Среднюю ошибку аппроксимации это

Средняя ошибка аппроксимации

Фактические
значения результативного признака
отличаются от теоретических, рассчитанных
по уравнению регрессии. Чем меньше эти
отличия, тем ближе теоретические значения
к эмпирическим данным, тем лучше качество
модели. Величина отклонений фактических
и расчетных значений результативного
признака каждому наблюдению представляет
собой ошибку аппроксимации. В отдельных
случаях ошибка аппроксимации может
оказаться равной нулю. Отклонения (y
–

)
несравнимы между собой, исключая
величину, равную нулю. Так, если для
одного наблюдения y
–

= 5, а для другого – 10, то это не означает,
что во втором случае модель дает вдвое
худший результат. Для сравнения
используются величины отклонений,
выраженные в процентах к фактическим
значениям. Например, если для первого
наблюдения y
= 20, а для второго y
= 50, ошибка аппроксимации составит 25 %
для первого наблюдения и 20 % – для
второго.

Поскольку
(y
–

)
может быть величиной как положительной,
так и отрицательной, ошибки аппроксимации
для каждого наблюдения принято определять
в процентах по модулю.

Отклонения
(y
–

)
можно рассматривать как абсолютную
ошибку аппроксимации, а

– как
относительную ошибку аппроксимации.
Для того, чтобы иметь общее суждение о
качестве модели из относительных
отклонений по каждому наблюдению,
находят среднюю ошибку аппроксимации
как среднюю арифметическую простую

. (2.38)

По
нашим данным представим расчет средней
ошибки аппроксимации для уравнения Y
= 6,136 
Х^0,474
в следующей таблице.

Таблица.
Расчет средней ошибки аппроксимации

y	yx	y –
6	6,135947	-0,135946847	0,022658
9	8,524199	0,475801308	0,052867
10	10,33165	-0,331653106	0,033165
12	11,84201	0,157986835	0,013166
13	13,164	-0,163999272	0,012615
Итого			0,134471

A
= (0,1345 / 5) 
100 = 2,69 %, что говорит о хорошем качестве
уравнения регрессии, ибо ошибка
аппроксимации в пределах 5-7 % свидетельствует
о хорошем подборе модели к исходным
данным.

Возможно
и другое определение средней ошибки
аппроксимации:

(2.39)

Для
нашего примера эта величина составит:

.

Для
расчета средней ошибки аппроксимации
в стандартных программах чаще используется
формула (2.39).

Аналогично
определяется средняя ошибка аппроксимации
и для уравнения параболы.

№11

Факторы,
включаемые во множественную регрессию,
должны отвечать следующим требованиям:

1)
быть количественно измеримы. Если
необходимо включить в модель качественный
фактор, не имеющий количественного
измерения, то нужно придать ему
количественную определенность (например,
в модели урожайности качество почвы
задается в виде баллов; в модели стоимости
объектов недвижимости учитывается
место нахождения недвижимости: районы
могут быть проранжированы);

2)
не должны быть коррелированны между
собой и тем более находиться в точной
функциональной связи.

Включение
в модель факторов с высокой интеркорреляцией,
когда r_yx1
< r_x1x2,
для зависимости y
= a
+ b₁

x₁
+ b₂

x₂
+ ,
может привести к нежелательным
последствиям – система нормальных
уравнений может оказаться плохо
обусловленной и повлечь за собой
неустойчивость и ненадежность оценок
коэффициентов регрессии.

Если
между факторами существует высокая
корреляция, то нельзя определить их
изолированное влияние на результативный
показатель, и параметры уравнения
регрессии оказываются неинтерпретируемыми.
Так, в уравнении y
= a
+ b₁

x₁
+ b₂

x₂
+ ,
предполагается, что факторы x₁
и x₂
независимы друг от друга, т.е. r_x1x2
= 0. Тогда можно говорить, что параметр
b₁
измеряет силу влияния фактора x₁
на результат y
при неизменном значении фактора x₂.
Если же r_x1x2
= 1, то с изменением фактора x₁
фактор x₂
не может оставаться неизменным. Отсюда
b₁
и b₂
нельзя интерпретировать как показатели
раздельного влияния x₁
и x₂
на y.

Пример
3.2. При
изучении зависимости y
= f(x,
z,
v)
матрица парных коэффициентов корреляции
оказалась следующей:

	y	x	z	v
y	1
x	0,8	1
z	0,7	0,8	1
v	0,6	0,5	0,2	1

Очевидно,
что факторы x
и z
дублируют друг друга. В анализ целесообразно
включить фактор z,
а не x,
так как корреляция z,
с результатом y
слабее, чем корреляция фактора x
с y
(r_yz
< r_yx),
но зато слабее межфакторная корреляция
r_zv
< r_xv.
Поэтому в данном случае в уравнение
множественной регрессии включаются
факторы z,
и v.

