Случайная величина x ошибка измерения дальности радиодальномером

Основы математической статистики

1. Выборочный
   метод.

1. В городе А для
   определения сроков гарантийного
   обслуживания проведено исследование
   величины среднего пробега автомобилей
   (X), находящихся в
   эксплуатации в течение двух лет с
   момента продажи автомобиля магазином.
   Получен следующий результат (тыс. км):
   3,0; 14,4; 25; 18,6; 12,1; 10,6; 18; 17,3; 29,1; 20; 18,3; 21,5;
   26,7; 12,2; 14,4; 7,3; 9,1; 2,9; 5,4; 40,1; 16,8; 11,2; 9,9; 25,3;
   4,2; 29,6; 25; 20; 14,4; 11,2. Требуется: а) составить
   ряд распределения частот (вариационный
   ряд); б) составить ряд распределения
   относительных частот.

2. По наблюденным
   данным предыдущей задачи построить
   многоугольник распределения (полигон
   частот либо относительных частот).

3. Выборка
   задана интервальным вариационным
   рядом:

Построить гистограммы
выборочной оценки плотности вероятности
(гистограмму частот и гистограмму
относительных частот).

1. Найти числовые
   характеристики выборки, по данным
   задачи (1), такие как: размах, моду,
   медиану, выборочное среднее, выборочную
   дисперсию, выборочное ср. кв. отклонение.

2. Найти
   асимметрию и эксцесс по заданному
   распределению выборки:

	-2	0	1	2
	5	15	30	10

1. Оценка
   параметров распределения.

1. Найти
   несмещенную оценку математического
   ожидания и дисперсии с.в. Х.

   	— 10	-5	— 1	4
   	25	44	16	15

2. Случайная величина
   X (время работы элемента)
   имеет показательное распределение.
   Ниже приведено эмпирическое распределение
   среднего
   времени работып=200 элементов
   (в первой строке приведено среднее
   времяработы элемента в часах; во второй
   строке указана частота— количество элементов, проработавших
   в среднемчасов):

Найти методом
моментов точечную оценку неизвестного
параметра
показательного распределения.

1. Случайная величина
   X (ошибка измерения дальности
   радиодальномером) подчинена равномерному
   закону распределения с неизвестными
   параметрамии.Ниже приведено эмпирическое распределение
   средней ошибки= 200 измерений дальности (в первой строке
   указана средняя ошибка;
   во второй строке указана частота— количество измерений, имеющих среднюю
   ошибку):

:
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

:
21 16 15 26 22 14 21 22 18 25

Найти методом
моментов точечные оценки неизвестных
параметров
иравномерного распределения.

1. Случайная величина
   X (число семян сорняков в
   пробе зерна) распределена по закону
   Пуассона. Ниже
   приведено распределение семян
   сорняков вп= 1000 пробах
   зерна (в первой строке указано
   количествосорняков
   в одной пробе; во второй строке
   указано— число проб, содержащих
   семян сорняков):

Найти методом
моментов точечную оценку неизвестного
параметра распределения Пуассона
.

1. Случайная величина
   X (отклонение контролируемого
   размера изделия от номинала)
   подчинена нормальному
   закону распределения с неизвестными
   параметрамии.
   Ниже приведено эмпирическое
   распределение отклонения
   от номинала 200-т изделий (в первой
   строке
   указано отклонение—
   (мм); во второй строке приведена
   частота— количество изделий, имеющих отклонение):0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9
   2,2 2,3

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

. . ,Хп точечную оценку параметра р биномиального распре­делениягде Х( — число появлений события в /-м опыте (/ = 1, 2,. . . , /г), т — количество испытаний в одном опыте.У к а з а н и е . Приравнять начальный теоретический момент пер­вого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка.475. Случайная величина X (число появлений собы­тия А ъ т независимых испытаниях) подчинена биноми­альному закону распределения с неизвестным парамет­ром р. Ниже приведено эмпирическое распределениечисла появлений события в 10 опытах по 5 испытанийв каждом (в первой строке указано число Xi появленийсобытия А в одном опыте; во второй строке указаначастота л,- — количество опытов, в которых наблюдалосьXi появлений события Л):X,.л,.О512213141Найти методом моментов точечную оценку параметра рбиномиального распределения.У к а з а н и е .

