Типичные ошибки при решении вероятностных задач

Таким образом, определено положение нулевой плоскости в пластине, относительно которой соблюдается условие статического равновесия объемов в области сжимающих и растягивающих остаточных напряжений. На рис. 4 показано пространственное распределение термических (закалочных) остаточных напряжений в пластине.

Представленная в рамках данной статьи работа проводится при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации (Минобрнауки России) в рамках комплексного проекта «Разработка и внедрение комплекса высокоэффективных технологий проектирования, конструкторско-технологической подготовки и изготовления самолета МС-21», шифр 2010-218-02-312.

Библиографический список

1. Биргер И.А. Остаточные напряжения. М.: Машгиз, 1963. 232 с.

2. Абрамов В.В. Остаточные напряжения и деформации в металлах. М.: Машиностроение, 1963. 355 с.

3. Ботвенко С.И. Остаточные напряжения и деформации при изготовлении деталей типа пластин с подкреплениями. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2012. 132 с.

4. Ботвенко С.И., Огнев И.А. Теоретическое исследование пространственного распределения термических остаточных напряжений в цилиндре // Вестник ИрГТУ. 2012. №7. С. 29-36.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся 13 вузов. М.: Наука, Гл. ред. физ -мат. лит., 1986. 544 с.

6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3 т. М.: Высш. шк., 1988. Т.1. 712 с. УДК 519. 21, 372.851

ТИПОЛОГИЯ ОШИБОК И ЗАБЛУЖДЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ЗАДАЧАМИ КУРСА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЧАСТЬ 1: СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

© Г.Д. Гефан1, О.В. Кузьмин2

1Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. 2Иркутский государственный университет, 664003, Россия, г. Иркутск, ул. К. Маркса, 1.

Проведён анализ и предложена типологическая структура ошибок, совершаемых студентами при изучении разделов теории вероятностей, связанных с понятием случайного события: классического определения вероятности, основных теорем о вероятности, последовательности однородных независимых испытаний. Даны методические рекомендации по совершенствованию учебного процесса. Статья адресована преподавателям математики и специалистам, которым приходится иметь дело с вероятностными методами. Библиогр. 9 назв.

Ключевые слова: случайные события; вероятность; заблуждения; методология.

TYPOLOGY OF ERRORS AND DELUSIONS ASSOCIATED WITH PROBABILITY THEORY COURSE GOALS. PART 1: STOCHASTIC EVENTS G.D. Gefan, O.V. Kuzmin

Irkutsk State University of Railway Engineering, 15 Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074. Irkutsk State University, 1 Karl Marx St., Irkutsk, 664003.

The article presents the analysis and typological structure of students’ errors made when studying the sections of the probability theory dealing with the concept of a stochastic event: a classical definition of probability, basic probability theorems, a sequence of homogeneous independent tests. The methodic recommendations on improving the educational process are made. The article is addressed to the teachers of mathematics and specialists dealing with the probability methods. 9 sources.

Key words: stochastic events; probability; delusions; methodology.

1Гефан Григорий Давыдович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, тел.: 89086615484, 638354, e-mail: grigef@rambler.ru

Gefan Grigoriy, Candidate of physical and mathematical sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics of Irkutsk State Railway University, тел.: 89086615484, 638354, e-mail: grigef@rambler.ru

2Кузьмин Олег Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории вероятностей и дискретной математики, тел.: 89025604133, e-mail: quzminov@mail.ru

Kuzmin Oleg, Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, Head of the Department of the Theory of Probability and Discrete Mathematics of Irkutsk State University, тел: 89025604133, e-mail: quzminov@mail.ru

По мнению Карла Пирсона, в математике нет другой области, в которой столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей. Скорее всего, причиной является кажущаяся «очевидность», «логичность» некоторых рассуждений, опирающихся не на математический подход, а на так называемый здравый смысл. Только очень самонадеянный человек решает, например, дифференциальные уравнения, полагаясь не на теорию и строгие правила, а на догадки. Напротив, при решении задач теории вероятностей у аудитории сразу возникает целый ряд «смелых» предположений и допущений, якобы ведущих к решению. Эту активность, пожалуй, следует стимулировать и уж во всяком случае нельзя подавлять. Иная ошибка ценнее, чем безошибочные, но рутинные действия. Однако необходим анализ заблуждений, которые являются вполне типичными. Заметим сразу, что они характерны не только для начинающих: даже выдающиеся математики Лейбниц и Даламбер ошибались при решении некоторых задач теории вероятностей (об этом речь пойдёт ниже). Оговоримся также, что нас здесь интересуют лишь ошибки методологического характера, хотя студенты, конечно, совершают массу ошибок другого рода — в вычислениях, формулах и т.д.

Итак, целью данной работы является анализ и построение типологической структуры методологических ошибок и заблуждений, связанных с изучением курса теории вероятностей. Исследование опиралось на личный опыт авторов в преподавании теории вероятностей студентам разных специальностей — физико-математических, технических, экономических и на ряд известных работ, в которых вероятность рассматривается через призму парадоксов, контрпримеров, ломки стереотипов, а также с позиций непосредственного практического смысла [2, 3, 5-9].

1. Использование классического определения вероятности и элементов комбинаторики. Классическое определение вероятности — важнейшее положение теории, на котором строится решение огромного количества задач. Основной вклад в появление этого определения внёс Я. Бернулли — автор гениальной фразы «Вероятность есть степень достоверности и отличается от неё, как часть от целого» [1].

Пусть всего имеется п равновозможных элементарных исходов некоторого опыта, т из которых ведут к наступлению события А (иначе говоря, благоприятствуют этому событию). Тогда вероятность события А равна:

т

Р( А) = т. п

Разумеется, приведённая формула предельно проста и легко запоминается. Проблема в другом: что подразумевать под элементарными исходами при решении конкретной задачи и как эти исходы подсчитать?

Подчеркнём, что классическое определение вероятности применимо только тогда, когда различные исходы опыта обладают симметрией и поэтому рав-новозможны. Кстати, Бернулли и позже Муавр этого

обстоятельства не отмечали; требование равновоз-можности исходов было введено в классическое определение вероятности значительно позже Лапласом [4]. Неучёт этого требования приводит к ошибкам. В 1754 году Даламбер опубликовал энциклопедическую статью «Герб и решка». В частности, Даламбер утверждал, что монета, брошенная дважды, хотя бы один раз выпадет гербом с вероятностью 2/3, поскольку есть 3 возможных исхода (герб-герб, герб-решка и решка-решка), из которых первые два являются благоприятными. Разумеется, если такую ошибку совершил Даламбер (!), то рядовой ученик или студент, решая подобную задачу первый раз, обычно тоже ошибается. На самом деле, есть ещё один исход: решка-герб. Первая реакция на этот аргумент может быть недоуменной: разве это не то же самое, что герб-решка? Однако недоумение обучаемого исчезает после следующего пояснения: представьте, что монеты брошены не одновременно, а последовательно, либо представьте, что это разные монеты — скажем 1 рубль и 2 рубля. Сразу становится понятно, что герб-решка и решка-герб — это два разных элементарных исхода. Следовательно, общее число исходов равно 4, а искомая вероятность равна 3/4, а вовсе не 2/3. Можно сформулировать и иначе: исход «один герб и одна решка без указания порядка» не является элементарным и неравновозможен по отношению к исходам «два герба» и «две решки».

Уяснив необходимость равновозможности элементарных исходов для применения классического определения вероятности, обучаемый застрахует себя от ошибок при решении подобных и чуть более сложных задач. Например, требуется ответить на вопрос: почему опыт показывает, что при подбрасывании двух игральных костей сумма очков чаще равна 9, чем 10, хотя и тот и другой результат, на первый взгляд, достигается двумя способами — соответственно 9 = 3 + 6 = 4 + 5 и 10 = 4 + 6 = 5 + 5 ? Ответ ясен: на самом деле первому событию соответствует четыре благоприятных элементарных исхода (3 + 6,6 + 3,4 + 5,5 + 4), а второму — только три (4 + 6,6 + 4,5 + 5), а общее число элементарных исходов составляет 36.