По
величине парных коэффициентов корреляции
обнаруживается лишь явная коллинеарность
факторов. Наибольшие трудности в
использовании аппарата множественной
регрессии возникают при наличии
мультиколлинеарности
факторов, когда более чем два фактора
связаны между собой линейной зависимостью,
т.е. имеет место совокупное воздействие
факторов друг на друга. Наличие
мультиколлинеарности факторов может
означать, что некоторые факторы всегда
будут действовать в унисон. В результате
вариация в исходных данных перестает
быть полностью независимой и нельзя
оценить воздействие каждого фактора в
отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность
факторов, тем менее надежна оценка
распределения суммы объясненной вариации
по отдельным факторам с помощью метода
наименьших квадратов.

Если
рассматривается регрессия y
= a
+ b

x
+ c

z
+ d

v
+ ,
то для расчета параметров с применением
МНК предполагается равенство

S²_y
= S²_факт
+ S²_,

где
S²_y
– общая сумма квадратов отклонений

;
S²_факт
– факторная (объясненная) сумма квадратов
отклонений

;
S²_
– остаточная сумма квадратов отклонений

.

В
свою очередь, при независимости факторов
друг от друга выполнимо равенство

S²_факт
= S²_x
+ S²_z
+ S²_v,

где
S²_x,
S²_z,
S²_v
– суммы квадратов отклонений, обусловленные
влиянием соответствующих факторов.

Если
же факторы интеркоррелированы, то данное
равенство нарушается.

Включение
в модель мультиколлинеарных факторов
нежелательно по следующим причинам:

– затрудняется
интерпретация параметров множественной
регрессии как характеристик действия
факторов в «чистом» виде, ибо факторы
коррелированны; параметры линейной
регрессии теряют экономический смысл;

– оценки
параметров ненадежны, обнаруживают
большие стандартные ошибки и меняются
с изменением объема наблюдений (не
только по величина, но и по знаку), что
делает модель непригодной для анализа
и прогнозирования.

Для
оценки факторов может использоваться
определитель матрицы
парных коэффициентов корреляции между
факторами.

Если
бы факторы не коррелировали между собой,
то матрицы парных коэффициентов
корреляции между ними была бы единичной,
поскольку все недиагональные элементы
r_xixj
(x_i

x_j)
были бы равны нулю. Так, для уравнения,
включающего три объясняющих переменных,

y
= a
+ b₁

x₁
+ b₂

x₂
+ b₃

x₃
+ ,

матрица
коэффициентов корреляции между факторами
имела бы определитель, равный единице

,

поскольку
r_x1x1
= r_x2x2
= r_x3x3
= 1 и r_x1x2
= r_x1x3
= r_x2x3
= 0.

Если
же между факторами существует полная
линейная зависимость и все коэффициенты
корреляции равны единице, то определитель
такой матрицы равен нулю

.

Чем
ближе к нулю определитель матрицы
межфакторной корреляции, тем сильнее
мультиколлинеарность факторов и
ненадежнее результаты множественной
регрессии. И, наоборот, чем ближе к
единице определитель матрицы межфакторной
корреляции, тем меньше мультиколлинеарность
факторов.

Оценка
значимости мультиколлинеарности
факторов может быть проведена методом
испытания гипотезы о независимости
переменных H₀:
DetR
= 1. Доказано, что величина

имеет приближенное распределение ²
с df
= m

(m
– 1)/2 степенями
свободы. Если фактическое значение ²
превосходит табличное (критическое):
²_факт
> ²_{табл(df,)}
то гипотеза H₀
отклоняется. Это означает, что DetR

1, недиагональные ненулевые коэффициенты
корреляции указывают на коллинеарность
факторов. Мультиколлинеарность считается
доказанной.

Через
коэффициенты множественной детерминации
можно найти переменные, ответственные
за мультиколлинеарность факторов. Для
этого в качестве зависимой переменной
рассматривается каждый из факторов.
Чем ближе значение коэффициента
множественной детерминации к единице,
тем сильна проявляется мультиколлинеарность
факторов. Сравнивая между собой
коэффициенты множественной детерминации
факторов
R²_{x1x2x3…xp};
R²_{x2x1x3…xp}
и т.п., можно выделить переменные,
ответственные за мультиколлинеарность,
следовательно, можно решать проблему
отбора факторов, оставляя в уравнении
факторы с минимальной величиной
коэффициента множественной детерминации.