Использовать решение задачи 474.476. Найти методом моментов по выборке х^, Xg, . . . ,Хп точечную оценку неизвестного параметра X показа­тельного распределения, плотность которого f{x) = Xe-‘^^(х>0).477. Случайная величина X (время работы элемента)имеет показательное распределение f{x) = Xe-^ (х^О).Ниже приведено эмпирическое распределение среднеговремени работы п = 2 0 0 элементов (в первой строке при165ведено среднее время х^ работы элемента в часах; во вто­рой строке указана частота щ—количество элементов»проработавших в среднем Х/ часов):Xi 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5л^ 133 45 15421Найти методом моментов точечную оценку неизвест­ного параметра показательного распределения.У к а з а н и е .

Использовать решение задачи 476.478. Найти методом моментов точечную оценку пара­метра р (вероятности) геометрического распределенияP(X = Xi) = {}—pY»’^-pf где X/—число испытаний, про­изведенных до появления события; р—вероятность по­явления события в одном испытании.У к а з а н и е . Принять во внимание, что М(X) = 1/р (см. за­дачу 222).479. Найти методом моментов оценку параметра ргеометрического распределения Р{Х = х^) = {1—ру^’^-р^если в четырех опытах событие появилось соответственнопосле двух, четырех, шести и восьми испытаний.480. Найти методом моментов по выборке х^, х,, …»Хп точечные оценки неизвестных параметров а и р гам­ма-распределения, плотность которого/(^) = ра^хга+1)^^^»^^ ( а > — 1 . Р > 0 , х > 0 ) .Р е ш е н и е .

Для отыскания двух неизвестных параметров не­обходимо иметь два уравнения; приравняем начальный теоретическиймомент первого порядка Vi начальному эмпирическому моменту пер­вого порядка Ml и центральный теоретический момент второго по­рядка fis центральному эмпирическому моменту второго порядка т^;Учитывая, что Vi = Ai(X), Мг^х^^ ^ia=Z>(X), m^^D^, имеемГЛ1(Х)=7,.*.Математическое ожидание и дисперсия гамма-распределения со­ответственно равны Л1 (Х) = (а+1)Р» D(X)=(aH-l)p* (см.

зада­чу 302), поэтому (^) можно записать в виде/(а+1)р=7„Ua+1)P*=I>B.Решив эту систему, окончателыю^ получим искомые JFOчeчныeоценки ненэтестяых параметров: а*=(х^)^/0,^—1, ^*=0^/х^’16в481. Случайная величина X (уровень воды в реке посравнению с номиналом) подчинена гамма-распределению,плотность которого определяется параметрами а и Э(а>—1, р>0):Ниже приведено распределение среднего уровня воды поданным /г = 45 паводков (в первой строке указан сред­ний уровень воды х^ (см); во второй строке приведеначастота п^- — количество паводков со средним уровнемводы JC,):Xi 37,5 62,5 87,5 112,5 137,5 162,5 187,5 250 350п ^ 1 3 6 7754 8 4Найти методом моментов точечные оценки неизвестныхпараметров а и р рассматриваемого гамма-распределения.Р е ш е н и е . Используем точечные оценки параметров гаммараспределения (см.

задачу 480):OC*=(7B)VZ)B-1,Р*=^ВМВ.ППо заданному распределению легко найдем выборочную среднююи выборочную дисперсию: х^=1&6, DB = 6782.Подставив эти числа в формулы (*), окончательно получимискомые точечные оценки неизвестных параметров рассматриваемогогамма-распределения: а* =3,06, р* =40,86.482. Устройство состоит из элементов, время безот­казной работы которых подчинено гамма-распределению.Испытания пяти элементов дали следующие наработки(время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250,300. Найти методом моментов точечные оценки неизвест­ных параметров а и р , которыми определяется гаммараспределение.У к а з а н и е .

Использовать решение задачи 480. Учесть, чтообъем выборки п = 5 мал, поэтому в формулах для вычисления па­раметров а и р вместо выборочной дисперсии подставить исправлен­ную дисперсию s^ = ‘Lni(Xi—х^)^/(п — 1).483. Найти методом моментов по выборке лг^, Xg, .