В приведённых задачах исходы пересчитываются буквально «на пальцах». В более сложных случаях для применения классического определения вероятности требуется использование элементов комбинаторики. Здесь основная трудность (и, следовательно, источник ошибок) обычно состоит в выборе вида соединений (перестановки, сочетания, размещения). Конечно, можно «внушить» обучаемому, что перестановки связаны с установлением порядка среди элементов данного множества, сочетания — с выбором некоторого подмножества элементов из всего множества (без учёта порядка), размещения — и с выбором, и с установлением порядка среди выбранных элементов, но связать текст конкретной вероятностной задачи с комбинаторикой обычно весьма непросто. Универсальных рецептов для этого не существует. Клю-

чевая проблема здесь вновь упирается в описание равновозможных элементарных исходов. При этом следует иметь в виду, что равновозможные элементарные исходы не являются имманентным свойством опытов со случайными исходами, они вводятся нами (когда это возможно) для удобства вычисления вероятностей. Во многих случаях ввести множество элементарных исходов можно по-разному, и этому будет соответствовать выбор разных видов соединений.

В этом плане показательна следующая задача. Шестизначный телефонный номер содержит 2 единицы и 4 пятёрки. Однако порядок этих цифр абонент забыл. Найти вероятность того, что первая же набранная наугад комбинация этих цифр окажется правильной.

Какими элементами комбинаторики здесь воспользоваться? Однозначного ответа не существует, это зависит от того, как ввести множество равновоз-можных элементарных исходов. Ненадолго забудем о телефонных номерах. Представим, что мы имеем шесть карточек с цифрами: 5, 5, 5, 5, 1, 1. Карточки, даже если на них написана одна и та же цифра, различаем между собой (допустим, по цвету). Меняя порядок карточек, мы будем получать различные перестановки общим числом n = 6! = 720. Это и есть общее число исходов. Число благоприятных исходов здесь определяется «безболезненными» (т.е. не нарушающими правильность комбинации) перестановками карточек с пятёрками и карточек с единицами: m = 4!2!= 48. Согласно классическому определению вероятности, получаем P(A) = 48/720 = 1/15 . (Отметим, что мы не пользуемся здесь понятием перестановок с повторением элементов).

Теперь будем рассуждать принципиально иначе. Назвать некоторый телефонный номер есть не что иное, как указать номера 2-х позиций, на которых находятся единицы (пятёрки займут оставшиеся места). Количество вариантов такого выбора есть общее число равновозможных исходов. Оно равно числу сочетаний из 6 по 2:

6!

n = C6 =-.

6 2!4!

Благоприятный исход при этом только один ( m = 1). По классическому определению вероятности снова приходим к результату P(A) = 1/15 .

Рассмотренный пример показывает, что применение комбинаторики в задачах классического определения вероятности трудно, а возможно, и не стоит определять какими-то правилами. При решении задачи нужно начинать не с того, какой вид соединений здесь использовать (тем более, что часто удаётся обойтись вообще без комбинаторики), а с выстраивания правильной схемы равновозможных элементарных исходов. Это должно подсказать тому, кто решает задачу, надо ли в ней использовать элементы комбинаторики и какие именно.

2. Задачи, связанные с теоремами сложения и умножения вероятностей. Честь окончательной

формулировки данных теорем принадлежит соответственно Байесу и Муавру. Первое наше замечание касается нахождения вероятности суммы совместных событий. Наиболее грубая ошибка заключается в том, что желая найти вероятность наступления хотя бы одного из двух событий, просто складывают их вероятности, не учитывая, что эти события совместны. Приводим задачу, над которой размышлял Я. Бернул-ли ещё до появления основных теорем теории вероятностей [4]. Двух заключённых принуждают бросить по одной игральной кости. Тот, у кого выпадет меньшее число очков, будет казнён, другой останется жив. Если же число очков окажется одинаковым, то оба избегут казни. Из 36 равновозможных исходов имеется 6 «ничейных», которые устраивают обоих заключённых. Следовательно, для каждого заключённого

существует 15 + 6 = 21 благоприятный исход, т.е.

вероятность спастись составляет 7/12. С какой вероятностью спасётся хотя бы один заключённый? Ответ очевиден — с вероятностью 1, однако простое

7

7/, > 1

сложение вероятностей даёт 12 12 .

С помощью диаграммы Венна легко убедиться, что вероятность суммы событий меньше суммы их вероятностей на величину вероятности произведения этих событий:

Р(А + В) = Р( А) + Р(В) — Р( АВ) .

Поэтому правильное решение приведённой задачи будет выглядеть так:

р(А + В) = У12 + ^ — 64 =1.

На вопрос «А как будет выглядеть формула для вероятности суммы трёх событий?» студенты обычно, не задумываясь, предлагают добавить в правую часть слагаемое Р(С), а вместо Р(АВ) вычитать

Р(АВС) . Это выглядит «логичным», но, разумеется, неверно. Конечно, предостерегая от этой ошибки, можно вывести формулы для вероятности суммы трёх, четырёх и большего числа событий, но разумнее, на наш взгляд, предложить следующее. Выражение «сумма перечисленных событий» имеет смысл совершенно тот же, что и выражение «хотя бы одно из перечисленных событий». Поэтому целесообразно «действовать» через противоположное событие («ни одно из перечисленных событий»). Например, сумма четырёх совместных событий имеет вероятность Р( А + В + С + В) = 1 -(1 — Р( А))х

х(1 — Р( В))(1 — Р(С))(1 — Р( В)).

Необходимо помочь студенту провести чёткую грань между понятиями «хотя бы одно из событий» (т.е. одно или более) и «одно из событий» (ровно одно, причём любое). Непонимание этого различия приводит к многочисленным ошибкам.

Наряду с совместностью событий, зависимость событий — важнейшее свойство, без правильного понимания которого невозможно усвоить основные теоремы о вероятности.

Понятие зависимости событий обычно связывают с так называемой условной вероятностью. Условной

вероятностью Р( А|В) называется вероятность события А , вычисленная при условии, что событие В произошло. Событие А называется зависимым от события В , если Р(А|В) ф Р(А).

Вероятность произведения двух событий определяется формулой

Р(АВ) = Р(В)Р(А|В) = Р(А)Р(В|А).

Если Р(А|В) = Р(А) (А не зависит от В), то и

Р(В|А) = Р(В)Р(А)/Р(А) = Р(В) ,

то есть В тоже не зависит от А. Таким образом, независимость (как и зависимость) событий взаимна. Вероятность произведения независимых событий Р(АВ) = Р(А)Р(В) .

С некоторой натяжкой можно сказать, что математическое определение зависимости (и независимости) событий соответствует нашим обычным, житейским представлениям об этом понятии. Так, большая часть аудитории относится с полным пониманием к утверждению, что не зависят друг от друга результаты бросания двух монет, двух игральных костей, даты рождения двух случайных людей и т.д. (Впрочем, кое-кто всё же имеет ошибочные представления о некотором «лимите» наступлений события по принципу «в одну воронку снаряд дважды не попадает»). Не вызывает возражений и утверждение, что шансы вытянуть единственную короткую спичку априори одинаковы у всех участников этой игры, независимо от того, в какой последовательности они тянут спички (это не столь очевидно, но легко доказывается математически с помощью приведённых выше формул). Вместе с тем, кажется, что плохо согласуется с обычным представлением о зависимости следующее важное положение теории вероятностей: два события являются либо взаимно зависимыми, либо взаимно независимыми. Простой пример: есть «метеозависимые» люди, самочувствие которых зависит от погоды, но никто никогда не слышал о том, чтобы погода зависела от здоровья людей. Но не надо упускать из виду, что в теории вероятностей речь идет не о механизме «причина-следствие», а о зависимости случайных событий. Зависит ли вероятность перемены погоды от самочувствия «метеозависимого» человека? Безусловно, зависит, поскольку плохое самочувствие с некоторой вероятностью может сигнализировать о перемене погоды. Так что это кажущееся противоречие между математикой и «здравым смыслом» довольно легко снимается.

