Стандартные ошибки оценок параметров эконометрической модели

1. Построение эконометрической модели производительности труда

Введем обозначения: Y – зависимая
переменная, результативный признак –
производительность труда; Х₁, Х₂,
Х₃, Х₄ – независимые переменные
(объясняющие переменные, факторы), где
Х₁ – фондовооруженность труда,
Х₂ – коэффициент текучести рабочей
силы, Х₃ – потери рабочего времени,
Х₄ – стаж работы.

Модель производительности труда можно
представить в следующем виде:

1. линейная
   функция Y = ₀
   + ₁X₁ +
   ₂X₂ +
   ₃X₃ +
   ₄X₄ + ;

2. степенная
   функция
   
   ,

где 
— стохастическая составляющая, учитывающая
влияние случайных факторов на уровень
производительности труда; _j
– параметры модели.

Соответственно расчетные по выборочной
совокупности функции будут иметь вид:

1. =
   b₀ + b₁X₁ + b₂X₂
   + b₃X₃ + b₄X₄ ;

2. 
   ,

здесь b_j
– оценки параметров модели (j = 1,2,3,4).

Основываясь
на 20 наблюдениях, представленных в
табл.1, построим линейную модель методом
наименьших квадратов (МНК- модель).

Построение
линейной эконометрической модели на
основе матричного оператора 1МНК, пакет
Excel.

Матричный
оператор 1МНК имеет вид

,
где

,

— транспонированная матрица Х.

Для транспонирования матрицы Х
выполните следующие действия:

1. выделите
   область пустых ячеек, состоящую из
   (р+1) = 5 строк и n = 20 столбцов для вывода
   результата, здесь р – количество
   независимых переменных, n – количество
   наблюдений;

2. активизируйте
   Мастер функций любым из способов:

1. в главном
   меню выберите Вставка/Функция;

2. на панели
   инструментов Стандартная щелкните
   по кнопке Вставка функции;

1. в раскрывшемся
   окне выберите Категорию Ссылки и
   массивы, Функцию – ТРАНСП (рис.1).
   Щелкните по кнопке ОК;

2. в

   строке Массив появившегося окна
   укажите диапазон ячеек, в которых
   содержится матрица Х. Щелкните по
   кнопке ОК;

Рис. 6.1

1. в левой
   верхней ячейке выделенной области
   появится первый элемент итоговой
   таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу,
   нажмите на клавишу <F2>, а затем – на
   комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>.

Результат:

.

Произведение
матриц (X’X)
находим с помощью Мастера функций,
используя Категорию
Математические, функцию
МУМНОЖ:

1. выделите
   область пустых ячеек, состоящую из
   (р+1) = 5 строк и (р+1) = 5 столбцов для вывода
   результата;

2. в
   окне МУМНОЖ в
   строке Массив 1 укажите
   диапазон ячеек, в которых содержится
   матрица X‘
   (первый сомножитель), а в строке Массив
   2 – матрица Х
   (второй сомножитель). Щелкните по кнопке
   ОК;

3. в левой
   верхней ячейке выделенной области
   появится первый элемент итоговой
   таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу,
   нажмите на клавишу <F2>, а затем – на
   комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>.

Результат умножения матриц:

		20	1525	139,9	77,4	221
		1525	117509	10331	5995,4	17335
	(X’X) =	139,9	10331	1186,95	498,74	1307,7
		77,4	5995,4	498,74	310,36	909,8
		221	17335	1307,7	909,8	2756,5
Аналогично найдем с помощью функции МОБР обратную матрицу:
		15,5851	-0,0545	-0,5706	-1,6119	-0,104
		-0,0545	0,00282	-0,0042	-0,0244	-0,0033
	(X’X)-1 =	-0,5706	-0,0042	0,04402	0,07434	0,02697
		-1,6119	-0,0244	0,07434	0,98119	-0,0763
		-0,104	-0,0033	0,02697	-0,0763	0,04194
		1198				56,9124
		92121				0,3375
	(X’Y) =	8003,2		B =(X’X)-1	(X’Y) =	-1,8406
		4716,5				-2,2722
		13685				-0,0976

Таким образом, получили эконометрическую
модель:

= 56,912 + 0,338Х₁ – 1,841Х₂ – 2,272Х₃
– 0,098Х₄.