Имеется
ряд подходов преодоления сильной
межфакторной корреляции. Самый простой
из них состоит в исключении из модели
одного или нескольких факторов. Другой
путь связан с преобразованием факторов,
при котором уменьшается корреляция
между ними. Например, при построении
модели на основе рядов динамики переходят
от первоначальных данных к первым
разностям уровней y
= y_t
– y_t–1,
чтобы исключить влияние тенденции, или
используются такие методы, которые
сводят к нулю межфакторную корреляцию,
т.е. переходят от исходных переменных
к их линейным комбинациям, не коррелированным
друг с другом (метод главных компонент).

Одним
из путей учета внутренней корреляции
факторов является переход к совмещенным
уравнениям регрессии, т.е. к уравнениям,
которые отражают не только влияние
факторов, но и их взаимодействие. Так,
если y
= f(x₁,
x₂,
x₃).
то можно построить следующее совмещенное
уравнение:

y
= a
+ b₁

x₁
+ b₂

x₂
+ b₃

x₃
+ b₁₂

x₁

x₂
+ b₁₃

x₁

x₃
+ b₂₃

x₂

x₃
+ .

Рассматриваемое
уравнение включает эффект взаимодействия
первого порядка. Можно включать в модель
и взаимодействие более высоких порядков,
если будет доказана его статистическая
значимость, например включение
взаимодействия второго порядка b₁₂₃

x₁
x₂

x₃
и т.д. Как правила, взаимодействие
третьего и более высоких порядков
оказывается статистически незначимым;
совмещенные уравнения регрессии
ограничиваются взаимодействием первого
и второго порядков. Но и оно может
оказаться несущественным. Тогда
нецелесообразно включать в модель
взаимодействие всех факторов и всех
порядков. Так, если анализ совмещенного
уравнения показал значимость только
взаимодействия факторов x₁и
x₃,
то уравнение будет иметь вид:

y
= a
+ b₁

x₁
+ b₂

x₂
+ b₃

x₃
+ b₁₃

x₁

x₃
+ .

Взаимодействие
факторов x₁и
x₃
означает, что на разных уровнях фактора
x₃
влияние фактора x₁на
y
будет неодинаково, т.е. оно зависит от
значений фактора x₃.
На рис. 3.1 взаимодействие факторов
представляется непараллельными линиями
связи x₁с
результатом y.
И, наоборот, параллельные линии влияния
фактора x₁на
y
при разных уровнях фактора x₃
означают отсутствие взаимодействия
факторов x₁и
x₃.

Рис.
3.1. Графическая иллюстрация взаимодействия
факторов

Совмещенные
уравнения регрессии строятся, например,
при исследовании эффекта влияния на
урожайность разных видов удобрений
(комбинаций азота и фосфора).

Решению
проблемы устранения мультиколлинеарности
факторов может помочь и переход к
уравнениям приведенной формы. С этой
целью в уравнение регрессии подставляют
рассматриваемый фактор, выраженный из
другого уравнения.

Пусть,
например, рассматривается двухфакторная
регрессия вида y_x
= a
+ b₁

x₁
+ b₂

x₂,
для которой факторы x₁и
x₂
обнаруживают высокую корреляцию. Если
исключить один из факторов, то мы придем
к уравнению парной регрессии. Вместе с
тем можно оставить факторы в модели, но
исследовать данное двухфакторное
уравнение регрессии совместно с другим
уравнением, в котором фактор (например,
x₂)
рассматривается как зависимая переменная.
Предположим, что x₂
= A
+ B
y
+ C

x₃.
Подставив это уравнение в искомое вместо
x₂,
получим:

y_x
= a
+ b₁

x₁
+ b₂

(A
+ B

y
+ C

x₃)

или

y_x

(1 – b₂

B)
= (a
+ b₂

A)
+ b₁

x₁
+ C

b₂

x₃.

Если
(1 – b₂

B)

0, то, разделив обе части равенства на
(1 – b₂

B),
получим уравнение вида

,

которое
принято называть приведенной формой
уравнения для определения результативного
признака y.
Это уравнение может быть представлено
в виде

y_x
= a’
+ b’₁

x₁
+ b’₃

x₃.

К
нему для оценки параметров может быть
применен метод наименьших квадратов.

Отбор
факторов, включаемых в регрессию,
является одним из важнейших этапов
практического использования методов
регрессии. Подходы к отбору факторов
на основе показателей корреляции могут
быть разные. Они приводят построение
уравнения множественной регрессии
соответственно к разным методикам. В
зависимости от того, какая методика
построения уравнения регрессии принята,
меняется алгоритм её решения на
компьютере.

