группы также называют стартами или слоями, в связи с чем типический отбор также называют стратифицированным или расслоенным. При обследованиях населения в качестве типических групп могут быть выбраны области, районы, социальные, возрастные или об­разовательные группы, при обследовании предприятий – отрасли или подотрасли, формы собственности и т.п.

Рассматривать генеральную совокупность в разрезе нескольких крупных групп единиц имеет смысл только в том случае, если средние значения изучаемых признаков по группам существенно различаются. Например, с большой уверенностью можно предпо­ложить, что доходы населения крупного города будут в среднем выше доходов населения, проживающего в сельской местности; численность работников промышленного предприятия в среднем будет выше численности работников торгового или сельскохозяйственного предприятия; средний возраст студентов будет значительно меньше среднего возраста занятого населения и, тем более, пенсионеров. В то же время, нет никакого смысла при выделении типических групп ориентироваться на признак, не связанный или очень слабо связанный с изучаемым.

---

Отбор единиц в выборочную совокупность из каждой типической группы осущест­вляется собственно-случайным или механическим способом. Поскольку в выборочную совокупность в той или иной пропорции обязательно попадают представители всех групп, типизация генеральной совокупности позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. В то же время, в выделенных типических группах обследуются далеко не все единицы, а только включенные в выборку. Следовательно, на величине полученной ошибки будет сказываться различие между единицами внутри этих групп, т.е. внутригрупповая вариация. Поэтому, ошибка типической выборки будет опре­деляться величиной не общей дисперсии, а только ее части – средней из внутригрупповых дисперсий.

---

При типической выборке, пропорциональной объему типических групп, число еди­ниц, подлежащих отбору из каждой группы, определяется следующим образом:

 (10.14)

---

Где N_i – объем i-ой группы. а n_i ‑ объем выборки из i-ой группы.

---

Пример. Предположим, общая численность населения области составляет 1,5 млн. чел., в том числе городское – 900 тыс. чел. и сельское – 600 тыс. чел. Если в ходе выборочного наблюдения планируется обследовать 100 тыс. жителей, то эта численность должна быть поделена пропорционально объему типических групп следующим образом:

---

Средняя ошибка типической выборки определяется по формулам:

(10.15)

---

                                                   (10.16)

---

где  – средняя из внутригрупповых дисперсий.

---

При выборке, пропорциональной дифференциации признака, число наблюдений по каждой группе рассчитывается по формуле:

(10.17)

---

Где ‑ среднее отклонение признака в i-ой группе.

---

Cредняя ошибка такого отбора определяется следующим образом:

(10.18)

---

(10.19)

---

Отбор, пропорциональный дифференциации признака, дает лучшие результаты, однако на практике его применение затруднено вследствие трудности получения сведений о вариации до проведения выборочного наблюдения.

Таблица 10.4 ‑ Результаты обследования рабочих предприятия

Цех	Всего рабочих, человек	Обследовано, человек	Число дней временной не­трудоспособности за год
средняя	дисперсия
I II III	1000 1400 800	100 140 80	18 12 15	49 25 16

Рассмотрим оба варианта типической выборки на условном примере. Предположим, 10% бесповторный типический отбор рабочих предприятия, пропорциональный размерам цехов, проведенный с целью оценки потерь из-за временной нетрудоспособности, привел к следующим результатам (табл. 10.4)

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

---

Определим  среднюю  и  предельную  ошибки  выборки  (с  вероятностью 0,954):

---

Рассчитаем выборочную среднюю:

---

С вероятностью 0,954 можно сделать вывод, что среднее число дней временной нетрудоспособности одного рабочего в целом по предприятию находится в пределах:

Воспользуемся полученными внутригрупповыми дисперсиями для проведения отбора пропорционального дифференциации признака. Опре­делим необходимый объем выборки по каждому цеху:

---

---

С учетом полученных значений рассчитаем среднюю ошибку выборки:

---

В данном случае средняя, а следовательно, и предельная ошибки будут несколько меньше, что отразится и на границах генеральной средней.