Подставив в модель исходные значения
Х_ij (i = 1,2,…,20; j = 1,2,3,4), получим
расчетные значения

.
Разность между фактическими и расчетными
значениями результирующего показателя
представляет собой остатки (е_i
), являющиеся оценками значений
возмущения.

		50,6616			1,33836			1,79122
		51,9809			1,01908			1,03852
		51,8206			-1,8206			3,31455
		53,4467			-2,4467			5,98621
		53,9931			0,00686			4,7E-05
		54,6805			0,31949			0,10207
		55,1784			1,82157			3,31813
		53,5887			-1,5887			2,52395
		57,0558			2,94423			8,66847
	=	61,6085		e =	-1,6085		е2 =	2,58722
		63,6903			-1,6903			2,85696
		63,5094			0,49061			0,2407
		63,3813			1,61865			2,62003
		65,5109			1,4891			2,21743
		64,9954			2,00462			4,01849
		65,2103			-3,2103			10,3061
		64,5605			-1,5605			2,4353
		66,1197			-0,1197			0,01434
		66,9538			1,04619			1,09451
		70,0535			-0,0535			0,00286
							Сумма	55,1371

Найдем стандартную ошибку остатков
(модели) по формуле:

Определим стандартные ошибки оценок
параметров модели:

где

– диагональные элементы матрицы
(Х’X)^-1.

,

,

,

,

.

Для проверки
статистической надежности (значимости)
оценок параметров модели найдем величину
t-статистики, используя формулу:

.

,

,

,

,

.

Построение
эконометрической модели с использованием
стандартной программы

«ЛИНЕЙН»:

Встроенная статистическая функция
ЛИНЕЙН определяет коэффициенты
линейной регрессии:

=
b₀ + b₁X₁ + b₂X₂
+ b₃X₃ + … + b_рX_р.

Порядок вычислений следующий:

1. введите
   исходные данные;

2. выделите
   область пустых ячеек, состоящую из 5
   строк и (р + 1) столбцов (где р – количество
   независимых переменных) для вывода
   результатов регрессионной статистики;

3. активизируйте
   Мастер функций любым из способов:

1. в главном
   меню выберите Вставка/Функция;

2. на панели
   инструментов Стандартная щелкните
   по кнопке Вставка функции f_x
   

1. в раскрывшемся
   окне выберите Категорию Статистические,
   Функцию – ЛИНЕЙН. Щелкните по
   кнопке ОК;

2. заполните
   аргументы функции (рис. 2):

• Известные
  значения У – диапазон, содержащий
  данные, характеризующие результативный
  признак;

• Известные значения Х – диапазон,
  содержащий данные, описывающие все
  независимые переменные;

• Константа – логическое значение,
  указывающее на наличие или отсутствие
  свободного члена в уравнении; если
  Константа = 1, то свободный член
  рассчитывается обычным образом, если
  Константа = 0, то свободный член = 0;

• Статистика
  – логическое значение, которое указывает,
  выводить дополнительную информацию
  по регрессионному анализу или нет. Если
  Статистика = 1, то дополнительная
  информация выводится, если Статистика
  = 0, то выводятся только оценки параметров
  уравнения. Щелкните по кнопке ОК;

1. в левой
   верхней ячейке выделенной области
   появится первый элемент итоговой
   таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу,
   нажмите на клавишу <F2>, а затем – на
   комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>.