Наиболее
широкое применение получили следующие
методы построения уравнения множественной
регрессии:

– метод
исключения;

– метод
включения;

– шаговый
регрессионный анализ.

Каждый
из этих методов по-своему решает проблему
отбора факторов, давая в целом близкие
результаты – отсев факторов из полного
его набора (метод исключения), дополнительное
введение фактора (метод включения),
исключение ранее введенного фактора
(шаговый регрессионный анализ).

На
первый взгляд может показаться, что
матрица парных коэффициентов корреляции
играет главную роль в отборе факторов.
Вместе с тем вследствие взаимодействия
факторов парные коэффициенты корреляции
не могут в полной мере решать вопрос о
целесообразности включения в модель
того или иного фактора. Эту роль выполняют
показатели частной корреляции, оценивающие
в чистом виде тесноту связи фактора с
результатом. Матрица частных коэффициентов
корреляции наиболее широко используется
в процедуре отсева факторов. Отсев
факторов можно проводить и по t-критерию
Стьюдента для коэффициентов регрессии:
из уравнения исключаются факторы с
величиной t-критерия
меньше табличного. Так, например,
уравнение регрессии составило:

y
= 25 + 5x₁
+ 3x₂
+ 4x₃
+ .

(4,0) (1,3) (6,0)

В
скобках приведены фактические значения
t-критерия
для соответствующих коэффициентов
регрессии, как правило, при t
< 2 коэффициент регрессии незначим и,
следовательно, рассматриваемый фактор
не должен присутствовать в регрессионной
модели. В данном случае – это фактор
x₂.

При
отборе факторов рекомендуется пользоваться
следующим правилом: число включаемых
факторов обычно в 6-7 раз меньше объема
совокупности, по которой строится
регрессия. Если это соотношение нарушено,
то число степеней свободы остаточной
вариации очень мало. Это приводит к
тому, что параметры уравнения регрессии
оказываются статистически незначимыми,
а F-критерий
меньше табличного значения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

From Wikipedia, the free encyclopedia

For broader coverage of this topic, see Approximation.

The approximation error in a data value is the discrepancy between an exact value and some approximation to it. This error can be expressed as an absolute error (the numerical amount of the discrepancy) or as a relative error (the absolute error divided by the data value).

An approximation error can occur because of computing machine precision or measurement error (e.g. the length of a piece of paper is 4.53 cm but the ruler only allows you to estimate it to the nearest 0.1 cm, so you measure it as 4.5 cm).

In the mathematical field of numerical analysis, the numerical stability of an algorithm indicates how the error is propagated by the algorithm.

Formal definition[edit]

One commonly distinguishes between the relative error and the absolute error.

Given some value v and its approximation v_approx, the absolute error is

where the vertical bars denote the absolute value.
If the relative error is

and the percent error (an expression of the relative error) is

In words, the absolute error is the magnitude of the difference between the exact value and the approximation. The relative error is the absolute error divided by the magnitude of the exact value.

An error bound is an upper limit on the relative or absolute size of an approximation error.

Generalizations[edit]

These definitions can be extended to the case when and are n-dimensional vectors, by replacing the absolute value with an n-norm.^[1]

Examples[edit]

As an example, if the exact value is 50 and the approximation is 49.9, then the absolute error is 0.1 and the relative error is 0.1/50 = 0.002 = 0.2%. Another example would be if, in measuring a 6 mL beaker, the value read was 5 mL. The correct reading being 6 mL, this means the percent error in that particular situation is, rounded, 16.7%.

The relative error is often used to compare approximations of numbers of widely differing size; for example, approximating the number 1,000 with an absolute error of 3 is, in most applications, much worse than approximating the number 1,000,000 with an absolute error of 3; in the first case the relative error is 0.003 and in the second it is only 0.000003.

There are two features of relative error that should be kept in mind. Firstly, relative error is undefined when the true value is zero as it appears in the denominator (see below). Secondly, relative error only makes sense when measured on a ratio scale, (i.e. a scale which has a true meaningful zero), otherwise it would be sensitive to the measurement units. For example, when an absolute error in a temperature measurement given in Celsius scale is 1 °C, and the true value is 2 °C, the relative error is 0.5, and the percent error is 50%. For this same case, when the temperature is given in Kelvin scale, the same 1 K absolute error with the same true value of 275.15 K gives a relative error of 3.63×10⁻³ and a percent error of only 0.363%. Celsius temperature is measured on an interval scale, whereas the Kelvin scale has a true zero and so is a ratio scale. Thus the relative error is not very meaningful.

