Типичные ошибки егэ математика профиль - Исправление ошибок и поиск оптимальных решений проблем

Это статья написана в первую очередь для выпускников, которые совсем скоро пойдут на важный и ответственный бой, называемый единым государственным экзаменом. От исхода этого поединка зависит дальнейший вектор развития. Но прошу Вас, не думайте, что от результатов зависит вся ваша жизнь. Экзамен – это лишь рубеж, испытание, которое нужно пройти с высоко поднятой головой.

Я достаточно давно и интенсивно занимаюсь подготовкой абитуриентов к единому государственному экзамену по математике и физике. После экзамена ребята активно делятся впечатлениями, когда приходят результаты – отправляют сканы работ, которые я внимательно изучаю. И я вижу, что из года в год ребята теряют баллы на вполне конкретных заданиях. И чтобы Ваши потери на экзамене на фоне волнения были минимальными, давайте разберем типичные ошибки ученика на ЕГЭ.

1) Уравнения с квадратным корнем

Не забывайте про ограничения!!! Вообще говоря можно наложить ограничения и на подкоренное выражение и на правую часть:

$begin{cases} 2x+6geq0 \ -xgeq0 end{cases}$

$begin{cases} xgeq-3 \ xle0 end{cases}$

… но если решаете возведением обеих частей в квадрат, то первое неравенство избыточно.
Как альтернатива, выполните проверку, подставив полученные корни в уравнение. Составители очень часто ловят на этом задании, провоцируют указать именно тот корень, который не удовлетворяет ограничениям.
Ограничения актуальны и для обычных дробных уравнений такого вида:

$frac{2x-8}{3x-11}=frac{6}{x^2}$

$begin{cases} 3x-11neq0 \ x^2neq0 end{cases}$

$begin{cases} xneqfrac{11}{3} \ xneq0 end{cases}$

Ну и конечно, куда без ограничений при решении логарифмических уравнений:

$log_7{left(x^2+3xright)}=log_7{left(49right)}$

Напоминаю, что аргумент логарифма должен быть СТРОГО БОЛЬШЕ НУЛЯ:

Ну а если Вы имеете дело с логарифмом с переменным основанием

$log_{x+6}{left(32right)}=5$

то не забудьте, что основание должно быть положительным и не равняться единице.

$begin{cases} x+6>0 \ x+6neq1 end{cases}$

2) Планиметрия
Что касается планиметрии, советую повторить:
1. Формулы для расчета площадей все фигур. Не забудьте повторить, как находится длина дугового сектора и площадь сектора, на всякий случай. Хотя встречаются на ЕГЭ они не так часто.
2. Помните, что медиана в прямоугольном треугольнике не только делит гипотенузу пополам, но и равна половине гипотенузы.

$BO=frac{AC}{2}$

3. Повторите свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике. Высота, проведенная из вершины прямого угла делит прямоугольный треугольник на два подобных. Расписав отношения сторон всех подобных треугольников Вы придете к формулам:

${AB}^2=AHcdot AC$

4. Повторите теоремы синусов и косинусов. Теорема синусов бывает весьма полезна для нахождения радиуса описанной окружности

Теорема синусов:

$frac{a}{sin{left(angle Aright)}}=frac{b}{sin{left(angle Bright)}}=frac{C}{sin{left(angle Cright)}}=2R$

Теорема косинусов:

$a^2=b^2+c^2-2bc cdot cos{left(angle BACright)}$

5. Из года в год найдется ученик, который забудет формулу для расчета радиуса вписанной окружности. А она ведь такая простая!

И работает не только для треугольников, но и для четырехугольников, пятиугольников и так далее. Не забудьте, что в формуле берется ПОЛУПЕРИМЕТР, а S – это площадь фигуры, а не круга!

3) Немного поговорим про преобразование выражений. Чаще всего ребята ошибаются именно в тригонометрии при использовании формул приведения.

Напоминаю алгоритм:

1. Определяем номер четверти, в которой лежит угол.

2. Определяем знак функции. Напоминаю, что знак смотрится по исходной функции.

3. Не забываем, что в точках $frac{pi}{2}$ и $frac{3pi}{2}$ функция меняется на ко-функцию, то есть синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и т.д.