Рис. 6.2. Мастер функций. Работа с функцией
ЛИНЕЙН

Дополнительная регрессионная статистика
будет выводиться в следующем виде
(табл. 6.2):

Таблица
6.2

Значение bр	Значение bр-1	. . .	Значение b2	Значение b1	Значение b0
Стандартная ошибка оценки bр ( )	Стандартная ошибка оценки bр-1 ( )	. . .	Стандартная ошибка оценки b2 ( )	Стандартная ошибка оцен-ки b1 ( )	Стандартная ошибка оцен-ки b0 ( )
Коэффициент детерминации R2	Стандартная ошибка модели (остатков)	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
F-статистика	Число степеней свободы n-(p+1)	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д

Функция ЛИНЕЙН используется и для
расчета оценок параметров моделей,
которые с помощью преобразования могут
быть сведены к линейному виду. Например,
степенная функция

путем логарифмирования превращается
в линейную по параметрам функцию:

ln
=
lnb₀ + b₁ lnX₁ + b₂ ln
X₂ + b₃ lnX₃ + b₄ lnX₄,

или
Z = A + b₁z₁
+ b₂z₂ + b₃z₃ + b₄z₄,

где Z =
ln
,
z_j = lnX_j ( j = 1,2,3,4); А =
lnb₀, т.е. b₀ = exp(A) = e^A,
где е – основание натурального логарифма.

Из способа преобразования видно, что
для вычисления коэффициентов степенной
функции с помощью ЛИНЕЙН следует в
строки Известные значения У и
Известные значения Х окна
рассматриваемой функции вводить
логарифмы исходных значений У и Х.

Для
рассматриваемого примера (модель
производительности труда) результат
применения функции ЛИНЕЙН выглядит
следующим образом:

Линейная модель

-0,09758	-2,27216	-1,8406	0,33749665	56,91243
0,392655	1,899119	0,402268	0,10189618	7,568861
0,929654	1,917239	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
49,55804	15	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
728,6629	55,13708	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
Степенная модель
0,054165	-0,12441	-0,19206	0,197562	3,625281
0,06836	0,126229	0,057959	0,12589694	0,627738
0,9251	0,033461	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
46,31687	15	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
0,207431	0,016794	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д

b₀ = exp(3,625281) = e^3,625281 = 37,5353.

Таким образом, получили следующие
уравнения:

= 56,912 + 0,338Х₁ – 1,841Х₂ – 2,271Х₃
– 0,098Х₄;

=
37,5353 X₁^0,198 X₂^-0,192
X₃^-0,124 X₄^0,0541.

Однако следует иметь в виду, что
статистические характеристики степенной
модели определены через логарифмы, и
поэтому прямо использовать их для
сравнения с соответствующими
характеристиками линейной модели
(например, с целью выбора лучшей модели)
нельзя. Необходимо привести их в
сопоставимый вид. Это касается всех
функций, при преобразовании которых к
линейному виду изменялась (преобразовывалась)
зависимая переменная Y.

С учетом
пересчета, который выполняется с
применением соответствующих формул
(3), (5), для степенной функции получили:

R²= 0,9242; S_e = 1,9906.

Построение эконометрической модели
с помощью инструмента Анализа

Данных / Регрессия

Порядок действий:

1. проверьте
   доступ к Пакету анализа. При его
   отсутствии в главном меню выберите
   Сервис/Надстройки. Установите
   флажок Пакет анализа. Щелкните по
   кнопке ОК;

2. в главном
   меню выберите Сервис/Анализ данных
   /Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;

3. заполните
   диалоговое окно ввода данных (фактических
   значений всех показателей, если
   рассчитываются оценки параметров
   линейной модели, и логарифмы фактических
   значений, если речь идет о степенной
   функции) и параметров вывода (рис.3):

• Входной
  интервал У – диапазон, содержащий
  данные результативного признака ;

• Входной
  интервал Х – диапазон, содержащий
  данные независимых переменных;

• Метки –
  флажок, который указывает, содержит
  ли первая строка название столбцов или
  нет;

Рис.6.3

• Константа
  – ноль – флажок, указывающий на
  наличие или отсутствие свободного
  члена в уравнении;

• Выходной
  интервал – достаточно указать левую
  верхнюю ячейку будущего диапазона;

• Новый
  рабочий лист – можно задать произвольное
  имя нового листа.