Заметим, что определение независимости двух событий может быть дано как через понятие условной вероятности (это сделано выше), так и через равенство Р(АВ) = Р(А)Р(В). Для трёх и более событий приходится говорить, во-первых, о попарной независимости событий и, во-вторых, об их независимости в совокупности. Критерием этой совокупной независи-

мости является выполнение свойства мультипликативности

Р( АА2..А) = Р( А)Р( 4).-.Р( А)

для любого конечного набора событий из этой совокупности. Совокупно независимые события являются и попарно независимыми, а вот обратное может не выполняться — это и приводит иногда к ошибкам и недоразумениям.

Рассмотрим следующий пример. События А и В независимы, а событие С происходит в том случае, если наступает одно и только одно из событий А и В. Является ли событие С попарно независимым с событием А и с событием В ? Являются ли события А ,В и С совокупно независимыми?

Пусть Р(А) = рА, Р(В) = рВ. Тогда

Р(С) = рА (1 — рв ) + рв (1 — рА ) =

= ра + РВ — 2РаРВ .

При этом Р(С|А) = 1 — рв , Р(С|В) = 1 -рл ,

т.е. в общем случае событие с является попарно зависимым как с событием А , так и с событием В . Казалось бы, иначе и быть не может, поскольку

наступление события с связано с двумя другими событиями. Но рассмотрим частный случай: пусть А и В — появление герба при подбрасывании первой и второй монет соответственно, С — появление ровно 1 герба при подбрасывании двух монет. В этом случае Р(А) = 12, Р(В) = 12, Р(С) = 12 ,

Р(С|А) = 12, Р(С|В) = 12, т.е. событие С является попарно независимым как с событием А , так и с событием В . Однако означает ли это, что события А, В и С совокупно независимы? Положительный ответ был бы просто абсурдным, поскольку здесь информация о каких-либо двух событиях однозначно определяет информацию о третьем событии. Действительно, условие мультипликативности не выполняется, т.к. Р(АВС) = 0 (три события одновременно не могут иметь места), тогда как Р(А)Р(В)Р(С) ф 0, если только события А и В не являются ни невозможными, ни достоверными. (Например, в задаче с монетами Р(А)Р(В)Р(С) = 18). Итак, событие С может оказаться попарно независимым с событием А и с событием В , но совокупно эти три события являются зависимыми.

3. Применение формул полной вероятности и Байеса. В действительности положения, о которых идёт речь, были сформулированы не Байесом, а

Лапласом [4]. Если событие А может произойти вместе с любым из несовместных друг с другом событий

H2, …, Нп, образующих полную группу (теперь они называются гипотезами, а Лаплас называл их

«причинами»), то справедлива формула полной вероятности:

п

Р( А) = £ Р(И, )Р( АИг).

г=1

Если при тех же условиях известно, что в результате опыта событие А наступило, то вероятность того, что при этом имело место событие И , определяется формулой Байеса

Р( И )Р( АИ,)

Р( И,А) =

¿Р( И) Р( А|Иг)

г = 1, п

Фактически записанные формулы соответствуют двум противоположным по смыслу, хотя и близким, задачам теории вероятностей, которые можно назвать прямой и обратной. Прямая задача — найти вероятность некоторого события, учитывая все возможные, исключающие друг друга, «сценарии» его наступления (гипотезы). Обратная задача — «переоценить» вероятности «сценариев» с учётом факта наступления

события А , т.е. перейти от априорных вероятностей

Р(И ) к апостериорным условным вероятностям

Р(И|А).

Первая проблема при изучении этого материала -помочь студентам уяснить связь и различие данных задач. Образно говоря, формула полной вероятности имеет «прогностическое» назначение (каковы шансы на наступление некоторого события?), а формула Байеса — «расследовательское» (насколько вероятны различные «причины» наступившего события?).

Вторая проблема: опыт показывает, что данные формулы являются «излишне популярными» среди студентов, сплошь и рядом применяются не по назначению. Перед применением этих формул обязательно нужно проверить наличие полной группы несовместных событий И, И2,…, Ни (гипотез).

Третья проблема заключается в том, что студенты неверно определяют вероятности гипотез Р(И ) , связывая их с событием А . Никакой связи априорных вероятностей P(Hj) с событием А нет! А вот

условные вероятности Р(А|Нг) непосредственно вытекают из сформулированных в задаче условий наступления события А .

Четвёртая проблема состоит в том, чтобы уяснить, что апостериорная вероятность гипотезы может и не отличаться от априорной. Ясно, что если

Р(Нг|А) = Р(И) , то событие И не зависит от

события А. Иначе говоря, информация о наступлении события А бесполезна с точки зрения переоценки вероятности H¡. Как это может быть? Великолепной иллюстрацией такого положения является пример «математического абсурда» знаменитого писателя и

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

математика Льюиса Кэрролла, который мы приводим по книге [7]:

«Двое из трёх заключённых, обозначаемых A, B и C, будут казнены. Они это знают, но не могут догадаться, кому же из них повезёт. A рассуждает: «Вероятность, что меня казнят, равна 1/3. Если я попрошу

охранника назвать имя (отличное от моего) одного из заключённых, которых казнят, то тогда останется только две возможности. Либо другой, кого казнят, это я, либо нет, и поэтому шансы, что я выживу, увеличатся до 1/2″. Однако так же справедливо, что уже перед тем, как A спросит охранника, он знает, что одного из его компаньонов наверняка казнят, так что охранник не сообщит A никакой новой информации относительно его судьбы. Почему тогда вероятность изменилась?»

Удивительно, что Г. Секей [7], опровергая этот абсурдный результат, ограничивается достаточно общими рассуждениями, не ссылаясь на формулу Байеса. Посмотрим, как выглядит ситуация с точки зрения «байесовского подхода». Рассмотрим три гипотезы:

И — А не будет казнён (казнят В и С); Н2 — В не будет казнён (казнят А и С); Н3 — С не будет казнён (казнят А и В). Априори эти гипотезы равновероятны: Р(И) = Р(И) = Р(И) = 1/3. Событие, состоящее в том, что охранник называет, скажем, заключённого В, обозначим просто через В. Тогда по формуле полной вероятности

1Г1 + 0 +1] =1

312 J 2

Р(В) = £ Р( и )Р( Цн,)

Р(И в) =

По формуле Байеса

Р(И) Р(ВН)

Р( в)

1/6 1/2

= 1/3.

Итак, на самом деле вероятность того, что заключённый А останется в живых, не изменится после получения информации о том, что одним из казнённых окажется В (разумеется, ровно так же будет обстоять дело, если охранник назовёт имя С). Заметим, что при этом

Р( н |В)=РИШИ) =_! = 0,

21 Р( В) 1/2 ‘

Р В) = Р(н 3)Р( Вн) = 13 = 2/3. 31 Р(В) 1/2

Это означает, что печальная судьба В решена, а для С шансы спастись выросли с 1/3 до 2/3 .

Фактически, ошибка в рассуждении Льюиса Кэрролла (конечно, совершённая им намеренно), состоит в том, что после сообщения охранника шансы А и С вовсе не являются одинаковыми (исходы неравновоз-можны!). Следовательно, нельзя считать, что каждый из этих исходов имеет вероятность 1/2.

4. Повторение однородных независимых испытаний. Здесь мы не говорим о формулах Муавра-

г=1

Лапласа, поскольку они более тесно связаны с другими темами — нормальным распределением и центральной предельной теоремой — и рассматриваются во второй части статьи. Для расчёта вероятности того, что некоторое событие наступит ровно к раз в серии п однородных независимых испытаний, в каждом из которых это событие наступает с вероятностью р, служит формула Бернулли

Рп (к)=Скрк (1 — р)

к = 0, п.