Для лучшего понимания приведу пример

Упростить $ctg{left(frac{3pi}{2}+alpharight)}$ , где $alphainleft(0;frac{pi}{2}right)$

Шаг 1: Определяем четверть
$left(frac{3pi}{2}+alpharight) epsilon IV$ четв.

Шаг 2: Определяем знак исходной функции в данной четверти. Знак в IV четв. будет отрицательным.
Шаг 3: Так как в выражении есть $frac{3pi}{2},$ то заменим на . В итоге получим $ctg{left(frac{3pi}{2}+alpharight)}=-tgleft(alpharight)$

4) Переходим к стереометрии. Тут советы будут аналогичны советам по планиметрии. Повторите все формулы объемов фигур и площадей поверхностей, особенно шара. Легче всего эта формула запоминается, если вы запомните, что площадь поверхности шара – это производная от его объема.

$V=frac{4}{3}pi r^3$

Если Вы имеете дело с комбинацией тел, то внимательно несколько раз прочитайте условие задачи. Цилиндр вписан в призму или описан около призмы, параллелепипед вписан в цилиндр или описан около цилиндра и так далее. Советую держать в голове картинки:
Это – пример призмы, описанной около цилиндра

А это – пример призмы, вписанной в цилиндр

Ну а теперь поговорим о самых распространенных ошибках в стереометрии первой части:
1. Угол между двумя прямыми всегда не более 90 градусов.
Пример:

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$ , все рёбра которой равны 8, найдите угол между прямыми FA и $D_{1}E_{1}$ . Ответ дайте в градусах.

Большая часть ребят проводит прямую $D_{1}C_{1}$ , параллельную FA и берут угол $E_{1}D_{1}C_{1}$ , тем самым получая ответ в 120 градусов. Но это не правильно. Брать нужно смежный угол, который будет равен 60 градусов.

2. Ошибки в применении коэффициента подобия

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем этой призмы, если объём отсеченной призмы равен 20.

Классический пример – призма и плоскость проведенная через среднюю линию треугольника, лежащего в основании. Ребята полагают, что отношение объемов малой призмы к большой призме равно кубу коэффициента подобия, который в нашем случае равен ½. Но это не так. Отличаются эти призмы только основанием, а вот высоты одинаковы. Следовательно, отношение объемов будет равно отношению площадей оснований. А это квадрат коэффициента подобия.

3. Ошибки в расчете площадей поверхностей составных многогранников.
Классическая проблема в данном случае заключается в том, что ребята достраивают фигуру до куба или параллелепипеда. В этом случае возникает опасность либо посчитать лишнюю поверхность, либо потерять нужную.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Возможно это немного дольше, но я советую посчитать площадь каждого прямоугольника по отдельности и сложить все значения.

5) График функции и её производной. Наше счастье и наша боль. Мне кажется, эта задача напоминает квест на внимательность. Прежде чем записывать ответ в бланк, советую внимательно несколько раз прочитать задание и для себя ответить на вопрос: я имею дело с графиком функции или ее производной.
1. Если Вы имеете дело с графиком самой функции, то помните, что точки экстремума – это точки, где функция переходит с возрастания на убывание или с убывания на возрастание. Точки пересечения графика с осью х ничего не означают.
Для примера предлагаю рассмотреть следующую функцию:

Там, где функция возрастает (зелёные стрелки), производная функции положительна, а там, где функция убывает (красные стрелки), производная функции отрицательная. Производная равна нулю в точках экстремума .

2. Если на экзамене Вам попалась производная функции, то помните: там, где график лежит выше оси х, функция возрастает, там, где график лежит ниже оси х – функция убывает, а точки пересечения графика с осью х-это точки экстремума.

– т. экстремума, – т. max, – т. min

3. Внимательно посмотрите на касательную к графику функции. Если она возрастает, значит значение производной положительно, если убывает-отрицательно.

$tgleft({180}^0-alpharight)=-tg{left(alpharight)}=-frac{AB}{BC}=-frac{2}{8}=-0,25$

НЕ ТЕРЯЙТЕ МИНУС В ОТВЕТЕ!