. . ,Хп точечные оценки неизвестных параметров а и о нор­мального распределения, плотность которого/(л:) = —i=e-<^-«>V(2a«).У к а з а н и е . Приравнять начальный теоретический моментпервого порядка и центральный теоретический момент второго по­рядка соответствующим эмпирическим моментам.167484. Случайная величина X (отклонение контролируе­мого размера изделия от номинала; подчинена нормаль­ному закону распределения с неизвестными параметрамиа и о.

Ниже приведено эмпирическое распределение от­клонения от номинала п = 200 изделий (в первой строкеуказано отклонение х^- (мм); во второй строке приведеначастота п,- — количество изделий, имеющих отклонение Xf):Xi 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,2 2,3п^ 6926 25 30 26 21 24 2085Найти методом моментов точечные оценки неизвестныхпараметров а и о нормального распределения.У к а з а н и е .

Использовать задачу 483.485. Найти методом моментов по выборке х^, дг^, …»х„ точечные оценки параметров а и b равномерного рас­пределения, плотность которого / (х) = 1/(6—а) (6 > а).У к а з а н и е . Использовать решения задач 313, 315.486. Случайная величина X (ошибка измерения даль­ности радиодальномером) подчинена равномерному за­кону распределения с неизвестными параметрами а и Ь.Ниже приведено эмпирическое распределение среднейошибки л = 200 измерений дальности (в первой строкеуказана средняя ошибка л:,-; во второй строке указаначастота п^—количество измерений, имеющих среднююошибку АГ/):л:,.

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21п^ 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25Найти методом моментов точечные оценки неизвестныхпараметров а и Ь равномерного распределения.У к а з а н и е . Использовать задачу 485.487. Найти методом моментов по выборке х^, х^, . . . ,л:„ точечные оценки неизвестных параметров Х^ и Яд«двойного распределения» Пуассона1*Х= Xf) = -оГ •Х^’е~^«;1h «о* •Х^’е~^«i— »где х^ — число появлений события в п^ испытаниях Х^ иЯа—положительные числа, причем X2>^i.Р е ш е н и е . Если случайная величина Z распределена по законуПуассона с параметром X, то ее начальные теоретические моменты168первого и второго порядка соответственно равны (см.

задачи 207,227):Vi = Af(Z)==^,Найдем начальные теоретические моменты первого и второгопорядка рассматриваемой случайной величины X, учитывая соотно­шения (*):Vi = M (X) = A,,/2 + X2/2=(Xi + X2)/2,V2=Af(X2) = (l/2)(^i + A?)+(l/2)(X2 + ^ l ) = V i + ( > . ? + X i ) / 2 .Отсюда/Xi + X2 = 2vbXf + X| = 2v2 —2vi.Решив эту систему относительно неизвестных параметров, принявво внимание, что Лг > Ki, получим:^i = vi —Kv2-—Vi —V?, X2 = V i + K Va —Vi —V?.488. Случайная величина X распределена по «двой­ному» закону Пуассона:1 Xfe-^*1 Ц^e-^*Р (2С = X:) == «7Г •iЬ 7Г «i•Ниже приведено эмпирическое распределение числапоявлений события в л = 327 испытаниях (в первойстроке указано число х,- появлений события; во второйстроке приведена частота n^• — количество испытаний,в которых появилось Х/ событий):X,.

О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10п^ 28 47 81 67 53 24 13 8 3 2 1Найти методом моментов точечные оценки неизвест­ных параметров Х^ и К^ «двойного распределения» Пу­ассона.У к а з а н и е . Использовать решение задачи 487. Вычислить повыборке начальные эмпирические моменты первого и второго по­рядков:Ml = ( 2 niXi)/n, Af 2 = ( 2 ^i^b/^§ 3. Метод наибольшего правдоподобияМетод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестныхпараметров заданного распределения сводится к отысканию макси­мума функции одного или нескольких оцениваемых параметров.А. Дискретные случайные величины.