Если необходимо получить информацию и
графики остатков, установите соответствующие
флажки в диалоговом окне. Щелкните по
кнопке ОК.

Результаты регрессионного анализа для
линейной модели ПТ (табл.63):

Таблица 3.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,96418574
R-квадрат	0,92965414
Нормированный R-квадрат	0,91089525
Стандартная ошибка	1,91723904
Наблюдения	20
Дисперсионный анализ
Источники вариации	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	4	728,6629171	182,1657	49,558	1,8E-08
Остаток	15	55,1370829	3,675806
Итого	19	783,8
Оценки параметров модели и их значимость
	Коэффициенты	Станд.ошиб- ка	t-стат.	P-Значение.	Нижн.95%	Верх.95%
Y-пересечение	56,9124321	7,568860683	7,519287	1,8E-06	40,77978	73,04509
Переменная X 1	0,33749665	0,101896176	3,312162	0,00474	0,12031	0,554683
Переменная X 2	-1,8406011	0,402267501	-4,57557	0,00036	-2,69801	-0,98319
Переменная X 3	-2,2721556	1,899118933	-1,19643	0,2501	-6,32003	1,775723
Переменная X 4	-0,0975842	0,392655308	-0,24852	0,8071	-0,93451	0,739341
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказан-ное Y	Остатки
1	50,6616359	1,338364147
2	51,9809221	1,019077932
3	51,8205903	-1,820590278
4	53,4466727	-2,446672748
5	53,9931396	0,006860385
6	54,6805111	0,319488857
7	55,1784278	1,821572197
8	53,5886938	-1,58869375
9	57,0557729	2,944227141
10	61,6084835	-1,608483531
11	63,6902557	-1,690255734
12	63,5093919	0,490608139
13	63,3813492	1,618650827
14	65,5108967	1,489103278
15	64,9953835	2,004616485
16	65,2103091	-3,210309068
17	64,5605446	-1,560544572
18	66,1197433	-0,119743273
19	66,9538098	1,046190244
20	70,0534667	-0,053466676

Результаты расчетов по этой программе
дают наибольшее количество характеристик
взаимосвязи. Рассмотрим эти характеристики
подробнее.

Регрессионная статистика

1. R = 0,9642 –
   коэффициент корреляции;

2. R² =
   0,9296 – не скорректированный коэффициент
   детерминации (без учета числа степеней
   свободы) оценивает долю вариации
   результата за счет введенных в модель
   факторов в общей вариации Y. Здесь эта
   доля составляет 92,96% и указывает на
   весьма высокую степень обусловленности
   вариации результата вариацией факторов,
   иными словами – на очень тесную связь
   факторов и результата.

3. 
   =
   0,9109 – скорректированный коэффициент
   детерминации определяет тесноту связи
   с учетом числа степеней свободы общей
   и остаточной дисперсии. Он дает оценку,
   не зависящую от количества независимых
   переменных (факторов) модели, и поэтому
   может сравниваться по разным моделям
   с разным количеством факторов. Связь
   между не скорректированным и
   скорректированным коэффициентами
   детерминации определяется по формуле:

.

Оба коэффициента
(R²,

)
указывают на весьма высокую (более 91%)
детерминированность результата Y в
модели факторами Х₁, Х₂, Х₃,
Х₄.

1. s_e =
   1,9172 – стандартная ошибка остатков;

2. n = 20 –
   количество наблюдений.

Дисперсионный анализ включает пять
столбцов:

1. (df
   ) – степени свободы, т.е. число
   свободы независимого варьирования
   признака. Число степеней свободы связано
   с числом единиц совокупности n и с
   числом определяемых по ней оценок. Для
   условий рассматриваемого примера число
   степеней свободы:

для регрессии
р = 4; для остатка n – (р + 1) = 20 – (4 +
1) = 15; общее n – 1 = 20 – 1 = 19;

1. (SS)
   – суммы квадратов
   отклонений:

— регрессии (объясненная);

—
остаточная (не объясненная);

— общая (зависимой переменной);

1. (MS)
   – дисперсия на одну
   степень свободы:

— регрессий (объясненная);

— остатков (не объясненная);

1. (F) –
   фактическое значение F-критерия:

=
49,558;

1. (Значимость
   F) – уровень значимости F-критерия
    = 1,8E-08
   = 0,00000018.