6) Текстовые задачи тоже довольно часто становятся камнем преткновения у выпускников. Советую повторить формулы для суммы арифметической прогрессии, связь концентрации и массы раствора, производительности и работы.
Любимая ошибка выпускников находить среднюю скорость как среднее арифметическое. Не делайте так! Средняя скорость – это общий путь, деленный на общее время.

$v_{cp}=s_{общ}/t_{общ}=(s_1+s_2)/(frac{s_1}{v_1} +frac{s_2}{v_2} )$

(Работа = Производительность Время)

(Путь = Скорость Время)

M_{кислоты}=n∙M_{раствора}

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $s_n=frac{left(a_1+a_nright)}{2}cdot n=frac{2a_1+left(n-1right)d}{2}cdot n$

Достаточно тяжело идут у ребят задачи на проценты такого вида:

В 2000 году диван подешевел на 7 процентов, в 2001 подорожал на 8 процентов. Конечная цена 25000 рублей. Найти начальную стоимость.

Советую начальную стоимость обозначить за х, тогда в 2000 году стоимость дивана станет (х-0.07х) =0.93 х рублей, а в 2001 году стоимость будет равна 0.93х*1.08 рублей, которая будет равна 25000 рублей. Можно, конечно, идти с конца, но тогда у ребят возникают сложности, что какую величину обозначить за 100 процентов, что за 107 процентов или может быть за 93 процента.

7) Графики функций. Для правильного выполнения данного номера я советую Вам повторить , какие коэффициенты в функции отвечают за смещение графика вправо или влево, какие вверх или вниз, повторить формулу для расчета вершины параболы $x_0=frac{-b}{2a}$ .
Если у Вас функция вида $fleft(xright)=b+log_a{left(xright)}$ , то коэффициент b отвечает за смещение графика функции вверх или вниз.

А здесь – график с положительным коэффициентом b, равным 2:

Если же Ваш график имеет вид $fleft(xright)=log_a{left(x+bright)}$ , то вы должны понимать, что при положительном значении b ваш график смещается влево, а при отрицательном значении b вправо.

Абсолютно аналогично и с графиками показательной функции.
Если вы имеете дело с графиком вида , то при положительном b график смещается вверх, при отрицательном b вниз.
На первом графике пример отрицательного коэффициента b, на втором графике пример положительного b.

Ну и не забывайте о графиках показательной функции вида $fleft(xright)=a^{x+b}$ . Здесь коэффициент b отвечает за смещение графика функции вправо или влево.

Если вдруг у Вас на экзамене все эти смещения туда-сюда вылетели их головы, то берите одну-две-три точки (по ситуации), подставляйте в уравнение функции и находите нужные Вам коэффициенты.

И хотелось бы напомнить , что основание логарифма и основание показательной функции МОГУТ БЫТЬ ТОЛЬКО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ.

Ну и нельзя оставить без внимания задания на нахождение точек максимума и минимума и на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Тут советов будет несколько:

1) Повторите таблицу производных функций и вспомните формулы для производной частного и произведения.

2) Если Вам нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции, содержащей логарифм, например $y=ln{left(x+5right)^5}-5x$ , то в большинстве случаев это значение достигается при таком х, когда логарифм обращается в нуль, а число под логарифмом рано единице. В данном случае точка экстремума равна -4. Именно в этой точке достигается наименьшее значение функции.

3) Если Вы имеете дело с иррациональной функцией, например $y=sqrt{x^2-6x+11}$ , то точка экстремума может быть найдена с помощью формулы для расчета вершины параболы. Одним словом, координата вершины параболы это и есть точка экстремума.

4) Теперь поговорим о показательных и логарифмических функциях. Если график возрастающий, то есть основание больше единицы, например $y=2^{x^2+2x+5}$ , то экстремум (в данном случае минимум) достигается в вершине квадратичной функции . Ну а подставив точку минимума в саму функцию, Вы имеете все шансы быстро и легко найти наименьшее значение.