Instruments[edit]

In most indicating instruments, the accuracy is guaranteed to a certain percentage of full-scale reading. The limits of these deviations from the specified values are known as limiting errors or guarantee errors.^[2]

See also[edit]

• Accepted and experimental value
• Condition number
• Errors and residuals in statistics
• Experimental uncertainty analysis
• Machine epsilon
• Measurement error
• Measurement uncertainty
• Propagation of uncertainty
• Quantization error
• Relative difference
• Round-off error
• Uncertainty

References[edit]

External links[edit]

• Weisstein, Eric W. «Percentage error». MathWorld.

From Wikipedia, the free encyclopedia

For broader coverage of this topic, see Approximation.

The approximation error in a data value is the discrepancy between an exact value and some approximation to it. This error can be expressed as an absolute error (the numerical amount of the discrepancy) or as a relative error (the absolute error divided by the data value).

An approximation error can occur because of computing machine precision or measurement error (e.g. the length of a piece of paper is 4.53 cm but the ruler only allows you to estimate it to the nearest 0.1 cm, so you measure it as 4.5 cm).

In the mathematical field of numerical analysis, the numerical stability of an algorithm indicates how the error is propagated by the algorithm.

Formal definition[edit]

One commonly distinguishes between the relative error and the absolute error.

Given some value v and its approximation v_approx, the absolute error is

where the vertical bars denote the absolute value.
If the relative error is

and the percent error (an expression of the relative error) is

In words, the absolute error is the magnitude of the difference between the exact value and the approximation. The relative error is the absolute error divided by the magnitude of the exact value.

An error bound is an upper limit on the relative or absolute size of an approximation error.

Generalizations[edit]

These definitions can be extended to the case when and are n-dimensional vectors, by replacing the absolute value with an n-norm.^[1]

Examples[edit]

As an example, if the exact value is 50 and the approximation is 49.9, then the absolute error is 0.1 and the relative error is 0.1/50 = 0.002 = 0.2%. Another example would be if, in measuring a 6 mL beaker, the value read was 5 mL. The correct reading being 6 mL, this means the percent error in that particular situation is, rounded, 16.7%.

The relative error is often used to compare approximations of numbers of widely differing size; for example, approximating the number 1,000 with an absolute error of 3 is, in most applications, much worse than approximating the number 1,000,000 with an absolute error of 3; in the first case the relative error is 0.003 and in the second it is only 0.000003.

There are two features of relative error that should be kept in mind. Firstly, relative error is undefined when the true value is zero as it appears in the denominator (see below). Secondly, relative error only makes sense when measured on a ratio scale, (i.e. a scale which has a true meaningful zero), otherwise it would be sensitive to the measurement units. For example, when an absolute error in a temperature measurement given in Celsius scale is 1 °C, and the true value is 2 °C, the relative error is 0.5, and the percent error is 50%. For this same case, when the temperature is given in Kelvin scale, the same 1 K absolute error with the same true value of 275.15 K gives a relative error of 3.63×10⁻³ and a percent error of only 0.363%. Celsius temperature is measured on an interval scale, whereas the Kelvin scale has a true zero and so is a ratio scale. Thus the relative error is not very meaningful.

Instruments[edit]

In most indicating instruments, the accuracy is guaranteed to a certain percentage of full-scale reading. The limits of these deviations from the specified values are known as limiting errors or guarantee errors.^[2]

See also[edit]

• Accepted and experimental value
• Condition number
• Errors and residuals in statistics
• Experimental uncertainty analysis
• Machine epsilon
• Measurement error
• Measurement uncertainty
• Propagation of uncertainty
• Quantization error
• Relative difference
• Round-off error
• Uncertainty

References[edit]

External links[edit]

• Weisstein, Eric W. «Percentage error». MathWorld.

Средняя ошибка аппроксимации

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков.

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Удмуртская респ.	68,8	45,1
Свердловская обл.	61,2	59,0
Башкортостан	59,9	57,2
Челябинская обл.	56,7	61,8
Пермская обл.	55,0	58,8
Курганская обл.	54,3	47,2
Оренбургская обл.	49,3	55,2

Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) степенной;
в) показательной;
г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации А_ср и F-критерий Фишера.