Коэффициент детерминации R² равен
0,9296, что указывает на сильную зависимость
между независимыми переменными и
производительностью труда. Можно
использовать F-статистику, чтобы
определить, является ли этот результат
(с таким высоким значение R²)
случайным. Величина 
применяется для обозначения вероятности
ошибочного вывода о том, что имеется
сильная взаимозависимость.

Предположим, что на самом деле нет
взаимосвязи между переменными, а просто
были выбраны редкие 20 наблюдений, для
которых статистический анализ вывел
сильную взаимозависимость.

Оценку надежности уравнения
регрессии в целом и коэффициента
детерминации дает F-критерий Фишера.
Его расчетное (фактическое) значение
F = 49,558 сравнивается с табличным, которое
при уровне значимости 
= 5% и при числе степеней свободы v₁
= р = 4, v₂ = n-(р+1) = 15 составляет 3,06.
Если фактическое значение превышает
табличное, то с вероятностью 0,95 гипотеза
о ненадежности уравнения отвергается
и утверждается статистическая значимость
модели и коэффициента детерминации.
Или, что то же самое, из таблицы
дисперсионного анализа следует, что
вероятность случайно получить такое
значение F-критерия (F = 49,558) составляет
Р = 0,00000018, что не превышает
допустимый уровень значимости 5% (величину
 = 0,05). Следовательно,
полученное значение не случайно, оно
сформировалось под влиянием существенных
факторов, то есть, подтверждается
статистическая значимость всей модели
и коэффициента детерминации.

Оценки
параметров модели и их
значимость

Этот блок результатов содержит 9 столбцов.

Первый и второй – название и величина
оценок параметров модели:

Y
– пересечение – b₀
= 56,9124321; переменная Х₁
– b₁
= 0,33749665;

переменная
Х₂
– b₂
= -1,8406011; переменная Х₃
– b₃
= -2,2721556;

переменная
Х₄
– b₄
= -0,0975842.

Таким образом,
получена модель:

= 56,912 + 0,338Х₁ – 1,841Х₂ – 2,272Х₃
– 0,098Х₄.

Величины b_j (j = 1,2,3,4) показывают,
насколько изменится результат с
увеличением значения некоторого фактора
на единицу и при неизменной величине
остальных факторов. Так, увеличение Х₁
(фондовооруженность труда) на 1
тыс.грн/чел. при прочих равных условиях
будет способствовать росту производительности
труда на 0,338 (тыс.грн./чел.-ч)/(тыс.грн/чел).
Если же Х₂ (коэффициент текучести
кадров) увеличится на 1%, а другие факторы
не изменятся, то величина производительности
труда уменьшится на 1,841(тыс.грн./чел.-ч)/%.
Рост Х₃ (потери рабочего времени)
на единицу (1%) также отрицательно
воздействует на производительность
труда: уменьшает ее на 2,271(тыс.грн./чел.-ч)/%
при прочих равных условиях.

Направленность воздействия первых трех
из рассмотренных факторов на
производительность труда не противоречит
экономическому смыслу, тогда как влияние
четвертого фактора – стаж работы –
вызывает сомнение: казалось бы, чем
дольше человек работает, тем лучше у
него навыки и тем выше производительность;
а b₄
= -0,0975842 показывает, что увеличение стажа
на 1 год, хотя и незначительно, снижает
уровень производительности труда.

Сравнивать силу влияния отдельных
факторов на величину результирующего
показателя, сопоставляя коэффициенты,
не следует, так как эти коэффициенты
зависят от единиц измерения каждого
показателя. С целью выявления наиболее
влияющих показателей необходимо перейти
к уравнению в стандартизованном масштабе,
в котором в качестве единицы измерения
влияния всех факторов выступает среднее
квадратичное отклонение.