При определённых условиях (вероятность р мала, число испытаний п велико) применяется формула Пуассона

Р (к) = , д = рп, к = 0, п,

^ к, > у > > ■

которую можно вывести из формулы Бернулли путём предельного перехода при р ^ 0, п ^ , .

Желательно, применив обе формулы в некотором «сомнительном» случае (например, при п = 50, р = 0.02), показать студентам неудобство формулы Бернулли и неплохую, но не слишком высокую точность пуассоновского приближения. Если этого не сделать, то есть риск, что студенты будут применять формулу Пуассона в совершенно неподходящих условиях, например, при п = 5 , р = 0.5.

Сами по себе ошибки при применении формул Бернулли и Пуассона не слишком часты и носят технический характер. Однако зачастую студент не может справиться с заданием, если оно содержит требование расчёта вероятности того, что событие наступит не просто «ровно к раз», но «хотя бы к раз», «не более к раз» и т.д. Поэтому нужна тщательная проработка этих формулировок, а соответствующие решения будут связаны с такими понятиями, как вероятность противоположного события и/или вероятность суммы событий.

Практически интересны, пожалуй, не сами значения вероятностей, даваемые формулой Бернулли, а несколько более сложные вопросы, подобные следующему. Пусть известна вероятность р наступления события в одном испытании. Сколько испытаний нужно провести, чтобы вероятность хотя бы одного наступления события в этой серии превышала 12 ?

Диалог со студентами при обсуждении этой проблемы обычно весьма интересен. Для определённости говорим о подбрасываниях игральной кости, а событие, о котором идёт речь, это появление шестёрки ( р = 16). Обычно ответ на заданный выше вопрос следующий: серия должна включать в себя более трёх подбрасываний (это «обосновывается» тем, что

3 • (16) = 12). Действительно, вероятность появления хотя бы одной шестёрки при п подбрасываниях

кости равна 1 — ^, и при п > 3 эта вероятность становится больше, чем 12. Следующий пример:

каждое испытание представляет собой подбрасывание двух костей, событие — появление двух шестёрок (р = 136). В этом случае, говорят студенты, серия должна включать в себя более 18 подбрасываний (18 • (136) = 12). Однако проверка показывает, что

вероятность 1 превышает 12 только при

п > 25, т.е. ошибка очень значительна. Здесь стоит пояснить, что если бы студенческая «логика» была правильной, то при проведении 36 подбрасываний вероятность появления хотя бы одной пары шестёрок достигала 1, а при большем числе подбрасываний -превышала бы единицу (что невозможно). Однако вряд ли нужно слишком строго относиться к этой ошибке, если учесть, что в своё время её совершил выдающийся математик и механик Кардано [7]!

Далее можно сообщить студентам о том, что в действительности существует так называемое «правило пропорциональности критических значений», которое утверждает, что если вероятность события в отдельном испытании уменьшилась в определённое число раз, то длина серии должна увеличиться в то же число раз (для того, чтобы вероятность хотя бы одного наступления события в этой серии превышала 12). Правда, как показал Муавр, это правило является верным лишь асимптотически, ошибка его применения растёт с ростом р [7]. Можно предложить

студентам проверить, как работает это правило в рассматриваемой задаче. Согласно этому правилу, учитывая, что в первом из наших примеров (подбрасывание одной кости, выпадение шестёрки) критическое значение равно 4, во втором примере (подбрасывание двух костей, выпадение двух шестёрок) критическое

значение должно увеличиться в ^ : ^^ = 6 раз и

составить 24. В действительности, как было сказано, критическое значение равно 25, и некоторое несогласование объясняется тем, что правило пропорциональности выполняется лишь асимптотически. Однако это несравнимо более точный подход, чем приведённые выше рассуждения Кардано.

Подчеркнём, что описанная учебная дискуссия является, на наш взгляд, значительно более эффективной формой обучения, чем занятие по принципу: «записал формулу — подставил значения — получил результат».

Выводы. Полностью предотвратить ошибки и заблуждения обучаемых, связанные с задачами теории вероятностей, невозможно, поскольку они, как правило, являются следствием определённых стереотипов мышления. Однако можно существенно помочь студентам, если при изучении раздела «Случайные события» уделить больше внимания:

1) требованию равновозможности элементарных исходов в классическом определении вероятности;

2) выстраиванию правильной схемы равновоз-можных элементарных исходов, что должно подсказать тому, кто решает задачу, надо ли в ней использовать элементы комбинаторики и какие именно;

к

п

3) проработке понятий совместности и независимости событий для обоснованного применения теорем сложения и умножения вероятностей;

4) уяснению связи и различия задач, требующих применения формул полной вероятности и Байеса с обязательной проверкой наличия полной группы несовместных событий (гипотез);

5) одновременному использованию формул Бер-нулли и Пуассона, иллюстрирующему условия и области их применения;

6) организации учебных дискуссий — значительно более эффективной формы обучения, чем традиционные занятия с доминирующей ролью преподавателя, где работа студентов сводится к расчётам по предлагаемым формулам.

Библиографический список

1. Бернулли Я. О законе больших чисел / пер. с лат. М.: Наука, 1986. 176 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М.: Наука, 1988. 480 с.

3. Гильдерман Ю.И. Закон и случай. Новосибирск: Наука, 1991. 200 с.

4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 448 с.

5. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1976. 168 с.

6. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1982. 160 с.

7. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике / пер. с англ. М.: Мир, 1990. 240 с.

8. Стоянов Й. Контрпримеры в теории вероятностей. М.: Факториал, 1999. 288 с.

9. Чубарев А.М., Холодный В.С. Невероятная вероятность. М.: Знание, 1976. 128 с.

Лекции
для студентов специальности 073000 —
прикладная математика

Теория
вероятностей

и

математическая
статистика

Алексей
Михайлович Протасов

Содержание

Теория вероятностей 6

Введение в теорию вероятностей 6

Предмет
теории вероятностей 6

Возникновение
и развитие теории вероятностей 6

До
появления аксиоматики Колмогорова 6

В наше
время 6

Необходимость
теории вероятностей как науки 6

Возможность
анализа случайных явлений 7

Расчет
шансов и прогнозирование последствий 7

Типичные
ошибки при решении вероятностных задач
без применения теории вероятностей 7

Ошибка
шевалье де Мере (XVII век) 7

Ошибка
Д’Аламбера 7

Задача
о днях рождения 7

Понимание
природы вещей и причин явлений 7

Парадокс
движения автобусов 7

Игра
с тремя разными костями 7

Новый
язык для описания объектов 7

Распространение
вероятностной и статистической
терминологии 8

Примеры
практических задач, при решении которых
применяется теория вероятностей 9

Расчет
размера буфера в устройствах передачи
и обработки информации 9

Определение
объема закупки товара или выпуска
продукции на рынок 9

Управление
продажей авиабилетов 9

Расчет
надежности сложной системы 9

Оценка
доли брака или стоимости коллекции 9

Принятие
типового решения в условиях
неопределенности 9

Задача
о студенте на экзамене 9

Примеры
практических задач, при решении которых
не стоит применять теорию вероятностей 9