Решение проводим при помощь онлайн калькулятора Линейное уравнение регрессии.
а) линейное уравнение регрессии;
Использование графического метода.
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс — индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = -0.35, a = 76.88
Уравнение регрессии: y = -0.35 x + 76.88

x	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(y i -y cp ) 2	(y-y(x)) 2	|y — y x |:y
45,1	68,8	2034,01	4733,44	3102,88	61,28	119,12	56,61	0,1094
59	61,2	3481	3745,44	3610,8	56,47	10,98	22,4	0,0773
57,2	59,9	3271,84	3588,01	3426,28	57,09	4,06	7,9	0,0469
61,8	56,7	3819,24	3214,89	3504,06	55,5	1,41	1,44	0,0212
58,8	55	3457,44	3025	3234	56,54	8,33	2,36	0,0279
47,2	54,3	2227,84	2948,49	2562,96	60,55	12,86	39,05	0,1151
55,2	49,3	3047,04	2430,49	2721,36	57,78	73,71	71,94	0,172
384,3	405,2	21338,41	23685,76	22162,34	405,2	230,47	201,71	0,5699

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(45.1) = -0.35*45.1 + 76.88 = 61.28
y(59) = -0.35*59 + 76.88 = 56.47
. . .

Ошибка аппроксимации
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических:

F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5, Fkp = 6.61
Поскольку фактическое значение F b
в) показательная регрессия;
г) модель равносторонней гиперболы.
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 0.1291b = 405.2
0.1291a + 0.0024b = 7.51
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 1054.67, a = 38.44
Уравнение регрессии:
y = 1054.67 / x + 38.44
Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Задача №3. Расчёт параметров регрессии и корреляции с помощью Excel

По территориям региона приводятся данные за 200Х г.

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х	Среднедневная заработная плата, руб., у
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии

.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

Решим данную задачу с помощью Excel.

1. Сопоставив имеющиеся данные х и у, например, ранжировав их в порядке возрастания фактора х, можно наблюдать наличие прямой зависимости между признаками, когда увеличение среднедушевого прожиточного минимума увеличивает среднедневную заработную плату. Исходя из этого, можно сделать предположение, что связь между признаками прямая и её можно описать уравнением прямой. Этот же вывод подтверждается и на основе графического анализа.

Чтобы построить поле корреляции можно воспользоваться ППП Excel. Введите исходные данные в последовательности: сначала х, затем у.

Выделите область ячеек, содержащую данные.

Затем выберете: Вставка / Точечная диаграмма / Точечная с маркерами как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 Построение поля корреляции

Анализ поля корреляции показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.

2. Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии
воспользуемся встроенной статистической функцией ЛИНЕЙН.

1) Откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;
2) Выделите область пустых ячеек 5×2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики.
3) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.
4) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ЛИНЕЙН. Щёлкните по кнопке ОК как показано на Рисунке 2;

Рисунок 2 Диалоговое окно «Мастер функций»

5) Заполните аргументы функции:

Известные значения у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения х – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щёлкните по кнопке ОК;

Рисунок 3 Диалоговое окно аргументов функции ЛИНЕЙН

6) В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу , а затем на комбинацию клавиш + + .

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента b	Значение коэффициента a
Стандартная ошибка b	Стандартная ошибка a
Коэффициент детерминации R 2	Стандартная ошибка y
F-статистика	Число степеней свободы df
Регрессионная сумма квадратов

Остаточная сумма квадратов

Рисунок 4 Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Получили уровнение регрессии:

Делаем вывод: С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

3. Коэффициент детерминации означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума, а 48% — действием других факторов, не включённых в модель.

По вычисленному коэффициенту детерминации можно рассчитать коэффициент корреляции: .

Связь оценивается как тесная.

4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результат.

Для уравнения прямой средний (общий) коэффициент эластичности определим по формуле:

Средние значения найдём, выделив область ячеек со значениями х, и выберем Формулы / Автосумма / Среднее, и то же самое произведём со значениями у.

Рисунок 5 Расчёт средних значений функции и аргумент

Таким образом, при изменении среднедушевого прожиточного минимума на 1% от своего среднего значения среднедневная заработная плата изменится в среднем на 0,51%.

С помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить:
— результаты регрессионной статистики,
— результаты дисперсионного анализа,
— результаты доверительных интервалов,
— остатки и графики подбора линии регрессии,
— остатки и нормальную вероятность.

Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к Пакету анализа. В главном меню последовательно выберите: Файл/Параметры/Надстройки.

2) В раскрывающемся списке Управление выберите пункт Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти.

3) В окне Надстройки установите флажок Пакет анализа, а затем нажмите кнопку ОК.

• Если Пакет анализа отсутствует в списке поля Доступные надстройки, нажмите кнопку Обзор, чтобы выполнить поиск.