Третий
столбец содержит стандартные ошибки
оценок параметров модели:

=
7,568886;

= 0,101896;

=
0,402267;

= 1,899119;

=0,392655.

Они показывают,
какая доля значения данной характеристики
сформировалась под влиянием случайных
факторов. Эти величины (см.(7)) используются
для расчета t-критерия Стьюдента, значения
которого для различных оценок представлены
в четвертом столбце.

Четвертый
столбец – t-критерий:

t₀ = 7,519287; t₁ = 3,312162; t₂
= -4,57557; t₃ = -1,19643; t₄ =
-0,24852.

Если значения t-критерия больше 2–3, то
можно сделать вывод о существенности
данного параметра, который формируется
под воздействием неслучайных величин.
Для более обоснованных выводов используем
результаты, находящиеся в пятом столбце.

Пятый столбец – уровень значимости
– показатель вероятности случайных
значений параметров регрессии:

₀ = 0,0000018; ₁
= 0,00474; ₂ =
0,00036; ₃ =
0,2501; ₄ =
0,8071.

Если _j меньше
принятого нами уровня (обычно 0,1; 0,05 или
0,01; это соответствует 10%, 5% или 1%
вероятности), то делают вывод о неслучайной
природе данного значения оценки, т.е. о
том, что оценки параметров достоверны
(статистически значимы). В противном
случае принимается гипотеза о случайной
природе значения коэффициента регрессии.

Поскольку ₃
= 0,2501 и ₄ =
0,8071 больше 0,005, то делаем вывод, что
соответствующие оценки b₃
и b₄
– недостоверны. Это позволяет
рассматривать факторы Х₃ и Х₄
как неинформативные и ставить под
сомнение необходимость включения их в
модель.

Возникшее противоречие (F-критерий
утверждает достоверность модели в
целом, а t-критерий – недостоверность
отдельных оценок) обычно определяется
существующей между независимыми
переменными мультиколлинеарностью.

Оставшиеся
четыре столбца с вероятностью 0,95
определяют верхние и нижние границы
оценок параметров модели, т.е. позволяют
осуществить интервальное оценивание
параметров. (Поскольку находящиеся в
этих столбцах величины повторяют друг
друга, то здесь приведены только 6 и 7
столбцы).

Интервальное
оценивание параметра модели _j
выполняется следующим образом:

b_j



t _ ,
или b_j —


t _ 
_j 
b_j +


t _.

Так, например, для ₀
:

для 
= 5% и 20 – 5 = 15 степеней свободы табличное
значение (двустороннее) t _
= 2,13,

тогда


t _ =
7,568886  2,131 = 16,1293;

56,9124321 – 16,1293 
₀ 
56,9124321+ 16,1293; 40,78 
₀ 
73,04;

0,12031 
₁ 
0,554683;
-2,69801 ₂

-0,98319;

-6,32003 
₃ 
1,775723;
-0,93451  ₄

0,739341.

Таким
образом, с вероятностью 0,95, увеличение
фондовооруженности труда на одну единицу
обеспечит прирост производительности
труда не ниже 0,12031 и не выше 0,554683
тыс.грн./чел.-ч. Аналогично интерпретируются
остальные доверительные интервалы.

Доверительные
интервалы для третьего и четвертого
параметров включают нулевое значение,
что еще раз подтверждает сделанный
ранее вывод о недостоверности их оценок.

Вывод
остатков

В этом блоке
результатов приводятся расчетные
значения зависимой переменной и остатки,
которые определяются как разность между
фактическими значениями зависимой
переменной и расчетными.

Программа
Анализ данных/Регрессия позволяет
вывести и графики «подбора», т.е.
зависимости результативного признака
от каждого из факторов, а также графики
остатков для парных зависимостей. Для
вывода графиков следует в окне Регрессия
поставить соответствующие флажки.

1