Пусть X—дискретная слу­чайная величина, которая в результате «опытов приняла возмож­ные значения Xi, х^, . . . , л:„. Допустим, что вид закона распреде­ления величины X задан, но неизвестен параметр в , которым оп169ределяетсяэтотзакон;требуетсянайтиего точечную оценкуОбозначим вероятность того, что в результате испытания вели­чина X примет значение Xi через p(Xi 0 ) .Функцией правдоподобия дискретной ‘случайной величины Xназывают функцию аргумента 0 :ЦхиХ2, …,Хп 0) = p(-ti; е)’Р(Х2 в)…р(Хп).Оценкой наибольшего правдоподобия параметра 0 называюттакое его значение 0*, при котором функция правдоподобия дости­гает максимума.Функции L и In L достигают максимума при одном и том жезначении 0 , поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут,что удобнее, максимум функции In L.Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию InL.Точку максимума функции InL аргумента 0 можно искать, на­пример, так:1 и чd InL1.

Номер заказа:

Подождите создаем заказ…

481. Случайная величина X (уровень воды в реке по сравнению с номиналом) подчинена гамма-распределению, плотность которого определяется параметрами а и Э (а>—1, р>0): Ниже приведено распределение среднего уровня воды по данным /г = 45 паводков (в первой строке указан средний уровень воды х^ (см); во второй строке приведена частота п^- — количество паводков со средним уровнем воды JC,): Xi 37,5 62,5 87,5 112,5 137,5 162,5 187,5 250 350 п ^ 1 3 6 7 7 5 4 8 4 Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров аир рассматриваемого гамма-распределения. Решение. Используем точечные оценки параметров гаммараспределения (см. задачу 480): OC*=(7B)VZ)B-1, Р*=^ВМВ. П По заданному распределению легко найдем выборочную среднюю и выборочную дисперсию: х^=1&6, DB = 6782. Подставив эти числа в формулы (*), окончательно получим искомые точечные оценки неизвестных параметров рассматриваемого гамма-распределения: а* =3,06, р* =40,86. 482. Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300. Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров аир, которыми определяется гаммараспределение. Указание. Использовать решение задачи 480. Учесть, что объем выборки п = 5 мал, поэтому в формулах для вычисления параметров аир вместо выборочной дисперсии подставить исправленную дисперсию s^ = ‘Lni(Xi—х^)^/(п — 1). 483. Найти методом моментов по выборке лг^, Xg, …, Хп точечные оценки неизвестных параметров а и о нормального распределения, плотность которого /(л:) = —i=e-V(2a«). Указание. Приравнять начальный теоретический момент первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка соответствующим эмпирическим моментам. 167

484. Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала; подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрами а и о. Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала п = 200 изделий (в первой строке указано отклонение х^- (мм); во второй строке приведена частота п,- — количество изделий, имеющих отклонение Xf): Xi 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,2 2,3 п^ 6 9 26 25 30 26 21 24 20 8 5 Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и о нормального распределения. Указание. Использовать задачу 483. 485. Найти методом моментов по выборке х^, дг^, …» х„ точечные оценки параметров а и b равномерного распределения, плотность которого / (х) = 1/(6—а) (6 > а). Указание. Использовать решения задач 313, 315. 486. Случайная величина X (ошибка измерения дальности радиодальномером) подчинена равномерному закону распределения с неизвестными параметрами а и Ь. Ниже приведено эмпирическое распределение средней ошибки л = 200 измерений дальности (в первой строке указана средняя ошибка л:,-; во второй строке указана частота п^—количество измерений, имеющих среднюю ошибку АГ/): л:,. 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 п^ 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25 Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и Ь равномерного распределения. Указание. Использовать задачу 485. 487. Найти методом моментов по выборке х^, х^, …, л:„ точечные оценки неизвестных параметров Х^ и Яд «двойного распределения» Пуассона 1 Х^’е~^« 1 Х^’е~^« * Х = Xf) = -оГ • ; h «о* • i— » где х^ — число появлений события в п^ испытаниях Х^ и Яа—положительные числа, причем X2>^i. Решение. Если случайная величина Z распределена по закону Пуассона с параметром X, то ее начальные теоретические моменты 168