Принятие
важного решения, от которого зависит
успех всего проекта 9

Игра
по крупному 10

Основные понятия и определения 10

Первичные
понятия 10

Опыт
(эксперимент) 10

Элементарный
исход 10

Пространство
элементарных исходов 11

Советы
по построению пространства элементарных
исходов. 11

Определения 11

Подмножества 11

Операции
над подмножествами 12

Дополнение 12

Объединение 12

Пересечение 12

Разность 12

Симметричная
разность 12

Количество
элементов в подмножестве 12

Отношения
между подмножествами 13

Вложение 13

Несовместность 13

Противоположность 13

Убывающая
последовательность событий 13

Формулы 13

Полная
группа подмножеств 13

Алгебра
и сигма-алгебра 14

Случайные
события 14

Информационный
смысл понятия сигма — алгебра 14

Пересечение
сигма-алгебр 15

Минимальная
сигма-алгебра 15

Полная
группа событий 15

Конечно-аддитивная
функция 15

Счетно-аддитивная
функция 15

Мера 15

Конечная
мера 15

Вероятность 15

Вероятностное
пространство 16

Парадокс
определения вероятностного пространства 16

Независимые
события 16

Попарно 16

В
совокупности 16

Условная
вероятность 17

Свойства
и теоремы 17

Простейшие
свойства вероятности 17

Вероятность
противоположного события 17

Вероятность
невозможного события 17

Монотонность
вероятности 17

17

17

Ограниченность
вероятности 17

Вероятность
объединения событий 17

Полуаддитивность
вероятности 17

Счетная
полуаддитивность вероятности 17

Вероятности
полной группы событий 17

Формула
полной вероятности 17

Формула
Байеса 18

Теорема
(о непрерывности вероятностной меры) 18

Дискретная вероятностная модель 18

Конечное
пространство элементарных исходов 18

Классическая
вероятностная модель 18

Связь
классической вероятностной модели с
комбинаторикой 19

Основная
формула комбинаторики 19

Факториал 20

Формула
Стерлинга 20

Биномиальный
коэффициент 20

Бином
Нютона 20

Полиномиальная
формула 20

Схема
выбора с возвращением 20

Схема
выбора без возвращения 21

Урновая
схема 21

Общее
определение вероятности для экспериментов
с конечным или счетным числом исходов 21

Дискретное
распределение и вероятность 22

Равномерное
распределение — классическая вероятностная
модель 22

Биномиальное
распределение – схема Бернулли 23

Мультиномиальное
распределение – схема бросания частиц
по ячейкам 24

Геометрическое
распределение – испытания до первого
успеха 24

Распределение
Паскаля – испытания до m-того успеха 25

Пуассоновское
распределение — теорема Пуассона 25

Теорема
Пуассона. 26

Сходимость
по вариации — приближение одних моделей
другими 27

Сходимость
по вариации. 27

Измеримое
пространство. 27

Независимость событий и условная
вероятность. Построение моделей. 27

Независимость 27

Различие
между независимостью попарно и в
совокупности. Пример Бернштейна 27

Использование
понятия независимости для построения
моделей. Произведение вероятностных
пространств. 28

Примеры
построения моделей. 29

Расчет
надежности при параллельном соединении
элементов. 29

Расчет
надежности при последовательном
соединении элементов 30

Расчет
надежности сложной системы. 30

Замечания
к примерам. 30

Условная
вероятность 31

Урновая
схема 32

Марковская
зависимость 33

Формула
полной вероятности и формула Байеса 33

Случайные величины 34

Отображения
вероятностных пространств 34

Случайная
величина 35

Борелевская
сигма-алгебра 35

Точка 36

Открытый
интервал 36

Полуось 36

Множество
рациональных чисел 36

Множество
иррациональных чисел 36

Множество
положительности непрерывной функции 36

Другие
множества 36

Неборелевские
множества 36

Варианты
определения борелевской сигма-алгебры 37

Определение
случайной величины 37

Необходимые
и достаточные условия измеримости 37

Борелевская
функция 38

Примеры
борелевских функций 38

Примеры
случайных величин 38

Индикатор
события 38

Простая
случайная величина 38

Дискретная
случайная величина 39

Приближение
измеримых функций простыми 39

Свойства
случайных величин 40

Случайный
вектор 40

Распределения случайных величин и
векторов 41

Построение
меры на прямой 41

Сигма-конечная
мера 41

Теорема
Каратеодори 41

Теорема
Каратеодори. 41

Продолжение
и сужение меры 41

Функция
распределения 41

Точки
непрерывности и разрыва функции
распределения 42

Несобственные
функции распределения 43

Дискретные
распределения на прямой 43

Вырожденное
распределение 43

Бернуллиевское
распределение 44

Биномиальное
распределение 44

Геометрическое
распределение 45

Пуассоновское
распределение 46

Произвольное
дискретное распределение 46

Функция
распределения случайной величины 47

Непрерывные
распределения на прямой 47

Равномерное
распределение на отрезке – мера
Лебега. 47

Мера
Лебега на прямой. 48

Плотность
распределения 48

Вероятностный
смысл плотности распределения 50

Бета-распределение
на отрезке [0,1] 50

Смеси
распределений. 53

Нормальное
(гауссовское) распределение. 54

Экспоненциальное
(показательное) распределение. 55

Гамма-распределение. 56

Построение
меры в конечномерном пространстве 57

Борелевская
сигма-алгебра в конечномерном
пространстве 57

Определение
случайного вектора 57

Мера
Лебега в конечномерном пространстве 58

Мера
Лебега на квадрате — Задача о встрече 58

Независимые
случайные величины 59

Многомерное
нормальное распределение 59

Числовые характеристики случайных
величин и векторов 60

Интеграл
Лебега – математическое ожидание 60

Свойства
интеграла Лебега (математического
ожидания) 61

Теоремы
о предельном переходе под знаком
интеграла Лебега 62

Теорема
о монотонной сходимости 62

Счетная
аддитивность 62

Лемма
Фату 62

Сходимость
и свойства почти наверное 62

Теорема
Лебега о мажорируемой сходимости 63

Неравенства 63

Неравенство
Маркова 63

Неравенство
Чебышева. Дисперсия 63

Неравенство
Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация 63

Неравенство
Йенсена.Выпуклые функции 64

Неравенство
Ляпунова.Моменты 64

Вычисление
математического ожидания. 65

Теорема
Лебега о замене переменных 65

Вычисление
интеграла Лебега на прямой. 66

Вычисление
интеграла Лебега в произведении
пространств. Теорема Фубини 66

Теорема
Фубини 66

Вычисление
маргинальных плотностей 67

Вычисление
числовых характеристик важных
распределений. 67

Абсолютная непрерывность вероятностных
мер 68

Абсолютно
непрерывные и сингулярные меры и
распределения 68

Теорема
Радона-Никодима 69

Суммирование независимых случайных
величин 70

Распределение
суммы независимых случайных величин 70

Распределение
суммы двух независимых случайных
величин. Формула свертки 70

Плотность
распределения суммы двух независимых
случайных величин 71

Кратные
свертки 71

Примеры
вычисления распределения сумм независимых
случайных величин 71

Суммы
независимых случайных величин. Нормальное
распределение 71

Суммы
независимых случайных величин.Биномиальное
распределение 71

Суммы
независимых случайных величин.Пуассоновское
распределение 72

Суммы
независимых случайных величин.Гамма
распределение 72

Пуассоновский
процесс 72

Сходимость последовательностей
случайных величин и их распределений 73

Сходимость
по вероятности 73

Сходимость
в среднеквадратическом 73

Слабая
сходимость распределений 73

Взаимосвязь
различных видов сходимости 74

Закон
больших чисел в форме Бернулли 75

Теорема
Шеффе 78

Сглаживание
распределений 78

Характеристические
функции случайных величин и их
распределений 78

Математическое
ожидание комплекснозначной функции
от случайной величины 79

Определение
характеристической функции 79

Свойства
характеристической функции 79

Преобразование
Лапласа и производящая функция 79

Теорема
единственности для характеристических
функций и характеристические функции
важных распределений 80

Предельные теоремы теории вероятностей 84

Схема
суммирования независимых слагаемых 84

Классическая
схема 84

Схема
серий 84

Закон
больших чисел в форме Чебышева 85

Закон
больших чисел для схемы серий 85

Закон
больших чисел в форме Хинчина 85

Центральная
предельная теорема в форме Леви 86

Теорема
Леви 86

Теорема
Муавра-Лапласа 86

Центральная
предельная теорема в форме Ляпунова 87

Условное математическое ожидание,
условная вероятность и условное
распределение 88