Серийный отбор. Данный способ отбора удобен в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться упаковки с определенным количеством готовой продукции, партии товара, студенческие группы, бригады и другие объединения. Сущность серийной выборки заключается в собственно-случайном или механическом отборе серий, внутри которых произ­водится сплошное обследование единиц.

Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка серийной выборки (при отборе равновеликих серий) зависит от величины только межгрупповой (межсерийной) дисперсии и определяется по следующим формулам:

(10.20)

---

(10.21)

---

Где r ‑ число отобранных серий; R ‑ общее число серий.

---

---

Межгрупповую дисперсию вычисляют следующим образом:

 (10.22)

---

где  ‑ средняя i-й серии;

‑ общая средняя по всей выборочной совокупности.

---

Пример.

В области, состоящей из 20 районов, проводилось выборочное обследование урожайности на основе отбора серий (районов). Выбо­рочные средние по районам составили соответственно 14,5 ц/га; 16 ц/га; 15,5 ц/га; 15 ц/га и 14 ц/га. С вероятностью 0,954 определите пределы урожайности во всей области.

Решение. Рассчитаем общую среднюю:

---

Межгрупповая (межсерийная) дисперсия равна:

---

Определим теперь предельную ошибку серийной бесповторной выборки (t = 2 при р = 0,954):

---

Вывод: Следовательно, урожайность будет с вероятностью 0,954 находиться в пределах:

---

Определение необходимого объема выборки

При проектировании выборочного наблюдения возникает вопрос о необходимой численности выборки. Эта численность может быть определена на базе допустимой ошибки при выборочном наблюдении, исходя из вероятности, на основе которой можно гарантировать величину устанавливае­мой ошибки, и, наконец, на базе способа отбора.

Формулы необходимого объема выборки для различных способов формирования выборочной совокупности могут быть выведены из соот­ветствующих соотношений, используемых при расчете предельных ошибок выборки. Приведем наиболее часто применяемые на практике выражения необходимого объема выборки:

– собственно-случайная и механическая выборка:

---

---

---

– типическая выборка:

---

---

 – серийная выборка:

---

---

---

При этом в зависимости от целей исследования дисперсии и ошибки выборки могут быть рассчитаны для средней величины или доли признака.

---

Рассмотрим примеры определения необходимого объема выборки при различных способах формирования выборочной совокупности.

Пример.

В 100 туристических агентствах города предполагается провести обследование среднемесячного количества реализованных путевок методом механического отбора. Какова должна быть численность вы­борки, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала 3 путевок, если по данным пробного обследования дисперсия составляет 225.

Решение. Рассчитаем необходимый объем выборки:

---

Пример.

С целью определения доли сотрудников коммерческих банков области в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорциональную численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников банков составляет 12 тыс. чел., в том числе 7 тыс. мужчин и 5 тыс. женщин.

На основании предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 1600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке 5%.

Решение. Рассчитаем общую численность типической выборки:

---

Вычислим теперь объем отдельных типических групп:

Вывод: Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности сотрудников банков составляет 550 чел., в т.ч. 319 мужчин и 231 женщина.

---

Пример.

В акционерном обществе 200 бригад рабочих. Планируется проведение выборочного обследования с целью определения удельного ве­са рабочих, имеющих профессиональные заболевания. Известно, что межсерийная дисперсия доли равна 225. С вероятностью 0,954 рассчитайте необходимое количество бригад для обследования рабочих, если ошибка вы­борки не должна превышать 5%.

Решение. Необходимое количество бригад рассчитаем на основе формулы объема серийной бесповторной выборки:

---

---

---

Содержание курса лекций “Статистика”

---

Контрольные задания

Самостоятельно проведите выборочное наблюдение и произведите соответствующие расчеты.