С логарифмической функцией дела обстоят аналогичным образом. Давайте рассмотрим функцию вида $y=log_5{left(4-2x-x^2right)}+3$ . Основание больше единицы и равно 5. Значит функция возрастающая. Смотрим внимательно на аргумент под логарифмом. Он представляет собой квадратичную функцию, графиком является парабола с ветвями вниз. Найдя вершину параболы по формуле x_верш=-b/(2a), вы найдете точку экстремума, в данном случае максимума, ну а подставив ее в саму функцию, вы найдите ее наибольшее значение. И для полноты картины, предлагаю рассмотреть убывающую логарифмическую функцию $y=log_frac{1}{3}{left(x^2+6x+12right)}$ с основанием меньше единицы и равным 1/3. Подлогарифмическое выражение также представляет собой параболу с ветвями вверх. Найдя вершину параболы, вы найдите точку минимума, а подставив ее в саму функцию, вы получите наибольшее значение функции.

PS: Наверное, многие задумались, почему, подставляя точки минимума, мы получаем наибольшее значение. Ответ прост – если Ваша функция убывающая, то чем больше аргумент, тем меньше значение самой функции.

9) В своей статье я совсем не затронула задачи на вероятность. Думаю, со вторым номером из кимов справляются практически все. А вот 10 номер такой непредсказуемый, столько интересных и новых задач. И каждая задача не похожа на предыдущую… Здесь сложно дать какой-либо совет. Проработайте задачи из открытого банка ФИПИ, с сайта Решу ЕГЭ, посмотрите свежие сборники 2022 года, варианты Статграда.

Я постаралась очень кратко пробежаться по основным ошибкам выпускников. Если Вам эта статья будет хоть на 0,01 процента будет полезна, то значит, писалась она не зря.

PS: Хотелось бы выразить благодарность Филину Арсению Андреевичу за ценные замечания и помощь в публикации. Он опытный преподаватель, выпускник Физфака МГУ, в прошлом призер олимпиад Физтех и Ломоносов.
Ну а если Вы хотите повторить все темы перед экзаменом, обобщить знания, проработать свои ошибки и узнать еще больше подводных камней, смело могу порекомендовать финальный курс по математике, который будет проводить сам Арсений. Старт 17 мая.

Источник

Данная статья расскажет о самых популярных способов потерять баллы на экзамене. Внимательно проработайте ее! Иначе рискуете пробить рукой лицо, когда придут результаты.

1. Верный путь к потере драгоценных баллов – грязь в вычислениях. Что-то исправлено, что-то зачеркнуто, одна цифра карябается поверх другой. Взгляните на свои черновики.

Что, похоже? Пишите разборчиво!!! Не жалейте бумагу. Если что-то неправильно – лучше всю строчку напишите заново, только не исправляйте одно на другое!

2. Второй источник ошибок – вычисления в столбик. Почему-то многие, считая в столбик, стараются сделать это:
– очень быстро;
– очень мелкими циферками;
— в уголке листа.

Вот что получается:

Вы что, стесняетесь считать в столбик?! Ну и зря! Все считают в столбик. В этом нет ничего плохого. Так что пишите эти вычисления не торопясь, крупно и аккуратно!

3. Немаленький процент учеников ставит знак равенства между не равными выражениями. Как вам, например, вот такая запись:

По сути, здесь утверждается, что (frac{576}{625}) тоже самое что (frac{24}{25})! Очевидная глупость, за которую проверяющие заслуженно снижают баллы. Вот что должно было быть написано:

Помните, что знак равенства ставим не где попало, а только между на самом деле равными величинами или выражениями!

И, кстати, раз уж мы этого коснулись: не забывайте, что уравнение (x^2=a) (где (a>0)) имеет два корня: (x=sqrt{a}) и (x=-sqrt{a}). Это тоже очень частая ошибка.

4. Больше всего арифметических ошибок связано с дробями. Например, если вы делите дробь на число или дробь на дробь – не пишите трех- или четырехэтажные выражения, как вот тут:

Пользуйтесь тем, что знак дробной черты можно заменять двоеточием, а деление дробей – умножением:

5. Если на ЕГЭ в первой части (то есть в задачах 1-12) вы получили в ответе (π), или (sqrt{2}), или (2x) , или (frac{2}{3}) – не сомневайтесь, вы решили задачу неправильно. Даже не пытайтесь втиснуть это в бланк, например, таким способом:

Все равно компьютер прочтет такую запись как-то по-другому (конкретно в этом случае он увидел не (3frac{5}{36}) , а (38)).

Лучше в такой ситуации перерешать задачу еще раз. Или совсем на крайний случай, попробовать подобрать ответ или хотя бы угадать его, но не писать заведомо неверное.