Определение
и основные свойства условного
математического ожидания 89

Теорема
существования и единственности условного
математического ожидания 91

Математическое
ожидание одной случайной величины
относительно другой 91

Свойства
условного математического ожидания 92

Определение
условной вероятности, условного
распределения и условной плотности 92

Условная
вероятность 92

Условное
распределение 93

Вычисление
условной плотности и условного
математического ожидания 94

Теория вероятностей Введение в теорию вероятностей Предмет теории вероятностей

Возникновение и развитие теории вероятностей До появления аксиоматики Колмогорова

Развитие
теории вероятностей как науки началось
в середине XVII века в связи с расчетом
шансов в азартных играх. Первые теоремы
были доказаны Я.Бернулли и Муавром. В
1812 году появился первый большой трактат
по теории вероятностей Лапласа. В это
время теория вероятностей начинает
применяться в естествознании, технике
и военном деле (теория ошибок наблюдений,
теория стрельбы). Во второй половине
19 века вероятностные методы уже
используются в демографии, статистике
и страховании. Первым российским
математиком, внесшим значительный вклад
в теорию вероятностей, был Чебышев,
работы которого были продолжены Марковым
и Ляпуновым.

В наше время

Современный
период в развитии теории вероятностей
начинается с работ Бернштейна, Бореля
и Колмогорова. Теория вероятностей
стала математической наукой в 1933 году
после выхода книги Колмогорова «Основные
понятия теории вероятностей», в
которой предложена аксиоматика теории
вероятностей. С помощью этой аксиоматики
удалось объяснить многочисленные
парадоксы теории вероятностей, в ее
рамках теория вероятностей развивается
до сих пор. Наиболее бурно развивающиеся
сейчас разделы теории вероятностей это
теория случайных процессов, стохастическая
геометрия, статистические приложения
теории вероятностей.

Необходимость теории вероятностей как науки

Теория
вероятностей необходима тогда, когда
требуется дать количественную оценку
неопределенности, возникающей при
анализе случайных явлений, предсказать
наиболее вероятный исход опыта, оценить
средние значения случайных факторов и
отклонения от них, исследовать взаимосвязь
явлений, между которыми нет жесткой
зависимости. Теория вероятностей
позволяет дать специальный язык для
описания некоторых объектов реального
мира. Методы теории вероятностей помогают
анализировать большие объемы статистических
данных и предлагать для них математические
модели. Отказ от использования методов
теории вероятностей при анализе даже
простейших задач со случайными факторами
или неправильное их применение может
привести к значительным количественным
ошибкам и ложным качественным заключениям.

Возможность анализа случайных явлений

Каждый год учителя жалуются на то, что падает
интерес у учеников к учебе, и каждый год
усложняются задания ГИА и ЕГЭ. Вот уже и элементы
теории вероятностей стали полноправными
заданиями в тестах. Этой теме в школьном курсе не
уделялось должного внимания и казалось, что
сложно будет побороть страх учеников перед этими
задачами. Но мы, учителя, поняли, что т.к. изменить
ситуацию невозможно, под нее надо
подстраиваться.

Проанализировав демонстрационные варианты,
убедилась, что для успешного решения указанных
задач необходимо повторить (а может быть выучить)
основные положения теории вероятностей.

Прежде всего, напомним учащимся, что же изучает
этот раздел математики?

Наблюдая со стороны за различными явлениями
или участвуя в проведении опытов, мы замечаем,
что некоторое явление может произойти, а может и
нет. Те события, исход которых предсказать
нельзя, назовем случайным.

Например, нельзя заранее предсказать будет ли
цифра «6» в номере машины, проезжающей сейчас
мимо вас, будет ли вынут именно красный шар из
коробки, в которой 4 шара разного цвета?
Предсказать исход одного испытания мы не можем, а
вот подсчитать вероятность его наступления при
большом количестве произведенных однородных
испытаний – это под силу теории вероятностей.

Основная формула классической вероятности
всего одна: , где n
– число благоприятных исходов, m – общее число
исходов.

При этом надо подчеркивать, что общее число
исходов конечно и все исходы равнозначны (в
противном случае применение этой формулы
невозможно, т.к. получим неверный результат).

Ученики школы среднего и старшего звена
знакомятся только со случайными событиями.
Причем, это знакомство в основном опирается на их
жизненный опыт, интуицию.

В своей повседневной жизни мы часто повторяем:
«с достаточной долей вероятности…», «мне
кажется невероятно, что это произойдет», «почти
со 100% вероятностью можно утверждать…». Этими
фразами мы, опираясь на знания предыдущих лет (а
иногда и на интуицию) прогнозируем исход
какого-то события. Однако, не смотря на наш
прогноз, указанное событие может произойти, а
может и нет. Так, купив лотерейный билет, мы
рассчитываем, конечно, на выигрыш. Подбрасывая
монету, скажем, 4 раза, предполагаем, что «орел» и
«решка» выпадут по 2 раза. Но проделав этот
нехитрый опыт, убеждаемся, что это совсем не так в
реальности. Вот тогда и возникает вопрос: а
сколько раз надо бросить монету, что б
вероятность выпадения нужной стороны её была
почти 50%?

На все эти вопросы и отвечает теория
вероятностей. Она дает возможность численно
характеризовать возможность наступления того
или иного события.

Еще очень важным моментом в подсчете
вероятности наступления события, является то,
что все испытания и их исход договорились
считать равновозможными (равновероятными).
Что это значит?

Рассмотрим, например, опыт, с однократным
подбрасыванием монеты. В реальной жизни может
быть несколько исходов: выпадет «орел», выпадет
«решка», монета встанет на ребро, укатится
куда-нибудь. Кроме того, при многократном
подбрасывании, может оказаться, что выпадение,
скажем, «орла» намного чаще, чем «решки».При
детальном исследовании монеты оказалось, что на
сторону «герба»ушло больше металла(при отливке
монеты) и эта сторона тяжелее. Может сказаться и
неоднородность металла при плавке, порыв ветра
при бросании монеты, неровность поверхности, на
которую падает монета и т.д. Чтоб исход испытания
не зависел от этих частностей, договорились
считать монету «правильной» или «симметричной»,
т.е. одинаковой по весу с обеих сторон, падающей
на одну и ту же плоскость в безветренную погоду.
Аналогично надо считать симметричными игральный
кубик и игральные кости при бросании их во время
эксперимента.

Следует предостеречь учеников от неверного
способа решения задач рассуждением, без учета
всех возможностей исходов. Приведу пример.

Задача. Бросают два игральных кубика.
Найти вероятность того, что сумма выпавших очков
будет равна пяти.

Ошибочное решение. В данной ситуации
возможны два исхода: либо сумма будет равна пяти,
либо не будет. Значит, общее число исходов – два,
а из них благоприятных – один (т.е. сумма равна
пяти). Значит, по формуле вероятности:

В чем ошибка ученика? Как мы знаем, каждый кубик
имеет 6 граней, на которых расположены точки от
одной до шести. Бросая оба кубика одновременно,
число очков, выпавших на первом кубике, не
зависит от того, какое число очков в это время
выпадет на втором. Т.е. шесть исходов первого
кубика сочетаются с шестью исходами второго. И
общее число равновозможных исходов: 6 • 6 = 36.
Тогда, благоприятных исходов, т.е. сумма равна
пяти будет 4 : 3+2; 2+3; 1+4; 4+1. Следовательно, ответ на
вопрос задачи: 

Очень уместно здесь познакомить учеников со
знаменитой ошибкой Даламбера.

Пример. Ошибка Даламбера. Какова
вероятность, что подброшенные, вверх две
правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?

Решение, предложенное Даламбером. Опыт
имеет три равновозможных исхода:

1) обе монеты упали на «орла»;
2) обе монеты упали на «решку»;
3) одна из монет упала на «орла», другая на
«решку».