• Если выводится сообщение о том, что пакет анализа не установлен на компьютере, нажмите кнопку Да, чтобы установить его.

4) В главном меню последовательно выберите: Данные / Анализ данных / Инструменты анализа / Регрессия, а затем нажмите кнопку ОК.

5) Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал X – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

6) Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Затем нажмите кнопку ОК.

Рисунок 6 Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных задачи представлены на рисунке 7.

Рисунок 7 Результат применения инструмента регрессия

5. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. Воспользуемся результатами регрессионного анализа представленного на Рисунке 8.

Рисунок 8 Результат применения инструмента регрессия «Вывод остатка»

Составим новую таблицу как показано на рисунке 9. В графе С рассчитаем относительную ошибку аппроксимации по формуле:

Рисунок 9 Расчёт средней ошибки аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 – 10%.

6. Из таблицы с регрессионной статистикой (Рисунок 4) выпишем фактическое значение F-критерия Фишера:

Поскольку при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

8. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведём с помощью t-статистики Стьюдента и путём расчёта доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

.

для числа степеней свободы

На рисунке 7 имеются фактические значения t-статистики:

t-критерий для коэффициента корреляции можно рассчитать двумя способами:

I способ:

где – случайная ошибка коэффициента корреляции.

Данные для расчёта возьмём из таблицы на Рисунке 7.

II способ:

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

Поэтому гипотеза Н₀ отклоняется, то есть параметры регрессии и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Доверительный интервал для параметра a определяется как

Для параметра a 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как

Для коэффициента регрессии b 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Ошибку прогноза рассчитаем по формуле:

где

Дисперсию посчитаем также с помощью ППП Excel. Для этого:

1) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.

2) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ДИСП.Г. Щёлкните по кнопке ОК.

3) Заполните диапазон, содержащий числовые данные факторного признака. Нажмите ОК.

Рисунок 10 Расчёт дисперсии

Получили значение дисперсии

Для подсчёта остаточной дисперсии на одну степень свободы воспользуемся результатами дисперсионного анализа как показано на Рисунке 7.

Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений у при с вероятностью 0,95 определяются выражением:

Интервал достаточно широк, прежде всего, за счёт малого объёма наблюдений. В целом выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надёжным.

Условие задачи взято из: Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.: ил.

Средней ошибки аппроксимации качество уравнений

Оценка этой формы связи по коэффициенту множественной корреляции и средней ошибке аппроксимации показывает, что адекватность данной модели не подтверждается. Действительно, хотя значение коэффициента достаточно высокое (0,92), средняя ошибка аппроксимации составляет более 10% (I = 14,5%). Поэтому данная форма должна быть исключена из перебора известных уравнений регрессии. [c.29]

Анализ полученной формы связи по той же причине, что и в первом случае, позволяет сделать вывод о непригодности и этой модели. Коэффициент множественной корреляции хотя и имеет более высокое значение, чем в линейной зависимости (0,93), но по величине средней ошибки аппроксимации (б = 12,4%) это уравнение регрессии подлежит исключению из дальнейшего перебора. [c.29]

Последняя модель себестоимости добычи нефти, как показывает оценка ее по известным критериям, удовлетворяет условиям адекватности. Коэффициент множественной корреляции R составляет 0,98, что свидетельствует о том, что колеблемость исследуемого показателя более чем на 96 % определяется факторами, включенными в эту модель. При оценке по f-критерию (t R = 30,5) можно утверждать, что с вероятностью 0,99 факторы, включенные в модель, имеют существенную связь с исследуемым показателем (t a n = 2,58). Средняя ошибка аппроксимации составляет всего лишь 2,9 %, а F-критерий, характеризующий уровень остаточной дисперсии, превышает критическое (табличное) значение в четыре раза. К этому следует добавить, что полученная модель себестоимости добычи нефти представляет собой достаточно простую форму связи, легко решается и поддается экономической интерпретации. [c.30]

Оценка полученной модели по статистическим характеристикам показывает, что колеблемость затрат исследуемой подсистемы на 85 % обусловлена колеблемостью факторов, включенных в модель, коэффициент множественной корреляции высокий (/ = 0,92) и существенный (f = = 39,8), модель является адекватной, средняя ошибка аппроксимации (ё = 5,7%) меньше 10%. [c.39]

Статистический анализ показывает, что уравнение значимо Рф = 5,054 при /»табл = 3,01, корреляционное отношение равно 0,9959, ее»стандартная ошибка равна 0,0015. Среднее квадратическое отклонение расчетной себестоимости от фактической равно 0,018. Средняя ошибка аппроксимации 1,1%. [c.90]