6. Еще один «замечательный» способ потерять балл на экзамене — неправильно записать ответ. Вот некоторые правила, которые надо соблюдать переписывая ответ в бланк и примеры того как делать НЕ НАДО:

Запятую лучше писать внизу окошка. Иначе компьютер её может прочитать, как (1) или (7).

Каждый символ должен быть в отдельном окошке.

Все дроби пишем только в десятичном виде.

Единицы измерения в бланке ответов не нужны.

7. Еще один изысканный способ недополучить балл – записать промежуточный ответ. Как этого избежать?

Заведите себе привычку после решения задачи и до написания ответа прочитать условие еще раз и подумать: а вас спрашивали об этом? Именно это нужно было найти в задаче?

Если да – пишите ответ в черновике. После проверки решения – перенесёте в бланк ответов.

8. Типичная ошибка настойчивых и очень целеустремленных абитуриентов – решать все задания подряд, не пропуская сложные или неизвестные им: «Все равно же все надо решить!». Если при подготовке вы редко решали задачи на тригонометрию, не надо час мучиться над ним на экзамене — потратите время и не успеете решить то, что знаете.

Если при решении задания вы зашли в тупик и новых идей нет уже минут 5, имеет смысл перейти к более простым задачам. Не забывайте при этом периодически возвращаться к сложным заданиям – возможно, у вас появятся свежие мысли.

Бонусный матхак:

Если не уверены в формуле, которую использовали попробуйте подставить в левую и правую часть числа. Справа и слева должны получиться одинаковые выражения.

Предположим, подзабыли основное тригонометрическое тождество, и не уверены то ли правильно (sin⁡α=1-cos⁡α), толи (sin^2 α=1-cos^2 α). Лучше конечного вывести эту формулу, как мы сделали в этом видео. Но можно подставить, вместо переменной любое число, синус и косинус от которых вы помните — пусть будет (frac{π}{6}):

Очевидно, правая и левая часть не равны. Давайте попробуем вторую формулу:

Сошлось – значит второй вариант формулы с вероятностью (99%) правильный ((1%) остается на случайные совпадения).

Источник

Зачем тебе это:

НЕ теряй легкие

60+ баллов

ТОП-10 ошибок 1 части профильной математики

Знаешь ли ты, что 90% ошибок на экзамене происходит из-за обычной невнимательности?

Знаешь ли, что составители вариантов ЕГЭ специально делают такие задачи, где очень легко допустить ошибку?

А знаешь ли ты, ЧТО это за задачи? Самые коварные. Гадкие. Криповые. Хитроумные ловушки для твоего разума.

Прочитай этот текст до конца. Ты узнаешь своих врагов в лицо!

Мы выловили их среди тысяч задач в Банке заданий ФИПИ, чтобы показать тебе!

И составили Топ-10 – в соответствии с тем, какой процент старшеклассников делает в них ошибки.

Ты узнаешь, как с ними справиться.

Ты сможешь!

Об Анне Малковой

Анна Малкова — ведущая авторского курса подготовки к ЕГЭ (в Москве и онлайн).

Автор книг:

«Математика. Авторский курс подготовки к ЕГЭ»,
«Задачи ЕГЭ по математике высокой и повышенной сложности»
«Моя профессия — репетитор»
Ведущая программ повышения квалификаци для учителей. Руководитель компании ЕГЭ студия.

ЕГЭ студия — лидер в области курсов подготовки к ЕГЭ. Наша специализация — подготовка к ЕГЭ на максимальные баллы.

ЕГЭ-Студия 12 лет готовит на высокие баллы

Средний балл на ЕГЭ 2020

Математика

баллов

Русский язык

баллов

Обществознание

баллов

За 2016-2020 годы мы подготовили

23
100-балльников

23
олимпиадников

24
98-99 балльников

Немного цифр

Более 300 тыс. человек
в месяц используют
наши материалы

Более 6 млн.
просмотров наших видео
на YouTube

Более 150 человек
в год получают
нашу благотворительную
помощь

Более 1100 отзывов

Более 20 книг издано

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Введите ваше имя:

Введите телефон, чтобы мы могли с вами связаться:

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных

Источник