Из них благоприятными для нашего событиями
будут два исхода, поэтому искомая вероятность
равна .

Правильное решение. Опыт имеет четыре
равновозможных исхода:

1) первая монета упала на «орла», вторая тоже на
«орла»;
2) первая монета упала на «решку», вторая тоже на
«решку»;
3) первая монета упала на «орла», вторая – на
«решку»;
5) первая монета упала на «решку», вторая – на
«орла».

Из них благоприятными для нашего события будут
два исхода, поэтому искомая вероятность равна 

Даламбер совершил одну из самых
распространенных ошибок, допускаемую при
вычислении вероятности: он объединил два
принципиально разных исхода в один. Чтобы не
повторить эту ошибку, помните, что природа
различает все предметы, даже если внешне
они для нас неотличимы.

Надо напоминать учащимся, что нужно
анализировать полученный результат: найденная
вероятность не может быть больше 1, как не может,
например, упасть на землю яблок больше, чем их
находится на дереве. Что при бросании монеты,
вероятность выпадения «орла» или «решки» почти
одинакова, а вот вероятность, скажем, отказа
тормозов у автомобиля добросовестного водителя,
крайне мала. Поэтому учащиеся должны помнить, что
p є [0;1].

Крайне редко, но бывают задания, где
вероятность оказывается равной нулю (нулевая
вероятность). События, вероятность которых равна
нулю называются невозможными. Например,
сумма выпавших очков на двух костях равна 13 (мы
знаем, что максимальное число очков одной грани
– 6, значит для двух граней – 12).

Если же вероятность равна 1 (иногда говорят
«стопроцентная вероятность»), то событие
называем достоверным. Примером может служить
опыт с игральным кубиком и утверждение, что при
подбрасывании выпало не более 6 очков.

Все остальные события, вероятность которых
находится в интервале (0;1), будем называть случайными.
Они и составляют основную часть задач в теории
вероятностей. Их-то и решают по уже упомянутой
формуле.

Хочется еще раз напомнить, что половина успеха
в решении той или иной задачи (совсем
необязательно по теории вероятностей) заложена
во внимательном чтении условия. Очень много
ошибок допускают ученики торопясь сделать
задание, которое, как кажется, им знакомо и, не
вникнув в исходные данные, допускают
непростительные ошибки.

Приведу пример двух похожих, но абсолютно
разных по смыслу (и, естественно, по способу
решения) задач.

Задача №1. Фабрика выпускает сумки. В
среднем, на 100 сумок, приходится 8 сумок со
скрытыми дефектами. Найдите вероятность того,
что купленная сумка окажется качественной. (Если
необходимо, результат округлите до сотых).

Решение.  Вероятность найдем по
формуле:  .
Здесь из 100 сумок 8 некачественных, следовательно,
остальные качественные, т.е.   100 – 8 = 92 сумки.
m = 100,
n = 92

Ответ: 0,92

Задача №2. Фабрика выпускает сумки. В
среднем, на каждые 100 качественных сумок
приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите
вероятность того, что купленная сумка окажется
качественной. (Если необходимо, результат
округлите до сотых).

Решение. Вероятность найдем по формуле: . В этой задаче, в
отличие от предыдущей общее количество сумок
складывается из качественных ( 100 штук) и
некачественных (8 штук), т.е.  m = 100 + 8 = 108 .

Среди этих 108 сумок, качественных было 100 штук, n
= 100

Ответ: 0,93

Литература.

1. Бунимович Е.А., Булычев В.А. «Вероятность и
   статистика» .М «Дрофа». 2002г.
2. Колмогоров А.Н.и др. Введение в теорию
   вероятностей.. М. «Наука» 1982г.
3. Скопец З.А. «Дополнительные главы по курсу
   математики». М. «Просвещение» .1974г.
4. Чистяков В.П. «Курс теории вероятностей». М.
   «Наука» 1982г.

Освоение образовательных программ основного общего образования завершается обязательной государственной итоговой аттестацией по русскому языку и математике. Экзамен в 9 классе – это итог работы учителя и ученика на протяжении 5 лет обучения в средней школе, и подготовка к нему является важной составляющей учебного процесса. Подготовка к основному государственному экзамену требует комплексной подготовки по всем основным разделам школьного курса математики, что в свою очередь устанавливает определенные требования к методике преподавания отдельных тем школьного курса.

К числу разделов, вызывающих затруднения у учащихся, относят стохастическую линию. Решение вероятностных задач требует от учащихся несколько иных навыков и способов рассуждений, чем те, что изучают в рамках других линий школьного курса.

В целом стохастическая линия делится на две основные части: теория вероятностей и математическая статистика [1]. В данной статье остановим внимание в первую очередь на вопросах, связанных с изучением теории вероятностей.

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Ранее данные вопросы в общем школьном курсе не изучались, а рассматривались в рамках факультативных и элективных курсах. Но в последние годы теория вероятностей была введена в школьный курс алгебры 7-11 классов, а также математики 5-6 классов. С 2011 года задания по данному разделу появилась и в ГИА. Однако методика преподавания стохастической линии для школьников была практически не разработана. Перенос методических приемов, применяющих при обучении теории вероятностей в высшей школе, не всегда эффективен. Основной упор в таком случае делается на применение теорем, что требует достаточного уровня подготовки. Как следствие возникает необходимость в совершенствовании методики преподавания стохастической линии для школьников. Особенную значимость эти вопросы приобретают по отношению к обучению школьников 5-6 классов.

Одним из основных затруднений, возникающих при изучении данной темы, является обучение решению вероятностных задач. В первую очередь это связано с самим определением понятия вероятности, а также с необходимостью учитывать число возможных вариантов, отвечающих заданным условиям.

Для успешного обучения школьников материал по теории вероятностей необходимо представить в структурированном виде. Изучаемый в школьном курсе теоретический материал позволяет выделить ряд базовых действий, использующихся при решении задач. Поэтому встает вопрос поиска таких задач, решение которых объединяло бы в себе несколько действий и правил теории вероятностей. В соответствии с тем, какие именно были указаны действия, можно определить ряд так называемых базовых или ключевых задач, вокруг которых можно группировать аналогичные задания.

При поиске таких задач, в первую очередь необходимо определить уровень подготовки школьников 9 класса к решению задач по теории вероятностей, которым предстоит сдавать ОГЭ. С этой целью учащимся была предложена проверочная работа, включающая из 4 задачи по теории вероятностей из сборников для подготовки к ОГЭ. Приведем пример такой задачи [2]. В прямоугольник 5×4 см² помещён круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга? Данная задача относится к теме геометрическая вероятность. По определению искомая вероятность равна отношению площадей соответствующих фигур. В этом случае требуется найти площадь круга радиусом 1,5 см (в который точка должна попасть – благоприятствующий исход) и площадь прямоугольника 5×4 см² (в которой точка ставится – общий исход). В результате получаем, что , . Тогда вероятность данного события равна .

Основная цель данной работы заключалась в том, чтобы определить наиболее типичные ошибки, возникающие при решении задач по теории вероятностей. Анализ письменных работ учащихся показал, что ими были допущены следующие основные типы ошибок:

1. Задания выполнены неверно вследствие незнания теории.

2. Задания выполнены по содержанию правильно, но в вычислениях допущены арифметические ошибки.

3. Задания не выполнены, но в некоторых задачах присутствуют отдельные верные шаги решения.

Возникающие вычислительные ошибки, в определенном смысле, являются наименьшей из проблем, так как они не зависят от понимания алгоритма решения вероятностной задачи. Но при сдаче ОГЭ такие ошибки превращаются в самую серьезную проблему. Отсутствие вычислительной культуры при правильной последовательности шагов решение не позволяет дать правильный ответ на вопрос задачи, а следовательно получить высокий результат на экзамене.