Средняя ошибка аппроксимации [c.94]

Средняя ошибка аппроксимации. [c.95]

В случаях, когда трудно обосновать форму зависимости, решение задачи можно провести по разным моделям и сравнить полученные результаты. Адекватность разных моделей фактическим зависимостям проверяется по критерию Фишера, показателю средней ошибки аппроксимации и величине множественного коэффициента детерминации, о которых речь пойдет несколько позже (см. 7.4). [c.144]

Эти сведения вводятся в ПЭВМ и рассчитываются матрицы парных и частных коэффициентов корреляции, уравнение множественной регрессии, а также показатели, с помощью которых оценивается надежность коэффициентов корреляции и уравнения связи критерий Стьюдента, критерий Фишера, средняя ошибка аппроксимации, множественные коэффициенты корреляции и детерминации. [c.145]

Для того чтобы убедиться в надежности уравнения связи и правомерности его использования для практической цели, необходимо дать статистическую оценку надежности показателей связи. Для этого используются критерий Фишера (F-отношение), средняя ошибка аппроксимации ( ), коэффициенты множественной корреляции (/ ) и детерминации (D). [c.151]

Для статистической оценки точности уравнения связи используется также средняя ошибка аппроксимации [c.152]

Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической (эмпиричной), тем меньше средняя ошибка аппроксимации. В нашем примере она составляет 0,0364, или 3,64 %. Учитывая, что в экономических расчетах допускается погрешность 5-8 %, можно сделать вывод, что исследуемое уравнение связи довольно точно описывает изучаемые зависимости. [c.152]

После построения уравнения регрессии необходимо сделать проверку его значимости с помощью специальных критериев установить, не является ли полученная зависимость, выраженная уравнением регрессии, случайной, т.е. можно ли ее использовать в прогнозных целях и для факторного анализа. В статистике разработаны методики строгой проверки значимости коэффициентов регрессии с помощью дисперсионного анализа и расчета специальных критериев (например, F-критерия). Нестрогая проверка может быть выполнена путем расчета среднего относительного линейного отклонения (ё), называемого средней ошибкой аппроксимации [c.123]

Модель считается адекватной, т.е. пригодной для практического использования, если средняя ошибка аппроксимации не превосходит 15%. [c.123]

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации. [c.6]

Средняя ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических [c.6]

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата ух. По ним рассчитаем показатели тесноты связи — индекс корреляции рху и среднюю ошибку аппроксимации 7, [c.13]

Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации. [c.16]

Это означает, что 52% вариации заработной латы (у) объясняется вариацией фактора х — среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации [c.18]

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. [c.38]

Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации. [c.42]

Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации. [c.92]

Оцените качество каждого тренда через среднюю ошибку аппроксимации, линейный коэффициент автокорреляции отклонений. [c.166]

СРЕДНЯЯ ОШИБКА АППРОКСИМАЦИИ [c.87]

Представим расчет средней ошибки аппроксимации для уравнения ух = 9,876 + 5,129 hue в табл. 2.7. А = — 7,3 = 1,2%, что [c.88]

Расчет средней ошибки аппроксимации [c.88]

В стандартных программах чаще используется первая формула для расчета Средней ошибки аппроксимации. [c.88]

В чем смысл средней ошибки аппроксимации и как она определяется [c.89]

Средняя ошибка аппроксимации [c.10]

Выбор вида модели основан на логическом анализе изучаемых показателей, сравнении статистических характеристик (средняя ошибка аппроксимации, критерий Фишера, коэффициенты множественной корреляции и детерминации), рассчитанных для различных функций по одним и тем же первичным данным. [c.31]

Проверка приведенной в формуле (154) себестоимости по фактическим данным 103 СМУ показала, что средняя ошибка аппроксимации, определяющая степень соответствия расчетных значений фактическим, составила всего 1,5%, что вполне допустимо. [c.227]

Исчисляемый коэффициент детерминации получился равным 0,869. Это говорит о том, что размер заработной платы водителей на 86,9% зависит от Р и Л ри на 13,1% — от неучтенных в модели факторов. Средняя ошибка аппроксимации составила всего лишь 0,17%. Модель была получена на основе конкретных показателей ряда автотранспортных предприятий Владимирского транспортного управления, поэтому она может -быть использована в практической работе только на этих предприятиях. Предлагаемая же методика может быть использована в любом транспортном управлении, министерстве при планировании и анализе себестоимости автомобильных перевозок и установлении нормативов по заработной плате водителей за время работы на линии. [c.36]