Во многих случаях основное затруднение учащихся при решении задач по теории вероятностей заключается в том, что они не могут полностью осознать и воспринять математическую модель задачи. Стохастические задачи отличаются достаточным их разнообразием, что осложняет выбор конкретной модели. Они сохраняют определенную новизну и создают трудности не только для учеников, но и для учителей.

В таких условиях представляется значимым выделение основных моделей, которые можно считать базовыми. В результате возникает возможность формирования системы так называемых ключевых задач, в которых реализуются наиболее значимые алгоритмы их решения. За счет элементарных преобразований данных моделей можно их использовать для решения сходных заданий.

Под ключевой задачей будем понимать задачу, реализующую базовые алгоритмы действий, на основе которых можно решить целую группу сходных задач. В качестве примера рассмотрим задачу на формулу повторных независимых испытаний [3]. На некотором поле повреждены гербицидами 15 % растений мяты рассадной посадки. Найти наивероятнейшее число поврежденных гербицидами растений мяты среди 20 растений, отобранных с этого поля случайным образом и соответствующую вероятность. При решении данной задачи можно выделить следующие этапы (табл. 1).

Таблица 1.

Решение ключевой задачи по теме повторение опытов

Модель, рассмотренная в данной задаче, является не самой простой. Тем не менее задачи подобного типа, предлагают при подготовке к ОГЭ по математике. Приведем пример такой задачи [4]. Стрелок совершает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна 0,7. Найти вероятность того, что стрелок попадёт 2 раза.

Если среди четырех выстрелов было 2 попадания, то оставшиеся 2 выстрела будут являться промахами. Обозначим вероятность попадания , тогда вероятность промаха . По формуле Бернулли получаем .

При этом не имеет существенного значения содержательная формулировка ключевой задачи, так как более важным является демонстрация алгоритма ее решения.

Выделение ключевых задач позволяет систематизировать и упорядочить материал для работы с учащимися, а также создает возможности для более осознанного и глубокого понимания теории вероятностей и формирования навыков решения задач.

Освоение образовательных программ основного общего образования завершается обязательной государственной итоговой аттестацией по русскому языку и математике. Экзамен в 9 классе – это итог работы учителя и ученика на протяжении 5 лет обучения в средней школе, и подготовка к нему является важной составляющей учебного процесса. Подготовка к основному государственному экзамену требует комплексной подготовки по всем основным разделам школьного курса математики, что в свою очередь устанавливает определенные требования к методике преподавания отдельных тем школьного курса.

К числу разделов, вызывающих затруднения у учащихся, относят стохастическую линию. Решение вероятностных задач требует от учащихся несколько иных навыков и способов рассуждений, чем те, что изучают в рамках других линий школьного курса.

В целом стохастическая линия делится на две основные части: теория вероятностей и математическая статистика [1]. В данной статье остановим внимание в первую очередь на вопросах, связанных с изучением теории вероятностей.

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Ранее данные вопросы в общем школьном курсе не изучались, а рассматривались в рамках факультативных и элективных курсах. Но в последние годы теория вероятностей была введена в школьный курс алгебры 7-11 классов, а также математики 5-6 классов. С 2011 года задания по данному разделу появилась и в ГИА. Однако методика преподавания стохастической линии для школьников была практически не разработана. Перенос методических приемов, применяющих при обучении теории вероятностей в высшей школе, не всегда эффективен. Основной упор в таком случае делается на применение теорем, что требует достаточного уровня подготовки. Как следствие возникает необходимость в совершенствовании методики преподавания стохастической линии для школьников. Особенную значимость эти вопросы приобретают по отношению к обучению школьников 5-6 классов.

Одним из основных затруднений, возникающих при изучении данной темы, является обучение решению вероятностных задач. В первую очередь это связано с самим определением понятия вероятности, а также с необходимостью учитывать число возможных вариантов, отвечающих заданным условиям.

Для успешного обучения школьников материал по теории вероятностей необходимо представить в структурированном виде. Изучаемый в школьном курсе теоретический материал позволяет выделить ряд базовых действий, использующихся при решении задач. Поэтому встает вопрос поиска таких задач, решение которых объединяло бы в себе несколько действий и правил теории вероятностей. В соответствии с тем, какие именно были указаны действия, можно определить ряд так называемых базовых или ключевых задач, вокруг которых можно группировать аналогичные задания.

При поиске таких задач, в первую очередь необходимо определить уровень подготовки школьников 9 класса к решению задач по теории вероятностей, которым предстоит сдавать ОГЭ. С этой целью учащимся была предложена проверочная работа, включающая из 4 задачи по теории вероятностей из сборников для подготовки к ОГЭ. Приведем пример такой задачи [2]. В прямоугольник 5×4 см² помещён круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга? Данная задача относится к теме геометрическая вероятность. По определению искомая вероятность равна отношению площадей соответствующих фигур. В этом случае требуется найти площадь круга радиусом 1,5 см (в который точка должна попасть – благоприятствующий исход) и площадь прямоугольника 5×4 см² (в которой точка ставится – общий исход). В результате получаем, что , . Тогда вероятность данного события равна .

Основная цель данной работы заключалась в том, чтобы определить наиболее типичные ошибки, возникающие при решении задач по теории вероятностей. Анализ письменных работ учащихся показал, что ими были допущены следующие основные типы ошибок:

1. Задания выполнены неверно вследствие незнания теории.

2. Задания выполнены по содержанию правильно, но в вычислениях допущены арифметические ошибки.

3. Задания не выполнены, но в некоторых задачах присутствуют отдельные верные шаги решения.

Возникающие вычислительные ошибки, в определенном смысле, являются наименьшей из проблем, так как они не зависят от понимания алгоритма решения вероятностной задачи. Но при сдаче ОГЭ такие ошибки превращаются в самую серьезную проблему. Отсутствие вычислительной культуры при правильной последовательности шагов решение не позволяет дать правильный ответ на вопрос задачи, а следовательно получить высокий результат на экзамене.

Во многих случаях основное затруднение учащихся при решении задач по теории вероятностей заключается в том, что они не могут полностью осознать и воспринять математическую модель задачи. Стохастические задачи отличаются достаточным их разнообразием, что осложняет выбор конкретной модели. Они сохраняют определенную новизну и создают трудности не только для учеников, но и для учителей.

В таких условиях представляется значимым выделение основных моделей, которые можно считать базовыми. В результате возникает возможность формирования системы так называемых ключевых задач, в которых реализуются наиболее значимые алгоритмы их решения. За счет элементарных преобразований данных моделей можно их использовать для решения сходных заданий.

Под ключевой задачей будем понимать задачу, реализующую базовые алгоритмы действий, на основе которых можно решить целую группу сходных задач. В качестве примера рассмотрим задачу на формулу повторных независимых испытаний [3]. На некотором поле повреждены гербицидами 15 % растений мяты рассадной посадки. Найти наивероятнейшее число поврежденных гербицидами растений мяты среди 20 растений, отобранных с этого поля случайным образом и соответствующую вероятность. При решении данной задачи можно выделить следующие этапы (табл. 1).

Таблица 1.

Решение ключевой задачи по теме повторение опытов

Модель, рассмотренная в данной задаче, является не самой простой. Тем не менее задачи подобного типа, предлагают при подготовке к ОГЭ по математике. Приведем пример такой задачи [4]. Стрелок совершает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна 0,7. Найти вероятность того, что стрелок попадёт 2 раза.

Если среди четырех выстрелов было 2 попадания, то оставшиеся 2 выстрела будут являться промахами. Обозначим вероятность попадания , тогда вероятность промаха . По формуле Бернулли получаем .

При этом не имеет существенного значения содержательная формулировка ключевой задачи, так как более важным является демонстрация алгоритма ее решения.

Выделение ключевых задач позволяет систематизировать и упорядочить материал для работы с учащимися, а также создает возможности для более осознанного и глубокого понимания теории вероятностей и формирования навыков решения задач.